專題2 填空題壓軸題集中訓(xùn)練備戰(zhàn)中考挑戰(zhàn)滿分2025年南通市中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)題型對位訓(xùn)練（解析版+原卷版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本專題精選南通市中考數(shù)學(xué)真題（2020-2024）和南通市各地區(qū)2024及2025年中考模擬試題中的填空題第17題和第18題。南通地區(qū)填空題11~16題難度不大，而第17題和第18題很有特點(diǎn)，尤其18題難度很大，要突破這個難點(diǎn)，就必須認(rèn)真做好這套專題。只有認(rèn)真做好這套專題，才能在中考中填空題部分取得滿分。
第一部分南通市中考真題訓(xùn)練
1．（2024?南通）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為 32 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，證明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，證明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，設(shè)AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（5）2，求出a的值，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，AB=2AC＝52，
∵GH⊥AC，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AH＝HG，AG=2AH，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，
在△DGH和△DEC中，
∠DHG=∠ECD=90°∠GDH=∠DECDG=ED，
∴△DGH≌△DEC（AAS），
∴GH＝DC，DH＝CE，
∴AH＝HG＝DC，
設(shè)AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，
∵正方形DEFG的邊長為5，
∴DE=5，
∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2，
∴2a+b＝5，a2+b2＝（5）2，
將b＝5﹣2a代入a2+b2＝（5）2整理得：a2﹣4a+4＝0，
解得a1＝a2＝2，
∴AH＝a＝2，
∴AG=2AH＝22，
∴BG＝AB﹣AG＝52?22=32，
故答案為：32．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
2．（2023?南通）已知一次函數(shù)y＝x﹣k，若對于x＜3范圍內(nèi)任意自變量x的值，其對應(yīng)的函數(shù)值y都小于2k，則k的取值范圍是 k≥1 ．
【答案】k≥1．
【分析】根據(jù)題意一次函數(shù)的性質(zhì)和題意，可以得到3﹣k≤2k，然后求解即可．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝x﹣k，
∴y隨x的增大而增大，
∵對于x＜3范圍內(nèi)任意自變量x的值，其對應(yīng)的函數(shù)值y都小于2k，
∴3﹣k≤2k，
解得k≥1，
故答案為：k≥1．
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的不等式．
3．（2022?南通）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上的三點(diǎn)．若S△ABC＝2，則k的值為 34 ．
【答案】34．
【分析】連接OA，作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，由B、C點(diǎn)的坐標(biāo)可知B、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，則BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，即可得出12|6n+2m|?|3m﹣m|＝1，求得m2=18，由于k＝6m2，即可求得k=34．
【解答】解：如圖，連接OA，作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，
∵點(diǎn)A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上的三點(diǎn)．
∴k＝6m2＝6mn，
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），
∴B、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，
∴12|6m+2m|?|3m﹣m|＝1，
∴m2=18，
∵k＝6×18，
∴k=34，
故答案為：34．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，求得△AOB的面積為1是解題的關(guān)鍵．
4．（2021?南通）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（m，3n2﹣9），且實(shí)數(shù)m，n滿足m﹣n2+4＝0，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為 31010 ．
【答案】31010．
【分析】由m﹣n2+4＝0可得3n2﹣9＝3m+3，根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離可求解．
【解答】解：∵m﹣n2+4＝0，
∴n2﹣4＝m，
∴3n2﹣9＝3m+3，
∵P（m，3n2﹣9），
∴P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為m2+(3n2?9)2=m2+(3m+3)2=10m2+18m+9=10(m+910)2+910，
∴點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為910=31010，
故答案為31010．
【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理，兩點(diǎn)間的距離，求解3n2﹣9＝3m+3是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?南通）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)部分的面積為154，則k的值為 35 ．
【答案】35．
【分析】將點(diǎn)（1，0）代入直線y＝kx+b，將b用k表示出來，利用待定系數(shù)法求出AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)三角形面積公式求出遠(yuǎn)離原點(diǎn)部分的面積，從而求出k的值即可．
【解答】解：如圖，設(shè)AB與直線y＝kx+b交于點(diǎn)P．
設(shè)AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1（k1、b1為常數(shù)，且k1≠0）．
將坐標(biāo)A（3，0）和B（0，3）分別代入y＝k1x+b1，
得3k1+b1=0b1=3，
解得k1=?1b1=3，
∴AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+3．
將點(diǎn)（1，0）代入y＝kx+b，
得k+b＝0，
解得b＝﹣k，
∴直線y＝kx+b為y＝kx﹣k．
y=kx?ky=?x+3，
解得x=k+3k+1y=2kk+1，
∴P（k+3k+1，2kk+1），
∵SRt△AOB=12×3×3=92，
∴遠(yuǎn)離原點(diǎn)部分的面積為92?154=34，
∴12×（3﹣1）×2kk+1=34，
∴k=35．
故答案為：35．
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系、求出交點(diǎn)坐標(biāo)、掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?南通）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，則AD+BC的最小值是 213 ．
【答案】213．
