1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由有意義可得，
所以，
不等式可化為，
所以不等式的解集為，
所以，
故選：A.
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：B.
3. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 4B. 或1C. D. 4或
【答案】B
【解析】將兩邊平方，得，
由得，
即，解得或1.
故選：B.
4. 已知一組數(shù)據(jù)，，，，的分位數(shù)是，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以數(shù)據(jù)，，，，的分位數(shù)為五個數(shù)中第二大的數(shù)，
由已知數(shù)據(jù)，，，，中第二大的數(shù)是，所以.
故選：C.
5. 記的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】將看作．
分別分析各項(xiàng)對系數(shù)的貢獻(xiàn)：展開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．
對于 ．
中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．
要得到，有以下幾種情況：
中取，中取，中取常數(shù)項(xiàng)，此時系數(shù)為．
中取，中取，中取，此時系數(shù)為．
中取，中取，中取，此時系數(shù)為．
將上述系數(shù)相加可得．
常數(shù)項(xiàng)是由、、中的常數(shù)項(xiàng)相乘得到，即．
對于A選項(xiàng)：若，即，解得．當(dāng)時，，所以A選項(xiàng)錯誤．
對于B選項(xiàng)：若，即．
因?yàn)楹愠闪?，所以，解得．?dāng)時，，所以B選項(xiàng)正確．
對于C選項(xiàng)：若，即，解得．當(dāng)時，，所以C選項(xiàng)錯誤．
對于D選項(xiàng)：若，即．因?yàn)楹愠闪?，所以，解得或．?dāng)時，，所以D選項(xiàng)錯誤．
故選：B．
6. 將編號為1，2，3，4，5的5個球放到3個不同的盒子中，每個球只能放到1個盒子中，每個盒子至少放入1個球，則編號為1，2，3的球所放盒子各不相同的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】將個球分成組，有兩種分法：1，1，3和2，2，1．
按1，1，3分組，共有種分法；
再將分好的組全排列，放入個不同的盒子，有種放法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，此時共有種放法．
按2，2，1分組，共有種分法；再將分好的組全排列，放入個不同的盒子，有種放法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，此時共有種放法．
由分類加法計數(shù)原理，總放法數(shù)為種．
先將編號為，，的球放入個不同的盒子，有種放法；
再將編號為，的球放入這個盒子，每個球都有種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種放法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，編號為，，的球所放盒子各不相同的放法數(shù)為種．
根據(jù)古典概型概率公式，可得所求概率．
故選：C．
7. 在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意知，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
即，
.又，
所以，得，所以，
所以
故選：A
8. 若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式可化為，，又，
所以，故，
由已知不等式在上恒成立，
因?yàn)橛幸饬x，故，又，所以，
當(dāng)時，不等式恒成立，
設(shè)，，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，故，
令，則，
令，可得，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
故，
所以，
所以的取值范圍為
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)是偶函數(shù)B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 的最小值為D. 在上單調(diào)遞減
【答案】BD
【解析】，
不是偶函數(shù)，故A錯誤；
令，則，當(dāng)時，，
所以是函數(shù)的對稱軸，故B正確；
，故C錯誤；
令，則，
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：BD.
10. 如圖所示立體圖形為正八面體，其棱長為1，為線段上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則（ ）
A.
B.
C. 當(dāng)時，直線與直線的夾角為
D.
【答案】BC
【解析】A：由題意知，該正八面體由兩個正四棱錐組成，
易知正四棱錐的高為，
所以該正四棱錐的體積為，
所以該正八面體的體積為，故A錯誤；
B：將展開鋪成一個平面，如圖，
當(dāng)三點(diǎn)共線時，取到最小值，
此時在中，，
由余弦定理得，
即，故B正確；
C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，，
得，則，
所以，
由，得，
解得，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，
此時.
設(shè)直線與的夾角為，則，
解得，故C正確；
D：由選項(xiàng)C知，，
所以，
由，知，即，故D錯誤.
故選：BC
11. 已知函數(shù)，對任意，均有，且，為的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. D.
【答案】ACD
【解析】，
令，得，解得；
令，則，又，
所以，得，
對于任意的都成立，所以為奇函數(shù)，故B錯誤；
令，得①，
把換成，得②，
又為奇函數(shù)，所以，又，
所以①②得，故D正確；
令，得，
所以，又，
所以，則，
所以函數(shù)的周期為4，得，故A正確；
，等式兩邊同時對求導(dǎo)，
得，
令，得，即③，
由，得，所以為偶函數(shù)，
由，得，
所以，所以函數(shù)的周期為4.
令，由③得，
同理可得，
所以，故C正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 曲線在處的切線方程為________.
【答案】
【解析】由題意得，
所以，又，
該切線方程為，即.
故答案為：
13. 若，，則________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，則，
整理得到，
又因?yàn)?，?dāng)時，，不合題意，
當(dāng)時，，則，
所以，，
由，得到，解得，
故答案為：.
14. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且該橢圓與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，，且四邊形的外接圓直徑為，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是________.
【答案】
【解析】如圖，由橢圓與拋物線的對稱性知點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，
四邊形是等腰梯形，易知四邊形的外接圓就是的外接圓，
設(shè)四邊形的外接圓半徑為.
