一、選擇題
1. 不等式的解集為（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)直接得解，當(dāng)時(shí)原不等式等價(jià)于，再解分式不等式即可.
【詳解】不等式，
當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)時(shí)，則原不等式等價(jià)于，
等價(jià)于，解得或，
綜上可得原不等式的解集為.
故選：D
2. 設(shè)a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（ ）
A. B.
C. D. 與的大小與的取值有關(guān)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意通過作差比較大小，得出的大小關(guān)系，從而判斷出正確答案.
【詳解】由，且，即，
可得，即，
故選：A.
3. 若集合有6個(gè)非空真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.
【詳解】由集合有6個(gè)非空真子集，得集合中有3個(gè)元素，為，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
4. 設(shè)，，則下列不等式中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由冪函數(shù)的單調(diào)性可得A錯(cuò)誤；由的單調(diào)性可得B錯(cuò)誤；作差可得C正確，取可得D錯(cuò)誤；
【詳解】對于A，由在上是增函數(shù)可得，故A錯(cuò)誤；
對于B，由在上是減函數(shù)可得，故B錯(cuò)誤；
對于C，，所以，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
5. 命題“對任意，都有”的否定是
A. 對任意，都有B. 對任意，都有
C. 存在，使得D. 存在，使得
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的直接得到其否定命題.
【詳解】解：命題“對任意，都有”的否定是存在，使得.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，是基礎(chǔ)題.
6. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可；
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：D．
7. 若函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)y=fx的圖像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分析函數(shù)定義域和值域即可判斷.
【詳解】選項(xiàng)A，定義域符合、值域也相符，故A正確；
選項(xiàng)B，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，不滿足定義域和值域，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，不滿足定義域，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，根據(jù)函數(shù)定義知，對于每一個(gè)都有唯一確定的對應(yīng)，故D中圖象不是函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
8. 已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)值等于（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得的值，然后分類討論確定實(shí)數(shù)a的值即可，需要注意自變量的取值范圍.
【詳解】，據(jù)此結(jié)合題意分類討論：
當(dāng)時(shí)，，
由得，解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，，
由得，解得，滿足題意.
故選：A．
二、多項(xiàng)選擇題
9. 已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用同向不等式的可加性和同向正數(shù)不等式的可乘性來推理，即可得到判斷.
【詳解】由，利用同向不等式的可加性得：，故A對，B錯(cuò)；
再由，平方可得：，
再利用同向正數(shù)不等式的可乘性得：，故C對；
又由，可得：，
再利用同向正數(shù)不等式的可乘性得：，
兩邊同除以正數(shù)得：，故D對，
故選：ACD.
10. 下列式子中，能使成立的充分條件有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)不等式性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可得解.
【詳解】對A，因?yàn)椋?，故A正確，
對B，，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得：，故B正確
對C，由于，所以，故C錯(cuò)誤，
對D，由于，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得：，根D正確，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件的判斷，考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
11. 已知正數(shù)滿足，則下列說法一定正確的是（ ）
A. B.
C. D. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】將變形，根據(jù)基本不等式可求得的最值以及等號(hào)取得條件，由此判斷A,D;再將變形為，利用基本不等式求得其最小值，由此判斷B,C.
【詳解】由，得，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立,
所以的最小值為9，故項(xiàng)正確；
因?yàn)椋?,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，故B項(xiàng)正確，C項(xiàng)不正確，
故選：ABD
三、填空題
12. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求最小值．
【詳解】由題意可得，故，又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故答案為：．
13. 滿足關(guān)系的集合有____________個(gè).
【答案】4
【解析】
【分析】由題意可得集合為的子集，且中必包含元素，寫出滿足條件的集合，即可得答案.
【詳解】即集合為的子集，且中必包含元素，
又因?yàn)榈暮氐淖蛹癁椋?共4個(gè).
故答案為：4.
四、雙空題
14. 真子集:如果________但________，就說是的真子集，記作?，讀作“________”.
