1. 若向量，，且，則（ ）
A. B. 45C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，解得?br>故，
故.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>，
所以結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)得，故A正確.
故選：A.
3. 滿足的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>則必須包含和，也必須包含的子集才不影響結(jié)果，
又的子集共有8個(gè)，把每個(gè)子集與集合取并集都符合條件，
則符合條件的集合共有8個(gè)，故B正確.
故選：B.
4. 聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)指的是圍繞聲音進(jìn)行信息消費(fèi)而引發(fā)的一切經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及行為.已知年中國(guó)聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：千億元）依次為：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A. 3.1B. 3.2C. 3.5D. 3.9
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列的第6個(gè)數(shù)（3.1）與第7個(gè)數(shù)（3.9）的平均數(shù)，
所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為.
故選：C.
5. 化簡(jiǎn)（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由兩角和的正切公式得
由誘導(dǎo)公式得，
則原式可化為，故D正確.
故選：D.
6. 若直線與冪函數(shù)，，的圖象從左到右依次交于不同的三點(diǎn)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；由，得.
因?yàn)椋允顷P(guān)于的減函數(shù).
又，所以，所以.
故選：A.
7. 已知點(diǎn)，直線：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且，則直線的斜率之和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意知直線過的焦點(diǎn)，將與聯(lián)立，
得，所以，，，
由拋物線定義可得.
又，解得，直線的斜率為，
直線DA與DB的斜率之和為，
所以直線的斜率之和為.
故選：B.
8. 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在該棱錐的高上，分別以，為球心作球，使得點(diǎn)，，，都在球的表面上，兩球面的公共點(diǎn)的集合是以線段上一點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，則當(dāng)球的半徑為時(shí)，球的表面積為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可得圓的半徑為，設(shè)球，的半徑分別為，，
設(shè)，則，，
，
由題意，得，解得，，，
所以球的表面積為.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知雙曲線：與：，則與的（ ）
A. 離心率相等B. 漸近線相同C. 焦點(diǎn)坐標(biāo)相同D. 焦距相等
【答案】AB
【解析】由雙曲線：，可得，所以的離心率是，
由雙曲線：，可得，所以的離心率是，
所以與的離心率都是，故A正確；
的漸近線方程為，的漸近線方程是，故B正確；
與的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，故C錯(cuò)誤；
與焦距分別為，，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)，恒有且，設(shè)，則（ ）
A. 中前個(gè)奇數(shù)的和為B. 前100項(xiàng)的和為10100
C. 不存在等差數(shù)列，使其前項(xiàng)和為D.
【答案】BCD
【解析】因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，，恒成立，
令，，得，所以，，
所以，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
中前個(gè)奇數(shù)的和為，故A錯(cuò)誤；
所以，所以，
所以的前100項(xiàng)的和為
，故B正確；
假設(shè)存在，其前項(xiàng)和，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
所以不是等差數(shù)列，故C正確；
，，
所以，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，若存在，，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?，則（ ）
A. 的取值范圍是B. 的取值范圍是
C. D.
【答案】AC
【解析】由題意知在上單調(diào)遞增，又在上的值域?yàn)椋?br>所以，所以，是方程的兩個(gè)根，
設(shè)，則，是方程的兩個(gè)根，
因?yàn)?，所以，所以方程?個(gè)不相等的正根，，
所以，解得，故A正確，B錯(cuò)誤.
由基本不等式，可得，
所以，故C正確；
，
因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知隨機(jī)變量，若，則______.
【答案】0.2
【解析】因?yàn)?，?br>所以，
所以.
故答案為：.
13. 已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，沿該棱柱的表面從點(diǎn)經(jīng)過棱或棱上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為______.
【答案】
【解析】設(shè)該棱柱的高為，如圖，若沿該棱柱表面從點(diǎn)經(jīng)過棱上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，不滿足題意；
從點(diǎn)經(jīng)過棱上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，解得.
因?yàn)?，所以，所以?br>過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，
則或其補(bǔ)角就是AE與BD所成角，，，
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)（），將的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍是函數(shù)的圖象，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】法1：設(shè)為的圖象上任意一點(diǎn)，
繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
設(shè)，與正半軸夾角為，
可得：，
化簡(jiǎn)可得：令，則，
所以，令，
要使函數(shù)圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后仍為某函數(shù)的圖象，
則為單調(diào)函數(shù)，即恒成立，或恒成立.
因?yàn)?，又，故不恒成立，所以恒成立?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得，
令，則，
易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以；
當(dāng)時(shí)，由，得，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，
所以.綜上所述，的取值范圍為.
法2：，當(dāng)時(shí)，由，得，
由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其圖象大致如圖1所示，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線不是任何函數(shù)的圖象；
當(dāng)時(shí)，，其圖象為軸，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，為函數(shù)的圖象，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
其圖象大致如圖2所示，要使繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，
得到的曲線為某函數(shù)的圖象，必有在上恒成立，
所以在上恒成立，令，則，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以.綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.
