一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量，，若，則x＝（ ）
A．B．1C．D．－1
2．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的充分條件
4．設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．
C．D．
5．已知終邊與單位圓的交點(diǎn)，且是第二象限角，則的值等于
A．B．C．3D．
6．在中，若，則這個(gè)三角形是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
7．為了得到 的圖象，只要把 的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度B．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度
C．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度D．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度
8．我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”小王是《三體》的忠實(shí)讀者，他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中的“水滴”：由線段和優(yōu)弧圍成，與圓弧分別切于點(diǎn)B、C，直線與水平方向垂直（如圖），已知“水滴”的水平寬度與豎直高度之比為9∶5，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．對(duì)于任意的非零平面向量，，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．若，則
C．D．
10．已知、，，則下列不等關(guān)系一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個(gè)相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點(diǎn)P是內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．若P為EF的中點(diǎn)，則在上的投影向量為
D．的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，，若與為共線向量，則實(shí)數(shù)k＝ ．
13．已知，則 .
14．如圖，在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與所在的直線分別交于點(diǎn)，若，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，，的夾角是60°，計(jì)算
(1)計(jì)算，；
(2)求和的夾角的余弦值.
16．在①，②，③中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問題中，并解決問題.
已知，且 .
(1)求的值；
(2)若，求.
說明：若選擇多個(gè)條件解答，則按第一個(gè)選擇給分.
17．已知向量，，．
(1)若，求x的值；
(2)記，若對(duì)于任意，而恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
18．已知是線段外一點(diǎn)，若.
(1)設(shè)點(diǎn)是的重心，證明：；
(2)設(shè)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，及的重心依次為.
①試用向量表示；
②依據(jù)①的推理，設(shè)點(diǎn)線段的等分點(diǎn)，分別是的重心.請(qǐng)你寫出：及(用表示不必證明)；
③若，求．
19．對(duì)于常數(shù)集合和變量，定義為相對(duì)集合的“n元余弦方差”.
(1)若集合，求相對(duì)集合的二元余弦方差.
(2)當(dāng)集合時(shí)，求相對(duì)集合的三元的余弦方差.
(3)在直角坐標(biāo)系中，已知為相對(duì)集合的一元余弦方差，函數(shù)，且，請(qǐng)問在y＝φ(x)的圖象上，是否存在一點(diǎn)P，使得，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】，，，解得：.
故選D.
2．【答案】B
【詳解】因?yàn)?所以,
又,所以,
故選B.
3．【答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.
故選C.
4．【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選C.
5．【答案】C
【解析】利用二倍角的正弦，余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把求值.
【詳解】因?yàn)榻K邊與單位圓的交點(diǎn)，且是第二象限角，
所以，，則
故選C.
6．【答案】D
【詳解】解：因?yàn)?br>所以
所以
所以
因?yàn)椋?，?br>所以三角形為等腰三角形；
故選D
7．【答案】A
【詳解】，
由誘導(dǎo)公式可知：
又
則，即只需把圖象向右平移個(gè)單位.
故選A
8．【答案】A
【詳解】設(shè)圓弧所在圓心為O，連接，可知，
設(shè)圓的半徑為r，依題意，有，即，
所以
所以．
故選A.
9．【答案】AC
【詳解】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A正確；
，顯然不一定成立，所以選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；
因?yàn)橄蛄颗c共線，向量與共線，所以不一定成立，
因此選項(xiàng)D不正確，
故選AC.
10．【答案】BCD
【詳解】因?yàn)?、，則、、、，
對(duì)于A選項(xiàng)，
，故，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椤?，，則，
所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，、，，則，
且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，
故，
因?yàn)?，則，故，
故，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
因?yàn)?，則，故，
故，即，D對(duì).
故選BCD.
11．【答案】AD
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)結(jié)合投影向量的定義分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)BD：建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：，
若P為EF的中點(diǎn)，所以在上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)BD：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
可得，所以，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，可知，
則，可得，
則，
可知當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的最大值為，故D正確.
故選AD.
12．【答案】
【詳解】因?yàn)椋?，所以，?br>因?yàn)榕c為共線向量，所以，解得：.
13．【答案】/
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，.
14．【答案】3
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值為3.
15．【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由題可得，
，所以；
（2），
設(shè)和的夾角為，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
若選①，由
得：
若選②，則，
則
若選③，則,
又得
綜上：，
.
（2）
，
又由（1）知，
，
.
17．【答案】(1)
(2)的最小值為
【詳解】（1）由，則，則，
，，故，
，由于，所以，
所以，則.
（2）==+，
==，
∵，∴，.
∵恒成立，∴，
從而，即.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)①；②，；③
【詳解】（1）連，并延長交于，由是的重心，則為的中點(diǎn)．
則．
由是的重心，則，
即：，即：.
（2）①如圖：點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)．
由（1）可得：，
，
．
②取的中點(diǎn)為，則
，
故．
．
．
，
故
③
又
由上面得：，
．
19．【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）因?yàn)榧希?br>由余弦方差的計(jì)算公式，可得.
（2）因?yàn)榧蠒r(shí)，
由余弦方差的計(jì)算公式，可得
.
（3）當(dāng)時(shí)，可得一元余弦方差為，
則，
可得，
又點(diǎn)在的圖象上，故設(shè)點(diǎn)，
可得，
由，可得，
即，所以，
可得，
因，，可得，
而，故要成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，
即當(dāng)點(diǎn)時(shí)，.

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