備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國通用)專題15二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(21題)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2024·天津·中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系式是．有下列結(jié)論：
①小球從拋出到落地需要；
②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是；
③小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，令解方程即可判斷①；配方成頂點(diǎn)式即可判斷②；把和代入計(jì)算即可判斷③．
【詳解】解：令，則，解得：，，
∴小球從拋出到落地需要，故①正確；
∵，
∴最大高度為，
∴小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是，故②正確；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度大于運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度，故③錯(cuò)誤；
故選C．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查動(dòng)態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)與重合時(shí)，及當(dāng)時(shí)圖象的走勢，和當(dāng)時(shí)圖象的走勢即可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)與重合時(shí)，設(shè)，由題可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，
當(dāng)在下方時(shí)，設(shè)，由題可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，
綜上所述：A正確，
故選：A．
3．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點(diǎn)，在同一水平線上，點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上時(shí)停止，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，先求得菱形的面積為，進(jìn)而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱形，分別求得面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等邊三角形，
∵，，
∴
∴
∴
當(dāng)時(shí)，重合部分為，
如圖所示，
依題意，為等邊三角形，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，
∴
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
依題意，，則
∴
∴
∵
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，同理可得，
當(dāng)時(shí)，同理可得，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為一條線段，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線；
故選：D．
二、填空題
4．（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度是，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則．
【答案】
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點(diǎn)，代入即可求出解析式；當(dāng)時(shí)，求得x的值，即為實(shí)心球被推出的水平距離．
【詳解】解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤軸正半軸，射線方向?yàn)閥軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．
設(shè)拋物線解析式為：，
把點(diǎn)代入得：，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
當(dāng)時(shí)，，
解得，（舍去），，
即此次實(shí)心球被推出的水平距離為．
故答案為：
5．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點(diǎn)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)，y的值，若此時(shí)y的值大于，則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴可判定貨車能完全停到車棚內(nèi)，
故答案為：能．
6．（2024·四川自貢·中考真題）九（1）班勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地．地上兩段圍墻于點(diǎn)O（如圖），其中上的段圍墻空缺．同學(xué)們測得m，m，m，m，m．班長買來可切斷的圍欄m，準(zhǔn)備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．要利用圍墻和圍欄圍成一個(gè)面積最大的封閉的矩形菜地，那就必須盡量使用原來的圍墻，觀察圖形，利用和才能使該矩形菜地面積最大，分情況，利用矩形的面積公式列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：要使該矩形菜地面積最大，則要利用和構(gòu)成矩形，
設(shè)矩形在射線上的一段長為，矩形菜地面積為，
當(dāng)時(shí)，如圖，
則在射線上的長為
則，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為；
當(dāng)時(shí)，如圖，
則矩形菜園的總長為，
則在射線上的長為
則，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減少，
∴當(dāng)時(shí)，的值均小于；
綜上，矩形菜地的最大面積是；
故答案為：．
三、解答題
7．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）
(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E在纜索上，，且，，求的長．
【答案】(1)；
(2)的長為．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入求解即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由，把代入求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入得，
解得，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的長為．
8．（2024·湖北·中考真題）學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，籬笆長．設(shè)垂直于墻的邊長為米，平行于墻的邊為米，圍成的矩形面積為．
(1)求與與的關(guān)系式．
(2)圍成的矩形花圃面積能否為，若能，求出的值．
(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)的值．
【答案】(1)；
(2)能，
(3)的最大值為800，此時(shí)
【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：
（1）根據(jù)可求出與之間的關(guān)系，根據(jù)墻的長度可確定的范圍；根據(jù)面積公式可確立二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）令，得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；
（3）根據(jù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最大值即可．
【詳解】（1）解：∵籬笆長，
∴，
∵
∴
∴
∵墻長42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面積
；
（2）解：令，則，
整理得：，
此時(shí)，，
所以，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴圍成的矩形花圃面積能為；
∴
∴
∵，
∴；
（3）解：
∵
∴有最大值，
又，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，
即當(dāng)時(shí)，的最大值為800
9．（2024·河南·中考真題）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度滿足關(guān)系式，其中是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．
(1)小球被發(fā)射后_________時(shí)離地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球離地面的最大高度為，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．
(3)按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時(shí)間為．”已知實(shí)驗(yàn)樓高，請(qǐng)判斷他的說法是否正確，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)小明的說法不正確，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）把函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判斷.
