本專題精選南通市中考數(shù)學(xué)真題（2020-2024）和南通市各地區(qū)2024及2025年中考模擬試題中的選擇題第9題和第10題。南通地區(qū)選擇題1~8題沒有太大難度，而第9題和第10題很有特點(diǎn)，也有難度，很多同學(xué)選擇題就在這兩題失分。只要認(rèn)真做好選擇題第9和第10題，就能在選擇題部分取得滿分。
一、選擇題答案
二、選擇題試題解析
1．（2024?南通）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進(jìn)，兩地之間的路程為20km．兩人前進(jìn)路程s（單位：km）與甲的前進(jìn)時間t（單位：h）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（ ）
A．甲比乙晚出發(fā)1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
【答案】D
【分析】根據(jù)圖象可知，甲比乙早出發(fā)1小時，但晚到2小時，從甲地到乙地，甲實(shí)際用4小時，乙實(shí)際用1小時，從而可求得甲、乙兩人的速度．
【詳解】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h；
乙的速度是：20÷1＝20km/h；
由圖象知，甲出發(fā)1小時后乙才出發(fā)，乙到2小時后甲才到，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學(xué)生觀察圖象的能力，分析解決問題的能力，要培養(yǎng)學(xué)生視圖知信息的能力．
2．（2024?南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足為H，D是線段HC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)H，C重合），將線段DH繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學(xué)經(jīng)過深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E落在邊AC上時，點(diǎn)D為HC的中點(diǎn)；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，當(dāng)AE的長最小時，AH2＝AB?AE請對兩位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)作出評判（ ）
A．小明正確，小麗錯誤B．小明錯誤，小麗正確
C．小明、小麗都正確D．小明、小麗都錯誤
【答案】C
【分析】旋轉(zhuǎn)得到DH＝DE，∠HDE＝2α，當(dāng)點(diǎn)E落在邊 AC上時，利用三角形的外角推出∠CED＝α＝∠C，進(jìn)而得到DE＝CD，推出 DH＝CD，判斷小明的說法，連接AE，HE，等邊對等角，求出∠DHE=∠DEH=12(180°?2α)=90°?α，進(jìn)而求出∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，推出點(diǎn)E在射線HE上運(yùn)動，根據(jù)垂線段最短，得到AE⊥HE時，AE的長最小，進(jìn)而推出△AEH∽△AHB，判斷小麗的說法即可．
【詳解】解：∵將線段DH繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE，
∴DH＝DE，∠HDE＝2α，
當(dāng)點(diǎn)E落在邊AC上時，如圖：
∵∠HDE＝∠C+∠CED，∠C＝α，
∴∠CED＝α＝∠C，
∴DE＝CD，
∴DH＝CD，
∴D為CH的中點(diǎn)，
故小明的說法是正確的；
連接AE，HE，
∵DH＝DE，∠HDE＝2α，
∴∠DHE=∠DEH=12(180°?2α)=90°?α，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHD＝90°，
∴∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，
∴點(diǎn)E在射線HE上運(yùn)動，
∴當(dāng)AE⊥HE時，AE的長最小，
∴當(dāng)AE的長最小時，∠AEH＝∠AHB＝90°，
又∵∠B＝∠C＝α＝∠AHE，
∴△AEH∽△AHB，AEAH=AHAB，
∴AH2＝AB?AE，
故小麗的說法正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確的作圖，確定點(diǎn)E的軌跡，是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?南通）若實(shí)數(shù)x，y，m滿足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，則代數(shù)式﹣2xy+1的值可以是（ ）
A．3B．52C．2D．32
【答案】D
【分析】結(jié)合已知條件解含參的二元一次方程組，然后代入﹣2xy+1中確定其取值即可．
【詳解】解：由題意可得x+y=6?m3x?y=4?m，
解得：x=5?m2y=7?m2，
則﹣2xy+1
＝﹣2×5?m2×7?m2+1
=?(5?m)(7?m)2+1
=?m2?12m+352+1
=?(m2?12m+36)?12+1
=?(m?6)22+32≤32，
∵3＞52＞2＞32，
∴A，B，C不符合題意，D符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，解得x，y的值后代入﹣2xy+1中整理出?(m?6)22+32是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?南通）如圖1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A﹣C﹣B運(yùn)動到點(diǎn)B停止，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的路徑長為x，△BDE的面積為y，若y與x的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示，則a﹣b的值為（ ）
A．54B．52C．50D．48
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB＝25，再分別求出0≤x≤15和15＜x≤35時的PD，AD的長，再用三角形的面積公式寫出y與x的函數(shù)解析式即可．
【詳解】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB=AC2+BC2=152+202=25，
①當(dāng)0≤x≤15時，點(diǎn)P在AC邊上，如圖所示，
此時AD＝x，
∵ED⊥AB，
∴∠DEA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，
∴AEAC=ADAB=DEBC，
∴AE=AC?ADAB=3x5，
DE=BC?ADAB=4x5，
BE＝25?3x5，
∴y=12BE?DE=12×（25?3x5）×4x5=10x?6x225，
當(dāng)x＝10時，y＝76，
∴a＝76，
②當(dāng)15＜x≤35時，點(diǎn)D在BC邊上，如圖所示，
此時BD＝35﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴DBAB=DEAC=BEBC，
∴BE=BD?BCAB=(35?x)×2025=28?4x5，
DE=BD?ACAB=(35?x)×1525=21?3x5，
∴y=12DE?BE=12×（28?4x5）×（21?3x5）＝（14?2x5）（21?3x5），
當(dāng)x＝25時，y＝24，
∴b＝24，
∴a﹣b＝76﹣24＝52，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)表示面積的綜合問題，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)圖象是熟練掌握．
