2023屆宜春市豐城縣高三下學(xué)期4月一模數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．設(shè)集合，，則（    ）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，是1和3的等差中項(xiàng)，則(    )A．16 B．8 C．2 D．44．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（   ）A． B． C． D．5．某校高一(1)班甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，他們進(jìn)球的概率分別是和，現(xiàn)甲、乙各投籃一次，至少有一人投進(jìn)球的概率是（    ）A． B． C． D．6．已知是邊長為的正方形，分別為邊的中點(diǎn)，則的值為（    ）A． B． C． D．7．在數(shù)列中，，，，且，則（    ）A． B． C． D．8．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（    ）A． B．C． D．9．五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽.如果從這五個(gè)音階中任取三個(gè)音階，排成一個(gè)三個(gè)音階的音序，則這個(gè)音序中必含“徵”這個(gè)音階的概率為（       ）A． B． C． D．10．某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈（單位：千元，，，）的模型波動(dòng)，（為月份，且）.已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定的解析式為（    ）A． B．C． D．11．斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當(dāng)時(shí)，．若，則（    ）A．98 B．99 C．100 D．10112．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且，若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，，則的取值范圍是A．（-2，-1） B．（-1，1）C．（1，2） D．（2，3）二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。)13．設(shè)向量，，，且，則__________．14．若的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_________．15．在直三棱柱中，，是上一點(diǎn)，則的最小值為_________.16．已知，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，平行于的直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),直線、均與橢圓相切,則和的斜率之積等于__________.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17 - 21題為必考題，每個(gè)考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．已知直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求直線的方程；（2）記與y軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，與相交于點(diǎn)C，求的面積.18．某地教體局為了解該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物的情況，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，按，，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計(jì)該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值；（各組數(shù)據(jù)用該組中間值作代表）(2)若某中學(xué)生在暑假期間閱讀課外讀物不低于6本，則稱該中學(xué)生為閱讀達(dá)人，以樣本各組的頻率代替該組的概率，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記抽取到的中學(xué)生為閱讀達(dá)人的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．如圖，四棱錐中，平面，，．過點(diǎn)作直線的平行線交于為線段上一點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．  20．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，求拋物線的方程；（2）證明：是定值．21．已知函數(shù)（為無理數(shù)，）（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程； （2）設(shè)實(shí)數(shù)，求函數(shù)在上的最小值； （3）若為正整數(shù)，且對(duì)任意恒成立，求的最大值． 請(qǐng)從下面所給的 22、23 兩題中選定一題作答，并用2B 鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.22．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線；(2)已知點(diǎn)，設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)為、，當(dāng)時(shí)，求的值.23．【選修4-5： 不等式選講】設(shè)函數(shù).(1)解不等式；(2)令的最小值為，正數(shù)，，滿足，證明：.
1．C【分析】先分別化簡集合,再求其并集.【詳解】∵集合,,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算,涉及解不等式,屬于簡單題.2．D【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得復(fù)數(shù)，根據(jù)虛部定義可得結(jié)果.【詳解】，的虛部為.故選：D.3．D【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)求得，再由，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>是和的等差中項(xiàng)，所以，由題意可知.故選:D．4．A【分析】確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解函數(shù)不等式．【詳解】由于，因此是上的奇函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，因此在上也是增函數(shù)，即是上的增函數(shù)，∴由得，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，掌握單調(diào)性的定義是解題關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式即可求出．【詳解】設(shè)事件“甲、乙各投籃一次，至少有一人投進(jìn)球”，所以．故選：D．6．C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量求解數(shù)量積【詳解】以A為原點(diǎn)，為軸、軸建立直角坐標(biāo)系，則，故，所以.故選：C.7．C【分析】由平面向量垂直的坐標(biāo)表示推導(dǎo)出，利用累乘法可求得的值.【詳解】，故，可得，，可得，，，則對(duì)任意的，，故，因此，.故選：C.8．B【分析】由分布列的性質(zhì)得出m的值.【詳解】由分布列的性質(zhì)得故選：B9．C【分析】應(yīng)用組合數(shù)、排列數(shù)求含“徵”音階的基本事件數(shù)、五個(gè)音階中任取三個(gè)音階基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率求法求概率.【詳解】從這五個(gè)音階中任取三個(gè)音階，排成一個(gè)三個(gè)音階的音序，基本事件總數(shù)，其中這個(gè)音序中含“徵”這個(gè)音階的基本事件個(gè)數(shù).則這個(gè)音序中必含“徵”這個(gè)音階的概率為.故選：C.10．D【分析】先根據(jù)最值，求出，求出最小正周期，進(jìn)而求出，代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)求出，求出正確答案.【詳解】由題意得：，解得：，又最小正周期為，所以，所以，將代入，解得：，則，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，符合題意，綜上：.故選：D11．B【分析】根據(jù)題意推出,再利用累加法化簡即可求出的值.【詳解】由題意得，，因?yàn)?/span>,，所以，，，，累加得，因?yàn)?/span>，所以當(dāng),,是遞增數(shù)列.所以，所以.故選：.12．B【詳解】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，若方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則．設(shè)，則，由圖象可知．所以.選B．點(diǎn)睛：函數(shù)圖象在函數(shù)與方程中的應(yīng)用（1）研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解；（2）確定方程根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．13．7【詳解】分析：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，求得，根據(jù)向量垂直時(shí)坐標(biāo)間滿足的關(guān)系即可求得k的值．詳解：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算 因?yàn)?/span>所以 解得 點(diǎn)睛：本題考查了向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算和垂直時(shí)坐標(biāo)間的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，但難度不大．14．