2023屆宜春市豐城縣高三下學期4月一模數(shù)學（文）試題  一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．設(shè)集合，，則（    ）A． B．C． D．2．復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和（       ）A． B． C． D．4．已知，其中為常數(shù)，若，則的值為（ ）A． B． C． D．5．某校高一(1)班甲、乙兩同學進行投籃比賽，他們進球的概率分別是和，現(xiàn)甲、乙各投籃一次，至少有一人投進球的概率是（    ）A． B． C． D．6．若平面向量，，則（    ）A． B． C． D．7．已知向量，，，若，則（    ）A．2 B．-2 C．3 D．8．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（    ）A． B．C． D．9．五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽.如果從這五個音階中任取三個音階，排成一個三個音階的音序，則這個音序中必含“徵”這個音階的概率為（       ）A． B． C． D．10．據(jù)調(diào)查，某商品一年內(nèi)出廠價按月呈的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高價8千元，7月份價格最低為4千元，根據(jù)以上條件可確定f（x）的解析式為（    ）A．B．f（x）＝9sin（）（1≤x≤12，x∈N+）C．D．f（x）＝2sin（）+6（1≤x≤12，x∈N+）11．斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當時，．若，則（    ）A．98 B．99 C．100 D．10112．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且，若關(guān)于x的方程恰有5個不同的實數(shù)根，，，，，則的取值范圍是A．（-2，-1） B．（-1，1）C．（1，2） D．（2，3）二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分。)13．設(shè)向量，，，且，則__________．14．在的展開式中，含有項的系數(shù)是________．15．在直三棱柱中，，是上一點，則的最小值為_________.16．過橢圓上一點作圓的兩條切線，切點為，過的直線與軸和軸分別交于，則面積的最小值為__________.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17 - 21題為必考題，每個考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．已知直線，直線經(jīng)過點，且.（1）求直線的方程；（2）記與y軸相交于點A，與y軸相交于點B，與相交于點C，求的面積.18．某地教體局為了解該地中學生暑假期間閱讀課外讀物的情況，從該地中學生中隨機抽取100人進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，按，，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計該地中學生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值；（各組數(shù)據(jù)用該組中間值作代表）(2)若某中學生在暑假期間閱讀課外讀物不低于6本，則稱該中學生為閱讀達人，以樣本各組的頻率代替該組的概率，從該地中學生中隨機抽取4人，記抽取到的中學生為閱讀達人的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望.19．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，， ⊥平面，⊥．（1）證明：⊥平面；（2）若，求點到平面的距離．20．已知拋物線的焦點為，點滿足.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，當時，求直線的方程.21．已知函數(shù)（為無理數(shù)，）（1）求函數(shù)在點處的切線方程； （2）設(shè)實數(shù)，求函數(shù)在上的最小值； （3）若為正整數(shù)，且對任意恒成立，求的最大值． 請從下面所給的 22、23 兩題中選定一題作答，并用2B 鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑，按所涂題號進行評分；不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.22．【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），.(1)求曲線的直角坐標方程，并判斷該曲線是什么曲線；(2)已知點，設(shè)曲線與曲線的交點為、，當時，求的值. 23．【選修4-5： 不等式選講】設(shè)函數(shù).(1)解不等式；(2)令的最小值為，正數(shù)，，滿足，證明：.