【分析】設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別是P，Q，R，S，連接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，先證AD+BC＝2（OS+OQ），由此得當(dāng)OS+OQ為最小時，AD+BC為最小，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：OQ+OS≥QS，再證四邊形PQRS為矩形，且PQ＝2，SP＝3，據(jù)此由勾股定理可求出QS=13，進(jìn)而可得AD+BC的最小值．
【解答】解：過點(diǎn)C作CE∥BD，使CE＝BD＝6，連接DE，AE，如圖所示：
∴四邊形BCED為平行四邊形，
∴BC＝DE，
∴AD+BC＝AD+DE，
∵AC⊥BD，CE∥BD，
∴CE⊥AC，
在Rt△ACE中，AE=AC2+CE2=42+62=213，
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：AD+DE≥AE，即AD+DE≥213，
∴AD+BC≥213，
∴AD+BC的最小值是213．
故答案為：213．
【點(diǎn)評】此題主要考查了線段的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，理解線段的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，正確地作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解決問題的難點(diǎn)．
7．（2022?南通）如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，AB＝32．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF過點(diǎn)D，BE，BF分別交AD，CD于點(diǎn)G，M，連接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG=13，則△OEM的周長為 3+35 ．
【答案】3+35．
【分析】如圖，連接BD，過點(diǎn)F作FH⊥CD于點(diǎn)H．解直角三角形求出AG，BG，利用相似三角形的性質(zhì)求出EG，DE，再證明FH＝BC，推出BM＝MF，求出MF，BD可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接BD，過點(diǎn)F作FH⊥CD于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝32，∠A＝∠ADC＝90°，
∵tan∠ABG=AGAB=13，
∴AG=2，DG＝22，
∴BG=AB2+AG2=(32)2+(2)2=25，
∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，
∴△BAG∽△DEG，
∴BADE=AGEG=BGDG，∠ABG＝∠EDG，
∴32DE=2EG=2522，
∴DE=655，EG=255，
∴BE＝BG+EG＝25+255=1255，
∵∠ADH＝∠FHD＝90°，
∴AD∥FH，
∴∠EDG＝∠DFH，
∴∠ABG＝∠DFH，
∵BG＝DF＝25，∠A＝∠FHD＝90°，
∴△BAG≌△FHD（AAS），
∴AB＝FH，
∵AB＝BC，
∴FH＝BC，
∵∠C＝∠FHM＝90°，
∴FH∥CB，
∴FMBM=FHCB=1，
∴FM＝BM，
∵EF＝DE+DF=655+25=1655，
∴BF=BE2+EF2=45，
∵∠BEF＝90°，BM＝MF，
∴EM=12BF＝25，
∵BO＝OD，BM＝MF，
∴OM=12DF=5，
∵OE=12BD=12×6＝3，
∴△OEM的周長＝3+5+25=3+35，
解法二：輔助線相同．
證明△BAG≌△FHD，推出AB＝HF＝32，
再證明△FHM≌△BCM，推出CM＝HM=2，
求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，可得結(jié)論．
故答案為：3+35．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
8．（2021?南通）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE∥AB，交BD于點(diǎn)E，連接BE，則CEBE的值為 22 ．
【答案】22．
【分析】通過點(diǎn)A作CE的垂線交EC延長線于F，連AE，由AC＝BC，∠ACB＝90°，得∠CAB＝45°，設(shè)AF＝x，則CF＝x，求出AB＝AE，在Rt△AFE中用勾股定理求出EF，得CE=(3?1) x，再證四邊形FAGE為矩形，得AF＝EG＝x，EF＝AG=3x，在Rt△BEG中用勾股定理求出BE=(6?2)x，即得CEBE=22．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作CE的垂線交EC延長線于F，
過E作EG⊥AB交AB于G，連AE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠FAC＝45°，
∴△AFC為等腰直角三角形，
設(shè)AF＝x，則CF＝x，
∴AC=AF2+CF2=2x，
∴AB=AC2+BC2 =2AC=2x，
∵AE、AB均為⊙的半徑，
∴AE＝2x，
∴EF=AE2?AF2=3x，
∴CE=(3?1) x，
∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，
∴四邊形FAGE為矩形，
∴AF＝EG＝x，EF＝AG=3x，
∴BG＝AB﹣AG＝（2?3）x，
∴BE=EG2+BG2=(6?2)x，
∴CEBE=3?16?2=22．
故答案為：22．
【點(diǎn)評】本題是圓綜合性題，考查了平行線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定，通過作垂線將所求線段轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊或邊的一部分是本題關(guān)鍵．
9．（2020?南通）將雙曲線y=3x向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新雙曲線與直線y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于兩點(diǎn)，其中一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，另一個點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b，則（a﹣1）（b+2）＝ ﹣3 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由于一次函數(shù)y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的圖象過定點(diǎn)P（1，﹣2），而點(diǎn)P（1，﹣2）恰好是原點(diǎn)（0，0）向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的，因此將雙曲線y=3x向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新雙曲線與直線y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于兩點(diǎn)，在平移之前是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，表示出這兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中心對稱兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系求出答案．
【解答】解：一次函數(shù)y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的圖象過定點(diǎn)P（1，﹣2），而點(diǎn)P（1，﹣2）恰好是原點(diǎn)（0，0）向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的，
因此將雙曲線y=3x向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新雙曲線與直線y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于兩點(diǎn)，在沒平移前是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，
