專(zhuān)題05 雙角平分線(xiàn)模型（講練）--2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型全合集（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

三角形中出現(xiàn)兩條角平分線(xiàn)考慮用雙角平分線(xiàn)模型
2. 用模型
通過(guò)三角形的內(nèi)角和，內(nèi)外角關(guān)系及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，建立兩角之間的數(shù)量關(guān)系
雙內(nèi)角平分線(xiàn)型結(jié)論： ∠D=90°+12∠A
證明:∵ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠DBC=12∠ABC,∠DCB=12∠ACB,
∴∠D=180°?∠DBC+∠DCB=180°?12∠ABC+12∠ACB
=180°?12∠ABC+∠ACB
=180°?12180°?∠A
=90°+12∠A.
雙外角平分線(xiàn)型結(jié)論： ∠D=90°?12∠A
證明:∵ BD 平分 ∠EBC,CD 平分. ∠FCB,
∴∠DBC=12∠EBC,∠DCB=12∠FCB,
∴∠D=180°?∠DBC+∠DCB=180°?12∠EBC+12∠FCB
=180°?12∠ACB+∠A+∠ABC+∠A
=180°?12180°+∠A
=90°?12∠A
巧學(xué)巧記：內(nèi)內(nèi)90°加一半，外外90°減一半，內(nèi)外就一半.
思考延伸：一內(nèi)一外平分線(xiàn)型結(jié)論證明，可以利用三角形的內(nèi)外角關(guān)系進(jìn)行證明
拓展方向：三等分角的情況下，角之間的數(shù)量關(guān)系
滿(mǎn)分技法：解題方法同角平分線(xiàn)方法，根據(jù)三角形內(nèi)角和、三角形內(nèi)外角關(guān)系及角度倍數(shù)求解
例1 如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,BO,CO分別平分∠ABC,雙內(nèi)角平分線(xiàn)型∠ACB,若∠ABC+∠ACB=100°,則∠BOC的度數(shù)為 ( )
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
思路點(diǎn)撥:利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC 和∠ACB 的度數(shù),結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可求解.
D 【解析】∵AB=AC,∠ABC+∠ACB=100°,∴∠ABC=∠ACB=50°,∵BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=12∠ABC=25°, ∠OCB=12∠ACB=25°(角平分線(xiàn)的性質(zhì))， ∴∠BOC=180°?25°?25°=130°.
例2 如圖,在△ABC中,CD為∠ACB的平分線(xiàn),DB為∠ABE的平分線(xiàn),CD與BD 相交于點(diǎn) D,若∠A=60°,則∠D的度數(shù)為 .
30°【解析】∵ CD 平分∠ACB,DB 平分∠ABE,∠A=60°,根據(jù)“一內(nèi)一外角平分
線(xiàn)”模型可得： ∠D=12∠A=30°.
針對(duì)訓(xùn)練
1. 如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB 的平分線(xiàn)與四邊形 ABCD 的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn) P，且∠ADC+∠DCB=210°,則∠P的度數(shù)為 ( )
10° B. 15° C. 30° D. 40°
1. B 【解析】∵∠ADC+∠DCB=210°,∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC = 360°,∴ ∠DAB+∠ABC=150°.又∵∠DAB 的平分線(xiàn)與四邊形ABCD的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn) P[一內(nèi)一外平分線(xiàn)型]，. ∴∠PAB+∠ABP=12∠DAB+ ∠ABC+12180°?∠ABC=90°+12(∠DAB+∠ABC)= 165°, ∴∠P = 180°-(∠PAB+∠ABP)=15°.
2. 如圖,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分別平分△ABC的∠EAC、∠ABC、∠ACF.以下結(jié)論:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③DB平分∠ADC;④∠ADC=90°-∠ABD.其中正確的結(jié)論有 ( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè)
C. 2個(gè) D. 3個(gè)
2. D 【解析】∵ AD 平分∠EAC,∴ ∠EAC=2∠EAD,∵∠EAC =∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,∴①正確;∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,∴ ∠ACB = 2 ∠ADB，∴ ② 正確;∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠DBC= 12∠ABC,∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°- 12∠ABC[雙外角平分線(xiàn)型],∴∠ADB≠∠CDB,∴③錯(cuò)誤; ∴∠ADC=90°?12∠ABC, ∠ABD=12∠ABC,∴∠ADC=90°?∠ABD,∴④正確.綜上所述，正確的結(jié)論有 3個(gè).
