1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：高考范圍.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若向量，，且，則（ ）
A. B. 45C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的充要條件求出，從而進(jìn)一步求出.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得?br>故，
故.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)得，故A正確.
故選：A.
3. 滿足的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】先分析得到集合應(yīng)該包含的子集，再利用子集的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則必須包含和，也必須包含的子集才不影響結(jié)果，
又的子集共有8個(gè)，把每個(gè)子集與集合取并集都符合條件，
則符合條件的集合共有8個(gè)，故B正確.
故選：B.
4. 聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)指的是圍繞聲音進(jìn)行信息消費(fèi)而引發(fā)的一切經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及行為.已知年中國(guó)聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：千億元）依次為：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A. 3.1B. 3.2C. 3.5D. 3.9
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列的第6個(gè)數(shù)（3.1）與第7個(gè)數(shù)（3.9）的平均數(shù)，
所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為.
故選：C.
5. 化簡(jiǎn)（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)原式，求出結(jié)果即可.
【詳解】由兩角和的正切公式得
由誘導(dǎo)公式得，
則原式可化為，故D正確.
故選：D.
6. 若直線與冪函數(shù)，，的圖象從左到右依次交于不同的三點(diǎn)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，比較大小可求.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；由，得.
因?yàn)?，所以是關(guān)于的減函數(shù).
又，所以，所以.
故選：A.
7. 已知點(diǎn)，直線：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且，則直線的斜率之和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由弦長(zhǎng)公式求得，再結(jié)合斜率公式及韋達(dá)定理代入即可求解；
【詳解】由題意知直線過的焦點(diǎn)，將與聯(lián)立，
得，所以，，，
由拋物線定義可得.
又，解得，直線的斜率為，
直線DA與DB的斜率之和為，
所以直線的斜率之和為.
故選：B.
8. 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在該棱錐的高上，分別以，為球心作球，使得點(diǎn)，，，都在球的表面上，兩球面的公共點(diǎn)的集合是以線段上一點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，則當(dāng)球的半徑為時(shí)，球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)球，的半徑分別為，，設(shè)，求得，，進(jìn)而求得，根據(jù)題意可得，求解即可.
【詳解】由題意可得圓的半徑為，設(shè)球，的半徑分別為，，
設(shè)，則，，
，.
由題意，得，解得，，，
所以球的表面積為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于得到兩球的半徑所滿足的關(guān)系式，從而求得球的半徑.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知雙曲線：與：，則與的（ ）
A. 離心率相等B. 漸近線相同C. 焦點(diǎn)坐標(biāo)相同D. 焦距相等
【答案】AB
【解析】
【分析】利用雙曲線與的方程，利用雙曲線幾何性質(zhì)求得離心率，漸近線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦距可得結(jié)論.
【詳解】由雙曲線：，可得，所以的離心率是，
由雙曲線：，可得，所以的離心率是，
所以與的離心率都是，故A正確；
的漸近線方程為，的漸近線方程是，故B正確；
與的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，故C錯(cuò)誤；
與的焦距分別為，，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)，恒有且，設(shè)，則（ ）
A. 中前個(gè)奇數(shù)的和為B. 前100項(xiàng)的和為10100
C. 不存在等差數(shù)列，使其前項(xiàng)和為D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題意可得，可得是等差數(shù)列，可求通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得中前個(gè)奇數(shù)的和，可判斷A；求得，計(jì)算的前100項(xiàng)的和，可判斷B；假設(shè)存在，其前項(xiàng)和，利用的關(guān)系計(jì)算，可判斷C；計(jì)算可求得，可判斷D.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，，恒成立，
令，，得，所以，，
所以，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
中前個(gè)奇數(shù)的和為，故A錯(cuò)誤；
所以，所以，
所以的前100項(xiàng)的和為
，故B正確；
假設(shè)存在，其前項(xiàng)和，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
所以不是等差數(shù)列，故C正確；
，，
所以，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，若存在，，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?，則（ ）
A. 的取值范圍是B. 的取值范圍是
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由題意可得，是方程的兩個(gè)根，可得方程有2個(gè)不相等的正根，，利用一元二次方程根的分布得所滿足的條件，求解可判斷AB，利用基本不等式計(jì)算可判斷CD.
【詳解】由題意知在上單調(diào)遞增，又在上的值域?yàn)椋?br>所以，所以，是方程的兩個(gè)根，
設(shè)，則，是方程的兩個(gè)根，
因?yàn)?，所以，所以方程?個(gè)不相等的正根，，
所以，解得，故A正確，B錯(cuò)誤.