平移前，這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)為（a﹣1，3a?1），（3b+2，b+2），
∴a﹣1=?3b+2，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解平移之前，相應(yīng)的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2020?南通）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于 2028 ．
【答案】2028．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）計算可得．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
則原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案為：2028．
【點(diǎn)評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca．
第二部分 2024~2025南通地區(qū)中考模擬試題精煉
11．（2025?昆山市模擬）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別為AC，BA的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q在DE上，且DQ＝DP，連接CQ，過點(diǎn)Q作QF⊥CQ交AB與點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，△CQF的面積為y，則y與x之間關(guān)系為 y=12(x?4)2+8(0≤x≤4) ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，延長NF交DE的延長線于點(diǎn)M，利用矩形的判定與性質(zhì)可得MN＝CD＝4，設(shè)ME＝MF＝m，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得m，進(jìn)而求得NF，MF的長，利用S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF求得y與x之間關(guān)系，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別為AC，BA的中點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，延長NF交DE的延長線于點(diǎn)M，
∴DE=12BC=4，DE∥BC，
∴MN⊥DE，
∴四邊形CDMN為矩形，
∴MN=CD=12BC=4．
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°．
∵FN⊥BC，
∴∠NFB＝45°，
∴∠EFM＝∠NFB＝45°．
∴△MEF為等腰直角三角形，
∴ME＝MF．
設(shè)ME＝MF＝m，
由題意得：PA＝x，則DP＝4﹣x，
∵DQ＝DP，
∴DQ＝4﹣x，
∴QE＝DE﹣DQ＝4﹣（4﹣x）＝x．
∵QF⊥CQ，
∴∠DQC+∠MQF＝90°，
∵∠DQC+∠DCQ＝90°，
∴∠DCQ＝∠MQF．
∵∠CDQ＝∠QMF＝90°，
∴△DCQ∽△MQF，
∴CDDQ=MQMF，
∴44?x=m+xm，
解得：m＝4﹣x，
∴MF＝4﹣x．
∴FN＝MN﹣MF＝x．
∵S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF，
∴y=12(DE+BC)?CD?12×CD?DQ?12×QE?MF?12×BC?NF
=12×(4+8)×4?12×4(4?x)?12×x(4?x)?12×8x
=24?8+2x?2x+12x2?4x
=12x2?4x+16
=12(x?4)2+8，
由題意：x的取值范圍為：0≤x≤4，
故答案為：y=12(x?4)2+8(0≤x≤4)．
【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式，等腰直角三角形，三角形中位線定理，矩形的判定與性質(zhì)，作出正確的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2025?南通模擬）如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（﹣4，0）為圓心，2為半徑的⊙C上，Q是AP的中點(diǎn)，已知OQ長的最大值為3，則k的值為 12825 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】連接BP，根據(jù)中位線定理可得BP長的最大值為2×3＝6，當(dāng)BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸與D，設(shè)B（t，2t），則CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t，根據(jù)勾股定理可得BC2＝CD2+BD2，列出方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求解．
【解答】解：連接BP，由對稱性得：OA＝OB，
而Q是AP的中點(diǎn)，
∴OQ=12BP
∵OQ的長的最大值為3，則BP長的最大值為2×3＝6，
如圖所示：
當(dāng)BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸與D，
∵CP＝2，
∴BC＝4，B在直線y＝2x上，
設(shè)B（t，2t），則CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
代入數(shù)據(jù)得：42＝（t+4）2+（﹣2t）2，
整理得：5t2+8t＝0，
解得：t1＝0（舍去），或t2=?85，
∴B(?85，?165)，
∵B在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象上，
∴k=?85×?165=12825．
故答案為：12825．
【點(diǎn)評】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的中位線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)等，綜合性比較強(qiáng)，難度較大．
13．（2024?崇川區(qū)三模）已知P為雙曲線y=?6x(x＜0)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，PA⊥y軸且C（0，﹣4），D（6，0），則四邊形ABCD的面積的最小值為 27 ．
【答案】27．
【分析】先設(shè)P（x，?6x），再求出AC，DB，根據(jù)四邊形ABCD的面積=12AC?BD=?18x?2x+15，然后再用“不等式的性質(zhì)”解答即可．
【解答】解：設(shè)P（x，?6x），則AC=?6x+4，DB＝6﹣x，
四邊形ABCD的面積S=12AC?BD=12（?6x+4）（6﹣x）=?18x?2x+15，
∵x＜0，
∴﹣x＞0，
∴?18x?2x≥2?18x?(?2x)=12，
當(dāng)?18x=?2x時，?18x?2x有最小值12，此時x＝﹣3，
∴四邊形ABCD的面積的最小值為12+15＝27．
故答案為：27．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，本題借用考查四邊形面積的最小值來考查反比例函數(shù)圖象的應(yīng)用，綜合能力較強(qiáng)．
14．（2024?南通二模）如圖，?AOBC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=mx的圖象上，頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，若反比例函數(shù)y=nx的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，E，則m與n的關(guān)系為 2n+m＝0 .
【答案】2n+m＝0．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)點(diǎn)A（a，ma），則C（anm，ma），B（anm?a，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得E坐標(biāo)，則有2an?am2m?m2a=n，整理即可得到m、n的關(guān)系式．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（a，ma），
