1.找模型
遇到“中線”或與中點(diǎn)有關(guān)的線段可考慮倍長(zhǎng)中線模型.
2. 用模型
通過(guò)倍長(zhǎng)中線或作平行線構(gòu)造全等三角形，用全等的性質(zhì)解決線段相關(guān)問(wèn)題.
結(jié)論:△ACD≌△EBD,AC∥BE
證明:如圖,∵AD 是△ABC的邊BC的中線,
∴CD=BD,
在△ACD和△EBD中,
CD=BD∠ADC=∠EDB,AD=ED
∴△ACD≌△EBD(SAS),
∴∠ACD=∠EBD,∴AC∥BE.
思考延伸:同種輔助線的不同作法：過(guò)點(diǎn) B作AC 的平行線，交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，同樣可證得△ACD≌△EBD.
拓展方向：點(diǎn)E 不在端點(diǎn)時(shí)的情況，稱“類中線”
思考延伸:同種條件，不同輔助線作法：分別過(guò)點(diǎn)B，C 作ED的垂線交于點(diǎn)M,N,可得到△BMD≌△CND,再利用全等三角形的性質(zhì)解題.
例1 模型構(gòu)造如圖,在△ABC中,AD 是邊BC 上的中線,∠BAD= 70°,∠DAC=40°,AD長(zhǎng)為4,則線段AC的長(zhǎng)為 .
思路點(diǎn)撥:AD 為邊 BC 中線，利用倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形將已知線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
8 【解析】如解圖,延長(zhǎng)AD 至點(diǎn) E,使AD=DE,連接BE,∵AD 是邊 BC 上的中線,∴BD=CD,∵ ∠ADC=∠EDB,∴ △ADC≌△EDB(SAS),∴AC=EB,∠DAC=∠DEB=40°,∵∠BAD=70°,∴∠ABE=180°-∠BAD-∠DEB=180°-70°-40°= 70°,∴ ∠ABE =∠BAE,∴BE=AE=2AD=8,∴AC=8.
例2 如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),連接DC,作 DE⊥DC交AC 于點(diǎn) E.若AB=10,AE=2,則 CE的長(zhǎng)為 .
思路點(diǎn)撥:點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn),且已知AE長(zhǎng)，可倍長(zhǎng)類中線DE 構(gòu)造全等三角形，利用勾股定理進(jìn)行求解.
51?1【解析】如解圖，延長(zhǎng)ED 至點(diǎn)F,使 DF=DE,連接BF,CF.∵ D 為 AB 的中點(diǎn),∴AD=BD,在△AED和△BFD中,
∴ ∠DBF = ∠A,BF = AE = 2,∵ ∠ACB =90°,∴∠A+∠ABC=90°,∴∠DBF+∠ABC=∠CBF=90°,∵ DE⊥DC,∴ CD 垂直平分EF,∴CF=CE,設(shè)CE=x,則 CF=x,AC=2+x,在 Rt△CBF中,. BC2=CF2?BF2=x2?22,在Rt△ABC 中, BC2=AB2?AC2=102?(x+ 2)2,∴x2?22=102?x+22,解得 x=51?1(負(fù)值已舍去).
針對(duì)訓(xùn)練
1. 如圖,已知 D 為△ABC 的邊 BC 的中點(diǎn),DE⊥DF,則BE+CF的長(zhǎng) ( )
A. 大于EF B. 小于 EF
C. 等于 EF D. 等于 12EF
1. A 【解析】如解圖,延長(zhǎng)ED 到點(diǎn) G,使 DG=ED,連接CG,FG[倍長(zhǎng)中線模型].由 BD=CD,∠BDE=∠CDG,可證得△BED≌△CGD(SAS),∴ CG= BE,∵ DE⊥DF,DG=ED,∴EF=FG.在△FCG中,CG+CF>FG,∴BE+CF>EF.
2. 如圖,在△ABC 中,AD 是BC 邊上的中線,E是AD上的一點(diǎn),AE=2DE,AE=3,BE=5,CE=4,則△ABC的面積為 .
