專題02 M模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 找模型
平行線間某一端存在兩條凹進(jìn)去的線段并交于一點(diǎn)
2. 用模型
一般過平行線間的交點(diǎn)作平行線，再利用平行線的性質(zhì)或結(jié)合三角形的性質(zhì)求解
結(jié)論分析
結(jié)論:∠BOC=∠B+∠C
證明:證法1:如圖①,過點(diǎn) O作OE∥AB,
∵AB‖CD,∴OE‖CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C,即∠BOC=∠B+∠C.
證法2:如圖②,延長(zhǎng)BO交DC于點(diǎn)E,
∵AB‖CD,
∴∠B=∠BEC
∵∠BOC=∠C+∠BEC,
∴∠BOC=∠B+∠C.
也可以延長(zhǎng)CO，方法同證法 2.
思考延伸：同學(xué)們還可嘗試連接BC，進(jìn)行結(jié)論的證明.
提示：利用三角形內(nèi)角和及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
拓展方向：研究拐點(diǎn)較多時(shí)的情況
滿分技法：多拐點(diǎn)模型同樣可過“拐點(diǎn)”作平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換從而判斷計(jì)算
例1 如圖,AM∥BN,∠ACB=90°,∠MAC=35°,則∠CBN的度數(shù)為 ( )
35° B. 45° C. 55° D. 65°
思路點(diǎn)撥：點(diǎn) C 在 AM 與 BN 之間,且∠ACB向M 與 N一端凹進(jìn)去利用“M”模型求解.
例2 模型構(gòu)造如圖,AB∥CD,∠BAE=110°,∠DCE=30°,則∠AEC的度數(shù)為 ( )
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
思路點(diǎn)撥：形式不直觀的圖形，可通過輔助線使模型清晰，再利用“M”模型.
例3 如圖,AB∥CD,點(diǎn)E,F在AC邊上,連接BF,DE交于點(diǎn)O,已知∠CED=70°,∠BFC=130°,則∠B+∠D的度數(shù)為 ( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
思路點(diǎn)撥：AB∥CD,要求∠B+∠D,尋找“M”模型,求出∠BOD,再結(jié)合三角形內(nèi)角和求解
針對(duì)訓(xùn)練
1. 如圖，直線 l?‖l?,∠1=45°,,則∠2+∠3=( )
155° B. 180° C. 225° D. 245°
2. 如圖,已知 AB∥CD,∠B+∠D=30°,則 ∠O?+∠O?+∠O?+∠O?=
3. 常見的折疊式小刀，刀柄外形是一個(gè)矩形挖去一個(gè)小半圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成如圖②所示的∠1與∠2,則∠1+∠2的度數(shù)是 .
4. 如圖,AB∥CD,EG 是∠AEH 的平分線,FH是∠CFG的平分線,若∠G+45°=2∠H,則∠AEH的大小是 .
如圖,AD∥BC,點(diǎn) P 在射線 OM 上運(yùn)動(dòng),∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.
(1)當(dāng)點(diǎn) P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想并證明∠CPD,∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如果點(diǎn) P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與A，B，O三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你直接寫出∠CPD,∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系.
5. 解:(1)∠CPD=
課后練習(xí)
一、單選題
1．如圖，已知，，則與之間的數(shù)量關(guān)系可表示為（）
A．B．C．D．無法表示
2．如圖所示，，將一塊三角板如圖所示放置（直角頂點(diǎn)C在上），，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
3．如圖，，，則的度數(shù)為（）
A．10°B．15°C．20°D．30°
4．李四在學(xué)習(xí)“平行線”的知識(shí)后，將手中的等腰直角三角形擺放在直尺上，如圖所示，則與的數(shù)量關(guān)系是（）
A．B．
C．D．
5．如圖，直線，是直角三角形，，點(diǎn)C在直線n上．若，則的度數(shù)是（）
B．C．D．
6．如圖，已知直線，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若，則的度數(shù)為（）
B．C．D．
二、填空題
7．如圖，一束光線從點(diǎn)C出發(fā)，經(jīng)過平面鏡反射后，反射光線，此時(shí)．若測(cè)得，則的度數(shù)為．
三、解答題
8．（1）【感知】如圖①，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為之間一點(diǎn)，求證：．
小明想到以下的方法，請(qǐng)你幫忙完成推理過程．
證明：如圖①，過點(diǎn)作．
，（已知），
（_______________），
（_______________），
（等式的基本性質(zhì)），
（2）【應(yīng)用】小明同學(xué)進(jìn)行了更進(jìn)一步的思考：利用【感知】中的結(jié)論進(jìn)行證明如圖②，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，直線分別平分，且交于點(diǎn)．猜想并證明與（小于平角）的數(shù)量關(guān)系．
9．【閱讀理解】
（1）把下列證明過程或理由補(bǔ)充完整，如圖1，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線，上，點(diǎn)P為直線，內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)，P不在同一條直線上），連接，．求證：．
證明：如圖2，過點(diǎn)P作，
，
．
（）．
，
．
，
（）．
【問題解決】
請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論解答下列問題．
（2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上分別作和的角平分線交于點(diǎn)M．若，求的度數(shù)；
（3）如圖4，在圖1的基礎(chǔ)上分別作和的角平分線交于點(diǎn)M，再分別作和的角平分線交于點(diǎn)N．若，，請(qǐng)直接寫出之間滿足的數(shù)量關(guān)系式．
接寫出結(jié)果，不需要說明理由．
圖示
特點(diǎn)
AB∥CD，O 是平行線間一點(diǎn)，連接OB，OC，且兩條線段凹進(jìn)去
結(jié)論
∠BOC=∠B+∠C(已知角關(guān)系,平行也成立)
拐點(diǎn)個(gè)數(shù)
2個(gè)
n個(gè)
圖示
結(jié)論
∠O? + ∠O? = 180°+(∠B+∠C)
∠O?+∠O?+∠O?+…?∠On= (n-1)×180°+(∠B+∠C)
10．已知直線，和，分別交于C，D點(diǎn)，點(diǎn)A，分別在直線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)P在直線上，且不和點(diǎn)C，D重合．
(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上，，求的度數(shù)．
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要說明理由．

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