5．（2022?南通）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF過點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)BE＝x，OE2＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求解AB，AC的長，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得AO的長，進(jìn)而求得OM，AM的長，設(shè)BE＝x，則EM＝5﹣x，利用勾股定理可求得y與x的關(guān)系式，根據(jù)自變量的取值范圍可求得函數(shù)值的取值，即可判斷函數(shù)的圖象求解．
【詳解】解：過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝4，
∴AB＝8，AC=43，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=12AC=23，
∴OM=12AO=3，
∴AM=AO2?OM2=3，
設(shè)BE＝x，OE2＝y(tǒng)，則EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵OE2＝OM2+EM2，
∴y＝（x﹣5）2+3，
∴拋物線開口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），與y軸的交點(diǎn)為（0，28），
∵0≤x≤8，
∴當(dāng)x＝8時y＝12，
故符合解析式的圖象為：
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，求解函數(shù)解析式及函數(shù)值的范圍是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?南通）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2+n2＝2+mn，則（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值為（ ）
A．24B．443C．163D．﹣4
【答案】B
【分析】方法1、先化簡（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判斷出?23≤mn≤2，即可求出答案．
方法2、設(shè)m+n＝k，則m2+2mn+n2＝k2，進(jìn)而得出mn=13k2?23，進(jìn)而得出原式＝10﹣7mn=?73k2+443，即可求出答案．
【詳解】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（當(dāng)m+n＝0時，取等號），
∴mn≥?23，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（當(dāng)m﹣n＝0時，取等號），
∴mn≤2，
∴?23≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤143，
∴﹣4≤10﹣7mn≤443，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值為443，
故選：B．
方法2、設(shè)m+n＝k，則m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn=13k2?23，
∴原式＝10﹣7mn=?73k2+443≤443，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化簡（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）是解本題的關(guān)鍵．
7．（2021?南通）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．動點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P沿折線AD﹣DC﹣CB運(yùn)動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q沿AB運(yùn)動到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），△APQ的面積為y（cm2），則y與t對應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)P在AD，DC，BC上分三種情況，將面積表示成t的函數(shù)，即可確定對應(yīng)的函數(shù)圖象．
【詳解】解：∵AD=AE2+DE2=122+52=13，
∴AB＞AD，
∴點(diǎn)P先到D，
當(dāng)0≤t＜13時，
過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，
則PHAP=PHt=1213，
∴PH=1213t，
∴S△AQP=12×t×1213t=613t2，
∴圖象開口向上，
∴A，C不符合題意，
當(dāng)18＜t＜31時，點(diǎn)P在BC上，
∴S△AQP=12×15×1213×(31?t)=?9013t+279013，
只有D選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)問題求面積，關(guān)鍵是要根據(jù)動點(diǎn)在不同的線段上分情況討論，依次來確定對應(yīng)的分段的函數(shù)的圖象．
8．（2021?南通）平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x與雙曲線y=kx（k＞2）相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限．設(shè)M（m，2）為雙曲線y=kx（k＞2）上一點(diǎn)，直線AM，BM分別交y軸于C，D兩點(diǎn)，則OC﹣OD的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】解法一：設(shè)A（a，2a），M（m，2），則B（﹣a，﹣2a），分別計算直線AM和BM的解析式，令x＝0可得OC和OD的長，相減可得結(jié)論；
解法二：作輔助線，構(gòu)建相似三角形，先根據(jù)兩個函數(shù)的解析式計算交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，根據(jù)M（m，2）為雙曲線y=kx（k＞2）上一點(diǎn)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得M的坐標(biāo)，證明△EMD∽△FDB和△CPA∽△CEM，列比例式分別計算OC和OD的長，可得結(jié)論；
解法三，取特殊值k＝8，可得結(jié)論．
【詳解】解：解法一：設(shè)A（a，2a），M（m，2），則B（﹣a，﹣2a），
設(shè)直線BM的解析式為：y＝nx+b，
則?an+b=?2amn+b=2，解得：n=2+2am+ab=2a?2mam+a，
∴直線BM的解析式為：y=2+2am+ax+2a?2mam+a，
∴OD=2ma?2am+a，
同理得：直線AM的解析式為：y=2?2am?ax+2ma?2am?a，
∴OC=2ma?2am?a，
∵a?2a＝2m，
∴m＝a2，
∴OC﹣OD=2ma?2am?a?2ma?2am+a=4；
解法二：由題意得：y=2xy=kx，
解得：x1=2k2y1=2k，x2=?2k2y2=?2k，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴A（2k2，2k），B（?2k2，?2k），
∵M(jìn)（m，2）為雙曲線y=kx（k＞2）上一點(diǎn)，
∴2m＝k，
∴m=k2，
∴M（k2，2），
如圖，過點(diǎn)A作AP⊥y軸于P，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于E，過點(diǎn)B作BF⊥y軸于F，
∴∠MED＝∠BFD＝90°，
∵∠EDM＝∠BDF，
∴△EMD∽△FBD，
∴EMBF=EDDF，即k22k2=2+OD2k?OD=2k2，
∴OD=2k?42k+2=2k?2，
∵∠CPA＝∠CEM＝90°，∠ACP＝∠ECM，
∴△CPA∽△CEM，
∴PAEM=CPCE，即2k2k2=OC?2kOC?2=2k，
∴OC=2(k?2)k?2=2(k+2)=2k+2，
∴OC﹣OD=2k+2﹣（2k?2）＝4．