在中，由正弦定理知，
記橢圓的上頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，
易知，又，則，，
，即為銳角，
，
又
又，，則，
所以，
所以，則，即，
則橢圓的離心率的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，對任意的，有.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求.
解：（1）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)，時，，
兩式相減可得，，
所以，
所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為的等差數(shù)列，
在中取可得，
因，所以，，
所以，
（2）由（1）知，當(dāng)時，，
所以，
當(dāng)時，，
所以.
16. 為了讓廣大游客全方位領(lǐng)略宜春的冬趣之樂，在海拔1600米的明月山冰雪體驗(yàn)中心，游客們在這里滑雪、戲雪，享受刺激的冰雪運(yùn)動，感受冬日別樣的歡樂與激情。為提升服務(wù)品質(zhì)，明月山冰雪體驗(yàn)中心隨機(jī)調(diào)查男、女性游客各100名，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：
（1）是否有99.5%的把握認(rèn)為游客是否喜歡冰雪運(yùn)動與性別有關(guān)？
（2）冰雪體驗(yàn)中心招募初學(xué)者進(jìn)行滑雪培訓(xùn)，對4個基本滑雪動作（站姿、滑行、轉(zhuǎn)彎、剎車）進(jìn)行指導(dǎo).根據(jù)統(tǒng)計，每位初學(xué)者對站姿、滑行、轉(zhuǎn)彎、剎車這4個動作達(dá)到熟練的概率分別為，，，，且4個基本滑雪動作是否達(dá)到熟練相互獨(dú)立.若這4個基本滑雪動作至少3個達(dá)到熟練，則可稱為滑雪入門.
（i）求初學(xué)者滑雪入門的概率；
（ii）現(xiàn)有一旅行團(tuán)到宜春明月山冰雪體驗(yàn)中心游玩，其中有30人參加滑雪培訓(xùn)，且均為初學(xué)者，每個人滑雪條件相當(dāng)，令為滑雪入門的人數(shù)，求，并求這30人中多少人滑雪入門的概率最大.
附：，其中.
解：（1）由題設(shè)中的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
可得，
所以有99.5%的把握認(rèn)為游客是否喜歡冰雪運(yùn)動與性別有關(guān).
（2）（i）設(shè)事件分別表示初學(xué)者對站姿、滑行、轉(zhuǎn)彎、剎車達(dá)到熟練，
滑雪初學(xué)者榮獲“滑雪入門”為事件，
所以
.
（ii）因?yàn)槌鯇W(xué)者是相互獨(dú)立的，隨機(jī)變量為滑雪入門的人數(shù)，則，
可得，，
設(shè)有人榮獲“滑雪入門”稱號的概率最大，
則，解得，
因?yàn)?，所以，所以人榮獲“滑雪入門”的概率最大.
17. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：取的中點(diǎn)，連接,
由，易知為等腰直角三角形，
此時，又，所以.
因?yàn)?所以，
由，即，所以，
此時，,有四點(diǎn)共面，,
所以平面，又平面，所以.
（2）解：由且,所以平面.
由，得為等邊三角形，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
,
設(shè)平面的法向量
由,即，取，，
又，設(shè)直線與平面所成角為，
則,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18. 已知函數(shù)（且），其中.
（1）當(dāng)時，求的最小值；
（2）判斷函數(shù)圖象是否有對稱中心？若有，請求出對稱中心；若無，請說明理由；
（3）當(dāng)時，任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值集合.
解：（1）當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以當(dāng)時，取最小值；
（2）設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的對稱中心，則恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
則，，，
即，，
當(dāng)時，無解，此時函數(shù)的圖象沒有對稱中心，
當(dāng)時，，此時函數(shù)的圖象對稱中心為；
（3）當(dāng)時，，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
而，
設(shè)，則
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
①當(dāng)時，故，
因?yàn)椋剩?br>所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故此時當(dāng)時，，舍去；
②當(dāng)時，，解得；
(i)當(dāng)時，，
所以，，則在上單調(diào)遞增，
，，則在上單調(diào)遞減；
所以時，取極大值，則
所以滿足條件，
(ii)當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，舍去;
(iii)當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，舍去；
綜上，.
19. 已知橢圓，在橢圓上?。ㄇ遥﹤€點(diǎn)，這些點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，其中，連接.
（1）若直線的斜率為，求橢圓的離心率；
（2）證明的面積為定值，并求多邊形的面積（用表示）；
（3）若，，線段的中點(diǎn)為，求證：.
（1）解：，，則直線的斜率為，
所以橢圓的離心率.
（2）證明：直線的方程為
化簡得：；
所以原點(diǎn)到直線的距離；
而；
所以為定值.
同理可得：
，
所以多邊形的面積為.
（3）解：設(shè)，所以，
所以，即，
所以點(diǎn)的軌跡為一個橢圓，且，是該橢圓的焦點(diǎn)，
設(shè)，，，則，
則點(diǎn)，的坐標(biāo)可化為，，
所以，，
又因?yàn)?，?br>所以；
；
因?yàn)椋?
男性游客
女性游客
合計
喜歡冰雪運(yùn)動
55
35
90
不喜歡冰雪運(yùn)動
45
65
110
合計
100
100
200
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828

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