3. (創(chuàng)新題型-填空雙空題)如圖,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC 的平分線(xiàn)與∠ACD 的平分線(xiàn)交于點(diǎn) A?，則. ∠A?=;∠A?BC的平分線(xiàn)與∠A?CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A?,得∠A?,…,∠A????BC 的平分線(xiàn)與∠A????CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn) A????,則, ∠A????=
3.35°;70°22023 【解析】∵ ∠A=70°,BA?,CA?分別平分 ∠ABC,∠ACD,∴∠A1=12∠A=35°[一內(nèi)一外平分線(xiàn)型]，同理可得， ∠A?=12∠A1=70°22,由此可得 ∠A2023=12∠A2022= 122023∠A=70°22023.
4. 如圖,在△ABC中,AD 是高,∠BAC,∠ABC的平分線(xiàn)AE,BF 相交于點(diǎn) O.
(1)若∠ABC=60°,∠C=40°,求∠DAE 的度數(shù)；
(2)若∠C=60°,求∠BOE的度數(shù);
(3)若∠ABC=α,∠C=β(α>β),則∠DAE= ,∠BOE= .(用含α,β的式子表示)
4. 解:(1)∵∠ABC=60°,∠C=40°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-60°- 40°=80°,
∵ AE 是∠BAC 的平分線(xiàn),
∴∠EAC=12∠BAC=12×80°=40°,
∵AD 是△ABC的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠CAD=90°?∠C=90°?40°=50°,
∴∠DAE=∠CAD?∠EAC=50°?40°=10°;
(2)∵AE,BF 分別是∠BAC,∠ABC的平分線(xiàn),
∴∠OAB=12∠BAC,∠OBA=12∠ABC,
∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)=12180°?∠C=12×(180°? 60°)=60°;
312α?β,90°?12β.
【解法提示】∵ ∠ABC=α,∠C=β,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C = 180°-α-β,∵ AE 是∠BAC 的平分線(xiàn), ∴∠EAC=12∠BAC= 12180°?α?β,∵ AD 是 △ABC 的高,∴∠ADC=90°,∴ ∠CAD=90°-∠C=90°-β,∴ ∠DAE = ∠CAD --∠EAC = 90°-β- 12180°?α?β=12α?β;?AE,BF分別是∠BAC,∠ABC 的平分線(xiàn),∴ ∠OAB = 12∠BAC,∠OBA=12∠ABC,∴∠BOE= ∠OAB+∠OBA=12∠BAC+∠ABC= 12180°?∠C=12×180°?β=90°?12β
課后練習(xí)
1.如圖，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DF，DF恰好平分∠EFC，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，若EF=5，則DG的長(zhǎng)為_(kāi)___________.
1.5√32
【解析】設(shè)AD與EF交于點(diǎn)H
方法一：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAH=∠CAD=30°
∵EF垂直平分AD
∴∠AHE=90°， AF=FD
∴∠AEF=60°
∴△AEF為等邊三角形
∴FD=AF=EF=5
∴∠CAD=∠FDA=30°
∴∠DFG=60°
∴DG=cs∠FDG·DF=5√32
方法二：∵EF垂直平分AD，AD平分∠BAC，
∴△EHA≌△FHA
∴EH=HF
∴AH=EH·tan∠AEH=5√32
∴DH=AH=5√32
∵DF平分∠HFG，DF⊥GF
∴DG=DH=5√32
2.如圖，在△ABC中，CD為∠ACB的平分線(xiàn)，DB為∠ABE的平分線(xiàn)，CD與BD相交于點(diǎn)D，若∠A=60°，則∠D的度數(shù)為_(kāi)_______.
2.30°
3.如圖，在△ABC中，∠ABD= 13∠ABC，∠BAE= 13∠BAC，若∠AED=35°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)________.
3.75°【雙內(nèi)角三等分線(xiàn)模型】
4.如圖，在△ABC中，∠A=120°，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，則∠BDC=_______，若BG，CG分別是∠ABC，∠ACB的外角平分線(xiàn)，則∠G=_______.