解法三：取k＝8，如圖，則M（4，2），A（2，4），B（﹣2，﹣4），
得AM的解析式為：y＝﹣x+6，BM的解析式為：y＝x﹣2，
∴OC＝6，OD＝2，
∴OC﹣OD＝6﹣2＝4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形求解．
9．（2025?海門區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0)的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點(diǎn)M，N．若B（10，0），MN⊥OA，則k的值為（ ）
A．63B．73C．83D．93
【答案】D
【分析】作AE⊥x軸，垂足為E，MC⊥x軸，垂足為C，ND⊥x軸，垂足為D，先分別求出直線OA和AB的解析式，分別與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立方程組求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，將點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為15﹣23k3，代入?3x2+103x?k=0解方程得到k值即可．
【詳解】解：如圖，作AE⊥x軸，垂足為E，MC⊥x軸，垂足為C，ND⊥x軸，垂足為D，
∵B（10，0），
∴OB＝10，
∵△AOB是等邊三角形，
∴OA＝OB＝AB＝10，∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°，
∴OE=12AB=5，AE＝53，
∴A（5，53），
∴直線OA的解析式為y=3x，
y=kxy=3x，解得x=3k3，即OC=3k3，
∴OM＝23k3，AM＝10﹣23k3，
設(shè)直線AB的解析式為y＝k2x+b，代入點(diǎn)A、B坐標(biāo)得：
53=5k2+b0=10k2+b，解得k2=?3b=103，
∴直線AB的解析式為y=?3x+103，
令?3x+103=kx，
整理得?3x2+103x?k=0，
∵AN＝2AM＝20﹣43k3，NB＝10﹣AN＝43k3?10，
DB＝23k3?5，
OD＝10﹣DB＝15﹣23k3，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為15﹣23k3，代入?3x2+103x?k=0得：
?3（15﹣23k3）2+103（15﹣23k3）﹣k＝0，
403k?5k﹣753=0，
k﹣83?k+153=0，
令k＝t2，則t=k，
t2﹣83t+153=0，
（t﹣33）（t﹣53）＝0，
∴t＝33或t＝53，
∴k＝93或253（舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)k＝93是原方程的解，
∴k＝93．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．
10．（2025?海安市一模）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D（3，2）在對角線OB上，反比例函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0)的圖象經(jīng)過C、D兩點(diǎn)．已知平行四邊形OABC的面積是18，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，4）B．（4，6）C．（5，4）D．（4，5）
【答案】A
【分析】先求出反比例函數(shù)y=6x，設(shè)OB的解析式為y＝mx，由OB經(jīng)過D（3，2），得出OB的解式為y=23x，設(shè)C(a，6a)，且a＞0，由平行四邊形的性質(zhì)得BC∥OA，S?OABC＝2S△OBC，則B(9a，6a)，BC=9a?a，代入面積公式即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kx(k＞0，x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D（3，2）
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=6x，
∵OB經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴設(shè)直線OB的解析式為y＝mx（m≠0），
∵OB經(jīng)過點(diǎn)D（3，2），
∴2＝3m，
∴m=23，
∵直線OB的解析式為y=23x，
∵反比例函數(shù)y=6x經(jīng)過點(diǎn)C，
∴設(shè)C(a，6a)，且a＞0，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，S?OABC＝2S△OBC，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為6a，
∵OB的解析式為y=23x，
∴23x=6a，
∴x=9a
∴B(9a，6a)，
∴BC=9a?a，
∴S△OBC=12×6a×(9a?a)，
∵平行四邊形OABC的面積是18，
∴S平行四邊形OABC＝2S△OBC=2×12×6a×(9a?a)=18，
解得：a=32或a=?32（舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，4），
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
11．（2025?海安市一模）已知二次函數(shù)y＝mx2+nx（m≠0），經(jīng)過點(diǎn)A（c，4）．當(dāng)y≥﹣2時，x的取值范圍為x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，則如下四個值中有可能為c的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】由y≥﹣2時，x的取值范圍為x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，可得x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程mx2+nx+2＝0的兩個根，則有n＝8m，再得c2+8c≤32，利用m的取值范圍確定c的取值范圍即可求解．
【詳解】解：當(dāng)y≥﹣2時，mx2+nx≥﹣2，
∴mx2+nx+2≥0，
∵當(dāng)y≥﹣2時，x的取值范圍為x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，
∴x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程的兩個根，
∴?nm=3t?6?2?3t=?8，
∴n＝8m，
∴y＝m（x+4）2﹣16m，
∴x＝﹣4是函數(shù)的對稱軸，且﹣16m≤﹣2，
∴m≥18，
∴mc2+8mc＝4，
∴m=4c2+8c，
∴4c2+8c≥18，
∴c2+8c＞0，
∴0＜c2+8c≤32，
∴﹣32＜c2+8c﹣32≤0，
設(shè)拋物線y＝c2+8c﹣32，
令0＝c2+8c﹣32，解得c1=?4?43，c2=?4+43，
令﹣32＝c2+8c﹣32，解得c3＝0，c2＝﹣8，
根據(jù)拋物線開口向上，
∴c2+8c﹣32≤0的解集為?4?43≤c＜?8或0＜c≤?4+43
∴c的可能取值為2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
12．（2025?南通模擬）圖1是某款自動旋轉(zhuǎn)遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°，圖2是其側(cè)面示意圖．為實(shí)現(xiàn)遮陽效果最佳，傘面裝有接收器，可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動調(diào)整手柄D沿著AB移動，以保證太陽光線與DF始終垂直，已知支架AB長為2.5米，且垂直于地面BC，某一時刻測得BD＝1.7米，懸托架AE＝DE，點(diǎn)E固定在傘面上，當(dāng)傘面完全張開時，太陽光線與地面的夾角設(shè)為α，當(dāng)tanα=34時，此時懸托架AE的長度為（ ）米.
