注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、考生號(hào)填寫在答.題卡上將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆吧答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按要求作答的答案無(wú)效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)，則等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：B
2. 將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量可得平移的方向，從而可求平移后圖象對(duì)應(yīng)的解析式.
【詳解】若按向量平移，則向左平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，
平移后圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，
即為：，
即
故選：A.
3. 在中，點(diǎn)在邊上，.記，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由線段關(guān)系得到向量的關(guān)系，再由向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果即可.
【詳解】∵，∴
.
故選：C.
4. 在直角中，是直角，的內(nèi)切圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)（不包含邊界）.若，則的值可以是（ ）

A. 1B. 2.5C. 4D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】先由內(nèi)切圓性質(zhì)求出半徑，再利用坐標(biāo)法得到的幾何意義，數(shù)形結(jié)合可解.
【詳解】在中，，則，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，
則，可得，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，.

可得，
令，則點(diǎn)P在直線上，
因?yàn)辄c(diǎn)P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)(不包含邊界)，即直線與陰影區(qū)域(不包含邊界)有公共點(diǎn).
由圖可知，當(dāng)且時(shí)，才滿足題意，故ACD錯(cuò)誤，B正確.
故選：B.
5. 若，為銳角，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，結(jié)合平方關(guān)系和和差公式求出的余弦即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
所以
，
因?yàn)?，所?
故選：B
6. 已知為鈍角，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因?yàn)?，而為銳角，
解得：．
故選：C．
7. 已知函數(shù).若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后得到函數(shù)的零點(diǎn)，由題意得到不等關(guān)系，用整數(shù)表示出并求出整數(shù)的取值范圍，從而得到結(jié)果.
【詳解】
，
令，則，由題意可知，
故存在整數(shù)，使得，
即，因?yàn)?，解得?br>又∵，∴，
∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又∵，∴.
故選：D.
8. 如圖，在半徑為、圓心角為的扇形弧上任取一點(diǎn)，作扇形的內(nèi)接矩形，使點(diǎn)在上，點(diǎn)、在上，則這個(gè)矩形面積的最大值為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，矩形面積為，求面積的函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其最大值即可.
【詳解】設(shè)，矩形面積為，
扇形半徑為，圓心角為，
所以，，，
所以．
化簡(jiǎn)得：，，
當(dāng)，即時(shí)，
取最大值．
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 關(guān)于平面非零向量，向量的夾角為，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.
B. 在向量上的投影向量為
C. 若，則與的夾角為鈍角
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積的概念及投影向量的概念逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，取，
則，顯然不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，在向量上的投影向量為，正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與的夾角不為鈍角，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
可得或，正確；
故選：BD
10. 化簡(jiǎn)下式，正確的是（ ）
A. =B. =
C. D. =
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)各選項(xiàng)即可確定正確答案.
【詳解】A.，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
B.，選項(xiàng)B正確.
C.
，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
D.
，選項(xiàng)D正確.
故選：BD.
11. 設(shè)銳角內(nèi)部的一點(diǎn)滿足，且，則角的大小可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換和外心的向量性質(zhì)，將原式化簡(jiǎn)，即可求得角A的大小.
【詳解】由于銳角△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)O滿足|OA|＝|OB|＝|OC|，
所以點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，外接圓的半徑為R；
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
故 ，
則 ，
所以 ，
故，
由于，則，
所以，
解得．
故選：BC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.
【答案】或.
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)有，設(shè)并應(yīng)用線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】令，由點(diǎn)在直線上，，則，
所以，則，可得，
或，則，可得，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為或.