由基本不等式，可得，
所以，故C正確；
，
因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是得到方程有2個(gè)不相等的正根，，再結(jié)合一元二次方程根的分布即可得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知隨機(jī)變量，若，則______.
【答案】0.2
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，計(jì)算即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以.
故答案為：.
13. 已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，沿該棱柱的表面從點(diǎn)經(jīng)過棱或棱上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)該棱柱的高為，利用點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，求得，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，或其補(bǔ)角就是AE與BD所成角，求解即可.
【詳解】設(shè)該棱柱的高為，如圖，若沿該棱柱表面從點(diǎn)經(jīng)過棱上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，不滿足題意；
從點(diǎn)經(jīng)過棱上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，解得.
因?yàn)?，所以，所以?br>過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，
則或其補(bǔ)角就是AE與BD所成角，，，
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)（），將的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍是某個(gè)函數(shù)的圖象，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】法一：設(shè)為的圖象上任意一點(diǎn)，通過點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性求解即可；
法二：求導(dǎo)，由討論的單調(diào)性，結(jié)合旋轉(zhuǎn)討論；
【詳解】法1：設(shè)為的圖象上任意一點(diǎn)，
繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
設(shè)，與正半軸夾角為，
可得：，
化簡(jiǎn)可得：令，則，
所以，令，
要使函數(shù)圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后仍為某函數(shù)的圖象，
則為單調(diào)函數(shù)，即恒成立，或恒成立.
因?yàn)?，又，故不恒成立，所以恒成立?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得，
令，則，
易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以；
當(dāng)時(shí)，由，得，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，
所以.綜上所述，的取值范圍為.
法2：，當(dāng)時(shí)，由，得，
由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其圖象大致如圖1所示，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線不是任何函數(shù)的圖象；

當(dāng)時(shí)，，其圖象為軸，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，為函數(shù)的圖象，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
其圖象大致如圖2所示，要使繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，
得到的曲線為某函數(shù)的圖象，必有在上恒成立，
所以在上恒成立，令，則，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以.綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：法二：要使繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線為某函數(shù)的圖象，必有，得到在上恒成立；
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 某農(nóng)科所在同一塊試驗(yàn)田種植了，兩個(gè)品種的小麥，成熟后，分別從這兩個(gè)品種的小麥中均隨機(jī)選取100份，每份含1千粒小麥，測(cè)量其重量（g），按，，，，，分為6組（每份重量（g）均在內(nèi)），兩個(gè)品種小麥的頻率分布直方圖如圖所示，兩個(gè)品種的小麥千粒重相互獨(dú)立.
（1）求的值及品種小麥千粒重的中位數(shù)；
（2）用頻率估計(jì)概率，從，兩個(gè)品種的小麥中各抽取一份，估計(jì)這兩份的重量恰有一個(gè)不低于45g的概率.
【答案】（1），品種千粒重中位數(shù)為43.75g；
（2）.
【解析】
分析】（1）利用頻率分布直方圖求出及中位數(shù).
（2）求出千粒重不低于45g的概率，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.
【小問1詳解】
由品種小麥的頻率分布直方圖，得，所以；
設(shè)品種小麥千粒重的中位數(shù)為，由品種小麥的頻率分布直方圖，
得，，則，
于是，解得，即品種千粒重的中位數(shù)為43.75g.
【小問2詳解】
設(shè)事件，分別表示從，兩個(gè)品種中取出的小麥的千粒重不低于45g，
事件表示兩個(gè)樣本小麥的千粒重恰有一個(gè)不低于45g，則，
用頻率估計(jì)概率，則，，
由，相互獨(dú)立，所以
.
16. 如圖，在中，的平分線與AB交于點(diǎn)，.
（1）求；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合二倍角的余弦公式求解余弦值即可.
（2）利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再依據(jù)求出的長(zhǎng)度，再利用余弦定理求出，最后用正弦定理求解結(jié)果即可.
【小問1詳解】
如圖，在中，由題意得，
設(shè)，則，，
則由余弦定理得，
因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，，
由二倍角公式得.
【小問2詳解】
由（1）知，易得，
所以，
由余弦定理得，
結(jié)合誘導(dǎo)公式得，
在中，由正弦定理得，
因?yàn)椋?，?br>由余弦定理得，
因?yàn)椋?，由正弦定理?
17. 如圖1，在面積為的等腰梯形ABCD中，，點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，，，把與分別沿BE，AE折起，使點(diǎn)，重合于點(diǎn)，如圖2.