4.150° 30°
【解析】在△ABC中，∵BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD= 12∠ABC，∠ACD= 12∠ACB，
∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- 12(∠ABC+∠ACB)=180°- 12(180°-∠A)=90°+ 12∠A=150°
【雙內(nèi)角平分線(xiàn)模型】
∵BG，CG分別是∠ABC，∠ACB的外角平分線(xiàn)
∴∠GBC+∠GCB= 12(∠EBC+∠FCB)= 12(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°- 12(∠ABC+∠ACB)=180°- 12(180°-∠A)=150°
∴∠G=180°-150°=30°【雙外角平分線(xiàn)模型】
5.如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC+∠ACB=100°，則∠BOC的度數(shù)為（）
A.100° B.110° C.120° D.130°
5.D
6.如圖，BH是∠ABC的平分線(xiàn)，BD和CD是△ABC兩個(gè)外角的平分線(xiàn)，延長(zhǎng)DC與BH交于點(diǎn)H，若∠D=60°，∠ACB=65°，則∠HBC的度數(shù)為（）
A.27.5° B.30° C.32.5° D.35°
6.A
【解析】∠D=90°- 12∠A【雙外角平分線(xiàn)模型】
∵∠D=60°，∴∠A=60°
∵∠ACB=65°，∴∠ABC=55°【三角形內(nèi)角和】
∵BH是∠ABC的平分線(xiàn)
∴∠HBC=27.5°
7.如圖，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線(xiàn)與∠A1CD的平分線(xiàn)交于A2，得∠A2，…，∠A2023BC的平分線(xiàn)與∠A2023CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2024，則∠A2024=________.
7.70°22024【一內(nèi)一外角平分線(xiàn)】
8．（2023秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）已知：如圖（1），在中，、分別平分和，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；（2）已知：如圖（2），在四邊形中，、分別平分和，試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）∵平分，∴．同理，．
∴ ；
（2）∵平分，∴．同理，．
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類(lèi)題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．
9．（23-24八年級(jí)上·山東青島·期末）【基礎(chǔ)探究1】（1）如圖1，中，平分，平分，探求與之間的數(shù)量關(guān)系；
【基礎(chǔ)探究2】（2）如圖2，中，、是的三等分線(xiàn)，、是的三等分線(xiàn)，則與之間的數(shù)量關(guān)系是______；
【基礎(chǔ)探究3】（3）如圖3，中，、、是的四等分線(xiàn)，、、是的四等分線(xiàn)，則與之間的數(shù)量關(guān)系是______；
【拓展與探究】（4）如圖4，中，、、……、、是的等分線(xiàn)，、、……、、是的等分線(xiàn)，請(qǐng)用一個(gè)等式表示、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是______；
【探究與應(yīng)用】（5）中，、、……、是的2024等分線(xiàn)，、、……、是的2024等分線(xiàn)，若與的和是的7倍，則______．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105
【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，n等分線(xiàn)的定義．
（1）由三角形的內(nèi)角和定理可得，由角平分線(xiàn)得到，，從而；
（2）由三等分線(xiàn)可得，，從而；
（3）同（2）思路即可求解；
（4）同（2）（3）思路即可，，兩式相加即可解答；
（5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答．
【詳解】解：（1）∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴
．
（2）∵、是的三等分線(xiàn)，、是的三等分線(xiàn)，
∴，，
∴
．故答案為：
（3）∵、、是的四等分線(xiàn)，、、是的四等分線(xiàn)，
∴，，
∴
．故答案為：
（4）∵、、……、、是的等分線(xiàn)，、、……、、是的等分線(xiàn)，∴，，，，
∴
，
，
∴．
故答案為：
（5）∵、、……、是的2024等分線(xiàn)，、、……、是的2024等分線(xiàn)，
∴，，，，
∴
，
，
∴，
∵∴，∴，
同理可得．故答案為：105
10．（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┲?，．現(xiàn)進(jìn)行第一次操作：如圖1作射線(xiàn)，使得，作射線(xiàn)，使得．再進(jìn)行第二次操作：如圖2作射線(xiàn)，使得，作射線(xiàn)，使得．再進(jìn)行第三次操作：如圖3作射線(xiàn)使得，作射線(xiàn)，使得．則．
【答案】/20度
【分析】在第一次操作中根據(jù)角平分線(xiàn)及三角形外角性質(zhì)推出，；第二次操作根據(jù)已知條件推出，，第三次操作根據(jù)已知條件推出，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理推出的度數(shù)．
【詳解】解：第一次操作：，，
，，
，，
第二次操作：，，
，，
第三次操作：，，
，，
；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記三角形的內(nèi)角和等于和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解此題的關(guān)鍵．
11.（2023秋·成都市·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，則．
【答案】61°
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．
【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線(xiàn)的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義是解答的關(guān)鍵．
12．（23-24八年級(jí)上·甘肅天水·期末）（1）如圖①，是的外角，平分，平分，且、交于點(diǎn)．如果，，求的度數(shù)；
（2）如圖②，點(diǎn)是兩外角平分線(xiàn)、的交點(diǎn)，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2），見(jiàn)解析；
【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)、三角形外角的定義和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握三角形外角的定義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)外角的性質(zhì)，可得，結(jié)合角平分線(xiàn)的定義可得，，，然后由求解即可；
