江西省宜春市2023屆高三模擬理科（一模）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）設(shè)集合，，則（    ）A． B．C． D．2．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）若復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，且，則的虛部為（    ）A．1 B． C． D．13．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）給出下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（    ）①若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為；②回歸方程為時(shí)，變量與具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系；③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則；④在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)越接近時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值是（    ）A．3 B． C． D．5．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知為單位向量，且，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．6．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）若則（    ）A． B．C． D．7．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)，公式和定理，若正整數(shù)只有1為公約數(shù)，則稱互質(zhì)，對(duì)于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（    ）A． B． C． D．8．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象重合，下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．函數(shù)最小正周期為9．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（    ）A． B． C． D．10．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）如圖所示，在等腰梯形中，，現(xiàn)將梯形依次繞著各點(diǎn)順時(shí)針翻轉(zhuǎn)，則在第一次繞著點(diǎn)翻轉(zhuǎn)的過程中，對(duì)角線掃過的平面區(qū)域面積為（    ）A． B． C． D．11．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．12．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 二、填空題13．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知，則到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是___________.（寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)就可以）14．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值的范圍是___________.15．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為__________.16．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面；②存在點(diǎn)，使得；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐的外接球的體積為.其中正確的結(jié)論序號(hào)為__________. 三、解答題17．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求證：；(2)求的最小值.18．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）黨的二十大的勝利召開為我們建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家指引了前進(jìn)的方向，為謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程.為了調(diào)動(dòng)大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識(shí)的競(jìng)賽.甲?乙兩個(gè)單位進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)單位選出3人組成甲?乙兩支代表隊(duì)，每隊(duì)初始分均為3分，首輪比賽每人回答一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得2分，答錯(cuò)或不答扣1分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為；乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示首輪甲隊(duì)總分.(1)求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)總分之和為12分的條件下，甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同的概率.19．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）如圖，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，過點(diǎn)作平面，垂足為，過點(diǎn)作平面，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).(1)證明：是線段的中點(diǎn)；(2)求平面與平面夾角的正弦值.20．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的斜率分別為，且，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，記與的面積分別為，證明：為定值.21．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.22．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程.(1)求曲線的普通方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，求的取值范圍.23．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：.