（1）求證：；
（2）求直線PE與平面PAB所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：由等腰梯形確定是正三角形，取AB的中點(diǎn)，得到，，即可求證；法二：作平面PMN，垂足為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，在平面PMN內(nèi)過點(diǎn)與PM垂直的直線為軸，過點(diǎn)與PM平行的直線為軸，直線OE為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法求證即可；
（2）法一：由（1）可確定點(diǎn)在平面PAB上射影在PF上，得到是直線PE與平面PAB所成的角.進(jìn)而可求解；
法二：由（1）求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；
【小問1詳解】
證明：在面積為的等腰梯形ABCD中，因?yàn)?，?br>設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，
則，
所以是正三角形，.
在三棱錐中，，，
取AB的中點(diǎn)，連接PF，EF，則，，
因?yàn)?，PF，平面PEF，所以平面PEF，
因?yàn)槠矫鍼EF，所以.
法二：在面積為的等腰梯形ABCD中，因?yàn)?，?br>設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，
則，
所以是正三角形，.
延長(zhǎng)EA到，使得，延長(zhǎng)EB到，使得，
連接PM，PN，MN，則四面體EPMN是棱長(zhǎng)為2的正四面體.
作平面PMN，垂足為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，在平面PMN內(nèi)過點(diǎn)與PM垂直的直線為軸，
過點(diǎn)與PM平行的直線為軸，直線OE為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因?yàn)?，分別為EM，EN的中點(diǎn)，所以，.
（1）證明：，，
所以，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>所以點(diǎn)在平面上的射影在PF上，
所以是直線與平面所成的角.
由（1）知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，，
在中，，
，
中，，
所以.
所以直線PE與平面PAB所成角的正弦值為.
法二：由（1）知，，，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量，則即
令，得，，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
即直線與平面所成角的正弦值為.
18. 已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
（1）求的方程；
（2）若直線與交于點(diǎn)，，且線段的中點(diǎn)為，求的方程；
（3）過動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）利用橢圓的離心率和通過的點(diǎn)建立方程，求出基本量，再得到橢圓方程即可.
（2）利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到斜率，再利用點(diǎn)斜式得到直線方程即可.
（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立切線與橢圓方程，消元后利用判別式為，可利用切點(diǎn)坐標(biāo)表示，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可得到過切點(diǎn)的一條直線方程，同理另一個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)也適合，即可得出直線的方程，再求出直線所過定點(diǎn)即可.
【小問1詳解】
由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，
得到，解得，，故的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，由題意得，
因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為，所以，，
因?yàn)?，，兩式相減得，
所以，即，解得，
即直線的斜率為，故的方程為，即.
【小問3詳解】
如圖，設(shè)，當(dāng)時(shí)，
可設(shè)切線的方程為，，
將與聯(lián)立，得，
則，即，
且，，
所以，，代入，得，
將的坐標(biāo)代入，得.
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，
而滿足.
設(shè)，同理可得，
則點(diǎn)，都在直線上，
故直線的方程為，即，
由得，故直線恒過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求直線的方法是解題的關(guān)鍵，首先設(shè)切點(diǎn)，利用判別式結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)替換，是求直線方程關(guān)鍵技巧，再代入點(diǎn)坐標(biāo)，可得出直線方程，進(jìn)而求解定點(diǎn)即可.
19. 已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，若點(diǎn)與所在直線的斜率存在，且與的圖象在處的切線斜率相等，則稱為的“—和諧數(shù)列”.
（1）若，，是的“1—和諧數(shù)列＂，且，求；
（2）若，.
①判斷在上單調(diào)性；
②若是的“—和諧數(shù)列”，且，求證：.
【答案】（1）
（2）①單調(diào)遞增；②證明見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)求斜率和求導(dǎo)求斜率，列出等式求出，根據(jù)等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式求；
(2)①對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性即可；②通過和諧數(shù)列定義得出，設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)分析單調(diào)性，設(shè)對(duì)其求導(dǎo)分析即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意，得與所在直線的斜率為，
，的圖像在處的切線斜率為，
所以，，
所以，又，
所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，.
【小問2詳解】
①因?yàn)?，，所以?br>設(shè)，則，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，即在上單調(diào)遞增，且，
所以在上單調(diào)遞增.
②證明：因?yàn)槭堑摹啊椭C數(shù)列”，所以，
設(shè)，則，
，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
設(shè)，，則，
所以，
令，則
由①知，且在上單調(diào)遞增，
，所以，所以單調(diào)遞減，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
取，得.
又，，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以.

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這是一份江西省2025屆高三下學(xué)期2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試題，共5頁。試卷主要包含了單選題，未知，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江西省2025屆高三下學(xué)期2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試題：

這是一份江西省2025屆高三下學(xué)期2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試題，共4頁。試卷主要包含了未知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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