180【分析】寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，由只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大求得，再確定常數(shù)項(xiàng)．【詳解】，由題意，此不等式組只有一解，因此（）．，，所以常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：180．15．【分析】連，沿將展開與在同一個(gè)平面內(nèi)，連，則的長度就是所求的最小值，利用直棱柱的性質(zhì)，由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】          圖1連，沿將展開與在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖1所示，連，則的長度就是所求的最小值，由直棱柱性質(zhì)可得，由得，所以， 所以平面， 因?yàn)?/span>平面，所以所以,又因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，所以，由此得，又所以由余弦定理可求得，，故答案為 .【點(diǎn)睛】本題主要考查直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、余弦定理的應(yīng)用以及空間想象能力，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解答問題的能力，屬于難題.16．【分析】設(shè)出設(shè)方程，求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程為，利用判別式為零可得，同理可得，相乘、化簡即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓方程為，可知，，設(shè)方程為，則，方程為，由，得，與橢圓相切， ，得，同理可得，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求拋物線及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問題以及點(diǎn)在曲線上問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；② 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.17．（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)，得到的斜率，結(jié)合過點(diǎn)，得到答案；（2）根據(jù)題意求出，，坐標(biāo)，從而得到的面積.【詳解】（1）由直線知，又因，所以；因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)， 則直線的方程為，即 （2）由（1）可得與y軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線垂直關(guān)系求直線方程，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，屬于簡單題.18．(1)；平均值為4.6；(2)分布列見解析；. 【分析】（1）先由頻率分布直方圖的頻率公式及頻率之和為1求得m，再利用頻率分布直方圖的平均值求法求得平均值；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖求得抽取到閱讀達(dá)人的概率，再利用二項(xiàng)分布概率公式和數(shù)學(xué)期望公式求得X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，則可以估計(jì)該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值為：.（2）由頻率分布直方圖可知從該地中學(xué)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人是閱讀達(dá)人的頻率為， 所以從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記抽取到的中學(xué)生為閱讀達(dá)人的人數(shù)為X，則，故. 所以，，，，，X的分布列為：X01234P X的數(shù)學(xué)期型.19．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得證；（2）作出輔助線，找到∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因?yàn)?/span>，所以⊥AD，因?yàn)?/span>PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)?/span>CFAB，所以CF⊥平面PAD，因?yàn)?/span>CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；（2）連結(jié)，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，連接DE，如圖，平面，AD，AC平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，因?yàn)?/span>，，由勾股定理得：，則∠ADB=30°，同理可得，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，故，，，在△BCP中，由余弦定理得：，則，，在△CDP中，由余弦定理得：，在△CDE中，，因?yàn)?/span>，所以DE⊥PC，所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，由余弦定理得：.20．（1）y2＝4x（2）證明見解析【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，即可求得的值，求得拋物線方程；（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，代入拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明是定值．【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，，所以拋物線的方程；（2）證明：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，設(shè)直線的方程為，則，將（1）代入（2）得，，化簡得，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則，因?yàn)辄c(diǎn)，都在拋物線上，所以，，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，分布在軸的兩側(cè)，所以，所以，所以，，所以，是定值．當(dāng)直線無斜率時(shí)，，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，則，代入拋物線方程得，，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，分布在軸的兩側(cè)，所以，所以，所以，，所以，是定值．綜上，，是定值．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查分類討論思想，計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（1）；（2）當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，.（3）3.【分析】（1）求導(dǎo)，求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，由點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）研究函數(shù)在上的單調(diào)性即可求出在上的最小值；（3）由題意分離變量對(duì)任意恒成立，即即可，構(gòu)造函數(shù)，研究的性質(zhì)，求出其最小值即可.【詳解】解：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>又，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）∵，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，得.故當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，.（3）對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增．∵，則，∴所以存在唯一零點(diǎn)，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在時(shí)單調(diào)遞減；在時(shí)，單調(diào)遞增；∴由題意，，又因?yàn)?/span>為正整數(shù)，所以的最大值為3.22．(1)；橢圓；(2). 【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求出的直角坐標(biāo)方程，再由方程確定曲線作答.（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，利用幾何意義計(jì)算作答.【詳解】（1）把代入得：，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程是，它是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.（2）由（1）知，把方程代入并整理得：，設(shè)點(diǎn)、所對(duì)參數(shù)分別為，于是得，，由直線參數(shù)方程的幾何意義知：，解得，而，于是得，所以的值是.23．(1)(2)證明見解析 【分析】（2）分，，三種情況討論，去絕對(duì)值符號(hào)，從而可得答案；（2）根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式求出的最小值，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換結(jié)合基本不等式即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，不等式的解集為；（2）由題，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“等號(hào)”，故的最小值，即，則，,當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào),所以．  
 

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