∵?AOBC的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，
∴C（anm，ma），
∴AC＝a?anm，
∴B（anm?a，0），
∵點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，
∴E（2an?am2m，m2a），
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=nx圖象上，
∴2an?am2m?m2a=n，
整理得：2n+m＝0．
故答案為：2n+m＝0．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是關(guān)鍵．
15．（2025?海門區(qū)模擬）如圖，鈍角三角形ABC的面積為15，最長邊AB＝10，BD平分∠ABC，點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動點(diǎn)，則CM+MN的最小值為 3 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．
【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點(diǎn)E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面積為15，AB＝10，
∴12×10?CE＝15，
∴CE＝3．
即CM+MN的最小值為3．
故答案為3．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．
16．（2024?海門區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別落在x軸，y軸上，點(diǎn)C，D分別落在函數(shù)y=kx(x＞0) 與y=?6x（x＜0）的圖象上．若tan∠OAB=13，且ADAB=12，則k的值為 25 ．
【答案】25．
【分析】作DM⊥x軸于點(diǎn)M，CF⊥y軸于點(diǎn)F，由AD/AB＝1/2，設(shè)AD＝a，AB＝2a，證明∠ADM＝∠OAB得tan∠ADM＝tan∠OAB=13，則DMAM=13，即DM＝3AM，進(jìn)而得AM＝√10a10，DM=310a10，證明△DMA∽△AOB得DMOA=AMOB=ADAB=12，則OA＝2DM=310a5，OB＝2AM=10a5，OM＝OA﹣AM=10a2，從而得點(diǎn)D(?10a2，310a10)，根據(jù)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=?6x（x＜0）的圖象上得?10a2×310a10=?6，由此解出a＝2，則AM=105，DM=3105，OB=2105，證明△ADM和△CBF全等得CF＝AM=105，BF＝DM=3105，則OF＝BF﹣OB=105，從而得點(diǎn)C(105，105)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=kx之中即可求出k的值．
【解答】解：作DM⊥x軸于點(diǎn)M，CF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示：
∵ADAB=12，
∴設(shè)AD＝a，AB＝2a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝a，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，∠DAM+∠OAB＝90°，
∴∠ADM＝∠OAB，
∴tan∠ADM＝tan∠OAB=13，
即DMAM=13，
∴DM＝3AM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2+DM2＝AD2，
即AM2+（3AM）2＝a2，
∴AM=10a10，
∴DM=310a10，
∵∠ADM＝∠OAB，∠DMA＝∠AOB＝90°，
∴△DMA∽△AOB，
∴DMOA=AMOB=ADAB=12，
∴OA＝2DM=310a3，OB＝2AM=10a5，
∴OM＝OA﹣AM=310a5?10a10=10a2，
∴點(diǎn)D(?10a2，310a10)，
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=?6x（x＜0）的圖象上，
∴?10a2×310a10=?6，
解得：a1＝2，a2＝﹣2（不合題意，舍去），
∴AM=105，DM=3105，OB=2105，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBF＝90°，
∴∠OAB＝∠CBF，
又∵∠ADM＝∠OAB，
∴∠ADM＝∠CBF，
在△ADM和△CBF中，
∠ADM=∠CBF∠DMA=∠BFC=90°AD=CB，
∴△ADM≌△CBF（AAS），
∴CF＝AM=105，BF＝DM=3105，
∴OF＝BF﹣OB=3105?2105=105，
∴點(diǎn)C(105，105)，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴k=105×105=25．
故答案為：25
【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足反比例函數(shù)的表達(dá)式，熟練掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．
17．（2024?通州區(qū)二模）如圖，△AOB的邊AB∥x軸，點(diǎn)C在OB上，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．若△AOB的面積為5，且OC＝2BC，則k的值為 8 ．
【答案】8．
【分析】作CE⊥x軸，BF⊥x軸，設(shè)點(diǎn)C（m，km），利用相似可得B（32m，3k2m），A（2m3，3k2m），利用△AOB的面積為5，建立方程求出k值即可．
【解答】解：如圖，作CE⊥x軸，BF⊥x軸，
∵CE∥BF，
∴△OEC∽△OFB，
∵OC＝2BC，
∴CEBF=OCOB=23，
∴BF=32CE，
設(shè)點(diǎn)C（m，km），則B（32m，3k2m），A（2m3，3k2m），
∴AB＝（32?23）m=5m6，
∵△AOB的面積為5，
∴12×5m6×3k2m=5，
解得：k＝8．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)k值幾何意義，熟練掌握k值幾何意義是關(guān)鍵．
18．（2024?深圳模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上一動點(diǎn)，連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABC，連接OC，則OC的最小值為 2 ．
【答案】2．
【分析】以O(shè)A為對稱軸作等邊△AMN，由“SAS”可證△ANC≌△AMB，可得∠AMB＝∠ANC＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求∠AEN＝30°，EO=3ON＝6，則點(diǎn)C在EN上移動，當(dāng)OC'⊥EN時，OC'有最小值，即可求解．
【解答】解：如圖，以O(shè)A為對稱軸作等邊△AMN，延長CN交x軸于E，
∵△ABC是等邊三角形，△AMN是等邊三角形，
∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC＝60°，
∴∠ENO＝60°，
∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，
∴MO＝NO=433，
∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，
∴∠AEN＝30°，EO=3ON＝4，
∴點(diǎn)C在EN上移動，
∴當(dāng)OC'⊥EN時，OC'有最小值，
此時，OC'=12EO＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，確定點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．
19．（2024?海安市二模）如圖，矩形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在直線l3，l4，l2，l1上．若直線l1∥l2∥l3∥l4且間距相等，AB＝4，BC＝3，則tanα的值為 38 ．
【答案】38．
