1. 若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查了二次根式有意義的條件．注意二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．
由二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，可得，繼而求得答案．
【詳解】解：∵二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
∴．
故選：A
2. 下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：，不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
，不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)C正確；
，不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選C．
3. 已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為和1，則第三邊長(zhǎng)為（ ）
A. B. 2C. 或2D. 或4
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，分兩種情況，①當(dāng)和1均為直角邊時(shí)，②當(dāng)1為直角邊，為斜邊時(shí)，根據(jù)勾股定理分別求出第三條邊長(zhǎng)即可．
【詳解】解：分兩種情況：
①當(dāng)和1均為直角邊時(shí)，第三條邊長(zhǎng)；
②當(dāng)1為直角邊，為斜邊時(shí)，第三條邊長(zhǎng)；
綜上所述，第三邊長(zhǎng)為或2，
故選：C．
4. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則分析判斷即可．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)正確，符合題意；
B、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、與不是同類(lèi)二次根式，不能進(jìn)行加法運(yùn)算，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、與不是同類(lèi)二次根式，不能進(jìn)行減法運(yùn)算，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，
故選：A．
5. 如圖，在中，，分別以點(diǎn)、為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接、．若，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查勾股定理，尺規(guī)作圖—作線段，根據(jù)作圖可知：，勾股定理求出的長(zhǎng)，利用周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由作圖可知：，
∵，，，
∴，
∴，
∴的周長(zhǎng)為；
故選C．
6. 如圖所示的所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，在圖中找出若干個(gè)圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，下列給出的方案中不正確的是（ ）
A. ③④B. ②⑤⑥C. ④⑦⑨D. ③⑧⑩
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查勾股定理，應(yīng)用勾股定理和正方形的面積公式，即可求解．
【詳解】解：如圖，
正方形③的面積，正方形④的面積，正方形①的面積，
由勾股定理得到：，
∴正方形③和④的面積的和等于最大正方形①的面積，
故A不符合題意；
由勾股定理和正方形的面積公式得到⑦⑨的面積的和等于③的面積，⑧⑩的面積大的和等于④的面積的和，
∴④⑦⑨的面積的和等于最大正方形①的面積，③⑧⑩的面積的和等于最大正方形①的面積，
故C、D不符合題意；
由已知條件不能證明②⑤⑥的面積的和等于最大正方形①的面積，
故B符合題意．
故選：B．
二、填空題（每小題3分，共15分）
7. 計(jì)算：________．
【答案】7
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故答案為：7．
8. 化簡(jiǎn)的結(jié)果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把化簡(jiǎn)為，約分后再進(jìn)行分母有理化運(yùn)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：
=
=
=
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的除法，正確進(jìn)行分母有理化運(yùn)算昌解答本題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形旋轉(zhuǎn)，勾股定理，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，
∴，，
∴，
∵以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，
∴，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
故答案為：．
10. 如圖，兩個(gè)正方形的面積分別是64和49，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)________．
【答案】17
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB、BD、DC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵兩個(gè)正方形的面積分別是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根據(jù)勾股定理得：AC＝．
故答案為:17.
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和勾股定理,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理.
11. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段B′F的長(zhǎng)為_(kāi)____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可知，再利用等面積法可求出的長(zhǎng)度，根據(jù)折疊，推出.
【詳解】解：∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∵折疊
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，熟知折疊以前的圖形與折疊以后的圖形是全等的和利用等面積法求高是解題關(guān)鍵.
