吉林省松原市前郭縣北部學(xué)區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 若是最簡二次根式，則m的值可以是（）
A B. C. 11D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是熟記最簡二次根式必須滿足兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
直接利用最簡二次根式的定義分析得出答案．
【詳解】解：A．無意義，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；
B．不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；
C．是最簡二次根式，故該選項符合題意；
D．不是最簡二次根式，故該選項不符合題意．
故選：C．
2. 如圖，在平行四邊形中，若，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)“平行四邊形對角相等和鄰角互補(bǔ)”．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
3. 下列各組數(shù)能作為直角三角形的三邊長的是（）
A. 1，3，B. 1，5，6C. 2，2，4D. 1，，7
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理得逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理逐一判斷，即可得到答案．
【詳解】解：A．，可以構(gòu)成直角三角形，故該選項符合題意；
B．1，5，6不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意；
C． 2，2，4不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意；
D．1，，7不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意；
故選：A．
4. 如圖，正方形的邊長為，對角線，交于點，為邊上一點，且，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，求出長是解題的關(guān)鍵．由正方形的性質(zhì)可求的長，可得，由線段關(guān)系可求解．
【詳解】解：正方形的邊長為，
，
，
，
，
故選：．
5. 下列命題的逆命題是假命題的是（）
A. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
B. 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
C. 若兩實數(shù)相等，則這兩個數(shù)的絕對值一定相等
D. 全等三角形的對應(yīng)邊相等
【答案】C
【解析】
【分析】先分別寫出原命題的逆命題，然后再判斷正誤即可．
【詳解】解：A、逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確，是真命題，不符合題意；
B、逆命題為：到線段兩端點距離相等的點在角的平分線上，正確，是真命題，不符合題意；
C、逆命題為：若兩實數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)也相等，錯誤，是假命題，符合題意；
D、逆命題為：對應(yīng)邊相等的三角形全等，正確，是真命題，不符合題意．
故選C．
【點睛】本題主要考查了逆命題的真假，寫出原命題的逆命題是解答本題的關(guān)鍵．
6. 如圖，四邊形的對角線，相交于點O，，且，則添加下列一個條件能判定四邊形是菱形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的判定方法分別對各個選項進(jìn)行判定，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
當(dāng)時，四邊形是矩形；故選項A不符合題意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為菱形，故選項B符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形；故選項C不符合題意；
當(dāng)時，不能判定四邊形為菱形；故選項D不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7. 如圖，某公園有一塊三角形空地，米，沿放置一道柵欄把分成兩個區(qū)域種植不同的花卉，點、分別是、的中點，則柵欄的長為________米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理求出．
【詳解】解：∵點、分別是、的中點，米，
∴米．
故答案為：．
8. 化簡的結(jié)果是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)分母有理化即可得出答案．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查分母有理化，正確計算是解題的關(guān)鍵．
9. 若一個三角形的三邊長為，則使此三角形是直角三角形的的值是______．
【答案】或4
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理分類討論進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：一個三角形的三邊長為，
∵此三角形是直角三角形，
∴當(dāng)x是斜邊時，，則；
當(dāng)5是斜邊時，，解得（負(fù)值舍去），
綜上，x的值是或4，
故答案為：或4．
10. 如圖，是菱形的對角線，若，則___________度．
【答案】40
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的對角線平分對角，得出，結(jié)合菱形的對角相等，即可作答．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
故答案為：40．
11. 如圖，原來從A村到B村，需要沿路（）繞過兩地間的一片湖，在A、B間建好橋后，就可直接從A村到B村．若，那么建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)勾股定理求出的長，再和以前的距離作比較即可得出答案．
【詳解】解：由勾股定理得，
∴建好橋后從A村到B村比原來減少路程為，
故答案為．
12. 如圖，工人師傅砌門時，要想檢驗門框是否符合設(shè)計要求（即門框是否為矩形），在確保兩組對邊分別相等的前提下，只要測量出對角線的長度，然后看它們是否相等就可以判斷了，這種做法的根據(jù)是___________________________________________．
【答案】對角線相等的平行四邊形為矩形
【解析】
【分析】本題考查了矩形判定，根據(jù)對角線互相相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：依題意，∵兩組對邊分別相等，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形，
則只要測量出對角線的長度，然后看它們是否相等就可以判斷了，這種做法的根據(jù)是對角線相等的平行四邊形為矩形．
故答案為：對角線相等的平行四邊形為矩形．
13. 如圖，，以的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積為_________．
【答案】##16平方厘米
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理、三角形面積的計算方法．難度適中，解題關(guān)鍵是運用勾股定理證明三個等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系．根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的面積公式，可以證明：以直角三角形的兩條直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積．則陰影部分的面積即為以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積的2倍．
【詳解】解：圖中陰影部分的面積為，
，
，
∴圖中陰影部分的面積為．
故答案為：．
14. 如圖，在矩形中，點、分別是邊、上的動點，，若，，則的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、軸對稱、勾股定理求最短路徑問題，熟練掌握軸對稱、矩形的性質(zhì)作輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，作點關(guān)于的對稱點，連接，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步可知四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，推出的最小值等于的最小值，即的長度，利用勾股定理求的長，即可確定的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，作點關(guān)于的對稱點，連接，，
∴，，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴點、、在同一直線上，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值等于的最小值，
∵兩點之間線段最短，
∴的最小值等于的長度，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，根據(jù)二次根式的混合運算法則，平方差公式計算即可．
【詳解】解：
．
16. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，直接根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可得出答案．
【詳解】解：
17. 如圖，在中，對角線，過點作于，求證：四邊形是矩形．

