1. 找模型
平行線間某一端存在兩條凸出的線段并交于一點
2. 用模型
一般過平行線間的交點作平行線，再利用平行線性質(zhì)同旁內(nèi)角互補轉(zhuǎn)換或結(jié)合三角形的性質(zhì)求解
結(jié)論:∠BOC+∠B+∠C=360°
證法1:如圖①,過點 O 作 OE∥AB.
∵AB∥CD,∴OE∥AB∥CD.
∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,
∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°,
∴∠B+∠BOC+∠C=360°.
證法2:如圖②,延長AB,CO交于點E,
∵AB∥CD,∴∠E+∠C=180°,
∵∠ABO+∠EBO=180°,
∴ ∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=360°.
∵∠E+∠EBO=∠BOC,
∴∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=∠C+∠ABO+∠BOC=360°.也可以延長 BO，DC按照證法2證明，試試看呦
思考延伸：同學(xué)們還可嘗試連接BC，進行結(jié)論證明.提示：根據(jù)同旁內(nèi)角互補及三角形內(nèi)角和為180°.
拓展方向：研究拐點較多時的情況
思考延伸：“鉛筆頭”模型與“M”模型求角度時均過拐點作平行線，思考一下，“鉛筆頭”模型的規(guī)律為什么是(n+1),“M”模型為什么是(n-1)呢？
例1 如圖是由一個矩形紙片剪去兩個角后得到，已知∠ABO=AB∥CD125°,∠BOC=100°,則∠OCD的度數(shù)為 ( )
A. 135° B. 125°
C. 115° D. 105°
思路點撥：已知矩形，即隱含AB∥DC，剪去兩個角后為“鉛筆頭”模型，利用模型結(jié)論解題.
例2 模型疊加如圖,已知AB∥CD,BF與CF分別平分∠ABE,∠DCE，則下列說法正確的是 ( )
A. ∠BEC=∠ABF+∠DCF B.∠BEC=360°?2∠BFC
C. ∠BFC=∠ABE D.∠BFC=360°?∠BEC
思路點撥：AB∥CD,與∠BFC 形成“M”模型,與∠BEC 形成“鉛筆頭”模型，且給出角平分線知道角的數(shù)量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)換角度判斷結(jié)論
針對訓(xùn)練
1. 如圖,,l?∥l?,∠3=60°,則∠1+∠2的度數(shù)為
( )
A. 120° B. 200° C. 240° D. 300°
1. C 【解析】如解圖,∵∠3+∠4=180°(平角的性質(zhì)),∠3 = 60°,∴ ∠4 = 180°-60°=120°.∵l?∥l?,∴ 根據(jù)“鉛筆頭”模型的結(jié)論有∠1+∠2+∠4=360°,∴ ∠1+∠2=360°-120°=240°.
2. 如圖,AB∥CD,EF⊥AB于點O,FG交CD于點P,若∠CPG=20°,則∠EFP 的度數(shù)為
( )
160° B. 150° C. 110° D. 90
2. C 【解析】解法1：從題圖左側(cè)看，符合“鉛筆頭”模型,根據(jù)模型結(jié)論可得,∠AOF+∠OFP+∠FPC=360°,∵EF⊥AB,∴∠AOF=90°,∵∠CPG=20°,∴∠FPC=160°,∴∠EFP= ∠OFP=360°?160°?90°=110°.
解法2：從題圖右側(cè)看，符合“M”模型，根據(jù)模型結(jié)論可得,∠OFP=∠BOF+∠FPD,
∵∠BOF=90°,∠FPD=∠CPG=20°,∴∠EFP= ∠OFP=90°+20°=110°.
3. 如圖,在矩形ABCD中,點E,F分別是AD,BC 上的點,沿 EF將矩形折疊,若∠FEA'=70°,則∠A'GF 的度數(shù)為 ( )
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
3.D 【解析】由折疊的性質(zhì)可知， ∠A'=∠A= 90°,∠AEF=∠FEA'=70°,∴∠AEA'=140°,根據(jù)“鉛筆頭”模型，. ∠AEA'+∠A'+∠A'GF= 360°,∴∠A'GF=360°?140°?90°=130°.
4. 一個小區(qū)大門的欄桿如圖所示，BA⊥AE 于點A,CD∥AE,若∠ABC=150°,則∠BCD的度數(shù)為 .
4. 120° 【解析】∵ CD∥AE,AB 與BC 兩條線段相交凸出來，滿足“鉛筆頭”模型，∴∠DCB+∠ABC+∠BAE=360°,又∵AB⊥AE,∴∠BAE=90°,∴ ∠BCD = 360°--∠BAE--∠ABC = 360°?90°?150°=120°.
5. 模型遷移 如圖， AB‖CD,點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，若射線EA 繞點 E 逆時針旋休憩時刻不為失敗找理由，要為成功找方法.
轉(zhuǎn)至 EB后立即回轉(zhuǎn)，射線 FD 繞點 F 逆時針旋轉(zhuǎn)至 FC 后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點E，F(xiàn)不停地旋轉(zhuǎn)，若射線 EA轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒,射線FD轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒,且a,b滿足方程組 3a?2b=7a+2b=5.
(1)求a,b的值;
(2)若射線 EA 和射線 FD 同時旋轉(zhuǎn)，至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線EA和射線 FD 互相垂直?
5. 解:(1)令 3a?2b=7circle1a+2b=5circle2,①+②可得4a=12,解得a=3,將a=3代入①中可得b=1,∴a=3,b=1;
(2)設(shè)至少旋轉(zhuǎn)t秒時,射線 EA 與射線 FD互相垂直，
∵當(dāng)射線 EA⊥AB時,∠A'EA=90°,
∴t=90°÷3°=30,
∴射線 FD旋轉(zhuǎn)的角度為30°,
∴ 當(dāng)射線 EA與射線 FD 相交時,∠AEA'>90°,如解圖，射線 EA 與 FD 的交點為 G，且第一次相交時，∠EGF 從右側(cè)凸出去，