A．0.5B．0.6C．0.8D．0.9
【答案】A
【分析】過點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，根據(jù)題意可得：DG∥EH，從而可得∠DGB＝∠α，再根據(jù)垂直定義可得：∠ABC＝∠FDG＝90°，從而可得∠BDG+∠DGB＝90°，∠ADE+∠BDG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠DGB＝∠ADE＝α，從而可得tan∠ADE=34，再根據(jù)已知易得：AD＝0.8m，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得：AM＝DM＝0.4m，最后在Rt△DME中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EM的長，從而利用勾股定理求出DE的長，即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，
由題意得：DG∥EH，
∴∠DGB＝∠α，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BDG+∠DGB＝90°，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADE+∠BDG＝180°﹣∠FDG＝90°，
∴∠DGB＝∠ADE＝α，
∵tanα=34，
∴tan∠ADE=34，
∵AB＝2.5m，BD＝1.7m，
∴AD＝AB﹣BD＝2.5﹣1.7＝0.8（m），
∵AE＝DE，EM⊥AD，
∴AM＝DM=12AD＝0.4（m），
在Rt△DME中，EM＝DM?tan∠ADE＝0.4×34=0.3（m），
∴DE=DM2+EM2=0．42+0．32=0.5（m），
∴DE＝AE＝0.5m，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2025?南通模擬）已知：菱形ABCD中，AB=3，AC＝2，AC 與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OB上一點(diǎn)，以AE為對稱軸，折疊△ABE，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊CD上，則BE的長為（ ）
A．324B．22C．32D．334
【答案】A
【分析】由菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝1，利用勾股定理求出OB=2，則BD=22，由折疊的性質(zhì)得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE=12∠BAF，由等邊對等角得∠AFD＝∠ADF，再根據(jù)AB∥CD得∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，進(jìn)而得到∠BAE＝∠BDA，于是可證明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，AC＝2，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝1，AB∥CD，OB＝OD，∠ADB＝∠CDB=12∠ADC，
在Rt△AOB中，OB=AB2?OA2=(3)2?12=2，
∴BD＝2OB=22，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE=12∠BAF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，
∴12∠BAF=12∠ADC，
∴∠BAE＝∠BDA，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴BEAB=ABBD，即BE3=322，
∴BE=324．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出∠BAE＝∠BDA，以此證明△ABE∽△DBA是解題關(guān)鍵．
14．（2024?崇川區(qū)三模）如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA=34．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為P，PQ交△ABC的邊于點(diǎn)Q，設(shè)AP＝x，△APQ的面積為y．y與x之間的函數(shù)關(guān)系大致如圖2所示，則當(dāng)x＝4時，y的值為（ ）
A．3B．2C．83D．32
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)x＝5時，y＝0，即AB＝5，再根據(jù)∠ACB＝90°，tanA=34即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可知當(dāng)x＝5時，y＝0，即AB＝5，
∵∠ACB＝90°，tanA=34，
∴BCAC=34，
當(dāng)x＝4時，如圖，
AP＝4，BP＝1，
在Rt△BPQ中，tanB=PQPB=ACBC=43，
∴PQ=43，
∴y=12×4×43=83．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象和銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識，解答關(guān)鍵是分析動點(diǎn)到達(dá)臨界點(diǎn)前后的圖形變化．
15．（2024?崇川區(qū)三模）已知二次函數(shù)y1=2x2+mx+n，y2=2nx2+mx+1（m，n為常數(shù)，n≠0）的最小值分別為p，q，（ ）
A．若p+q＝0，則p＝q＝0B．若p﹣q＝0，則p＝q＝0
C．若p+q＝1，則p＝q＝0.5D．若p﹣q＝1，則p＝1，q＝0
【答案】A
【分析】根據(jù)對稱軸公式求出y1和y2的對稱軸，再依據(jù)二次函數(shù)y1=2x2+mx+n，y2=2nx2+mx+1（m，n為常數(shù)，n≠0）都有最小值可知，兩拋物線開口都是向上，進(jìn)而得出p=8n?m28=n?m28，q=8n?m28n=1?m28n，結(jié)合條件得出p+q＝0，列出方程求解即可．
【詳解】解：由兩函數(shù)表達(dá)式可知，
函數(shù)y1的對稱軸 為x=?m4，
函數(shù)y2的對稱軸為直線x=?m4n，
∵二次函數(shù)y1=2x2+mx+n，y2=2nx2+mx+1（m，n為常數(shù)，n≠0）的最小值分別為p，q，（
∴兩函數(shù)圖象均開口向上，兩函數(shù)均在對稱軸上取到最小值，
則有p=8n?m28=n?m28，q=8n?m28n=1?m28n，
若p+q＝0，則有n?m28+1?m28n=0，
解得：8n＝m2或n＝﹣1（舍去），
將m2＝8n代入p，q得：p＝q＝0，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸及二次函數(shù)最大（小）值的求法．
16．（2024?南通二模）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝α，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)A關(guān)于直線DP的對稱點(diǎn)為E，連接AE，CE，則∠AEC的度數(shù)為（ ）
A．60°+13αB．165°?13αC．45°+12αD．180°?12α
【答案】D
【分析】連接DE，由菱形的性質(zhì)得AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α，由軸對稱的性質(zhì)得ED＝AD，所以ED＝CD，則∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC，由∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°，得α+2∠AEC＝360°，則∠AEC＝180°?12α，于是得到問題的答案．
【詳解】解：連接DE，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝α，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α，
∵點(diǎn)A關(guān)于直線DP的對稱點(diǎn)為E，
∴DP垂直平分AE，
∴ED＝AD，
∴ED＝CD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC，
∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°，
∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°，
∴α+2∠AEC＝360°，
∴∠AEC＝180°?12α，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和等于360°等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17．（2024?南通二模）定義：如果兩個實(shí)數(shù)m，n滿足1m+1n=1，則稱m，n為一對“互助數(shù)”．已知a，b為實(shí)數(shù)，且a+b，a﹣b是一對“互助數(shù)”．若a2﹣b2＝p﹣3，則p的值可以為（ ）