三、解答題（本大題共11小題，共87分）
12. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式的計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
．
13. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算，再合并同類(lèi)二次根式即可．
【詳解】解：
．
14. 如圖，等腰三角形中，，且．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)出未知數(shù)、借助勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．
（1）在中，設(shè)，，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：中，設(shè)，，
∵
∴，解得：，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴．
15. 已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2
【解析】
【分析】（1）將x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）計(jì)算即可；
（2）將x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)x＝，y＝時(shí)，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+）×（﹣）
＝2×（1﹣）
＝2﹣2；
（2）當(dāng)x＝，y＝時(shí)，
原式＝（x﹣y）2
＝（﹣）2
＝（1﹣）2
＝1﹣2+2
＝3﹣2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式與平方差公式的運(yùn)用．
16. 圖①、圖②、圖③是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中畫(huà)圖，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中，找一格點(diǎn)，使是面積為3的等腰三角形；
（2）在圖②中，找一格點(diǎn)，使是面積為4的等腰三角形；
（3）在圖③中，找一格點(diǎn)，使是面積為5的等腰三角形．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識(shí)．
（1）畫(huà)一個(gè)底為2，高為3的等腰三角形即可；
（2）畫(huà)一個(gè)底和高都為的等腰三角形即可；
（3）畫(huà)一個(gè)底和高都為的等腰三角形即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖①所示，即為所求；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖②所示，即為所求；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖③所示，即為所求．
17. 【閱讀理解】
愛(ài)思考的小名在解決問(wèn)題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：
∵，
．
∴，即．
∴．
∴．
請(qǐng)你根據(jù)小名的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
（1）計(jì)算：______；
（2）計(jì)算：______；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）2
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，求代數(shù)式的值；
（1）仿照題的方法化簡(jiǎn)即可；
（2）把每項(xiàng)按照題中方法化簡(jiǎn)，再相加減即可；
（3）仿照題中方法求代數(shù)式值的方法求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：
，
故答案為：9；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
18. 如圖，一架米長(zhǎng)的梯子斜靠在豎直的墻上，這時(shí)底端到墻角的距離為米．
（1）此時(shí)，這架梯子的頂端距離地面有多高？
（2）如果梯子的底端向內(nèi)移動(dòng)米，則頂端沿墻向上移動(dòng)多少米？
【答案】（1）這架梯子的頂端到地面的距離為；
（2）梯子的頂端沿墻向上移動(dòng)了．
【解析】
【分析】（）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（）先求出，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，然后即可求解；
本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，勾股定理在直角三角形中的正確運(yùn)用，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：在中，由勾股定理得，
即，所以，
即這架梯子的頂端到地面的距離為；
【小問(wèn)2詳解】
解：，，
在中，由勾股定理得，
即，
∴，
∴，
即梯子的頂端沿墻向上移動(dòng)了．
19. 【題目】求的整數(shù)部分．
【解題方法】方法一：由，得，
，
的整數(shù)部分是1．
方法二：如圖①，正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理可求得對(duì)角線的長(zhǎng)為，再由三邊關(guān)系可求得，進(jìn)而求得的整數(shù)部分是1．
【應(yīng)用】
（1）利用方法一求的小數(shù)部分；
（2）如圖②，在的正方形網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．借助圖②，利用方法二說(shuō)明與的大小關(guān)系．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的估算，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得到，即可得到答案；
（2）由勾股定理可求得，，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到，即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：由，得，
，
的小數(shù)部分是．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，由勾股定理可求得，，，
在中，，
．
20. 【感知】如圖①，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，它巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，下面是小明不完整的證明過(guò)程：
解：設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為，圖形的總面積可以表示為，
亦可表示為 ，
即可證得，．
（1）將小明證明過(guò)程補(bǔ)充完整；
（2）若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為 ；
【探究】如圖②，小明將圖①的趙爽弦圖里的4個(gè)全等的直角三角形適當(dāng)拼合，并作出一條輔助線，其他條件沒(méi)變，請(qǐng)利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理；
【應(yīng)用】如圖③，在中，，，，是邊上的高，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】（1）（2）5；探究：見(jiàn)解析；應(yīng)用：
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理的證明和應(yīng)用、完全平方公式與幾何圖形的面積等知識(shí)點(diǎn)．