∴∠AEG=(3t)°,∠CFG=180°-t°由“鉛筆頭”模型可知∠AEG+∠EGF+∠CFG=360°,即 3t°+90°+180°?t°=360°解得t=45.
∴ 至少旋轉(zhuǎn)45秒時,射線 EA 和射線 FD 互相垂直
課后練習(xí)
一、單選題
1．如圖，平面鏡與成一定的夾角，一束光線先后經(jīng)平面鏡反射后，反射光線與平行，當(dāng)時，的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
1．C
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)求角度是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C ．
2．如圖，若，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．D
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．首先過點作，由，可得，利用平行線的性質(zhì)，即可求得與的度數(shù)，繼而求得答案．
【詳解】解：過點作，
，
，，
，
故選：D
3．如圖1是某景區(qū)電動升降門，將其抽象為幾何圖形，如圖2所示，垂直于地面于A，當(dāng)平行于地面時，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．D
【分析】過點作，由于，則，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得，由得，所以，于是有．本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，并熟記平行線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點作，如圖：
∵，
∴，
，
，，
，
，
．
故選：D．
4．如圖，， 則的度數(shù)是（ ）
B．C．D．
4．D
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)分別求出和，則．
【詳解】解：如圖，作，則，
，
，
，
，
，
．
故選D．
5．如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中，測得，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
5．A
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，過點C作，得到，進而推出，再求出，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：過點C作，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
二、填空題
6．如圖，，思考解決下列問題：試探究 ．
6．
【分析】本題主要考查學(xué)生歸納總結(jié)找規(guī)律的能力，利用平行線的性質(zhì)的解答本題的關(guān)鍵.分別過、…作直線平行于，利用平行線的性質(zhì)即可求出各組的值；再根據(jù)規(guī)律，歸納總結(jié)得到．
【詳解】當(dāng)有個角時，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補， 得出，
當(dāng)有個角時，過點作直線平行于，同理可得，
當(dāng)有個角時，分別過點、作直線平行于，同理可得，
根據(jù)規(guī)律，可得當(dāng)有個角時， ，
故答案為：．
三、解答題
7．如圖，已知，請回答下列問題：
(1)直接寫出圖形中之間的關(guān)系是________；
(2)直接寫出圖形中之間的關(guān)系是________；
(3)探究出圖形中，之間的關(guān)系，并寫出證明過程．
7．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）過作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角度和差即可求解；
（）過作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角度和差即可求解；
（）過作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角度和差即可求解；
本題考查了平行線的性質(zhì)和平行定理推論，熟練掌握知識點的應(yīng)用及正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：；
（3）如圖，過作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
8．問題情境：如圖1，，，，求度數(shù)．
小明的思路是：過作，通過平行線性質(zhì)來求．
(1)按小明的思路，易求得的度數(shù)為______度；（直接寫出答案）
(2)問題遷移：如圖2，，點在射線上運動，記，，當(dāng)點在、兩點之間運動時，問與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
(3)在（2）的條件下，如果點在、兩點外側(cè)運動時（點與點、、三點不重合），請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．
8．(1)
(2)，理由見解析
(3)當(dāng)在延長線上時，；當(dāng)在延長線上時，．
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類思想的應(yīng)用．
（1）過點作，通過平行線性質(zhì)求即可；
（2）過點作，交于，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；
（3）分兩種情況：在延長線上時，在延長線上時，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，可得出答案．
【詳解】（1）解：過點作，
，
，
，，
，，
，，
．
故答案為：；
（2），
理由：如圖，過點作，交于，
，
，
，，
；
（3）當(dāng)在延長線上時，如圖所示，