故答案為：或.
13. 若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，不等式恒成立，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先以為變量，結(jié)合一元二次不等式的存在性問(wèn)題可得，解不等式結(jié)合題意可得，即可得的最大值.
【詳解】因?yàn)?，即?br>若存在實(shí)數(shù)使得上式成立，則，
且，
即，可得，
則，解得，
由題意可知：，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：雙變量問(wèn)題的解題關(guān)鍵是一次只研究其中一個(gè)變量，本題先以為變量，轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題分析求解.
14. 已知正方形的邊長(zhǎng)為，若，其中為實(shí)數(shù)，則_______；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為_______.
【答案】 ①. ##； ②. .
【解析】
【分析】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量相等求出可得空一；設(shè)，用表示出，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得空二.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因，所以，
得，
因?yàn)?，所以?br>得，所以，
設(shè)，則，
所以，
所以
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知向量.
（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的坐標(biāo)表示求解可得；
（2）根據(jù)且不同向列方程求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
又向量與共線，所以，解得.
【小問(wèn)2詳解】
若向量與的夾角為銳角，則且不同向，
由，解得，
由得，此時(shí)同向，不滿足題意.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
（1）求角的大??；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式即可求解，
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由，
可得：，
則，
又，所以.,
由于為三角形的內(nèi)角，所以,
【小問(wèn)2詳解】
由于，所以,
故,
由于為銳角三角形，所以且，故，
則，故，
故的取值范圍為
17. 在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn).設(shè).
（1）用表示；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別交于點(diǎn).設(shè)，求的值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）設(shè)，利用，，三點(diǎn)共線和，，三點(diǎn)共線可以得出的兩個(gè)方程，然后解出即可
（2）利用，共線即可推出
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，則，
∵，，三點(diǎn)共線，
∴，共線，從而.①
又，，三點(diǎn)共線. ∴，共線，
因?yàn)?，共線，
所以可得.②
聯(lián)立①②，解得，
故.
【小問(wèn)2詳解】
∵，
，且，共線，
∴，整理得.
18. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且；
（1）求∠PAQ的大?。?br>（2）求面積的最小值；
（3）某同學(xué)在探求過(guò)程中發(fā)現(xiàn)PQ的長(zhǎng)也有最小值，結(jié)合（2）他猜想“中PQ邊上的高為定值”，他的猜想對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）該同學(xué)猜想正確，理由見解析
【解析】
【分析】（1）解法一首先由向量的平行四邊形定則和向量的數(shù)量積得到，再由三角函數(shù)的定義得到，，最后再結(jié)合正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到；方法二設(shè)，，由向量夾角的定義得到，在中再結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)值求出；
（2）由三角形的面積公式得到，再角度關(guān)系和二倍角公式及結(jié)合正弦函數(shù)的最值化簡(jiǎn)可得；
（3）由三角形的面積公式得到，再由向量夾角的定義結(jié)合三角函數(shù)值得到，求出結(jié)果即可.
【小問(wèn)1詳解】
記，，則．
（1）解法一：∵，∴，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴，，
在中，，，由，
則，
∴，．
∵，∴．
解法二：．
設(shè)，，則．
在中，，即，
．
∵，∴．
【小問(wèn)2詳解】
，．
∴，
∵，∴．
∵，∴當(dāng)時(shí)，面積的最小值為．
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)中PQ邊上的高為h，由，得，
．
又∵，∴，
且，∴，
∴，即為定值，該同學(xué)猜想正確.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）在求三角形面積時(shí)除了常規(guī)公式外可用公式；
（2）在已知角的正弦或余弦值求其余弦或正弦時(shí)，可用配湊法結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式比較簡(jiǎn)便.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于非零向量，定義這兩個(gè)向量的“相離度”為，容易知道平行的充要條件為.
（1）已知，求；
（2）①已知的夾角為和的夾角為，證明：的充分必要條件是；
②在中，，角的平分線與交于點(diǎn)，且，若，求.
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意直接代入公式運(yùn)算即可；
（2）①根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可知，結(jié)合題意即可分析證明；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積可得，且可知點(diǎn)為的重心，進(jìn)而求，即可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
①因?yàn)?br>，
且，，則，
所以.
若，等價(jià)于，即，
所以的充分必要條件是；
②因?yàn)榻茿的平分線AD與BC交于點(diǎn)D，則，即，
則，
可得，
即，可得，
又因?yàn)?，可知點(diǎn)為的重心，則，
可得，
則，
，
，
可得，
所以.

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