【答案】見解析
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，則，由，，得，即可根據(jù)平行四邊形的定義證明四邊形是平行四邊形，而，則四邊形是矩形．
【詳解】證明：∵，

∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點睛】此題重點考查平行四邊形的判定、在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行、矩形的判定等知識，證明是解題的關(guān)鍵．
18. 防火安全無小事，時時處處需留心．一天晚上，某居民樓的點處著火，消防大隊派出云梯消防車展開緊急救援．已知點離地面28米，消防車的云梯底部（點與地面的垂直距離是4米，與居民樓的水平距離是10米．云梯需要伸長多少米才能到達(dá)著火處？
【答案】26米
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．作地面于點，于點，在中，由勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：如圖，作地面于點，于點，
由題意得：米，米，米．
米，（米．
在中，由勾股定理得，
（米．
答：云梯需要伸長26米才能到達(dá)著火處．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19. 如圖，在中，E，F(xiàn)分別在上，交于點O，若，求證：點O為的中點．

【答案】見解析
【解析】
【分析】連接，證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】證明：連接．

∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∵，
∴且．
∴四邊形是平行四邊形．
∴點O為的中點．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟知平行四邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
20. 如圖所示，在四邊形中，，，，．

（1）求的長；
（2）四邊形的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求解的長；
（2）由（1）知，根據(jù)題意得到，得到為直角三角形，則根據(jù)四邊形的面積為即可求解．
【小問1詳解】
解：，，，
；
【小問2詳解】
解：由（1）知，
，，
則，即，
為直角三角形，，
四邊形的面積為: ．
【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
21. 圖①、圖②分別是的正方形網(wǎng)格，風(fēng)格中每個小正方形的邊長均為1，線段的端點在小正方形的頂點上，請在圖①、圖②中各畫一個圖形，分別滿足下列要求．
（1）在圖①中畫一個以線段為一邊且周長為的平行四邊形，點、必須在小正方形的頂點上；
（2）在圖②中畫一個以線段為一邊的鈍角等腰三角形，點必須在小正方形的頂點上．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理與網(wǎng)格問題；
（1）根據(jù)勾股定理，作，的平行四邊形，即可求解．
（2）根據(jù)勾股定理，作的等腰鈍角三角形，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖①，平行四邊形即為所求．