15. 某農(nóng)科所在同一塊試驗(yàn)田種植了，兩個(gè)品種的小麥，成熟后，分別從這兩個(gè)品種的小麥中均隨機(jī)選取100份，每份含1千粒小麥，測(cè)量其重量（g），按，，，，，分為6組（每份重量（g）均在內(nèi)），兩個(gè)品種小麥的頻率分布直方圖如圖所示，兩個(gè)品種的小麥千粒重相互獨(dú)立.
（1）求的值及品種小麥千粒重的中位數(shù)；
（2）用頻率估計(jì)概率，從，兩個(gè)品種的小麥中各抽取一份，估計(jì)這兩份的重量恰有一個(gè)不低于45g的概率.
解：（1）由品種小麥的頻率分布直方圖，得，所以；
設(shè)品種小麥千粒重的中位數(shù)為，由品種小麥的頻率分布直方圖，
得，，則，
于是，解得，即品種千粒重的中位數(shù)為43.75g.
（2）設(shè)事件，分別表示從，兩個(gè)品種中取出的小麥的千粒重不低于45g，
事件表示兩個(gè)樣本小麥的千粒重恰有一個(gè)不低于45g，則，
用頻率估計(jì)概率，則，，
由，相互獨(dú)立，所以
.
16. 如圖，在中，的平分線與AB交于點(diǎn)，.
（1）求；
（2）若，求的值.
解：（1）如圖，在中，由題意得，
設(shè)，則，，
則由余弦定理得，
因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，，
由二倍角公式得.
（2）由（1）知，易得，
所以，
由余弦定理得，
結(jié)合誘導(dǎo)公式得，
在中，由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，?br>由余弦定理得，
因?yàn)?，所以，由正弦定理?
17. 如圖1，在面積為的等腰梯形ABCD中，，點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，，，把與分別沿BE，AE折起，使點(diǎn)，重合于點(diǎn)，如圖2.
（1）求證：；
（2）求直線PE與平面PAB所成角的正弦值.
（1）證明：在面積為的等腰梯形ABCD中，因?yàn)?，?br>設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，
則，
所以是正三角形，.
在三棱錐中，，，
取AB的中點(diǎn)，連接PF，EF，則，，
因?yàn)?，PF，平面PEF，所以平面PEF，
因?yàn)槠矫鍼EF，所以.
法二：在面積為的等腰梯形ABCD中，因?yàn)椋?br>設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，
則，
所以是正三角形，.
延長(zhǎng)EA到，使得，延長(zhǎng)EB到，使得，
連接PM，PN，MN，則四面體EPMN是棱長(zhǎng)為2的正四面體.
作平面PMN，垂足為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，在平面PMN內(nèi)過點(diǎn)與PM垂直的直線為軸，
過點(diǎn)與PM平行的直線為軸，直線OE為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因?yàn)?，分別為EM，EN的中點(diǎn)，所以，.
，，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>所以點(diǎn)在平面上的射影在PF上，
所以是直線與平面所成的角.
由（1）知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，，
在中，，
，
在中，，
所以.
所以直線PE與平面PAB所成角的正弦值為.
法二：由（1）知，，，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量，則即
令，得，，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
即直線與平面所成角的正弦值為.
18. 已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
（1）求的方程；
（2）若直線與交于點(diǎn)，，且線段的中點(diǎn)為，求的方程；
（3）過動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
解：（1）由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，
得到，解得，，故的方程為.
（2）設(shè)，，由題意得，
因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為，所以，，
因?yàn)椋?，兩式相減得，
所以，即，解得，
即直線的斜率為，故的方程為，即.
（3）如圖，設(shè)，當(dāng)時(shí)，
可設(shè)切線的方程為，，
將與聯(lián)立，得，
則，即，
且，，
所以，，代入，得，
將的坐標(biāo)代入，得.
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，
而滿足.
設(shè)，同理可得，
則點(diǎn)，都在直線上，
故直線的方程為，即，
由得，故直線恒過定點(diǎn).
19. 已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，若點(diǎn)與所在直線的斜率存在，且與的圖象在處的切線斜率相等，則稱為的“—和諧數(shù)列”.
（1）若，，是的“1—和諧數(shù)列＂，且，求；
（2）若，.
①判斷在上的單調(diào)性；
②若是的“—和諧數(shù)列”，且，求證：.
解：（1）由題意，得與所在直線的斜率為，
，的圖像在處的切線斜率為，
所以，，
所以，又，
所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，.
（2）①因?yàn)?，，所以?br>設(shè)，則，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，即在上單調(diào)遞增，且，
所以在上單調(diào)遞增.
②證明：因?yàn)槭堑摹啊椭C數(shù)列”，所以，
設(shè)，則，
，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
設(shè)，，則，
所以，
令，則
由①知，且在上單調(diào)遞增，
，所以，所以單調(diào)遞減，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
取，得.
又，，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以.

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