模型分析
【理論基礎(chǔ)】角平分線的概念：如圖，已知OC是的角平分線
【模型變式1】雙中點(diǎn)求和型
如圖已知OC是內(nèi)任意一條射線，射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線
【證明】
射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線
【模型總結(jié)】某個(gè)角內(nèi)的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)角，這兩個(gè)角的平分線形成的角等于原來角的一半。
【模型變式2】雙中點(diǎn)求差型
如圖已知OB是外任意一條射線，射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線
【證明】
射線OE是的角平分線，射線OF是的角平分線
【模型總結(jié)】某個(gè)角外的一條射線，以該射線為鄰邊的兩個(gè)角的平分線形成的角等于原來角的一半。
典例分析
【例1】如圖，已知和互余，、分別平分和，，則_______________°．
【答案】
【分析】根據(jù)余角的定義以及角平分線的定義解答即可．
【解析】解：∵、分別平分和，，
∴，，
∴，
∴①，
又∵和互余，
∴②，
①＋②，得：，
解得：．
故答案為：．
【例2】如圖，∠AOB=120°，OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的角平分線，下列敘述正確的是（ ）
A．∠DOE的度數(shù)不能確定B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD
【答案】C
【分析】依據(jù)OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，結(jié)合選項(xiàng)得出正確結(jié)論．
【解析】∵OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，
∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，
∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．
故選C．
【例3】如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．
(1)如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC＝60°時(shí)，求∠MON的度數(shù)是多少？
(2)如圖2，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝60°時(shí)，嘗試發(fā)現(xiàn)∠MON與α的數(shù)量關(guān)系；
(3)如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時(shí)，
①猜想：∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？直接寫出結(jié)論即可；
②當(dāng)∠CON＝3∠BOM時(shí)，直接寫出α、β之間的數(shù)量關(guān)系
【答案】(1)45°
(2)∠MON=α
(3)① ∠MON=α；②α=β或=β
【分析】（1）求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（3）①求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
②分OM、ON在OB的異側(cè)和同側(cè)兩種情況求解．
【解析】(1)∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90 °，∠BOC=60° ，
∴∠COA=∠AOB+ ∠BOC=90° +60°=150° ．
∵OM 平分∠AOC，
∴∠COM=∠COA=75°，
∵ON平分∠BOC，
∴ ∠CON=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°
(2)∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠COA=α+60°，
∵OM 平分∠AOC，
∴∠COM=∠COA=(α+60°)，
∵ON平分∠BOC，
∴ ∠CON=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+60°)-30°=α．
(3)①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠COA=∠AOB+ ∠BOC=α+β．
∵OM 平分∠AOC，
∴∠COM=∠COA=(α+β)，
∵ON平分∠BOC，
∴ ∠CON=∠BOC=β，
∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+β)- β=α．
②當(dāng)OM、ON在OB的異側(cè)時(shí)，如圖3-1，
∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，
∴∠BOM=(α+β)- β=(α-β)，
∵∠CON＝3∠BOM時(shí)，∠CON =β，
∴β=3×(α-β)，
∴α=β；
當(dāng)OM、ON在OB的同側(cè)時(shí)，如圖3-2，
∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，
∴∠BOM= β-(α+β) =(β-α)，
∵∠CON＝3∠BOM時(shí)，∠CON =β，
∴β=3×(β-α)，
∴α=β．
綜上可知，α=β或=β．
模型演練
一、單選題
1．如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度數(shù)為（ ）
A．96°B．104°C．114°D．124°
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BGH，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BGM=∠BGH，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式計(jì)算即可得解．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BGH=180°-∠GHM=180°-48°=132°，
∵GM平分∠BGH，
∴∠BGM=∠BGH =×132°=66°，
∵AB∥CD，
∴∠GMD=180°-∠BGM =180°-66°=114°．
故選：C．
2．如圖，∠AOC與∠BOC互為余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，則∠AOE的大小是（ ）
A．12°B．15°C．18°D．24°
【答案】C
【分析】利用角平分線求出∠BOC＝36°，利用∠AOC與∠BOC互為余角，求出∠AOC＝90-36°=54°，再根據(jù)∠EOC＝2∠AOE，即可求出∠AOE=18°．
【解析】解：∵∠COD＝18°，OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝36°，
∵∠AOC與∠BOC互為余角，
∴∠AOC＝90°-36°=54°
∵∠EOC＝2∠AOE，
∴3∠AOE=54°，
∴∠AOE=18°．
故選：C
3．如圖，直線AB，CD，EO相交于點(diǎn)O，已知OA平分∠EOC，若∠EOC:∠EOD＝2:3，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．40°B．37°C．36°D．35°
【答案】C
【分析】根據(jù)與得到，根據(jù) 平分得到 ，最后根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出．
【解析】解：，，
，
，
平分，
，
．
故選：C．
4．如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，則∠3的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的定義即可得到的度數(shù)，再根據(jù)角平分線即可得出的度數(shù)．
【解析】解：，，
，
，
又平分，
．
故選：D．
5．（2022·山東東營·二模）如圖，，點(diǎn)O在上，平分，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，∠D＝110°，求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，利用OE平分∠BOD，得到∠DOE＝55°，由∠FOE＝90°求出∠DOF＝90°﹣55°＝35°，即可求出∠AOF的度數(shù)．
【解析】解：∵，
∴∠AOD+∠D＝180°，∠DOB=∠D，
∵∠D＝110°，
∴∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝70°﹣35°＝35°，故D正確．
故選：D．
二、填空題
6．（2022·湖南長沙·七年級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分，OF平分．若，則的度數(shù)為______°．
【答案】33
【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等求出，再由角平分線定義得，由鄰補(bǔ)角得，再根據(jù)角平分線定義得，從而可得結(jié)論．
【解析】解：∵是對(duì)頂角，
∴
∵OE平分，
∴
∴，
∵OF平分．
∴
又，
∴，
故答案為：33
7．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠BOF=30°，則∠DOE=_______°．
【答案】40
【分析】利用角平分線定義列式計(jì)算即可求出所求．
【解析】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
設(shè)∠BOE=∠DOE=x，則有∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=（180°-x）=90°-x，
由題意得：∠EOF-∠BOE=∠BOF=30°，即90°-x-x=30°，
解得：x=40°，
則∠DOE=40°．
故答案為：40．
8．如圖，直線、交于點(diǎn)，，是的平分線，是的平分線，，則_____________．
【答案】
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角求得，，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)對(duì)頂角求得，根據(jù)角平分線的定義求得，，根據(jù)即可求解．
【解析】解：，
，
，
，
，
是的平分線，是的平分線，
，，
又，
故答案為：．
9．如圖，已知射線在內(nèi)部，平分，平分，平分，現(xiàn)給出以下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）______．
【答案】①②④
【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結(jié)論；
②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，得出，即可得出結(jié)論；
③無法證明；
④根據(jù)，得出，，即可得出結(jié)論．
【解析】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，
，
，
，
即，
∴，故①正確；
②∵
，
∴，故②正確；
③與不一定相等，故③錯(cuò)誤；
④根據(jù)解析②可知，，
∴，
∵，
∴，故④正確；
綜上分析可知，正確的有①②④．
故答案為：①②④．
10．如圖，∠COD在∠AOB的內(nèi)部，且，若將∠COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠COD在∠AOB的外部，在運(yùn)動(dòng)過程中，OE平分∠BOC，則∠DOE與∠AOC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 _____．
【答案】或
【分析】分情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過，不超過時(shí)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖，利用角之間的關(guān)系計(jì)算即可．
【解析】解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過時(shí)，如圖：
∴，
，
∵， OE平分∠BOC，
∴，，
∴．
當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過，不超過時(shí)，如圖，
∴，
，
∵， OE平分∠BOC，
∴，，
∴．
三、解答題
11．如圖，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．
【答案】120°，30°
【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線，求得、的度數(shù)．
【解析】∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°
∴∠BOE=∠AOB =45°
又∵∠EOF=60°
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°
又∵OF平分∠BOC
∴∠BOC=2∠BOF=30°
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
12．如圖，為直線上的一點(diǎn)，，平分，．
(1)求的度數(shù)；
(2)是的平分線嗎？為什么？
【答案】(1)
(2)是的平分線，理由見解析
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可知∠1的度數(shù)，再利用互補(bǔ)即可算出∠BOD的度數(shù)；
（2）想要判斷OE是否為∠BOC的平分線，只需分別計(jì)算出∠3和∠4的度數(shù)，看它們是否相等．
【解析】（1）解：，平分，，，；
（2）解：是的平分線． 理由如下：，，，，，，，是的平分線．
13．已知O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O向直線AB上方引兩條射線OC，OD，且OC平分．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D①中的內(nèi)部畫一條射線OE，使得OE平分，并求此時(shí)的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖②，若在內(nèi)部畫的射線OE，恰好使得，且，求此時(shí)的度數(shù)．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的度數(shù)為．
【分析】由角平分線的定義得出，，．
（2）設(shè)，則，，根據(jù)平角的定義列等式求出結(jié)果即可．
【解析】（Ⅰ）如圖，
∵OC平分，OE平分，
∴，，
∴．
（Ⅱ）如下圖，設(shè)，
根據(jù)題意得．
∵，
∴．
∵OC平分，
∴，
∵，
∴．
解得：．∴．
∴的度數(shù)為．
14．已知：如圖所示（1），和共頂點(diǎn)，重合，為的平分線，為的平分線，， .

