備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國通用)專題15等腰三角形與直角三角形(含勾股定理)(24題)(學(xué)生版+解析)

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一、單選題
1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點，，與交于點，且．下列說法錯誤的是（ ）

A．的垂直平分線一定與相交于點
B．
C．當(dāng)為中點時，是等邊三角形
D．當(dāng)為中點時，
2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A．24B．36C．40D．44
3．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題．即，，，則（ ）
A．8B．10C．12D．13
4．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（ ）
A．5B．7C．D．
5．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點B作，使，連接；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D；③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點E．若，則m的值為（ ）

A．B．C．D．
6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經(jīng)過點，則下列四個結(jié)論：
①；②垂直平分線段；③；④．
其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
7．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題
8．（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點為圓心，以長為半徑作圖，與相交于點，連接．以點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別與，相交于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點，作射線，與相交于點，則的長為 （用含的代數(shù)式表示）．
9．（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中，于點C，尺，尺．設(shè)的長度為x尺，可列方程為 ．
10．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為 ．
11．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點F，若，則 ．
12．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形中，，．以點為圓心，長為半徑作弧交于點，再以為直徑作半圓，與交于點，則圖中陰影部分的面積為 ．
13．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在和中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)時，的度數(shù)是 ．
14．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點，E是邊上一點，連接．將沿翻折，點C落在上的點F處，則 ．
15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標(biāo)為，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標(biāo)為 ．
16．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片中，是邊的中點，將正方形紙片沿折疊，點落在點處，延長交于點，連結(jié)并延長交于點．給出以下結(jié)論：①為等腰三角形；②為的中點；③；④．其中正確結(jié)論是 ．（填序號）
三、解答題
17．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，相交于點G，，，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)連接，則與l的位置關(guān)系是________．
18．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線分別交于點D，E，連接
(1)求的長；
(2)求的周長．
19．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點C在線段上，，，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
20．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．
21．（2024·甘肅蘭州·中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：
①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接；
②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；
③連接并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在延長線上的落點記為點D；
④用另一根足夠長的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．
操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請畫出以點A為頂點的直角，記作；
推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：
證明：，
與是等腰三角形．
．（依據(jù)1______）
．
，（依據(jù)2______）
，
．
依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；
拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O(shè)為頂點的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）
22．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．
23．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．
(1)求證：，；
(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．
①請直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；
②求證：．
24．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在中，，．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作，垂足為．

圖1 圖2 圖3
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點，連接，的延長線與的延長線相交于點，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿折疊，在變化過程中，當(dāng)點落在點的位置時，連接．
①求證：點是的中點；
②若，求的面積．