（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形外角的性質(zhì)可得，，由三角形內(nèi)角和定理可得，即有，然后結(jié)合，即可證明結(jié)論．
【詳解】如圖所示：
解：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)得，
平分，平分，，，
，；
（2）、是兩外角的平分線(xiàn)，，，
而，，，，
，，
即，
，．
13．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線(xiàn)的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．
（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；
（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線(xiàn)與△ABC的外角∠ABD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫(xiě)出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）∠BPC＝122°；（2）∠BEC＝；（3）∠BQC＝90°﹣∠A，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和化為角平分線(xiàn)的定義；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線(xiàn)的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．
【詳解】解：（1）、分別平分和，
，，
，，
，，，故答案為：；
（2）和分別是和的角平分線(xiàn)，，，
又是的一外角，，，
是的一外角，；
（3），，
，，
，結(jié)論：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
14．（2023秋·成都市·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，則．
【答案】61°
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．
【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線(xiàn)的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義是解答的關(guān)鍵．
15．（2023·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知在中，、的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù).
【答案】
【分析】運(yùn)用角平分線(xiàn)的知識(shí)列出等式求解即可．解答過(guò)程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)系．
【詳解】解：∠B、∠C的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)G，
在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線(xiàn)的知識(shí)．此類(lèi)題的關(guān)鍵是找出與之相關(guān)的等量關(guān)系簡(jiǎn)化計(jì)算得出．
16．（2023·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分線(xiàn)，BD是△ABC的外角平分線(xiàn)，AD與BD交于點(diǎn)D，那么∠D= °．
【答案】25°
【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵AD是∠CAB的平分線(xiàn)，BD是△ABC的外角平分線(xiàn)，
∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，
∴∠D=∠DBE-∠DAE=（∠CBE-∠CAE）=∠C=25°，故答案為：25°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
17.（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，則∠A等于（）
A．36°B．30°C．20°D．18°
【答案】A
【分析】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代換，即可求得∠A與∠E的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．
又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），
∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故選A．
18．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖所示，在△ABC中，BO,CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)，證明：∠BOC=90°+12∠A．
（2）如圖所示，△ABC的外角平分線(xiàn)BD和CD相交于點(diǎn)D，證明：∠BDC=90°?12∠A．
（3）如圖所示，△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)BD和外角平分線(xiàn)CD相交于點(diǎn)D，證明：∠D=12∠A．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【詳解】（1）設(shè)∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO=y．
由△ABC的內(nèi)角和為180°，得∠A+2x+2y=180°．①
由△BOC的內(nèi)角和為180°，得∠BOC+x+y=180°．②
由②得x+y=180°?∠BOC．③
把③代入①，得∠A+2180°?∠BOC=180°，
即2∠BOC=180°+∠A，
即∠BOC=90°+12∠A
（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)，
∴∠BCD=12∠A+∠ABC、∠DBC=12∠A+∠ACB，
由三角形內(nèi)角和定理得，∠BDC=180°?∠BCD?∠DBC，
=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-12（∠A+180°），
=90°-12∠A；
（3）如圖：
∵BD為△ABC的角平分線(xiàn)，交AC與點(diǎn)E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線(xiàn)，兩角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D
∴∠1=∠2，∠5=12（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=12∠A．
【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)常規(guī)題．
19．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
①當(dāng)∠A=60°時(shí)，求∠D的度數(shù).
②猜想∠A與∠D有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.
（2）如圖（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請(qǐng)你直接寫(xiě)出正確的結(jié)論（不用寫(xiě)出證明過(guò)程）.