A．152B．6C．92D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，互助數(shù)m，n應(yīng)滿足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化簡得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3，將每個選項(xiàng)的數(shù)字代入，看能否求解出符合要求的實(shí)數(shù)a、b即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，互助數(shù)m，n應(yīng)滿足mn＝m+n，
因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，
化簡得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3；
A．若p=152，則a2﹣b2＝2a=92，a=94，b2＝a2﹣2a＞0，故選項(xiàng)A正確；
B．若p＝6，則a2﹣b2＝2a＝3，a=32，b2＝a2﹣2a＜0，故選項(xiàng)B錯誤；
C．若p=92，則a2﹣b2＝2a=32，a=34，b2＝a2﹣2a＜0，故選項(xiàng)C錯誤；
D．若p＝3，則a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明顯不符合題意，故選項(xiàng)D錯誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)互助數(shù)的定義，得到a2﹣b2＝2a＝p﹣3，然后將每個選項(xiàng)的數(shù)字代入驗(yàn)證即可．
18．（2024?海門區(qū)校級模擬）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（ ）
A．485B．325C．245D．125
【答案】C
【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到△AOD的面積為12，再根據(jù)S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【詳解】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面積為48，AC=AB2+BC2=10，
∴AO＝DO=12AC＝5，
∵對角線AC，BD交于點(diǎn)O，
∴△AOD的面積為12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，
∴12=12×5×EO+12×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF=245，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解題時注意：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等且互相平分．
19．（2024?海門區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）與（1，0）兩點(diǎn)，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是3，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根是（ ）
A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4
【答案】B
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可以得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的兩個整數(shù)根，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）與（1，0）兩點(diǎn)，
∴當(dāng)y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為﹣3和1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣1，
又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是3，
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個根為﹣5，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣n的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在﹣5與﹣3之間和1與3之間，
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根是﹣4和2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的關(guān)系解答．
20．（2024?海門區(qū)二模）已知x，y滿足2x+y＝3，且x≥﹣2，y＞2．若k＝x﹣y，則k的取值范圍是（ ）
A．k≥﹣9B．?9≤k≤?32C．?9≤k＜?32D．k≤?32
【答案】C
【分析】首先解關(guān)于x和y的方程組，利用k表示出x和y，然后根據(jù)x≥﹣2，y＞2即可列不等式組求得k的范圍．
【詳解】解：2x+y=3①k=x?y②
①+②，得3x＝3+k，
解得x=3+k3，
把x=3+k3代入②，得y=3?2k3，
∵x≥﹣2，y＞2，
∴3+k3≥?23?2k3＞2，
解得?9≤k＜?32．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組，正確利用k表示出x和y的值是關(guān)鍵．
21．（2024?海門區(qū)二模）如圖1，等腰RtABC中，∠C＝90°，AB＝4，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A方向運(yùn)動，DE⊥AB于點(diǎn)E，△DEB的面積隨著點(diǎn)D的運(yùn)動形成的函數(shù)圖象（拐點(diǎn)左右兩段都是拋物線的一部分）如圖2所示，以下判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示DB的長
B．當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時，點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)
C．兩段拋物線的開口大小不一樣
D．圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時，縱坐標(biāo)為32
【答案】D
【分析】當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)C處時，x＝2，故判斷A錯誤；求出BE＝1，判斷B錯誤；求出當(dāng)點(diǎn)D在BC上和點(diǎn)D在AC上時的函數(shù)關(guān)系式，比較a值的絕對值，判斷C錯誤；把x＝3，代入關(guān)系式求出y值，確定D正確．
【詳解】解：A．∵AC＝BC，∠C＝90°，AB＝4，∴BC＝22，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)C處時，x＝2，∴函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示不是DB的長，故A錯誤；
B．當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時，BD=12BC=2，∵∠B＝45°，∴BE＝1，∴點(diǎn)E為不是線段AB的三等分點(diǎn)，故B錯誤；
C．由題意得BE＝x，∴0＜x≤2時，點(diǎn)D在BC上，y＝BE?DE=12x2，當(dāng)2＜x＜4時，點(diǎn)D在AC上，AE＝DE＝（4﹣x），∴y=12BE?DE=?12x2+2x，∵|12|＝|?12|，兩段拋物線的開口大小一樣，故C錯誤；
D．把x＝3，代入y=?12x2+2x，得y=32，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，能從圖象中得到有用的條件，并判斷動點(diǎn)位置進(jìn)行計算是本題的解題關(guān)鍵．
22．（2024?通州區(qū)二模）若x﹣2的值同時大于2x+1和2a﹣x的值，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＞﹣4B．a(chǎn)≥﹣4C．a(chǎn)＜﹣4D．a(chǎn)≤﹣4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列出不等式組，求出解集即可．
【詳解】解：∵x﹣2的值大于2x+1的值，
∴x﹣2＞2x+1，
解得：x＜﹣3，
∴x﹣2的值大于2a﹣x的值，
∴x﹣2＞2a﹣x，
∴x＞a+1，
∵x﹣2的值同時大于2x+1和2a﹣x的值，
∴a+1＜﹣3，
∴a＜﹣4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
23．（2024?通州區(qū)二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，P為邊AC上的一動點(diǎn)，以PA，PB為邊作?APBQ，則線段PQ長的最小值為（ ）