【分析】根據(jù)題意，可以得到BG的長，再根據(jù)∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BAG＝∠α，從而可以得到tanα的值．
【解答】解：作CF⊥l4于點(diǎn)F，交l3于點(diǎn)E，設(shè)CB交l3于點(diǎn)G，
由已知可得，
GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴CECF=CGCB=12，
∵BC＝3，
∴CG=32，
∴GB=32，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG=BGAB=324=38，
∴tanα的值為38，
故答案為：38．
【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
20．（2024?啟東市二模）已知四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E為BC邊上一動點(diǎn)且不與B、C重合，連接AE，如圖，過點(diǎn)E作EN⊥AE交CD于點(diǎn)N．將△ECN沿EN翻折，點(diǎn)C恰好落在邊AD上，那么BE的長 2或23 ．
【答案】2或23．
【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，則四邊形ABEF是矩形，得出AB＝EF＝2，AF＝BE，由折疊的性質(zhì)得出CE＝C'E，CN＝C'N，∠EC'N＝∠C＝90°，證明△EC'F∽△C'ND，得出C′DEF=DNFC′=C′NCE，則C′DEF=DNFC′=CNCE，由ABCE=BECN，得出CNCE=BEAB，則C′DEF=DNFC′=BEAB，得出C'D＝BE，設(shè)BE＝x，則C'D＝AF＝x，C'F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，則DN4?2x=x2，CN4?x=x2，求出DN＝x（2﹣x），CN=x(4?x)2，由CN+DN＝CD＝2，即可得出結(jié)果；
【解答】解：過點(diǎn)E作于F，如圖所示：
則四邊形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折疊的性質(zhì)得：CE＝C'E，CN＝C'N，∠EC'N＝∠C＝90°，
∴∠NC'D+∠EC'F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC'F＝∠C'ND，
∵∠D＝∠EFC'，
∴△EC'F∽△C'ND，
∴C′DEF=DNFC′=C′NC′E，
∴C′DEF=DNFC′=CNCE，
同理可得：ABCE=BECN，
∴CNCE=BEAB，
∴C′DEF=DNFC′=BEAB，
∴C'D＝BE，
設(shè)BE＝x，則C'D＝AF＝x，C'F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴DN4?2x=x2，CN4?x=x2，
∴DN＝x（2﹣x），CN=x(4?x)2，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+x(4?x)2=CD＝2，
解得：x＝2或x=23，
∴BE＝2或BE=23．
故答案為：2或23．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、一元二次方程的解法，三角形面積的計算等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2024?海門區(qū)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=6x(x＞0)的圖象經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．若△ABO的面積為92，則x1x2+y1y2的值為 52 ．
【答案】52．
【分析】根據(jù)條件和k值的幾何意義得到S△AOB＝S梯形ABCD=92，代入坐標(biāo)整理得到x2y1﹣x1y2＝9，依據(jù)x1y1?x2y2＝36，轉(zhuǎn)化為x1y2?x2y1＝36，可求出x2y1＝12，將所求代數(shù)式化簡后代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果．
【解答】解：如圖，作AD⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別為D、C，
根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義可得：
S△AOB＝S梯形ABCD=92，
∴12（y1+y2）（x2﹣x1）=92，
整理得：x2y1﹣x1y2＝9，
∵x1y1?x2y2＝36，
∴x1y2?x2y1＝36，
∴（x2y1﹣9）x2y1＝36，
解得x2y1＝12，
∴x1x2+y1y2=x1y2+x2y1x2y2=2x2y1?96=24?96=52．
故答案為：52．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，熟練掌握k值的幾何意義是關(guān)鍵．
22．（2024?啟東市一模）若關(guān)于x的不等式組x?a＜013x?12≥16無解，則a的取值范圍為 a≤2 ．
【答案】a≤2．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：由x﹣a＜0得：x＜a，
由13x?12≥16得：x≥2，
∵不等式組無解，
∴a≤2，
故答案為：a≤2．
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
23．（2024?安徽模擬）如圖，直線AB交雙曲線y=kx于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，且AB＝3BC，連接OA．若S△OAC=152，則k的值為 3 ．
【答案】3．
【分析】作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，則BE∥AD，得到BEAD=BCAC=14，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到S△OAD＝S△OBE=12k，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（ka，a），即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（4ka，14a），利用S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED，得到12（a+14a）?（4ka?ka）=458，于是可計算出k＝3．
【解答】解：連接OB，作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，則BE∥AD，
∴BEAD=BCAC，S△OAD＝S△OBE=12k，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（ka，a），
∵AB＝3BC，
∴AC＝4BC，ABAC=34，
∴BEAD=BCAC=14，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4ka，14a），
∵S△OAC=152，
∴S△OAB=458，
∵S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED，
∴12(AD+BE)?DE=458，即12（a+14a）?（4ka?ka）=458，
∴12?54a?3ka=458，
∴k＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了平行線分線段成比例定理，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED得到關(guān)于k的方程是解題的關(guān)鍵．
24．（2024?連云區(qū)一模）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則a3+a2b5a+2的值為 5 ．
【答案】5．
【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b＝5，a2＝5a+2，再將其代入整理后的代數(shù)式計算即可．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴a+b＝5，a2﹣5a﹣2＝0，即：a2＝5a+2，
∴a3+a2b5a+2=a2(a+b)5a+2=a+b=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1?x2=ca．也考查了一元二次方程的解．