（1）根據(jù)大正方形的面積還可以表示為4個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積的和，表示出來(lái)即可；
（2）觀察圖形可知，小正方形的面積大正方形的面積個(gè)直角三角形的面積，利用已知，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出小正方形的面積；
探究：根據(jù)圖形的總面積等于一個(gè)大正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，然后整理即可得證；
應(yīng)用：設(shè)，則，由勾股定理得，，即可得關(guān)于x的方程，解方程即可．
【詳解】解：（1）解：設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為，圖形的總面積可以表示為，
亦可表示為，
即可證得，．
故答案為：；
（2）由可知，
∵大正方形的面積為13，
∴，
∴，
∴小正方形的面積為，
故答案為：5；
探究：圖形的總面積可以表示為，
亦可表示為，
，
；
應(yīng)用：設(shè)，則，
在中，，即，
在中，，即，
∴，
解得，
∴．
21. 如圖，把兩個(gè)大小相同的含角的直角三角尺如圖放置，使點(diǎn)、、在同一條直線上，且直角頂點(diǎn)重合，連接，經(jīng)測(cè)得．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）連接，求的周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，直接寫(xiě)出的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查勾股定理應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)；
（1）在等腰中利用勾股定理計(jì)算即可；
（2）先求出，再由勾股定理求出，最后算周長(zhǎng)即可；
（3）過(guò)作于，連接，由，可得，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，在根據(jù)求出的長(zhǎng)度即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意，得，
在中，，，
由勾股定理，得，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，
在中，，
，，
，
在中，，
由勾股定理，得，
，
的周長(zhǎng)；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖，過(guò)作于，連接，
∵，
∴，，
∴，
∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，
∴，
∴，
∴的最小值為．
22. 如圖，在中，，，于點(diǎn)D．點(diǎn)P是射線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，連結(jié)．
（1）求的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，求點(diǎn)P到邊和的距離和．
（4）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或或
【解析】
【分析】（1）由垂線的性質(zhì)可得，由三線合一可得，在中，根據(jù)勾股定理可得，據(jù)此即可求出的長(zhǎng)；
（2）由（1）可得：，，，可知是直角三角形，由于斜邊始終大于直角邊和，因此當(dāng)是等腰三角形時(shí)，只能是，于是分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，可推出，因而此種情況不符合題意，故不予考慮；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，利用線段的和與差即可求出的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)可得，即，化簡(jiǎn)即可得出答案；
（4）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，又分兩種情況討論：）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)；）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)；分別求解即可得出的長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
，
又，
，
中，根據(jù)勾股定理可得：
，
的長(zhǎng)是；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）可知：，，，
是直角三角形，
斜邊始終大于直角邊和，
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，只能是，
分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，
，
此種情況不符合題意，故不予考慮；
②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
如圖①，
，
，
的長(zhǎng)是；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖②，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
由（1）可知：，
，
，
即：，
，
點(diǎn)P到邊和的距離和為；
【小問(wèn)4詳解】
解：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，
此種情況不符合題意，故不予考慮；
②當(dāng)時(shí)，
如圖③，
由（1）可知：，，，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理可得：
，
即：，
解得：；
③當(dāng)時(shí)，
分兩種情況討論：
）當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
如圖④，
，
；
）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
如圖⑤，
，
；
綜上所述，的長(zhǎng)為或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，三線合一，勾股定理，線段的和與差，三角形的面積公式，等式的性質(zhì)，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．

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這是一份吉林省松原市前郭縣北部學(xué)區(qū)2024-2025學(xué)年下學(xué)期第一次月考試卷七年級(jí) 數(shù)學(xué)（含解析），共17頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

吉林省松原市前郭縣北部學(xué)區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版解析版）：

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2024-2025學(xué)年吉林省松原市前郭縣南部學(xué)區(qū)七年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年吉林省松原市前郭縣南部學(xué)區(qū)七年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析），共13頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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