學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.2.了解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等增長含義．





知識點 三種常見函數(shù)模型的增長差異








1．當(dāng)x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數(shù)．( √ )


2．一個好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合，又能很好地推演和預(yù)測．( √ )


3．函數(shù)衰減的速度越來越慢．( √ )


4．由于指數(shù)函數(shù)模型增長速度最快，所以對于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．( × )





一、幾類函數(shù)模型增長差異的比較


例1 四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：





關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________．


答案 y2


解析 從表格觀察函數(shù)值y1，y2，y3，y4的增加值，哪個變量的增加值最大，則該變量關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．


以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．


從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．


反思感悟 常見的函數(shù)模型及增長特點


(1)線性函數(shù)模型


線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點是“直線上升”，其增長速度不變．


(2)指數(shù)函數(shù)模型


指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．


(3)對數(shù)函數(shù)模型


對數(shù)函數(shù)模型y＝lgax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．可稱為“對數(shù)增長”．


跟蹤訓(xùn)練1 有一組數(shù)據(jù)如下表：





現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是( )


A．v＝lg2t B． C．v＝2t－1 D．v＝2t－2


答案 A


解析 從表格中看到此函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，排除B，增長速度越來越慢，排除C和D，故選A.


二、函數(shù)模型的選擇問題


例2 某人對東北一種松樹生長進(jìn)行了研究，收集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝lga(t＋1)來刻畫h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個符合？并預(yù)測第8年的松樹高度.





解 據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖如圖．





由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合，選用對數(shù)型函數(shù)比較合理．


不妨將(2,1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.


故可用函數(shù)h＝lg3(t＋1)來刻畫h與t的關(guān)系．


當(dāng)t＝8時，求得h＝lg3(8＋1)＝2，


故可預(yù)測第8年松樹的高度為2米．


反思感悟 不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)


(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律．


(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律．


(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度逐漸平緩的變化規(guī)律．


跟蹤訓(xùn)練2 (1)某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴(yán)重，測得最近三年沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加值y萬公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式大致可以是( )


A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)


C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x


答案 C


解析 對于A，x＝1,2時，符合題意，x＝3時，y＝0.6，與0.76相差0.16；


對于B，x＝1時，y＝0.3；x＝2時，y＝0.8；x＝3時，y＝1.5，相差較大，不符合題意；


對于C，x＝1,2時，符合題意，x＝3時，y＝0.8，與0.76相差0.04，與A比較，符合題意；


對于D，x＝1時，y＝0.2；x＝2時，y＝0.45；x＝3時，y≈0.60)和g(x)＝x2(x>0)的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(3)>f(3)．


反思感悟 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長差異的判斷方法


(1)根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進(jìn)行判斷．


(2)根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．





1．下列函數(shù)中，隨著x的增長，增長速度最快的是( )


A．y＝50 B．y＝1 000x


C．y＝50x2 D．y＝eq \f(1,1 000)ex


答案 D


解析 指數(shù)函數(shù)y＝ax，在a>1時呈爆炸式增長，而且a越大，增長速度越快，故選D.


2．三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：





則關(guān)于x分別呈對數(shù)型函數(shù)，指數(shù)型函數(shù)，直線型函數(shù)變化的變量依次為( )


A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3


C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2


答案 C


解析 通過指數(shù)型函數(shù)，對數(shù)型函數(shù)，直線型函數(shù)的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)型函數(shù)的增長速度越來越慢，變量y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，y2隨x的變化符合此規(guī)律；直線型函數(shù)的增長速度穩(wěn)定不變，y1隨x的變化符合此規(guī)律，故選C.


3．甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2(v1lgax


C．對任意的x>0，ax>lgax


D．不一定存在x0，當(dāng)x>x0時，總有ax>xn>lgax


答案 D


解析 對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長幅度不能比較；對于B，C，當(dāng)01時，一定存在x0，使得當(dāng)x>x0時，總有ax>xn>lgax，但若去掉限制條件“a>1，n>1”，則結(jié)論不成立．


16．某公司對營銷人員有如下規(guī)定：


①年銷售額x(萬元)在8萬元以下，沒有獎金；②年銷售額x(萬元)在[8,64]內(nèi)時，獎金為y萬元，且y＝lgax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年銷售額越大，獎金越多；③年銷售額x(萬元)超過64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎金．


(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；


(2)若某營銷人員爭取年獎金y∈[4,10](萬元)，求年銷售額x所在的范圍．


解 (1)由題意知y＝lgax是增函數(shù)，


∴a>1，


又當(dāng)x∈[8,64]，y∈[3,6]，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))∴a＝2，


∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x64.))


(2)由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x≥4，,10%x≤10，))解得16≤x≤100，


∴年獎金y∈[4,10](萬元)時，年銷售額x的取值范圍為[16,100]．函數(shù)


性質(zhì)
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增減性
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
圖象的變化
隨x的增大逐漸變“陡”
隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定
隨x的增大勻速上升
增長速度
y＝ax的增長快于y＝kx的增長，y＝kx的增長快于y＝lgax的增長
增長后果
會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.01
1.39
2.05
2.12
2.41
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
25
45
65
85
105
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44

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