25．（2025?昆山市模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．將拋物線的頂點(diǎn)向下平移34個單位長度得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，則PA+55PM的最小值為 655 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得c＝﹣2，故拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2，連接BM，過A作AH⊥BM于H，交拋物線對稱軸直線x=12于P′，設(shè)直線x=12交x軸于N，求出B（2，0），BN=2?12=32，M(12，?3)，MN＝3，可得BM=352，sin∠BMN=BNBM=55，即得P′H=55P′M，從而P′A+55P′M=P′A+P′H=AH，由垂線段最短可知，當(dāng)P與P′重合時，PA+55PM最小，最小值為AH的長度，根據(jù)面積法求出AH=AB?MNBM=3×3352=655，故PA+55PM的最小值為655，解題的關(guān)鍵掌握胡不歸問題的解決方法．
【解答】解：把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c，
解得c＝﹣2，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2，
∵y=x2?x?2=(x?12)2?94，
∴拋物線y＝x2﹣x﹣2開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(12，?94)，對稱軸為直線x=12；
如圖，連接BM，過A作AH⊥BM于H，交拋物線對稱軸直線x=12于P′，設(shè)直線x=12交x軸于N，
令y＝0得0＝x2﹣x﹣2，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0），
∴BN=2?12=32，
∵將頂點(diǎn)(12，?94)向下平移34個單位長度得到點(diǎn)M，
∴M(12，?3)，MN＝3，
∴BM=BN2+MN2=(32)2+32=352，
∴sin∠BMN=BNBM=32352=55，
∴P′HP′M=55，
∴P′H=55P′M，
∴P′A+55P′M=P′A+P′H=AH，
當(dāng)P與P′重合時，PA+55PM最小，最小值為AH的長度，
∵2S△ABM＝AB?MN＝BM?AH，
∴AH=AB?MNBM=3×3352=655，
故答案為：655．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，胡不歸問題等，正確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．
26．（2025?南通模擬）對于反比函數(shù)y=kx(k＞0)，稱M(2k2k)，N(?2k，?2k)為反比例函數(shù)圖象的兩個“焦點(diǎn)”，若點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則恒有|PM?PN|=22k．如圖，已知點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=8x在第三象限的圖象上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M，N為反比例函數(shù)y=8x的兩個焦點(diǎn)，若AB平分∠MAN，過點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為B，連接OB，MN，則OB的長為 4 ．
【答案】4．
【分析】依據(jù)題意，延長AN，MB相交于點(diǎn)H．由AB平分∠MAN，且BM⊥AB，可得AH＝AM，再由利用“焦點(diǎn)”的結(jié)論，得|AM﹣AN|＝22k＝8，結(jié)合點(diǎn)O，B分別為MN，MH的中點(diǎn)，可得OB=12NH=12|AH?AN|=12|AM?AN|=4，進(jìn)而可以判斷得解．
【解答】解：如圖，延長AN，MB相交于點(diǎn)H．∵AB平分∠MAN，且BM⊥AB，
∴AH＝AM，點(diǎn)B為HM的中點(diǎn)．利用“焦點(diǎn)”的結(jié)論，得
|AM﹣AN|＝22k＝8．
∵點(diǎn)O，B分別為MN，MH的中點(diǎn)，
∴OB=12NH=12|AH?AN|=12|AM?AN|=4．
故答案為4．
【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
27．（2024?崇川區(qū)三模）如圖，已知半圓O的直徑為MN，點(diǎn)A在半徑OM上，B為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)C在弧BN上，以AB、BC為鄰邊作矩形ABCD，邊CD交MN于點(diǎn)E，連接DO，并延長DO交AB于點(diǎn)P，若BP＝2AP，則BCAB的值為 53 ．
【答案】53．
【分析】先證明OH為BC的垂直平分線，OG是AD的垂直平分線，OF為AP的垂直平分線，設(shè)AF＝FP＝2x，BP＝2AP＝4x．再利用射影定理得BO2＝BF?BA，故BO=30x，OF=5x，再計算即可．
【解答】解：過O作OH⊥BC，HO延長線交AD于G，
過O作OF⊥AB，F(xiàn)O延長線交CD于P，連OB、OC．
∵OB＝OC，
∴OH為BC的垂直平分線．
∵矩形ABCD，
∴OG是AD的垂直平分線，
∴OA＝OD．
∴∠OAD＝∠ODA．
∵∠OAD+∠PAO＝∠ODA+APO＝90°．
∴∠OAP＝∠OPA，
∴OA＝OP，
∴OF為AP的垂直平分線，
設(shè)AF＝FP＝2x，
∴BP＝2AP＝4x．
∵B為MN的中點(diǎn)，
∴BO⊥AO，
∵∠ABO＝∠ABO，∠OFB＝∠BOA＝90°，
∴△BFO～△BOA，
∴BO2＝BF?BA，
∴BO=BF?BA=(BP+PF)?(BP+AP)=30x，
∴OF=OB2?BF2=5x，
∴BC＝2BH＝2OF＝25x，
∴BCAB=25x6x=53．
故答案為：53．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合運(yùn)用這些知識是解題關(guān)鍵．
28．（2024?南通二模）如圖，在四邊形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足為點(diǎn)M，連接CM，若AM＝3，則CM+AD的最小值為 41 ．
【答案】41．
【分析】過D作AM的平行線，過A作BD的平行線，兩平行線交于點(diǎn)E，即AM∥DE，AE∥MD，證明四邊形AMDE是矩形推出CM+AD＝CM+ME；連接CE，則當(dāng)點(diǎn)M與CE、BD的交點(diǎn)重合時，CM+ME最小，從而CM+AD最小，且最小值為線段CE的長；在Rt△EFC中，由勾股定理求出CE的長即可得出結(jié)果．
【解答】解：如圖，過D作AM的平行線，過A作BD的平行線，兩平行線交于點(diǎn)E，即AM∥DE，AE∥MD，
∴四邊形AMDE是平行四邊形；
∵AM⊥BD，
∴∠AMD＝90°，
∴四邊形AMDE是矩形，
∴DE⊥BD，AM＝DE＝3，AD＝ME，
∴CM+AD＝CM+ME；
連接CE，
則當(dāng)點(diǎn)M與CE、BD的交點(diǎn)重合時，CM+ME最小，從而CM+AD最小，且最小值為線段CE的長；
過C作CF∥BD，交ED延長線于點(diǎn)F，則∠DBC＝∠BCF＝∠BDF＝90°，
∴四邊形BCFD是矩形，
∴CF＝BD＝4，∠F＝90°，DF＝BC＝2，
∴EF＝DE+DF＝5；
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
CE=CF2+EF2=16+25=41，
∴CM+AD最小值為 41，
故答案為：41．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形EFC是解題的關(guān)鍵．
29．（2024?海門區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+8與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)P為直線AB上一動點(diǎn)，連接OP．將線段OP繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段OQ，以O(shè)B，OQ為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形BOQH．連接OH，則線段OH的最小值為 455 .
