1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若，因為，所以成立.即必要性成立.
若，取，，則不成立.即充分性不成立.
故選:.
2. 已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，所以.，
所以，
故選：.
3. 我國歷史上劉徽、趙爽等5人通過構(gòu)造不同的圖形，利用出入相補法證明了勾股定理，出入相補就是一個平面圖形經(jīng)過分割、移補，面積不變.李老師準備從這5人中隨機選取2人，介紹其解法，則劉徽、趙爽中至少有1人被選到的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)事件為“劉徽、趙爽中至少有1人被選到”
劉徽、趙爽中至少有1人被選到的概率為.
故選：D.
4. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由且，得，即或，
所以函數(shù)的定義域為，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)增函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)為增函數(shù)，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：B.
5. 如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點，在上，且，平面與棱所在直線交于點，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在正方體中，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面與平面平行，
利用面面平行的性質(zhì)定理可得平面與它們的交線平行，
所以過點作直線的平行線與延長線交于一點，
此交點即平面與棱所在直線交點，連接，如圖所示.
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又，分別為，的中點，所以，
因為，所以，所以，
又因為，所以，
所以.
故選：.
6. 已知函數(shù)的圖象在處的切線過原點，則所在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，所以.
因為的圖象在處的切線過原點，則，
即，即.
設(shè)，因為在上均單調(diào)遞增，且函數(shù)值為正，
所以在上單調(diào)遞增，且，，
所以.
故選：.
7. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若以為直徑的圓與以點為圓心、為半徑的圓相切于點，且點在上，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由兩圓的圓心分別為，.且圓的半徑為，，
可得點在以為直徑的圓內(nèi)，且兩圓內(nèi)切，
所以點為的中點，所以，，所以圓的半徑為3，
即，所以，解得，，所以的離心率為，
故選：A.

8. 甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點數(shù)分別為1~6，兩人各隨機出牌1張，當兩張牌的點數(shù)之差為偶數(shù)時，視為平局，當兩張牌的點數(shù)之差為奇數(shù)時，誰的牌點數(shù)大誰勝，重復上面的步驟，游戲進行到一方比對方多勝2次或平局4次時停止，記游戲停止時甲、乙各出牌次，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】甲乙每次出牌1張，若兩人出牌的點數(shù)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，則平局，
所以平局的概率，
若甲勝，則結(jié)果有、、、、、、、、，共9種，
所以甲勝的概率為，同理乙勝的概率也為，
各出牌4次后停止游戲，若4次全平局，概率為；
若平局2次，則最后1次不能是平局，
另外2次甲全勝或乙全勝，概率為，
若平局0次，則一方3勝1負，且負的1次只能在前2次中，概率為，
所以.
故選：.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若數(shù)列滿足，則（ ）
A. 是等比數(shù)列B.
C. 中各項均不為D.
【答案】BD
【解析】選項A和C：取代入題干中得：.所以不是等比數(shù)列.故AC錯誤.
選項B：取代入得：；取代入得：.
所以，故B正確.
選項D：.故B正確.
故選：BD.
10. 已知，，均為單位向量，且，則（ ）
A.
B.
C. 當實數(shù)變化時，的最小值是
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】由.得.解得（舍去）或.
因為、均為單位向量.則，故正確.
，故錯誤.
，當且僅當時取等號，故正確.
由.則，所以，整理得，即.故正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)的定義域為，集合，則（ ）
A. 若，且在上單調(diào)，則的取值范圍是
B. 若，且在上恰有2個不等的實根，則的取值范圍是
C. 若，且，則的取值范圍是
D. 若，且中恰有4個不同元素，則的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】，
當，時，，
因為的單調(diào)區(qū)間是，所以.，故A正確；
當時.，由得，
所以在上的前3個實根依次為，，，所以，故正確.
當時，，由，若，則不存在，
使得，所以，，故錯誤；
若中有4個不同元素.則方程在上恰有2個不同實根.所以，，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知拋物線經(jīng)過點，則焦點坐標為________.
【答案】
【解析】由題知，得，
所以的焦點坐標為.
故答案為：
13. 已知函數(shù)，若，的圖象關(guān)于原點對稱，若，的圖象關(guān)于軸對稱，則________.
【答案】
【解析】∵時，的圖象關(guān)于原點對稱，故此時為奇函數(shù)，
∴，即，
∴.