A．95B．125C．185D．245
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO＝BO=12AB=12×6＝3，PO＝QO，當(dāng)線段PQ長最小，則線段PO長的最小，過點(diǎn)O作OP⊥AC于P，此時OP最小，解直角三角形得到結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形APBQ是平行四邊形，
∴AO＝BO=12AB=12×6＝3，PO＝QO，
當(dāng)線段PQ長最小，則線段PO長的最小，
過點(diǎn)O作OP⊥AC于P，此時OP最小，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=10，sin∠BAC=BCAB=810=45，
在Rt△ABC中，AO＝3，sin∠BAC=POAO=45，
∴PO＝3×45=125，
∴PQ＝2PO=245，
∴線段PQ長的最小值為245．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，三角函數(shù)的定義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（2024?海門區(qū)校級模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有（ ）個．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，則4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①求出方程的解，再判斷是否為倍根方程，
②根據(jù)倍根方程和其中一個根，可求出另一個根，進(jìn)而得到m、n之間的關(guān)系，而m、n之間的關(guān)系正好適合，
③當(dāng)p，q滿足pq＝2，則px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出兩個根，再根據(jù)pq＝2代入可得兩個根之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷是否為倍根方程，
④用求根公式求出兩個根，當(dāng)x1＝2x2，或2x1＝x2時，進(jìn)一步化簡，得出關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正確；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
當(dāng)x2＝1時，m+n＝0，
當(dāng)x2＝4時，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正確；
③∵pq＝2，則px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1=?1p，x2＝﹣q，
∴x2=?q=?2p=2x1，
因此是倍根方程，
故③正確；
④方程ax2+bx+c＝0的根為：x1=?b+b2?4ac2a，x2=?b?b2?4ac2a，
若x1＝2x2，則?b+b2?4ac2a=?b?b2?4ac2a×2，
即?b+b2?4ac2a??b?b2?4ac2a×2=0，
∴b+3b2?4ac2a=0，
∴b+3b2?4ac=0，
∴3b2?4ac=?b，
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2時，則?b+b2?4ac2a×2=?b?b2?4ac2a，
則?b+b2?4ac2a×2??b?b2?4ac2a=0，
∴?b+3b2?4ac2a=0，
∴?b+3b2?4ac=0，
∴b=3b2?4ac，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正確，
∴正確的有：②③④共3個．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關(guān)鍵．
25．（2024?海門區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE對折，A點(diǎn)恰好落在對角線BD上的點(diǎn)F處．延長AF，與CD邊交于點(diǎn)G，延長FE，與BA的延長線交于點(diǎn)H，則下列說法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG＝60°；④DE=2?2；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正確的說法有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】①由折疊后對稱很容易得到結(jié)果．②由上一證結(jié)論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正確．④根據(jù)對折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=2?1，所以DE=2DF，從而得證．⑤作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥AD于N，證明FM＝FN即可解決問題．
【詳解】解：由題意三角形ABE對折后為三角EFB，
∴∠EFB＝∠DAB＝90°，
由題意正方形ABCD，連接BD，
則角ABF＝45°，
∴在直角三角形BHF中HF＝BF，
故①正確．
由上一證知：HF＝BF＝AB，∠FHB＝∠ADB＝45°，
∵∠EAH＝90°，
∴∠AEH＝∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝90°，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠AFD＝∠FAH，
又知AF為公共邊，
∴△AHF≌△ADF（SAS），
故②正確．
由①證得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，
由已知∠BDC＝45°，
∴在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°，
在三角形DFG中角DFG＝67.5°，
故③不正確；
根據(jù)對折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=2?1，
所以DE=2DF，
即④正確，
或者過D作FG的垂線證明三角形全等，
⑤作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥AD于N，
∵∠FDM＝∠FDN，
∴FM＝FN，
易證AE＝DG，
∵S△FEA=12?AE?FN，S△DFG=12?DG?FM，
∴S△AEF＝S△DGF，
故⑤正確．
所以①②④⑤正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，①由折疊后對稱很容易得到結(jié)果．②由上一證結(jié)論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°故不正確．④根據(jù)對折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=2?1，所以DE=2DF，從而得證．⑤過D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點(diǎn)為G證明三角形DFI與EFG全等．
26．（2024?海安市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，CB為⊙A的直徑，點(diǎn)C在函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象上，D為y軸上一點(diǎn)，△ACD的面積為72，則k的值是（ ）
A．7B．14C．21D．28
【答案】B
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義解答即可．
【詳解】解：如圖，連接OC，OA，
∵⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，CB為⊙A的直徑，
∴CB⊥x軸，
∴BC∥y軸，
∴S△ACD＝S△OAB=72，
∴k＝2S△BOC＝2×2S△OAB＝2×2×72=14．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，熟練掌握k值的幾何意義是關(guān)鍵．
27．（2024?海安市二模）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線 A﹣D﹣C 向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作對角線AC的垂線，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，AQ的長為y，其中y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致如圖2所示，則m的值為（ ）
A．4B．213C．8D．215
【答案】B
【分析】點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B處時，AQ為4，即AB為4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D處時，路程AP為8，即AD為8，證明△ADC∽△CDQ，求出CQ、BQ，在Rt△ABQ中利用勾股定理求出AQ即可．