2. 18 【解析】如解圖,延長(zhǎng)AD到點(diǎn) F,使ED=DF,連接 CF[倍長(zhǎng)中線模型],∴ EF =2DE,∵ AE =2DE,AE = 3,∴ EF=AE =3,∵BD= CD,∠BDE = ∠CDF,∴ △BDE ≌△CDF(SAS),∴ CF = BE = 5,∵ CE = 4, ∴CE2+EF2=42+32=52=CF2,∴∠CEF= 90°,∴SBCE=SCEF=12×3×4=6,∵AE=21 DE,∴SACE+SABE=2SCDE+2SBDE=2SBCE=12,∴ S△ABC=18.
3. 如圖,△ABC 是直角三角形,點(diǎn) D 是 CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且 DB=BC,點(diǎn) E 為 AB 上一點(diǎn),連接DE,若DE=4,∠DEB=∠A,則AC的長(zhǎng)為 .
3. 4 【解析】如解圖,延長(zhǎng)AB 至點(diǎn) F,使AB=FB,連接DF[倍長(zhǎng)中線模型],∵點(diǎn) B 為 DC的中點(diǎn),∴ CB=DB,在△ABC 和△FBD 中,CB=DB,∠ABC=∠FBD,AB=FB,∴△ABC≌△FBD(SAS),∴AC=DF,∠A=∠F,∵∠DEB=∠A,∴∠DEB=∠F,∴DE=DF,∵DE=4,∴AC=DF=DE=4.
4. 如圖, Rt△ABC中， ∠B=90°,BC=10,點(diǎn) F是 BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F 作 FD‖BC,交CA 延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn),若BF=12,DF=5,,則EF的長(zhǎng)是 .
4. 132【解析】如解圖,延長(zhǎng) FE 交 BC 于點(diǎn) G,∵ FD∥BC.∴∠D=∠C,∠DFE=∠CGE.又∵點(diǎn)E 是 CD 的中點(diǎn),∴ DE = CE,∴ △FED ≌△GEC(AAS)[倍長(zhǎng)中線模型],∴ FE=GE,FD=GC=5.∵BC=10,∴BG=5,在Rt△FBG中, FG=BG2+BF2=52+122=13,∴FE= 12FG=132.
5. 如圖,在正方形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),F是 BC 上異于 C 點(diǎn)的任意一點(diǎn),且∠EFD =∠ADF,則tan∠CDF 的值為 .
5. 13【解析】如解圖，延長(zhǎng) FE 至點(diǎn) G，使得EG=EF,連接AG,設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為1,CF=x,則 BF=1-x,∵E 是 AB 的中點(diǎn),∴AE=BE,∵ ∠AEG = ∠BEF,∴ △AEG≌△BEF(SAS)[倍長(zhǎng)中線模型],∴AG=BF=1-x,∠EAG=∠EBF=∠BAD=90°,∴D,A,G三點(diǎn)共線,∵∠EFD=∠ADF,∴GF=GD=1- x+1=2?x,EF=12GF=1?x2,在 Rt△BEF中，由勾股定理得， BF2+BE2=EF2,即(1- x)2+122=1?x22,解得 x=13或x=1(舍去), ∴tan∠CDF=CFDC=13.
6. () 創(chuàng)新題型-真實(shí)情境類試題)問(wèn)題提出
(1)如圖①,在△ABC中,AB=8,AC=6,D為 BC 邊上的中點(diǎn),連接 AD,則 AD 的取值范圍為 ；
問(wèn)題解決
(2)如圖②，某市政中心有一塊舊城改造后的圓形空地⊙O，計(jì)劃修建一個(gè)戶外健身區(qū)為△ABC,要求點(diǎn)A在 BC上，已知戶外健身區(qū)中間有條已修好的小路AD，且D 為 BC中點(diǎn)， AD=2003米(道路寬度忽略不計(jì))，根據(jù)設(shè)計(jì)要求戶外健身區(qū)△ABC 的面積盡可能的大且小路AD 兩側(cè)的面積相等，已知∠ABC+∠ACB=60°,試問(wèn)能否建一個(gè)滿足要求的面積最大的戶外健身區(qū)△ABC? 若能，請(qǐng)求出. △ABC面積的最大值及此時(shí)⊙O的直徑；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
6. 解:(1)1

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