∵時，的圖象關(guān)于軸對稱，故此時為偶函數(shù)，
∴，即，
∴.
①②兩式相加得，，
整理得，.
故答案為：.
14. 已知三棱錐的所有頂點都在體積為的球的表面上，點在棱上，長為4的正三角形，則三棱錐的體積為________.
【答案】
【解析】如圖，因為點在上，三棱錐的所有頂點都在球的表面上.
所以為球的直徑，，則
由球的體積為，得.
因為.過點作于.
連接，又與全等.
則，，.
所以的面積.
因為，，，且平面，則平面，
所以三棱錐的體積為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 數(shù)據(jù)顯示，中國大模型正處于一個技術(shù)進步迅速、市場規(guī)?？焖僭鲩L的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國大模型用戶年齡分布，公司調(diào)查了500名中國大模型用戶，統(tǒng)計他們的年齡，都在內(nèi)，按照，，，，分組，得到如下的頻率分布直方圖.
（1）估計中國大模型用戶年齡的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）
（2）估計中國大模型用戶年齡的中位數(shù)；
（3）目前大模型已經(jīng)能夠應(yīng)用于醫(yī)療領(lǐng)域，醫(yī)生可以在工作中使用大模型輔助工作，以提升工作效率，公司調(diào)查了200名用戶，統(tǒng)計他們是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷，得到下面的列聯(lián)表.
請補充列聯(lián)表，并根據(jù)該表判斷是否有的把握認為性別與是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷有關(guān).
參考公式，其中.
解：（1）中國大模型用戶年齡的平均數(shù)為
.
（2）設(shè)中國大模型用戶年齡的中位數(shù)為，
因為，，
所以，
所以，解得.
（3）補充列聯(lián)表如下.
因為
所以有的把握認為性別與是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷有關(guān)
16. 已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，且，，成等比數(shù)列.
（1）求；
（2）若，求.
解：（1）由正弦定理及，得，
即，
由余弦定理得，
所以，
因為,,成等比數(shù)列，所以，所以.
（2）因為，整理得，
因為，所以，所以，
代入得，則根據(jù)正弦定理有.
17. 如圖，平行四邊形所在平面與矩形所在平面垂直，是邊長為的正三角形.
（1）證明：平面平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：在矩形中.
因為平面平面且平面平面.
所以平面.
因為平面，所以.
由平面且四邊形為矩形，得平面.
又平面，平面，所以，.
因為且，所以.
所以平行四邊形是菱形，.
因為，平面，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）解：因為，，則.
設(shè)，則，.
以點為坐標原點，直線、分別為、軸，過點且平行于直線的直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，.
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
18. 已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）若，.
（i）求的取值范圍；
（ii）比較與的大小，并說明理由.
解：（1）根據(jù)題意有的定義域為，
因為，
所以，
所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，
所以在時取得極小值，且極小值，沒有極大值；
（2）（i）.即，
設(shè)，則，
因為時.，若.即時，，在上單調(diào)遞增，
所以，即，，滿足題意.
若，即時，，
因為在上單調(diào)遞增，且，
所以時，，單調(diào)遞減，不滿足題意，
綜上得.的取值范圍是；
（ii）不妨設(shè)，比較與的大小，
即比較與的大小，即比較與的大小，
設(shè)，，
則.
設(shè).
則.所以單調(diào)遞增.
所以.單調(diào)遞增.所以.
所以.
19. 已知橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點在直線上，且三邊的平方和為30.
（1）求的方程；
（2）過點且斜率不為0的直線與交于、兩點.
（i）求面積的最大值；
（ii）設(shè)點是線段上異于，的一點，滿足，證明：.
解：（1）在中令，得，則，所以，
又三邊的平方和為30，所以，
解得，
所以的方程為.
（2）（i）設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立，得，
則，所以，
且，，
，
令，則，
，
當且僅當時取等號，此時滿足式，
面積的最大值為.
（ii）設(shè)，如圖，由，則的平分線與軸垂直，
所以，
所以點在線段的垂直平分線上，即，
則，
設(shè)，則，
則，①
又點在直線上，所以，
則，
所以，則，
整理得，②
由①②得，
所以，則，所以，
故.
男性
女性
合計
愿意
62
不愿意
60
合計
98
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男性
女性
合計
愿意
62
38
100
不愿意
40
60
100
合計
102
98
200

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