【答案】455．
【分析】“瓜豆模型”主要用于解決動點(diǎn)問題，在這個模型中，有兩個動點(diǎn)，一個動點(diǎn)（母點(diǎn)）的運(yùn)動軌跡是確定的，另一個動點(diǎn)（子點(diǎn)）的運(yùn)動軌跡與母點(diǎn)的運(yùn)動軌跡相關(guān)，且子點(diǎn)的運(yùn) 動軌跡是由母點(diǎn)的運(yùn)動軌跡所確定的．本題母點(diǎn)為點(diǎn)P，在直線y＝2x+8上移動，OP繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段OQ，所以點(diǎn)Q運(yùn)動軌跡也是一條直線，然后根據(jù)A，B兩點(diǎn)確定點(diǎn)Q運(yùn)動軌跡的兩點(diǎn)可得出該解析式和點(diǎn)H坐標(biāo)，最后再根據(jù)勾股定理和一元二次方程的知識點(diǎn)求出OH最小值即可．
【解答】解∵∠POQ 始終為90°，
當(dāng)點(diǎn)P移動到B點(diǎn)的位置時，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，4），
當(dāng)點(diǎn)P移動到A點(diǎn)的位置時，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（8，0），
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，4），設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（8，0），
連接MN，設(shè)該直線的解析式為：y＝kx+b，
代入點(diǎn)M、點(diǎn)N，得：b=48k+b=0，
解得b=4k=?12，
∴y=?12x+4，
設(shè)Q(a，?12a+4)，
∴由平行四邊形的性質(zhì)可得：H（a﹣4，?12a+4），
∴OH2=(a?4)2+(?12a+4)2
=a2?8a+16+14a2?4a+16
=54(a?245)2+165，
∴當(dāng)a=245時，OH的值最小，
∴OHmin=165=455，
故答案為：455．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)，掌握“瓜豆模型”找到點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是一條直線是解題關(guān)鍵．
30．（2024?通州區(qū)二模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+ab+b2＝1，若p＝ab+2a+2b，則p的最小值為 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】根據(jù)完全平方公式求解．
【解答】解：∵a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝1，
∴ab＝（a+b）2﹣1，
∵p＝ab+2a+2b
＝（a+b）2+2（a+b）+1﹣2
＝（a+b+1）2﹣2≥﹣2，
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
31．（2024?海門區(qū)校級模擬）如圖1，在菱形ABCD中，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A→D運(yùn)動至終點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為x，△BCP的面積為y，若y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則圖中a的值為 22 ．
【答案】22．
【分析】由圖象上點(diǎn)（12，48）知CA＝12，且點(diǎn)P在點(diǎn)A時，△BCP的面積為48，連接BD交AC于點(diǎn)M，則可求出BM和BD，利用勾股定理求出AD，得到a．
【解答】解：如圖1，連接BD交AC于點(diǎn)M，
由圖2知，AC＝12，且CP＝12時，△BCP的面積為48，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，且AM＝6，BM＝MD，
∴12?AC?BM=12×12×BM=48，
∴BM＝8，
∴DM＝8，
∴AD＝10，
∴a＝CA+AD＝12+10＝22．
故答案為：22．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積公式、菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)、勾股定理和函數(shù)圖象，要求學(xué)生學(xué)會由函數(shù)圖象找出對應(yīng)的信息，理解（12，48）的幾何意義時關(guān)鍵．
32．（2024?定海區(qū)三模）如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD交于O，M是AO的中點(diǎn)，線段EF（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊）在直線BD上運(yùn)動，連結(jié)AF、ME，若AB＝6，EF=322，則AF+ME的最小值是 35 ．
【答案】35．
【分析】取AD的中點(diǎn)P，連接FP，MP，CP，且CP交BD于點(diǎn)H，證明四邊形MEFP為平行四邊形，得出ME＝PF，由正方形的性質(zhì)得出AF＝CF，則可得出CF+FP≥CP，由勾股定理求出PC的長，則可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝62，
∴OD＝32，
取AD的中點(diǎn)P，連接FP，MP，CP，且CP交BD于點(diǎn)H，
∵M(jìn)為AO的中點(diǎn)，
∴MP∥OD，MP=12OD=322，
∵EF=322，
∴EF＝MP，
∴四邊形MEFP為平行四邊形，
∴ME＝PF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴A，C關(guān)于BD對稱，
∴AF＝CF，
∵AF+ME＝CF+FP≥CP，
即F與H重合時，AF+ME最小，最小值為PC的長，
∵PD＝3，CD＝6，
∴PC=PD2+CD2=32+62=35，
∴AF+ME的最小值為35．
故答案為：35．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，能夠?qū)删€段和的最小值用一條線段的長表示是解題的關(guān)鍵．
33．（2024?啟東市二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），P是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PO，PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，若點(diǎn)P到x軸的距離為1，則m+n的最小值為 90 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由題意可作出以O(shè)A為直徑的⊙M，根據(jù)已知條件及圓的相關(guān)知識可得答案．
【解答】解：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中作出以O(shè)A為直徑的⊙M，
設(shè)直線y＝1與⊙M相切于點(diǎn)P，則MP垂直于直線y＝1，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，要使得m+n取得最小值，則需∠OPA取得最大值．
∵點(diǎn)P到x軸的距離為1，而PM為半徑，
∴PM＝1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∴OM＝1，
∴∠OPA為以O(shè)A為直徑的圓的一個圓周角，
∴∠OPA＝90°．
在直線y＝1上任取一點(diǎn)不同于點(diǎn)P的一點(diǎn)P'，連接OP'，交⊙M于點(diǎn)Q，連接AQ，
則∠AQO＝90°＞∠AP'O，
∴∠OPA＞∠AP'O，
∴∠OPA的最大值為90°，
∴m+n的最小值為90．
故答案為：90．
【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的相關(guān)性質(zhì)，明確圓的相關(guān)性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)等知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