參考答案：1．C【分析】解一元二次不等式求集合A，解對(duì)數(shù)不等式求集合B，應(yīng)用集合交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由，可得，故，由，所以.故選：C2．B【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和向量模長(zhǎng)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得的值，即為所求虛部.【詳解】設(shè)，為純虛數(shù)，，，又，，解得：，的虛部為.故選：B.3．B【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)、回歸直線的意義、正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性和相關(guān)系數(shù)的意義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于①，由方差的性質(zhì)可知：數(shù)據(jù)的方差為，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由回歸方程知：，則變量與具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，②正確；對(duì)于③，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知：，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由相關(guān)系數(shù)意義可知：越接近時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，④正確.故選：B.4．B【分析】畫出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界點(diǎn)的位置，此時(shí)取得最大值為.故選：B.5．A【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可構(gòu)造方程求得，再結(jié)合向量數(shù)量積定義、運(yùn)算律和向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】為單位向量，，，解得：，，，，又，.故選：A.6．A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可判斷大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?/span>，，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減且，所以，即，所以；又因?yàn)?/span>，所以，，即，所以.故選：A.7．D【分析】根據(jù)題意分析可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：若正整數(shù)與不互質(zhì)，則為3的倍數(shù)，共有個(gè)，故，∵，即數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故.故選：D.8．C【分析】由對(duì)稱性求得，由圖象平移變換求得，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性，周期判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知，，，又，∴，，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；時(shí)，，C正確；的最小正周期是，D錯(cuò)．故選：C．9．C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念得出該旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐的組合體，作出軸截面，得出內(nèi)切球于心位于對(duì)稱軸上，由平行線性質(zhì)求得球半徑后可得球體積．【詳解】由題意該幾何體是兩個(gè)共底面的圓錐的組合體，如圖是其軸截面，由對(duì)稱性知其內(nèi)切球球心在上，到的距離相等為球的半徑，設(shè)其為，因?yàn)?/span>是直角，所以是正方形，即，由得，即，解得，球體積為．故選：C．10．D【分析】根據(jù)已知求得，進(jìn)而得第一次繞著點(diǎn)翻轉(zhuǎn)的過程的翻轉(zhuǎn)角為、，利用扇形面積公式求對(duì)角線掃過的平面區(qū)域面積即可.【詳解】由題設(shè)，，又，則，所以，又，可得，故，所以第一次繞著點(diǎn)翻轉(zhuǎn)的過程的翻轉(zhuǎn)角為，而，故對(duì)角線掃過的平面區(qū)域面積為.故選：D11．C【分析】根據(jù)求得 ,再因?yàn)閷?duì)任意不等式恒成立，，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】①,②,由①-②可得，當(dāng) 時(shí),,當(dāng),當(dāng),,當(dāng)，所以,對(duì)任意不等式恒成立,所以 ,.所以.故選:C.12．A【分析】根據(jù)圓的切線長(zhǎng)相等的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線定義可求得兩內(nèi)切圓與軸均相切于點(diǎn)，由∽可求得，結(jié)合雙曲線漸近線斜率可確定直線傾斜角的范圍，結(jié)合可求得的范圍；由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可確定所求面積之和的取值范圍.【詳解】由雙曲線方程得：，，則，設(shè)內(nèi)切圓與三邊相切于點(diǎn)，，，，，又，，，設(shè)，則，解得：，即；同理可知：內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)；分別為的角平分線，，又，∽，則，設(shè)內(nèi)切圓半徑分別為，，，即，，雙曲線的漸近線斜率，直線的傾斜角，，則，，解得：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線中三角形面積相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用相似三角形的知識(shí)求得兩內(nèi)切圓半徑之間滿足的等量關(guān)系，從而將所求面積之和轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)單調(diào)性求得結(jié)果.13．上的任意一點(diǎn)都可以【分析】根據(jù)定積分的幾何意義先求出，再寫出到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)表示一個(gè)圓.【詳解】由于表示以為圓心，1為半徑且在第一、二象限的圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，其面積是半徑為1的圓的面積的一半，即為.所以,到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)是圓上的點(diǎn).故答案為：上的任意一點(diǎn).14．【分析】設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，然后由圓與圓的位置關(guān)系可得的范圍．【詳解】設(shè)，則，，即，在以為圓心，2為半徑的圓上，由題意該圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得．故答案為：．15．4044【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出周期及對(duì)稱軸，再由時(shí)函數(shù)的解析式可作出函數(shù)的圖象，原問題可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)問題，由對(duì)稱性求和即可.【詳解】由是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又，所以，則的周期是2，且得是其中一條對(duì)稱軸，又時(shí)，于是圖象如圖所示，又函數(shù)零點(diǎn)，即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖知：交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，每個(gè)周期都有2個(gè)交點(diǎn)，所以、各有個(gè)周期，故各有個(gè)交點(diǎn)，它們兩兩關(guān)于對(duì)稱，所以零點(diǎn)之和為.故答案為：16．③【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，及線線垂直的判定，結(jié)合棱錐體積的計(jì)算公式，以及棱錐外接球半徑的求解，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行逐一求解和分析即可.【詳解】①：當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接，如下所示：因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，故可得//，，根據(jù)已知條件可知：//，故//，故四邊形為平行四邊形，則//，顯然與面，故與面相交，即不平行，故①錯(cuò)誤；②：因?yàn)?