【答案】（1）①120°；②∠D=90°+12∠A，證明見(jiàn)解析；（2）不正確，∠D=90°?12∠A
【分析】（1）①首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)定義求出∠DBC+∠DCB的度數(shù)，然后再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；
②首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)定義求出∠DBC+∠DCB的度數(shù)，然后再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠D 的度數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，然后根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠PBC+∠QCB，然后根據(jù)角平分線(xiàn)定義求出∠DBC+∠DCB的度數(shù)，然后再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠D的度數(shù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）①∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?60°=120° ．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12∠ABC+∠ACB=12×120°=60°，
∴∠D=180°?60°=120°；
（2）①∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A ．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12∠ABC+∠ACB=90°?12∠A，
∴∠D=180°?∠DBC+∠DCB=90°+12∠A ；
（2）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A ，
∴∠PBC+∠QCB=180°?∠ABC+180°?∠ACB=180°+∠A ．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12∠PBC+∠QCB=90°+12∠A，
∴∠D=180°?∠DBC+∠DCB=90°?12∠A ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．
20.如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖③，延長(zhǎng)線(xiàn)段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．
解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣；
（3）延長(zhǎng)BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線(xiàn)，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線(xiàn)，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，則90°﹣=，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，則＝2（90°﹣），解得∠A＝120°．
綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．
21．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線(xiàn)與∠ABC的鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用四邊形內(nèi)角和是可以求得．然后由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義求得的度數(shù)，所以根據(jù)的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)即可．
【詳解】
解：，，
．
又的角平分線(xiàn)與的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理、多邊形的內(nèi)角與外角．熟知“四邊形的內(nèi)角和是”是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BO與∠ACB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，若∠DOC＝48°，則∠D＝_____°．
【答案】42
【解析】
【分析】
根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，
∴∠ACO＝∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝×180°＝90°，
∵∠DOC＝48°，
∴∠D＝90°﹣48°＝42°，
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線(xiàn)和三角形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求角．
23．如圖，等腰中，頂角，點(diǎn)E，F(xiàn)是內(nèi)角與外角三等分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接EF，則_________．
【答案】14
【解析】
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求∠ABC和∠ACB，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠ACD，再根據(jù)三等分線(xiàn)的定義與和差關(guān)系可求∠FBC和∠BCF，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求∠BFC．
【詳解】
解：∵等腰△ABC中，頂角∠A=42，
∴∠ABC=∠ACB=×（180-42）=69，
∴∠ACD=111，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD三等分線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴∠FBC=×69=23，∠FCA=×111=74，
∴∠BCF=143，
∴∠BFC=180-23-143=14．
故答案為：14．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是找到角與角之間的關(guān)系．
24．如圖，在△ABC中，∠A＝96°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A1，則∠A1＝__，若∠A1BC與∠A1CD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A2，則∠A2＝__，…，以此類(lèi)推，則∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)An，則∠An的度數(shù)為_(kāi)_．
【答案】 48°， 24°， 96°×
【解析】
【分析】
利用角平分線(xiàn)的定義和三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)計(jì)算．
【詳解】
解：∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝96°，
∴∠A1＝48°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝2×2∠A2＝96°，
∴∠A2＝24°，
∴∠A＝2n，
∴ ．
故答案為48°，24°，96°×．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型
雙內(nèi)角平分線(xiàn)型
雙外角平分線(xiàn)型
一內(nèi)一外平分線(xiàn)型
圖示
特點(diǎn)
在△ABC 中,BD,CD分別是∠ABC,∠ACB的平分線(xiàn)
在△ABC 中,BD,CD分別是∠EBC,∠FCB的平分線(xiàn)
在 △ABC 中,BD,CD 分別是∠ABC,∠ACE的平分線(xiàn)
結(jié)論
∠D=90°+12∠A
∠D=90°-12∠A
∠D=12∠A
類(lèi)型
雙內(nèi)角三等分線(xiàn)型
雙外角三等分線(xiàn)型
一內(nèi)一外三等分線(xiàn)型
圖示
特點(diǎn)
在△ABC中,∠DBC=13∠ABC,∠DCB=13∠ACB
在△ABC 中,∠DBC=13∠EBC,∠DCB=13∠FCB
在△ABC 中,∠DBC=13∠ABC,∠DCE=13∠ACE
結(jié)論
∠D=120°+13∠A
∠D=120°-13∠A
∠D=13∠A

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