34．（2024?淮安模擬）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是平面內(nèi)一點(diǎn)，AE＝AB，將EB繞點(diǎn)E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接AF．當(dāng)AF的長最小時，tan∠CDE的值為 2?1 ．
【答案】2?1．
【分析】通過證明△ABF∽△OBE，可得AF=2OE，則當(dāng)點(diǎn)E在AC上時，OE有最小值為2?2，即AF的最小值為22?2，由等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【解答】解：如圖，連接AC，BD，交于點(diǎn)O，連接OE，BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO＝BO，∠ABO＝45°，AC⊥BD，
∴AB=2BO＝2，
∴BO＝AO=2，
∵將EB繞點(diǎn)E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，
∴BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴BF=2BE，∠FBE＝45°，
∴∠FBE＝∠ABO，
∴∠ABF＝∠OBE，
又∵ABBO=BFBE=2，
∴△ABF∽△OBE，
∴AFOE=2，
∴AF=2OE，
∵AB＝AE＝2，
∴當(dāng)點(diǎn)E在AC上時，OE有最小值為2?2，
∴AF的最小值為22?2，
此時，如圖，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE＝22?2，
∴EH＝CH＝2?2，
∴DH=2，
∴tan∠CDE=EHDH=2?22=2?1，
方法二：連接EC，AC，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵將EB繞點(diǎn)E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，
∴BE＝EF，∠BEF＝90°＝∠ABC，
∴∠AEF＝∠CBE，
又∵AB＝AE＝BC，
∴△AEF≌△CBE（SAS），
∴AF＝EC，
∴當(dāng)點(diǎn)E在AC上時，AF有最小值，
此時，如圖，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE＝22?2，
∴EH＝CH＝2?2，
∴DH=2，
∴tan∠CDE=EHDH=2?22=2?1，
故答案為：2?1．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
35．（2024?啟東市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是BD和AC的中點(diǎn)，BA和CD的延長線交于點(diǎn)P，則△PMN面積的最大值等于 258 ．
【答案】258．
【分析】連接CM，根據(jù)三角形面積可得S△ABM+S△BCM=12(S△ABD+S△BCD)=12S四邊形ABCD，S△CPN=14S四邊形ABCD，再由S四邊形ABCD=12AC?BD和完全平方公式可得答案．
【解答】解：連接CM，
∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，
∴S△ABM=12S△ABD，S△BCM=12S△BCD，
∴S△ABM+S△BCM=12(S△ABD+S△BCD)=12S四邊形ABCD，
∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，
∴S△CPM＝S△MPD+S△MCD=12S△BPD+12S△BCD=12S△BCP，
∵點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，
∴S△CPN=12S△CPA，S△CMN=12S△CAM，
∴S△PMN＝S△CPM﹣S△CPN﹣S△CMN
=12S△BCP?12S△CAP?12S△CAM
=12(S△BCP?S△CAP?S△CAM)
=12（S△ABM+S△BCM）
=12×12S四邊形ABCD
=14S四邊形ABCD，
∵AC⊥BD，
∴S四邊形ABCD=12AC?BD，
∵AC+BD＝10，
∴AC2+BD2+4AC?BD﹣2AC?BD≥4AC?BD，即AC2+BD2+2AC?BD≥4AC?BD，
∴4AC?BD≤（AC+BD）2，
∴AC?BD≤(AC+BD)24=1024=25，
∴S四邊形ABCD=12AC?BD=12×254=258，
故答案為：258．
【點(diǎn)評】此題考查的是三角形面積公式、三角形中線的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
36．（2024?海安市一模）如圖，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F(xiàn)分別是邊CD，AD上的動點(diǎn)，且CE＝DF，則AE+CF的最小值為 61 ．
【答案】61．
【分析】延長BC到點(diǎn)H，使CH＝CD，連接EH，AH，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)利用SAS證明△CDF≌△HCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CF＝HE，進(jìn)而求出AE+CF的最小值為AH，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，解直角三角形求解即可．
【解答】解：如圖，延長BC到點(diǎn)H，使CH＝CD，連接EH，AH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECH，
在△CDF和△HCE中，
CD=HC∠D=∠ECHDF=CE，
∴△CDF≌△HCE（SAS），
∴CF＝HE，
∴AE+CF＝AE+HE，
當(dāng)A、E、H不共線時，AE+HE＞AH，
當(dāng)A、E、H共線時，AE+HE＝AH，
∴AE+HE的最小值為AH，
即AE+CF的最小值為AH，
過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，
∴∠AGB＝∠AGH＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAG＝30°，
∴BG=12AB＝2，
∴AG=AB2?BG2=42?22=23，
∵CD＝CH＝4，
∴BH＝BC+CH＝9，
∴BH＝BC﹣BG＝7，
∴AH=AG2+GH2=61，
即AE+CF的最小值為61，
故答案為：61．
【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
37．（2024?海安）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足C，D分別在x軸的正、負(fù)半軸上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中點(diǎn)，且△BCE的面積是△ADE的面積的2倍，則k的值是 372 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】過點(diǎn)B作直線AC的垂線交直線AC于點(diǎn)F，由△BCE的面積是△ADE的面積的2倍以及E是AB的中點(diǎn)即可得出S△ABC＝2S△ABD，結(jié)合CD＝k即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)AB＝2AC、AF＝AC+BD即可求出AB、AF的長度，根據(jù)勾股定理即可算出k的值，此題得解．
【解答】解：過點(diǎn)B作直線AC的垂線交直線AC于點(diǎn)F，如圖所示．
∵△BCE的面積是△ADE的面積的2倍，E是AB的中點(diǎn)，
∴S△ABC＝2S△BCE，S△ABD＝2S△ADE，
∴S△ABC＝2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均為BF，
∴AC＝2BD，
又∵OC?AC＝OD?BD，
∴OD＝2OC．
∵CD＝k，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k3，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（?2k3，?32），
∴AC＝3，BD=32，
∴AB＝2AC＝6，AF＝AC+BD=92，
∴CD＝k=AB2?AF2=62?(92)2=372．
故答案為：372．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及勾股定理，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解題的關(guān)鍵．

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