【答案】 ①. ②. ③. 真包含于
【解析】
【分析】略
【詳解】略
故答案為：A?B；；真包含于
五、解答題
15. （1）已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍；
（2）已知，，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】（1）由，，結(jié)合可加性求解；
（2）由，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?br>所以的取值范圍是．
（2）設(shè)
則，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
即.
16. 如圖，動(dòng)物園要以墻體為背面，用鋼筋網(wǎng)圍成四間具有相同面積的矩形虎籠．
（1）現(xiàn)有可圍長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠的面積最大？
（2）若每間虎籠的面積為，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？
【答案】（1）長為，寬為
（2）長為，寬為
【解析】
【分析】（1）設(shè)每間老虎籠的長為，寬為，則每間老虎籠的面積為，可得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等號(hào)成立的條件求出、的值，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)每間老虎籠的長為，寬為，則，利用基本不等式可求得鋼筋網(wǎng)總長的最小值，利用等號(hào)成立的條件求出、的值，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：設(shè)每間老虎籠的長為，寬為，則每間老虎籠的面積為，
由已知可得，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，每間虎籠的長為，寬為時(shí)，可使得每間虎籠的面積最大.
【小問2詳解】
解：設(shè)每間老虎籠的長為，寬為，則，
鋼筋網(wǎng)總長為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，每間虎籠的長為，寬為時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小.
17. （1）設(shè)，證明：的充要條件為．
（2）設(shè)，求證：至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分別證明充分性和必要性即可.
（2）方法一：采用反證法，先假設(shè)，對兩邊平方并整理，根據(jù)假設(shè)的的范圍分析得到與題干矛盾的結(jié)論，從而假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論得證.
方法二：采用反證法，先假設(shè)，根據(jù)可得，從而得到，相加得到，與題干條件矛盾，從而假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論得證.
詳解】（1）充分性：若，則，
，
，，
．
必要性：若，
則，，
，
．
（2）方法一：假設(shè)，
，
，
，
，
，
，與矛盾，
至少有一個(gè)負(fù)數(shù)．
方法二：假設(shè)，
，
，
，
，
與矛盾，
至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)．
18. 已知函數(shù)．
（1）若對任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若對任意滿足的x，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）對不等式進(jìn)行參變量分離，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
依題意可得：，
解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【小問2詳解】
對任意滿足的x，都有，
即，
又．所以對恒成立，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
19. （1）設(shè)，求證：，
（2）設(shè)，求證：，
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）方法一：由，利用，
對進(jìn)行放縮，即可證明；
方法二：由，利用，
對進(jìn)行放縮，即可證明；
方法三：由，利用，即可證明；方法四：幾何法，構(gòu)造符合題意的幾何圖形；
方法五：構(gòu)造一次函數(shù)，
證明對于，都有即可；
（2）方法一：由，利用，即可證明；
方法二：由，利用，即可證明；
方法三：幾何法，構(gòu)造符合題意的幾何圖形；
方法四：構(gòu)造一次函數(shù)，，證明對，都有即可.
【詳解】（1）方法一：，，
，
．
方法二：，

．
方法三：
，
，
，
即．
方法四：幾何法
如圖，做邊長為的正方形，分別在邊上分別取點(diǎn)，
使得，
過做交于，交于，
過做交于，交于，
直線與交于點(diǎn)，
則長方形的面積，
長方形的面積，
正方形的面積，
由圖可知，
所以．
方法五：設(shè)．
將看做0,1內(nèi)的常數(shù)，則函數(shù)為一次函數(shù)，
又，
．
對于，都有，
即．
．
（2）方法一：，
，
，
．
，
.
方法二：，
，
，
，
．
，
．
方法三：幾何法
做邊長為的正方體．分別在棱上取點(diǎn)，使得，
過做平面，過做平面，過做平面，交點(diǎn)見圖．
長方體的體積，
長方體的體積．
長方體的體積．
正方體的體積．
．
方法四：設(shè)．
將看做0,1內(nèi)的常數(shù)，對于一次函數(shù)，
有，
．
∴對于，都有，
即．
．

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