由（2）可知，，，
，
當(dāng)在延長線上時，如圖所示，

由（2）可知，，，
．圖示
特點
AB∥CD，點O在平行線之間，連接OB，OC，且兩條線段凸出來
結(jié)論
∠BOC+∠B+∠C=360°
與“M”模型的關(guān)聯(lián)
通過作延長線可知，實線部分為“鉛筆頭”模型，拐點與虛線部分為“M”模型，兩個模型相互依存，同學(xué)們在使用中，可根據(jù)題目條件靈活選擇合適的模型進行計算
拐點個數(shù)
2個
n個
圖示
結(jié)論
∠O? + ∠O? + ( ∠B +∠C)=3×180°
∠O?+∠O?+∠O?+…+∠On+(∠B+∠C)=(n+1)×180°
9．已知，點E是平面內(nèi)一點．
(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若，求的度數(shù)．
9．(1)
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)求角度．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，并正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）如圖1，過點E作，則，，，根據(jù)，計算求解即可；
（2）如圖2，過點E作，則，，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1，過點E作．
圖1
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度數(shù)為；
（2）解：如圖2，過點E作，
圖2
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度數(shù)為．
10．綜合與實踐．
(1)【閱讀理解】如圖，與的邊與互相平行，另一組邊 交于點，且點在，之間，且在直線右側(cè)，證明：．請你完成下面的證明：
解：如圖，過點作．
∴（______）．
∵（______）．
∴______（______）．
∴______．
∴．
∴．
(2)【理解應(yīng)用】如圖，當(dāng)圖中的點在直線左側(cè)時，其它條件不變，若 ，求的度數(shù)；
(3)【拓展提升】與的邊與互相平行，且點在直線 同側(cè)，另一組邊交于點，且點在，之間．若的角平分線與的角平分線交于點，設(shè)，請借助圖和圖，求的度數(shù)（用含的式子表示）．
10．(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；；平行于同一條直線的兩條直線平行；
(2)
(3)或
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，準(zhǔn)確試圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等得，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，進而得，即可得到答案．
（2）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再證，進而得，由此可得，然后根據(jù)，可得出與的和是．
（3）根據(jù)題意分成兩種情況，當(dāng)點在直線右側(cè)時，當(dāng)點在直線左側(cè)時，結(jié)合角平分線的定義，即可得出的度數(shù)．
【詳解】（1）解：如圖，過點作，
∴（兩條直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵（已知），
∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），
∴，
∴，
∴．
故答案為：兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；；平行于同一條直線的兩條直線平行；．
（2）過點作，如圖③所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴與的和是．
（3）分兩種情況討論如下：
當(dāng)點在直線右側(cè)，如圖所示：
設(shè)，，
∵是的角平分線，
∴，，
∵是的角平分線，
∴，，
由（1）的結(jié)論得：，，
∴，
∵，
∴．
當(dāng)點在直線左側(cè)時，如圖所示：
設(shè)，，
∵是的角平分線，
∴，，
∵是的角平分線，
∴，，
由（1）的結(jié)論得：，
由（2）的結(jié)論得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
綜上所述：的度數(shù)為或．

相關(guān)試卷

專題02 M模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）：

這是一份專題02 M模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版），文件包含專題02M模型原卷版docx、專題02M模型解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

專題02 雙角平分線模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）：

這是一份專題02 雙角平分線模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版），文件包含專題02雙角平分線模型原卷版docx、專題02雙角平分線模型解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁， 歡迎下載使用。

專題01 三線八角（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）：

這是一份專題01 三線八角（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版），文件包含專題01三線八角原卷版docx、專題01三線八角解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共15頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題01 雙中點模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）

專題01 雙中點模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）
專題01 8字模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）

專題01 8字模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）
2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)講與練 模型04 相交線與平行線——鉛筆頭模型-原卷版+解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)講與練 模型04 相交線與平行線——鉛筆頭模型-原卷版+解析
初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級下冊7.2 探索平行線的性質(zhì)課后作業(yè)題

初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級下冊7.2 探索平行線的性質(zhì)課后作業(yè)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部