1. 找模型
題干中出現(xiàn)線段垂直平分線時使用“中垂線”模型，也常以尺規(guī)作圖的形式出現(xiàn)。
2. 用模型
遇到中垂線，連接中垂線上的點與線段兩端點，使用中垂線的性質(也常結合等腰三角形性質)解決線段問題
結論:PA=PB
證明:如圖,AB交l于點O,∵l⊥AB,
∴∠AOP=∠BOP=90°,
∵O為AB的中點,∴OA=OB,在△AOP與△BOP中,
OA=OB∠AOP=∠BOP,OP=OP
∴△AOP≌△BOP(SAS),∴PA=PB
滿分技法：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等(或到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上).
拓展方向：中垂線的應用
滿分技法：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外心位置.
例1 如圖,在?ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于點O,過點O作OB=ODOE⊥BD,交AD
于點E,若?ABCD 的周長為16,則△ABE的周得到 OE 為 BD 的中垂線長為 .
思路點撥：根據(jù)平行四邊形的性質得點 O為BD 中點，即 OE 為垂直平分線，進而根據(jù)垂直平分線的性質轉換求解。
8 【解析】∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形,∴AC,BD 互相平分,∴O 是BD 的中點.又∵OE⊥BD,∴OE 為線段BD 的垂直平分線,∴ BE=DE,∴△ABE 的周長為AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD,又∵?ABCD 的周長為16,∴AB+AD=8,∴△ABE 的周長為8。
例2 如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,分別以點A,B為圓心,大于 12?AB的長為半
徑畫弧，過兩弧的交點作直線，交BC于點 D交AB 于點E；分別以點A，C為圓
心，大 12?AC的長為半徑得到兩條中垂線弧，過兩弧的交點作直線，交BC 于
F，交AC 于點 G，連接AD,AF,則∠DAF的度數(shù)為 °.
60 【解析】由尺規(guī)作圖可知DE,FG 分別垂直平分AB,AC,∴ DB=DA,FA=FC(中垂線性質),∴∠B=∠DAB,∠C=∠FAC,在△ABC中,∠BAC=120°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-120°=60°,即∠DAB+∠FAC=60°,則∠DAF=∠BAC-(∠DAB+∠FAC)= 120°?60°=60°.
思路點撥：根據(jù)作圖痕跡判斷屬于中垂線基本尺規(guī)作圖，再結合三角形性質解題.
例3 如圖,已知O是△ABC的外心,M,N分別是AB,AC的中點,連接OM,ON,分別交BC于點E,D.若BE=5,DE=4,CD=3,則△ABC的面積為 .
思路點撥：三角形外心與三角形邊的中點的連線為該邊的中垂線，將已知線段轉化到同一三角形中，利用勾股定理逆定理得出△ABC 的高，根據(jù)面積公式即可求解。
18 【解析】如解圖,連接AE,AD,∵O是△ABC 的外心,M,N 分別是 AB,AC 的中
點,∴ OM⊥AB,ON⊥AC,∴ AE=BE,AD =CD,∵BE=5,CD=3,∴AE=5,AD=3,∵DE= 4,∴DE2+AD2=AE2,∴∠ADE=90°,∴BC=BE+DE+CD=5+4+3=12,∴S△ANC= 12BC, AD=12×12×3=18.
針對訓練
1. 如圖,在△ABC中,BC=6,∠A=60°,∠B=45°,BC邊的垂直平分線分別交 BC,AB 于點 D,E,則AE的長為 .
1. 6【解析】如解圖,連接CE,∵DE 是BC邊的垂直平分線，. ∴EB=EC,BD=DC=12BC=3,∴∠DCE=∠B=45°,∴∠BEC=∠AEC=90°,在 Rt△DEC 中,DC=3,∴EC=3 2,在Rt△AEC 中, ∠A=60°,∴AE=ECtan60°= 323=6.
2. 模型遷移 如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,P的坐標分別為(1,0),(2,5),(4,2).若點 C 在第一象限，且橫坐標、縱坐標均為整數(shù),點 P 是△ABC 的外心,則點 C 的坐標為 .
2.(1,4)或(6,5)或(7,4) 【解析】如解圖,利用尺規(guī)作圖，以點 P 為圓心，以PB長為半徑作圓，所經過的格點即為點 C(外心到三角形三個頂點的距離相等)，∴ 點 C 的坐標為(1,4)或(6,5)或(7,4).
3. 如圖,O為△ABC 的外心,△OCP 為等邊三角形,OP 與 AC交于點 D,連接 OA,若∠BAC=70°,AB=AC,則∠ADP 的度數(shù) 為 .
3. 85° 【解析】∵點O 是△ABC的外心,∴OA=OC,又∵AB=AC,∴OA 所在直線垂直平分BC,且OA平分. ∠BAC,∴∠OAC=12∠BAC=35°,∴∠OCA=∠OAC=35°,∵ △OCP 為等邊三角形,∴∠OCP=∠OPC=60°,∴∠ACP=∠OCP--∠OCA = 25°,∴ ∠ADP = ∠ACP+ ∠DPC=25°+60°=85°.
模型遷移 如圖，在平面直角坐標系中，AB=AO=2,∠ABO=30°,直線MN經過
原點O，點A關于直線 MN的對稱點A?在x軸的正半軸上，點B 關于直線 MN 的對稱點為B?,則點 B?的坐標為 .
4.3?3 【解析】如解圖,過點 A 作 AC⊥x軸于點 C,過點 B? 作 B?D ⊥x 軸于點D,∵AB=AO=2,∠ABO=30°,∴AC=1,OC= BC=3,OB=23=OB1,∵點A,A? 關于直線MN對稱, ∴∠DOM=12180°?∠AOB=75°,∴∠BON=∠DOM=75°,∵點B,B?關于直線 MN 對稱,. ∴∠DOB?=180°?2∠BON=30°,∵ ∠B?DO = 90°,∴ B?D = 3,OD = 3B1D=3,∴點 B?的坐標為( 3?3.
5. 如圖,在△ABC中,點 D 是 BC 邊上一點,連接AD,把△ABD沿著 AD 翻折得到△AB'D,B'D交AC于點E,連接BB'交AD于點F,若 DB=3DE,AB=213,AF=6,AB'E的面積為 12,求點 B到DB'的距離.

5. 解:∵△ABD沿著AD 翻折得到△AB'D,∴AB=AB',BF=B'F,BD=B'D,AD⊥BB',∵△AB'E 中邊 B'E 上的高與△AB'D 中邊B'D 上的高相等,DB=3DE,
∴B'D=3DE,∴B'E=2DE,
∴SAB'E:SAB'D=B'E:B'D=2:3,
∵SAB'E=12,
∴SAB'D=32SAB'E=18,
在 Rt△ABF 中,根據(jù)勾股定理得, BF = AB2?AF2=4,
∴BB'=2BF=8,
∵SABD=SAB'D=18,SABD=12AD?BF,
∴AD=9,
∴FD=AD-AF=9-6=3,∴SBB'D=12BB'?FD=12×8×3=12,在 Rt△BDF 中, BD=BF2+FD2=5, ∴B'D=BD=5,設點 B 到 DB'的距離為 h,則有 12B'D??= 12×5??=12,∴?=245
圖示
特點
直線l是AB 的垂直平分線，也稱“中垂線”，點P 是直線 l上一點,連接PA,PB
結論
PA=PB
三角形的外心
圖示
特點
點 O 是△ABC 三邊垂直平分線的交點
結論
點O為△ABC外接圓的圓心,OA=OB=OC

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