1．C【分析】先分別化簡集合,再求其并集.【詳解】∵集合,,∴,故選:C.【點睛】本題考查集合的并集運算,涉及解不等式,屬于簡單題.2．D【分析】由復數(shù)除法運算可求得復數(shù)，根據(jù)虛部定義可得結(jié)果.【詳解】，的虛部為.故選：D.3．C【分析】利用等差中項的性質(zhì)求出的值，再利用等差數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】因為，因此，.故選：C.4．D【詳解】試題分析：設(shè)，顯然為奇函數(shù)，而且，，則，因為，，所以.考點：函數(shù)的奇偶性.5．D【分析】根據(jù)對立事件的概率公式以及相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式即可求出．【詳解】設(shè)事件“甲、乙各投籃一次，至少有一人投進球”，所以．故選：D．6．D【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標運算直接求得結(jié)果.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.7．C【分析】由可得向量的數(shù)量積等于0，化簡可得，結(jié)合二倍角公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式化為，可求得答案.【詳解】由題意可得，即，即，故 ，即，由于，故（舍去），故選：C8．B【分析】由分布列的性質(zhì)得出m的值.【詳解】由分布列的性質(zhì)得故選：B9．C【分析】應(yīng)用組合數(shù)、排列數(shù)求含“徵”音階的基本事件數(shù)、五個音階中任取三個音階基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率求法求概率.【詳解】從這五個音階中任取三個音階，排成一個三個音階的音序，基本事件總數(shù)，其中這個音序中含“徵”這個音階的基本事件個數(shù).則這個音序中必含“徵”這個音階的概率為.故選：C.10．A【分析】由3月份最高價和7月份最低價可求得A和,由周期可求得,利用最大值或者最小值點可求得,進而求得解析式.【詳解】由題意可得:當時,, 當時,,則得解得;因為函數(shù)周期T=2(7-3)=8,所以由T=,解得;又因當時,函數(shù)取最大值,所以=1,則,由得,所以可得函數(shù)解析式為,.故選:A.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用,理解題意并轉(zhuǎn)化題中條件求解參數(shù)是解題的關(guān)鍵,屬于一般難度的題.11．B【分析】根據(jù)題意推出,再利用累加法化簡即可求出的值.【詳解】由題意得，，因為,，所以，，，，累加得，因為，所以當,,是遞增數(shù)列.所以，所以.故選：.12．B【詳解】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，若方程恰有5個不同的實數(shù)根，則．設(shè)，則，由圖象可知．所以.選B．點睛：函數(shù)圖象在函數(shù)與方程中的應(yīng)用（1）研究兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)：在同一坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解；（2）確定方程根的個數(shù)：當方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸的交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標．13．7【詳解】分析：根據(jù)向量的線性運算，求得，根據(jù)向量垂直時坐標間滿足的關(guān)系即可求得k的值．詳解：根據(jù)向量的坐標運算 因為所以 解得 點睛：本題考查了向量的線性運算、坐標運算和垂直時坐標間的關(guān)系，綜合性強，但難度不大．14．【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由的展開式中，可得項的系數(shù).故答案為：.15．【分析】連，沿將展開與在同一個平面內(nèi)，連，則的長度就是所求的最小值，利用直棱柱的性質(zhì)，由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】          圖1連，沿將展開與在同一個平面內(nèi)，如圖1所示，連，則的長度就是所求的最小值，由直棱柱性質(zhì)可得，由得，所以， 所以平面， 因為平面，所以所以,又因為是等腰直角三角形，所以，由此得，又所以由余弦定理可求得，，故答案為 .【點睛】本題主要考查直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、余弦定理的應(yīng)用以及空間想象能力，意在考查綜合應(yīng)用所學知識，解答問題的能力，屬于難題.16．【分析】設(shè)出點坐標，根據(jù)相切關(guān)系分析得到的直線方程，由此表示出的坐標并表示出的面積，再根據(jù)在橢圓上結(jié)合基本不等式求解出面積的最小值.