/span>面面，故，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：則，設(shè)，，所以，故不垂直，故②錯(cuò)誤；③：，因?yàn)?/span>均為定點(diǎn)，故為定值，又//面面，故//面，又點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)到面的距離是定值，故三棱錐的體積為定值，則③正確；④：取△的外心為，過作平面的垂線，則三棱錐的外接球的球心一定在上，因?yàn)?/span>面，面面，則，又，面，故面,即面，則//，故在同一個(gè)平面，過作，連接如圖所示.在△中，容易知，由余弦定理得，故，由正弦定理得；設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，且P為BC中點(diǎn)，在△中，，又，由勾股定理知：，即，該棱錐外接球的體積，故④錯(cuò)誤.故答案為：③.17．(1)證明見解析(2)最小值為 【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和兩角和差正弦化簡(jiǎn)即可證明.（2）將問題轉(zhuǎn)化 ，根據(jù)第一問解得，然后結(jié)合不等式求解.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得，又，因?yàn)?/span>,所以,所以,又,所以，且,所以，故.（2）由（1）得，所以，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，且，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.18．(1)分布列見解析，(2) 【分析】（1）由題設(shè)的可能取值為，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法、互斥事件加法求各對(duì)應(yīng)值概率，進(jìn)而寫出分布列并求期望；（2）應(yīng)用條件概率公式求概率即可.【詳解】（1）由題設(shè)，的可能取值為.，所以的分布列為0369 .（2）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為12”為事件，“甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同”為事件，則，所以，所以在甲隊(duì)和乙隊(duì)總分之和為12分的條件下，甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同的概率.19．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面．繼而證明，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>平面，平面，所以.又因?yàn)?/span>平面，平面所以.因?yàn)?/span>，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以.又由已知可得，所以是的中點(diǎn).（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則易知平面，又因?yàn)?/span>平面，所以.由三棱錐的性質(zhì)可知是的重心，所以，所以，則.所以.設(shè)平面的法向量，則，令，得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，，則，所以，故平面與平面夾角的正弦值為.20．(1)；(2)證明見解析． 【分析】（1）根據(jù)離心率的定義和橢圓定義求得，再計(jì)算出后得橢圓方程；（2）設(shè)，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，代入整理得是一個(gè)一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，從而得出關(guān)系，得出直線過定點(diǎn)，再確定直線斜率不存在時(shí)也過這個(gè)定點(diǎn)，然后結(jié)合該定點(diǎn)得出三角形面積比．【詳解】（1）依題意得，則則，所以橢圓的方程為；（2）直線，設(shè)，由得，所以，，且，則中點(diǎn)，同理可算①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)代入整理得易知為方程的兩個(gè)根，則，所以，所以直線，則直線恒過點(diǎn)②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，由，不妨設(shè)，所以，直線過，根據(jù)①②可知，直線恒過點(diǎn)，因?yàn)?/span>的面積，的面積，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓中的直線過定點(diǎn)問題的解決方法：斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程為，根據(jù)已知條件確定的關(guān)系后，由直線方程得出定點(diǎn)坐標(biāo)．本題中，動(dòng)直線是由點(diǎn)確定的，因此可由已知直線確定的坐標(biāo)，再把坐標(biāo)代入所設(shè)直線方程，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)一元二次的兩根，這樣可由韋達(dá)定理求得的關(guān)系，得出結(jié)論．21．(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性；（2）采用參變分離的方式可得，將不等式右側(cè)變形后，可令，將問題轉(zhuǎn)化為求解；令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，進(jìn)而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可說明等號(hào)能夠成立，采用放縮法可得，由此可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)?/span>，；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由恒成立得：，令，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；令，則恒成立，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，即，等號(hào)可以成立，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是采用參變分離的方式，根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)為指對(duì)混合函數(shù)的特征，采用放縮法來對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，從而求得最值.22．(1)(2) 【分析】（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，利用基本不等式求出的取值范圍，即可得解；（2）求出直線的普通方程，分析可知直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，將直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>則曲線的普通方程為（2）則由得得有兩個(gè)不等正根則.23．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法分類討論，分別求出不等式的解集，即可得解；（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，即的值，再利用柯西不等式證明即可.【詳解】（1）不等式，所以，解得，或，解得，或，解得，所以原不等式解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，即，所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以成立. 

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