【詳解】（1）解：
，
∴當(dāng)時(shí)，h最大，
故答案為：；
（2）解：根據(jù)題意，得
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴（負(fù)值舍去）；
（3）解：小明的說法不正確．
理由如下：
由（2），得，
當(dāng)時(shí)，，
解方程，得，，
∴兩次間隔的時(shí)間為，
∴小明的說法不正確．
10．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線和直線．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí)．
(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為．
①直接寫出a，b的值；
②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低，求這兩個(gè)位置之間的距離．
(2)直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）①將代入即可求解；②將變?yōu)?，即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；
（2）若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為，求得，即可求解．
【詳解】（1）解：①∵火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為
∴拋物線和直線均經(jīng)過點(diǎn)
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
當(dāng)時(shí)，
則
解得，
又∵時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，
則
解得
∴這兩個(gè)位置之間的距離．
（2）解：當(dāng)水平距離超過時(shí)，
火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為，
將，代入，得
，
解得，
∴．
11．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豬肉粽的進(jìn)價(jià)比豆沙粽的進(jìn)價(jià)每盒多20元，某商家用5000元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)與3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)52元時(shí)，可售出180盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，少售出10盒．
(1)求這兩種粽子的進(jìn)價(jià)；
(2)設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)元，表示該商家銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式并求出的最大值．
【答案】(1)豬肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元
(2)或，當(dāng)時(shí)，取得最大值為1000元
【分析】本題考查列分式方程解應(yīng)用題和二次函數(shù)求最值，解決本題的關(guān)鍵是正確尋找本題的等量關(guān)系及二次函數(shù)配方求最值問題．
（1）設(shè)豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)為n元，則豬肉粽每盒的進(jìn)價(jià)為元．根據(jù)“用5000元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)與3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同”即可列出方程，求解并檢驗(yàn)即可；
（2）根據(jù)題意可列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)為n元，則豬肉粽每盒的進(jìn)價(jià)為元
由題意得：
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意
∴
答：豬肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．
（2）解：設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)元，表示該商家銷售豬肉粽的利潤（單位：元），則
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為1000元．
12．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
【答案】(1)
(2)糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元
(3)2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解∶設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，
把，；，代入，得，
解得，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為450，
∴糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元；
（3）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，
∴，
化簡得
解得，
當(dāng)時(shí)，,
則每盒的利潤為：,舍去，
∴m的值為2．
13．（2024·廣東·中考真題）廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美．某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸．該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
【答案】當(dāng)定價(jià)為4.5萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為312.5萬元
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每噸降價(jià)x萬元，每天的利潤為w萬元，根據(jù)利潤每噸的利潤銷售量列出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：設(shè)每噸降價(jià)x萬元，每天的利潤為w萬元，
由題意得，
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為，
∴，
答：當(dāng)定價(jià)為萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為萬元．
14．（2024·四川遂寧·中考真題）某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業(yè)額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業(yè)額為元．
(1)求兩種客房每間定價(jià)分別是多少元？
(2)酒店對(duì)種客房調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果客房不調(diào)價(jià)，房間可全部住滿；如果每個(gè)房間定價(jià)每增加元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑；當(dāng)種客房每間定價(jià)為多少元時(shí)，種客房一天的營業(yè)額最大，最大營業(yè)額為多少元？
【答案】(1)種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元；
(2)當(dāng)種客房每間定價(jià)為元時(shí)，種客房一天的營業(yè)額最大，最大營業(yè)額為元．
【分析】（）設(shè)種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元，根據(jù)題意，列出方程組即可求解；
（）設(shè)種客房每間定價(jià)為元，根據(jù)題意，列出與的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確列出二元一次方程組和二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元，
由題意可得，，
解得，
答：種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元；
（2）解：設(shè)種客房每間定價(jià)為元，
則，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，元，
答：當(dāng)種客房每間定價(jià)為元時(shí)，種客房一天的營業(yè)額最大，最大營業(yè)額為元．
15．（2024·四川南充·中考真題）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A，B兩類特產(chǎn)．A類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)50元/件，B類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)60元/件．已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元，購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元．
(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價(jià)各是多少元？
(2)A類特產(chǎn)供貨充足，按原價(jià)銷售每天可售出60件．市場調(diào)查反映，若每降價(jià)1元，每天可多售出10件（每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)）．設(shè)每件A類特產(chǎn)降價(jià)x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，由于B類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進(jìn)100件且能按原價(jià)售完．設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類特產(chǎn)降價(jià)多少元時(shí)總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)）
【答案】(1)A類特產(chǎn)的售價(jià)為60元/件，B類特產(chǎn)的售價(jià)為72元/件
(2)（）
(3)A類特產(chǎn)每件售價(jià)降價(jià)2元時(shí)，每天銷售利潤最犬，最大利潤為1840元
【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用、函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的性質(zhì)，
根據(jù)題意設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價(jià)為x元，則每件B類特產(chǎn)的售價(jià)為元，進(jìn)一步得到關(guān)于x的一元一次方程求解即可；
根據(jù)降價(jià)1元，每天可多售出10件列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合進(jìn)價(jià)與售價(jià)，且每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)得到x得取值范圍；
結(jié)合（2）中A類特產(chǎn)降價(jià)x元與每天的銷售量y件，得到A類特產(chǎn)的利潤，同時(shí)求得B類特產(chǎn)的利潤，整理得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價(jià)為x元，則每件B類特產(chǎn)的售價(jià)為元．
根據(jù)題意得．
解得．
則每件B類特產(chǎn)的售價(jià)（元）．
答：A類特產(chǎn)的售價(jià)為60元/件，B類特產(chǎn)的售價(jià)為72元/件．
（2）由題意得
∵A類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)50元/件，售價(jià)為60元/件，且每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)
∴．
答：（）．
（3）
．
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值1840．
答：A類特產(chǎn)每件售價(jià)降價(jià)2元時(shí)，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元．
16．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請(qǐng)根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．
【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：；任務(wù)3：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤
【分析】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．
任務(wù)1：根據(jù)題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，得出加工“正”服裝的有人，然后利用“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，得出關(guān)系式即可得出結(jié)果；
任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，然后將2種服裝的獲利求和即可得出結(jié)果；
任務(wù)3：根據(jù)任務(wù)2結(jié)果化為頂點(diǎn)式，然后結(jié)合題意，求解即可．
【詳解】解：任務(wù)1：根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝，
∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，
∴加工“正”服裝的有人，
∵“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，
∴，
整理得：；
任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，
∴，
整理得：
∴
任務(wù)3：由任務(wù)2得，
∴當(dāng)時(shí)，獲得最大利潤，
，
∴，
∵開口向下，
∴取或，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
∴，
綜上：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤．
17．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元，每天的銷售利潤為y元．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
(2)全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請(qǐng)問這天售出了多少輛輪椅？
【答案】(1)，每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為元
(2)這天售出了64輛輪椅
【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；
（2）令，得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：；
∵每輛輪椅的利潤不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，每天的利潤最大，為元；
答：每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為元；
（2）當(dāng)時(shí)，，
解得：（不合題意，舍去）；
∴（輛）；
答：這天售出了64輛輪椅．
18．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如下表：
(1)①______，______；
②小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
(2)小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間t（秒）滿足關(guān)系．
①小球飛行的最大高度為______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及從圖象和表格中獲取數(shù)據(jù)，
（1）①由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為可建立過于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值即可；②聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)第一問可知最大高度為8米；
②將小球飛行高度與飛行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式化簡為頂點(diǎn)式即可求得v值．
【詳解】（1）解：①根據(jù)小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律表可知：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或（舍去），
∴，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：3，6．
②聯(lián)立得：，
解得：或，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
（2）①由題干可知小球飛行最大高度為8米，
故答案為：8；
②，
則，
解得（負(fù)值舍去）．
19．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．

(1)求m，k的值；
(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在D，E之間運(yùn)動(dòng)，不與D，E重合），過點(diǎn)P作，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)N，連接，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)最大值是，此時(shí)
【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）先求出B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式，把D的坐標(biāo)代入直線的函數(shù)表達(dá)式求出m，再把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k即可；
（2）延長交y軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：，，
．
又，
．
，
點(diǎn)．
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
將，代入，得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．
將點(diǎn)代入，得．
．
將代入，得．
（2）解：延長交y軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)L．
，，
．
軸，
，．
，
，
，
．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則，．
．
．
當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．
20．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡，從點(diǎn)O處拋出一個(gè)小球，落到點(diǎn)處．小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線的一部分．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)這棵樹的高為2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）配成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，
把點(diǎn)代入中，得：，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）得：，
∴拋物線最高點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)為；
（3）解：過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別是點(diǎn)E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，
將代入中，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
答：這棵樹的高為2．
21．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．
(1)填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
(2)若為軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．設(shè)．
①如圖②，若直線與邊相交于點(diǎn)，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)．試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；
②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出結(jié)合勾股定理，即可作答．
（2）①由折疊得，，再證明是等邊三角形，運(yùn)用線段的和差關(guān)系列式化簡，，考慮當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，和當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，分別作圖，得出的取值范圍，即可作答．
②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得出，再分別以時(shí)，時(shí)，，分別作圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思路列式計(jì)算，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)C作
∵四邊形是平行四邊形，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：，
（2）解：①∵過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴是等邊三角形
∴
∵
∴
∴；
當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，
此時(shí)與的交點(diǎn)為E與A重合，
如圖：當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，
此時(shí)與的交點(diǎn)為E與B重合，
∴的取值范圍為；
②如圖：過點(diǎn)C作
由（1）得出，
∴，
∴
當(dāng)時(shí)，
∴，開口向上，對(duì)稱軸直線
∴在時(shí)，隨著的增大而增大
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖：
∴，隨著的增大而增大
∴在時(shí)；在時(shí)；
∴當(dāng)時(shí)，
∵當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作，如圖：
∵由①得出是等邊三角形，
∴，
∴，
∴
∵
∴開口向下，在時(shí)，有最大值
∴
∴在時(shí)，
∴
則在時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，如圖，
∴，隨著的增大而減小
∴在時(shí)，則把分別代入
得出，
∴在時(shí)，
綜上：
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
銷售單價(jià)x/元
…
12
14
16
18
20
…
銷售量y/盒
…
56
52
48
44
40
…
制定加工方案
生產(chǎn)背景
背景1
◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．
◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．
◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.
背景2
每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：
①“風(fēng)”服裝：24元/件；
②“正”服裝：48元/件；
③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時(shí)，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理
現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：
服裝種類
加工人數(shù)（人）
每人每天加工量（件）
平均每件獲利（元）
風(fēng)
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任務(wù)
任務(wù)1
探尋變量關(guān)系
求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．
任務(wù)2
建立數(shù)學(xué)模型
設(shè)該工廠每天的總利潤為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)3
擬定加工方案
制定使每天總利潤最大的加工方案．
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…

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