【詳解】設(shè)，點坐標為，點坐標為，因為，所以化簡可得，所以是方程的兩個解，所以直線的方程為，所以且，所以的面積，且，所以，所以，取等號時，即或，綜上可知：面積的最小值為，故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：和圓的切線有關(guān)的結(jié)論如下：（1）過圓上一點作圓的切線，則切線方程為；（2）過圓外一點作圓的切線，切點為，則直線的方程為.17．（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)，得到的斜率，結(jié)合過點，得到答案；（2）根據(jù)題意求出，，坐標，從而得到的面積.【詳解】（1）由直線知，又因，所以；因為直線經(jīng)過點， 則直線的方程為，即 （2）由（1）可得與y軸相交于點，與y軸相交于點，且與相交于點，故的面積.【點睛】本題考查根據(jù)直線垂直關(guān)系求直線方程，求直線與坐標軸圍成的三角形的面積，屬于簡單題.18．(1)；平均值為4.6；(2)分布列見解析；. 【分析】（1）先由頻率分布直方圖的頻率公式及頻率之和為1求得m，再利用頻率分布直方圖的平均值求法求得平均值；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖求得抽取到閱讀達人的概率，再利用二項分布概率公式和數(shù)學期望公式求得X的分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，則可以估計該地中學生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值為：.（2）由頻率分布直方圖可知從該地中學學生中隨機抽取1人，此人是閱讀達人的頻率為， 所以從該地中學生中隨機抽取4人，記抽取到的中學生為閱讀達人的人數(shù)為X，則，故. 所以，，，，，X的分布列為：X01234P X的數(shù)學期型.19．（1）見解析（2）【分析】（1）通過⊥，⊥來證明；（2）根據(jù)等體積法求解.【詳解】（1）證明：∵⊥平面，平面， ∴⊥. 又⊥， ，平面，平面，∴⊥平面. （2）由已知得，所以    且由（1）可知，由勾股定理得  ∵平面∴=， 且   ∴，由， 得 ∴  即點到平面的距離為【點睛】本題考查線面垂直與點到平面的距離. 線面垂直的證明要轉(zhuǎn)化為線線垂直；點到平面的距離常規(guī)方法是作出垂線段求解，此題根據(jù)等體積法能簡化計算.20．（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)點在拋物線上及，即可求得得值，從而可求出拋物線的方程；（2）易知直線斜率必存在，設(shè)，，，由，可得，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達定理，即可求出，從而可求出直線的方程.試題解析：（1）由條件易知在拋物線上，，                                          故，即拋物線的方程為；                                   （2）易知直線斜率必存在，設(shè)，，，    ①，                                         聯(lián)立得即，          由得，且②， ③，                                     由①②③得，即直線.  21．（1）；（2）當時,，當時，.（3）3.【分析】（1）求導，求出函數(shù)在點處的切線斜率，由點斜式求出切線方程；（2）研究函數(shù)在上的單調(diào)性即可求出在上的最小值；（3）由題意分離變量對任意恒成立，即即可，構(gòu)造函數(shù)，研究的性質(zhì)，求出其最小值即可.【詳解】解：（1）∵函數(shù)的定義域為又，故函數(shù)在點處的切線方程為，即.（2）∵，令得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.當時，在單調(diào)遞增，當時，得.故當時,，當時，.（3）對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增．∵，則，∴所以存在唯一零點，即．當時，；當時，；∴在時單調(diào)遞減；在時，單調(diào)遞增；∴由題意，，又因為為正整數(shù)，所以的最大值為3.22．(1)；橢圓；(2). 【分析】（1）利用極坐標與直角坐標互化公式求出的直角坐標方程，再由方程確定曲線作答.（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，利用幾何意義計算作答.【詳解】（1）把代入得：，即，所以曲線的直角坐標方程是，它是焦點在x軸上的橢圓.（2）由（1）知，把方程代入并整理得：，設(shè)點、所對參數(shù)分別為，于是得，，由直線參數(shù)方程的幾何意義知：，解得，而，于是得，所以的值是.23．(1)(2)證明見解析 【分析】（2）分，，三種情況討論，去絕對值符號，從而可得答案；（2）根據(jù)絕對值的三角不等式求出的最小值，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換結(jié)合基本不等式即可得證.【詳解】（1）當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得，綜上所述，不等式的解集為；（2）由題，當且僅當即時取“等號”，故的最小值，即，則，,當且僅當，即，時取等號,所以． 
 

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