【詳解】解：由圖2得，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B處時，AQ為4，即AB為4，
如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D處時，路程AP為8，即AD為8，
∵AC⊥PQ，
∴△ADC∽△CDQ，
∴AD：CD＝CD：CQ，即8：4＝4：CQ，∴CQ＝2，
∴BQ＝6，
在Rt△ABQ中，AQ=42+62=213，
∴m＝213．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象的應(yīng)用，結(jié)合圖形分析題意并解答是解題關(guān)鍵．
28．（2024?啟東市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+4與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y=mx在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，連接OB，若S△OBC＝4，tan∠BOC=13，則m的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】首先根據(jù)直線求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△BOC的面積求得BD的長，然后利用正切函數(shù)的定義求得OD的長，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得結(jié)論．
【詳解】解：，作BD⊥y軸交于點(diǎn)D，
∵直線y＝kx+4與y軸交于點(diǎn)C
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
∴OC＝4，
∵S△OBC＝4，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC=13，
∴BDOD=13，
∴OD＝6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，6），
∵反比例函數(shù)y=mx在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，
∴k＝2×6＝12．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，能夠求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，難度不大．
29．（2024?啟東市二模）如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0），（0，8），點(diǎn)C，F(xiàn)分別是直線x＝﹣5和x軸上的動點(diǎn)，CF＝10，點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)△ABE面積取得最小值時，sin∠BAD的值是（ ）
A．817B．717C．4213D．7226
【答案】D
【分析】如圖，設(shè)直線x＝﹣5交x軸于K．由題意KD=12CF＝5，推出點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，推出當(dāng)直線AD與⊙K相切時，△ABE的面積最小，作EH⊥AB于H，求出EH，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，設(shè)直線x＝﹣5交x軸于K．由題意KD=12CF＝5，
∴點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，
∴當(dāng)直線AD與⊙K相切時，△ABE的面積最小，
∵AD是切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO=OEOA=DKAD，
∴OE8=512，
∴OE=103，
∴AE=OE2+OA2=263，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE=12?AB?EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH=723，
∴sin∠BAD=EHAE=723263=7226．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
30．（2024?海門區(qū)一模）如圖，用4個全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2個全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如圖所示的矩形ABCD，則BCAB的值為（ ）
A．23B．34C．22D．32
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝EF＝GH，DE＝EH＝GF，DF＝BH，AE＝CF，進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵用4個全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2個全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如圖所示的矩形ABCD，
∴設(shè)AE＝EF＝GH＝a，DE＝EH＝GF＝b，DF＝BH＝a+b，AH＝CF＝a﹣b，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
由勾股定理可得，BC2＝AD2＝AE2+DE2＝a2+b2，AB2＝AH2+BH2＝（a+b）2+（a﹣b）2，
∴BCAB=a2+b22a2+2b2=22，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝EF＝GH，DE＝EH＝GF，DF＝BH，AE＝CF解答．
31．（2024?海門區(qū)一模）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x＝a時，該多項(xiàng)式的值為c﹣a，則多項(xiàng)式a2﹣b2+3的值可以是（ ）
A．74B．2C．94D．52
【答案】A
【分析】先將x＝a代入多項(xiàng)式ax2+bx+c中得：a2＝﹣b﹣1＞0，則b＜﹣1，計算所求式并配方與平方的非負(fù)性相結(jié)合即可求解．
【詳解】解：把x＝a代入多項(xiàng)式ax2+bx+c中得：a3+ab+c＝c﹣a，
∴a3+ab+a＝0，
∵a≠0，
∴a2+b+1＝0，
∴a2＝﹣b﹣1＞0，
∴b＜﹣1，
∴a2﹣b2+3
＝﹣b2﹣b﹣1+3
＝﹣b2﹣b+2
＝﹣（b+12）2+94，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)b=?12時，a2﹣b2+3有最大值是94，
當(dāng)b＝﹣1時，a2﹣b2+3＝﹣（﹣1+12）2+94=2，
∵b＜﹣1，
∴本題多項(xiàng)式a2﹣b2+3的值可以是74．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法及偶次方的非負(fù)性在代數(shù)式求值中的應(yīng)用，根據(jù)已知條件正確配方是解題的關(guān)鍵．
32．（2024?啟東市一模）如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠APD＝∠ADP＝75°，延長DP交BC于點(diǎn)E．若EP=2，則正方形的邊長為（ ）
A．6B．22C．2+1D．3+1
【答案】D
【分析】連接BP，過點(diǎn)E作EF⊥BP于點(diǎn)F，因?yàn)椤螦PD＝∠ADP＝75°，則AD＝AP，∠DAP＝180°﹣（∠APD+∠ADP）＝30°，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，則AP＝AB，∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°，推出△ABP是等邊三角形，則∠APB＝60°，BP＝AB＝AP，因?yàn)椤螦PD＝75°，∠APB＝60°，則∠EPF＝180°﹣∠APD﹣∠APB＝45°，又根據(jù)∠PFE＝90°，PE=2，求出PF＝EF＝1，因?yàn)椤螦BC＝90°，∠ABP＝60°，則∠FBC＝∠ABC﹣∠ABP＝30°，求出BF=3，則BP=BF+PF=3+1，因?yàn)锳B＝BP，可得結(jié)論．
【詳解】解：連接BP，過點(diǎn)E作EF⊥BP于點(diǎn)F，
∵∠APD＝∠ADP＝75°，
∴AD＝AP，∠DAP＝180°﹣（∠APD+∠ADP）＝30°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AP＝AB，∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°，
∴△ABP是等邊三角形，
∴∠APB＝60°，BP＝AB＝AP，
∵∠APD＝75°，∠APB＝60°，
∴∠EPF＝180°﹣∠APD﹣∠APB＝45°，
又∵∠PFE＝90°，PE=2，
∴在Rt△PFE中，PF＝EF＝1，
∵∠ABC＝90°，∠ABP＝60°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABP＝30°，