（1）如圖所示（2），若，，則_______.
（2）如圖所示（3），若繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，求.
（3）如圖所示（4），若，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，平分，以下兩個(gè)結(jié)論：①為定值；②為定值；請(qǐng)選擇正確的結(jié)論，并說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）①.
【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)即可得出∠MON＝∠AOD＋∠BOC，進(jìn)而求出即可；
（2）∠BOD＝γ，而，，進(jìn)而得出即可；
（3）利用已知表示出∠COE和∠AOD，進(jìn)而得出答案．
【解析】解：（1）（1）∵OM為∠AOD的平分線，ON為∠BOC的平分線，∠AOB＝α，∠COD＝β，α＝90゜，β＝30゜，
∴∠MON＝α＋β＝60°；
故答案為60°；
（2），，；
（3）①,
設(shè)，則，，
∴.

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型02 幾何圖形初步——雙角平分線-（原卷版+解析）：

這是一份中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型02 幾何圖形初步——雙角平分線-（原卷版+解析），共14頁。

專題22 對(duì)角互補(bǔ)模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：

這是一份專題22 對(duì)角互補(bǔ)模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練，共41頁。

專題17 旋轉(zhuǎn)相似模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：

這是一份專題17 旋轉(zhuǎn)相似模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練，共33頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題05 三角形中的角平分線模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練

專題05 三角形中的角平分線模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練
專題32 幾何變換之旋轉(zhuǎn)模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練

專題32 幾何變換之旋轉(zhuǎn)模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練
專題31 幾何變換之翻折模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練

專題31 幾何變換之翻折模型（教師版）-中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練
專題02 角平分線模型 2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點(diǎn)突破（全國通用）

專題02 角平分線模型 2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點(diǎn)突破（全國通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部