∵，，
∴四邊形是平行四邊形；
∴四邊形的周長為：．
【小問2詳解】
解：如圖②，即為所求．
∵
∴是鈍角等腰三角形
22. 如圖，四邊形是菱形，對角線、交于點，點、是對角線所在直線上兩點，且，連接、、、，．
（1）求證：四邊形是正方形；
（2）若正方形的面積為72，，求菱形的面積．
【答案】（1）證明見解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形可得四邊形是菱形，根據(jù)對角線相等的菱形是正方形即可解決問題；
（2）由正方形的面積公式求得，進(jìn)而得到，由四邊形是菱形得到，，菱形的面積．
【小問1詳解】
證明：菱形的對角線和交于點，
，，，
∵，
∴，
即，
又，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
菱形是正方形；
【小問2詳解】
解：正方形的面積為72，
，
，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
，，
菱形的面積．
【點睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
五、解答題（每小題8分，共16分）
23. 如圖，在矩形中，對角線交于點O，過點O作線段，連接，已知．
（1）求證：；
（2）連接，若，請給添加一個條件，使四邊形為正方形（不需說明理由）．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理得到結(jié)論．
本題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
證明：四邊形是矩形，
，，
，
，
在與中，
，
，
；
【小問2詳解】
解：添加，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是正方形．
24. 已知BD是△ABC的角平分線，點E在邊AB上，BC＝BE，過點E作EF∥AC，交BD于點F，連接CF．
(1)如圖1，求證：四邊形CDEF是菱形；
(2)如圖2，當(dāng)四邊形CDEF是正方形，且AC＝BC時，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中度數(shù)等于30°的角．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）直接由SAS得出△BDE≌△BDC，得出DE=DC，∠BDE=∠BDC．再由SAS證明△BFE≌△BFC，得出EF=CF．由EF∥AC得出∠EFD=∠BDC，從而∠EFD=∠BDE，根據(jù)等角對等邊得出DE=EF，從而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四邊形CDEF是菱形；
（2）如圖2，利用正方形的性質(zhì)可得∠DFE=45°，然后證明∠FEB=∠CBE=2∠FBE即可．
【詳解】在△BDE和△BDC中，∵，∴△BDE≌△BDC，∴DE=DC，∠BDE=∠BDC．
同理△BFE≌△BFC，∴EF=CF．
∵EF∥AC，∴∠EFD=∠BDC，∴∠EFD=∠BDE，∴DE=EF，∴DE=EF=CF=DC，∴四邊形CDEF菱形；
（2）∵四邊形CDEF是正方形，∴∠CDE=∠DEF=2∠EFD=90°．
∵AC=BC，∴∠A=∠CBE．
∵∠A+∠AED=180°﹣90°=90°，∠AED+∠FEB=90°，∴∠A=∠FEB=∠CBE=2∠EBF．
∵∠EBF+∠FEB=∠DFE=45°，∴∠EBF=15°，∴∠FEB=30°，∴∠A=∠ABC=∠FEB=30°．
∵△BFE≌△BFC，∴∠FEB=∠FCB=30°，圖中度數(shù)等于30°的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．
【點睛】本題主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性質(zhì)等知識．關(guān)鍵是由SAS得出△BDE≌△BDC．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25. 【問題原型】如圖①，在中，是邊中線，．
求證：．
【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，在中，為銳角，為中點，連結(jié)，將四邊形沿折疊，得到四邊形，點、的對應(yīng)點分別為點、．
（1）與的位置關(guān)系是________；
（2）連結(jié)，若，求的度數(shù)；
（3）如圖③，當(dāng)為邊長為4的正方形時，其余條件不變，延長交于點，連結(jié)，直接寫出線段的長．
【答案】[問題原型] 見解析；
[結(jié)論應(yīng)用]（1）；（2）（3）
【解析】
【分析】[問題原型] 由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；
[結(jié)論應(yīng)用]
（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；
（3）證明，設(shè)，在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【詳解】[問題原型]證明：是邊的中線，．
，
，，
，
，
；
[結(jié)論應(yīng)用]（1）依題意點、的對應(yīng)點分別為點、
∴關(guān)于對稱，
∴,
（2）∵為中點，
由[問題原型]可得
又，
∴,
∵，
∴；
（3）∵四邊形是正方形，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∵為中點，
∴，
∴，
在與中，
∴，
設(shè)，
在中，,
，，
∵，
∴，
解得，
即．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26. 如圖，在矩形中，，點O為對角線的中點，動點P從點D出發(fā)，沿折線以每秒2個單位長度的速度從點D向點B運動，當(dāng)點P不與點D、B重合時，連接并延長，交矩形的邊于點Q，連接，點P運動的時間為t（秒），解答下列問題．
（1）①___________；
②用含t的式子表示的長度；
（2）連接，當(dāng)直線將矩形的面積分成兩部分時，求t的值；
（3）求四邊形的面積S（用含t的代數(shù)式表示）；
（4）當(dāng)四邊形是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．
【答案】（1）①10；②當(dāng)時，；當(dāng)時，
（2）或6
（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，
（4）或4
【解析】
【分析】（1）① 根據(jù)四邊形為矩形，利用勾股定理即可求得；
②根據(jù)運動時間，當(dāng)點在上和在上時，分兩種情況求解即可；
（2）由于直線將矩形的面積分成兩部分，分別討論當(dāng)點在上時，；當(dāng)點在上時，，利用面積公式分別求解即可；
（3）當(dāng)點在上時，四邊形為平行四邊形，；當(dāng)點在上時，四邊形為平行四邊形，，利用平行四邊形面積公式分別求解即可；
（4）由第（3）問已證當(dāng)點在和上時，四邊形都為平行四邊形，要滿足是軸對稱圖形，則平行四邊形為矩形或菱形時滿足要求，根據(jù)兩種情況分別求解即可；
【小問1詳解】
解：① 四邊形為矩形，
，，應(yīng)用勾股定理得
，
②設(shè)點P運動的時間為t（秒）
，當(dāng)，點在上，如圖所示，
，
，
當(dāng)，點在上，如圖所示，
點走過的路程為，
，
【小問2詳解】
解：直線將矩形的面積分成兩部分，
當(dāng)，點在上時，
，即，
解得，
當(dāng)，點在上時，
，即，
解得，
綜上所述，或．
【小問3詳解】
解：當(dāng)，點在上時，如圖所示，
四邊形為矩形，點O為對角線的中點，
，，，
，又，
，
，且，
四邊形為平行四邊形，
（），
當(dāng)，點在上時，
四邊形為矩形，點O為對角線的中點，
，，，
，又，
，
，且，
四邊形為平行四邊形，
（），
【小問4詳解】
解：當(dāng)時，點與點重合，如圖所示，
四邊形為矩形，是軸對稱圖形，
當(dāng)點在如圖所示位置時，平行四邊形為菱形時符合題意，
則：，
，，
，
解得，
綜上所述，當(dāng)，或，四邊形是軸對稱圖形．

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