∴在Rt△BFE中，BF=3，
∴BP=BF+PF=3+1，
∵AB＝BP，
∴正方形的邊長為 3+1，
故答案為：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．
33．（2024?啟東市一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若經(jīng)過x軸上一點(diǎn)P的直線l與雙曲線m相交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），則把PNPM的值稱為直線l和雙曲線m的“適配比”．已知經(jīng)過點(diǎn)P（﹣3，0）的直線y＝x+b與雙曲線y=kx(k＜0)的“適配比”不大于2，則k的取值范圍為（ ）
A．﹣2≤k＜﹣1B．?94＜k≤?2C．?52＜k≤?2D．?94≤k≤?2
【答案】B
【分析】先求出直線解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立方程組確定M、N的橫坐標(biāo)，利用平行線得到PD、PE的代數(shù)式，根據(jù)條件進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵P（﹣3，0）在y＝x+b圖象上，
∴b＝3，
∴y＝x+3，
令x+3=kx，
∴x2+3x﹣k＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k，
∵y＝x+3與y=kx有兩個交點(diǎn)，
∴9+4k＞0，
∴k＞?94，
∵x2+3x﹣k＝0，
∴x=?3±9+4k2，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為?3?9+4k2，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?3+9+4k2，
作ME⊥x于點(diǎn)E，作ND⊥x軸于點(diǎn)D，則ME∥ND，
∴PNPM=PDPE，
∵P（﹣3，0），
∴PD=?3+9+4k2+3，PE=?3?9+4k2+3，
∵PNPM≤2，
∴PD≤2PE，
∴?3+9+4k2+3≤2(?3?9+4k2+3)，
∴9+4k≤1，
∵9+4k＞0，
∴9+4k≤1，
∴k≤﹣2．
∴?94＜k≤?2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握一元二次方程的判別式是解答本題的關(guān)鍵．
34．（2024?海安市一模）如圖，E是菱形ABCD的邊BC上的點(diǎn)，連接AE．將菱形ABCD沿AE翻折，點(diǎn)B恰好落在CD的中點(diǎn)F處，則tan∠ABE的值是（ ）
A．4B．5C．13D．15
【答案】D
【分析】利用折疊性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出△ADF為等腰三角形，過點(diǎn)A作AG⊥DF，由等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)G為DF中點(diǎn)，由點(diǎn)F為CD中點(diǎn)可得DG=14CD=14AD，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AG⊥CD，
∵四邊形ABCD為菱形，菱形ABCD沿AE翻折，
∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D，
∴AD＝AF，
∴三角形ADF為等腰三角形，
∵AG⊥DF，
∴點(diǎn)G為DF中點(diǎn)，
∵點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，
∴AD＝CD＝4DG，
設(shè)DG＝a，則AD＝4a，
在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2，
∴（4a）2＝AG2+a2，
∴AG=15a，
∴tan∠ABE＝tanD=AGDG=15，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是證明△ADF為等腰三角形．
35．（2024?海安市一模）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，則滿足等式的b的值可以是（ ）
A．?32B．?54C．?74D．﹣2
【答案】B
【分析】由a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1得（a+1）2b＝a2﹣a﹣1，當(dāng)a+1＝0時，不合適．當(dāng)a+1≠0時，b＝（1a+1?32）2?54≥?54，代入選項(xiàng)A、C、D均不合適，故選B．
【詳解】解：∵a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，
∴b（a2+2a+1）＝a2﹣a﹣1，
∴（a+1）2b＝a2﹣a﹣1，
當(dāng)a+1＝0時，即a＝﹣1時，
左邊＝0，右邊＝1，左邊≠右邊，
∴a＝﹣1舍去．
當(dāng)a+1≠0時，
b=a2?a?1(a+1)2
=a2+2a+1?3a?3+1(a+1)2
＝1﹣3×1a+1+1(a+1)2
＝（1a+1）2﹣3（1a+1）+1
＝（1a+1?32）2?54≥?54且b≠1，
代入選項(xiàng)A、C、D均不合適，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的知識，掌握頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵．
36．（2024?南通一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為邊AD，CD中點(diǎn)，點(diǎn)O為正方形的中心，連接OE，OF，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿E﹣O﹣F運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動，兩點(diǎn)運(yùn)動速度均為1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)F時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t s，連接BP，PQ，△BPQ的面積為S cm2，下列圖象能正確反映出S與t的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】當(dāng)0＜t≤1時，點(diǎn)P在OE上，當(dāng)1＜t≤2時，點(diǎn)P在OF上，分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系，即可解答．
【詳解】解：如圖，當(dāng)0＜t≤1時，
由題得，PE＝BQ＝t cm，
∵正方向ABCD是邊長為2cm，
∴P到BC的距離為（2﹣t）cm，
∴S=12t?（2﹣t）=?12t2+t，
如圖，當(dāng)1＜t≤2時，
由題得，PF＝CQ＝（2﹣t）cm，
∴四邊形CFPQ為矩形，
∴PQ＝CF＝1cm，
∴S=12t?1=12t，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象應(yīng)用，三角形面積的計算是解題關(guān)鍵．
37．（2024?南通一模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足4a2+7b＝n，b2+27a＝n，b≠2a．其中n為自然數(shù)，則n的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】由原式知，（4a2+7b）﹣（b2+27a）＝0，進(jìn)一步變形得（2a﹣b） （2a+b?7）＝0，因?yàn)閎≠2a，所以2a+b?7=0，得b=7?2a，代入b2+27a＝n得，（7?2a）+27a＝n，配方法求極值．
【詳解】解：由原式知，（4a2+7b）﹣（b2+27a）＝0，
∴（4a2﹣b2）﹣（27a?7b）＝0
∴（2a﹣b）（2a+b）?7（2a﹣b）＝0
∴（2a﹣b） （2a+b?7）＝0
∵b≠2a
∴2a+b?7=0，
∴b=7?2a，
代入b2+27a＝n得，（7?2a）2+27a＝n，
整理，得n＝4a2﹣27a+7＝（2a?72 ）2+145≥514，
∴自然數(shù)n的最小值為6
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，平方差公式、完全平方公式、配方法求極值；根據(jù)式子的具體特征，結(jié)合乘法公式對代數(shù)式作恒等變形是解題的關(guān)鍵．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
D
B
C
B
D
B
D
A
A
題號
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
A
A
C
A
D
A
C
B
C
D
C
題號
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
答案
D
C
D
B
B
D
D
C
A
D
B
題號
34
35
36
37
答案
D
B
D
C

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