備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國(guó)通用)專題16二次函數(shù)解答題壓軸題(35題)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、解答題
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂(lè)項(xiàng)目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點(diǎn)A處沿水滑道下滑至點(diǎn)B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過(guò)騰空點(diǎn)B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過(guò)的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測(cè)量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解決．
(1)如圖1，點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為米，點(diǎn)C到點(diǎn)B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；
(2)如圖1，騰空點(diǎn)B與對(duì)面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點(diǎn)D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱．
①請(qǐng)直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D是否在安全范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計(jì)）；
(3)為消除安全隱患，公園計(jì)劃對(duì)水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架，另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請(qǐng)你計(jì)算出這條鋼架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】(1)
(2)①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)，理由見解析
(3)這條鋼架的長(zhǎng)度為米
【分析】（1）根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，計(jì)算求出a的值即可；
（2）①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，由拋物線的頂點(diǎn)為，即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，求出的值，即點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，令中，求出符合實(shí)際的x值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出所在直線的解析式為，設(shè)這條鋼架為，與交于點(diǎn)G，與地面交于H，根據(jù)這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，由該鋼架與水滑道有唯一公共點(diǎn)，聯(lián)立，根據(jù)方程組有唯一解，求出，即該鋼架所在直線的解析式為，點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，根據(jù)，，，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，
設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，
將代入，得：，即，
，
水滑道所在拋物線的解析式為；
（2）解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，
則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；
由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，
令，則，即
或（舍去，不符合題意），
點(diǎn)，
，
，
，
此人騰空飛出后的落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)；
（3）解：根據(jù)題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
令，即，
（舍去，不符合題意）或，
，
設(shè)所在直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
所在直線的解析式為，
如圖，設(shè)這條鋼架為，與交于點(diǎn)G，與地面交于H，
這條鋼架與平行，
設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，
聯(lián)立，即，
整理得：，
該鋼架與水滑道有唯一公共點(diǎn)，
，
即該鋼架所在直線的解析式為，
點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，
，，，
，
這條鋼架的長(zhǎng)度為米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想．
2．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測(cè)量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．
(1)（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的描在圖2中；
（Ⅲ）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；
(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過(guò)程：
方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為．
①此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為________；
②將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為
①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；
②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且和的頂點(diǎn)P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．
【答案】(1)圖見解析，；
(2)方案一：①；②；方案二：①；②；
(3)a的值為或．
【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)圖形寫出點(diǎn)或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；
（3）先求得，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再求得頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，再分類求解即可．
【詳解】（1）解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，
觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，
設(shè)拋物線的解析式為，
由題意得，
解得，
∴y與x的關(guān)系式為；
（2）解：方案一：①∵，，
∴，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案為：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
方案二：①∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
∴，
此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
故答案為：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
（3）解：根據(jù)題意和的對(duì)稱軸為，
則，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴頂點(diǎn)距線段的距離為，
∴的頂點(diǎn)距線段的距離為，
∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，
當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，
將代入得，解得；
當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，
將代入得，解得；
綜上，a的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
3．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)最大值為，C的坐標(biāo)為；
(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．
【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程即可；
（2）根據(jù)題意證明，再設(shè)的解析式為，求出的解析式，再設(shè)，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；
（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)繼而得到本題答案．
【詳解】（1）解：，代入，
得：，解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交于點(diǎn)M．
∴軸，
∴，
∴，
設(shè)的解析式為，
把，代入解析式得，
解得：，
∴．
設(shè)，則，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．
∴的最大值為，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
（3）解：由中心對(duì)稱可知，拋物線F與的公共點(diǎn)E為直線與拋物線F的右交點(diǎn)，
∴，
∴（舍），，
∴．
∵拋物線F：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．
如圖2，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由題知，
∴，
∴．
如圖3，當(dāng)為邊時(shí)，由題知，
∴，
∴．
如圖4，由題知，
∴，
∴，
綜上：點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．
4．（2024·天津·中考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)為，且，對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)若是拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，當(dāng)取得最小值為時(shí)，求的值．
【答案】(1)該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)10
(3)1
【分析】（1）先求得的值，再配成頂點(diǎn)式，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，證明，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，利用勾股定理結(jié)合題意求得，在的外部，作，且，證明，得到，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)落在線段上時(shí)，取得最小值，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】（1）解：，得．又，
該拋物線的解析式為．
，
該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，
則．
在中，由，
．
解得（舍）．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，即．
拋物線的對(duì)稱軸為．
對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)，則．
在中，由，
．
解得負(fù)值舍去．
由，得該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
該拋物線的解析式為．
點(diǎn)在該拋物線上，有．
；
（3）解：過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，
則．
．
在中，．
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則．
，又，
．
∴，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
在中，，
，即．
根據(jù)題意，，得．
在的外部，作，且，連接，
得．
．
∴．
．
當(dāng)滿足條件的點(diǎn)落在線段上時(shí)，取得最小值，即．
在中，，
．得．
．解得（舍）．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)都在拋物線上，
得．
．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，勾股定理，垂線段最短，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，連接．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，若是軸正半軸上一點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求證：；
(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點(diǎn)落在第四象限的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交于點(diǎn)，與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)相等，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為，利用求出，再將代入解析式即可求出，即可得出函數(shù)表達(dá)式；
（2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，則，利用兩點(diǎn)間距離公式求出，易證，得到，由，即可證明；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，利用拋物線解析式求出，求出，根據(jù)，易證，得到，由，即，求出，得到，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，得到，利用三角形面積公式求出，則，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：該拋物線的頂點(diǎn)為，即該拋物線的對(duì)稱軸為，
，
，
將代入解析式，則，
，
拋物線的解析式表達(dá)式為；
（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，
由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，則，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：
直線的解析式為，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：過(guò)點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，
令，即，
解得：，
根據(jù)題意得：，
，
軸，軸，
，
，
，
，即，
，
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
由折疊的性質(zhì)得到，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
，
，
，
，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問(wèn)題，二次函數(shù)與面積綜合問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．
(1)直接寫出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．
Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．
Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解，求t的取值范圍．
Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵．
（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x，y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或方程組即可；
（2）Ⅰ：可知一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱為直線，開口向上，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；
Ⅱ：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，考慮兩個(gè)臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)，，故當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，即方程無(wú)解；
Ⅲ：可求點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故①當(dāng)，由題意得：，則；②當(dāng)，由題意得：，則，綜上：或．
【詳解】（1）解：∵，
∴將，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴將，代入
得：，
解得：；
（2）解：Ⅰ，∵，
∴一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱為直線，開口向上，
∴時(shí)，y隨著x的增大而增大；
當(dāng)時(shí)，，，
∴時(shí)，y隨著x的增大而增大，
綜上，x的取值范圍：或；
Ⅱ，∵，
∴，在時(shí)無(wú)解，
∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，
∵對(duì)于，當(dāng)時(shí)，
∴頂點(diǎn)為，如圖：
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)；
當(dāng)，，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，
∴當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，
即：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解；
Ⅲ：∵，
∴，
∴點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
∵當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
∴①當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴；
②當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴，
綜上：或．
7．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴
解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）由，當(dāng)時(shí)，，則
∵，則，對(duì)稱軸為直線
設(shè)直線的解析式為，代入，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，則
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，將代入得，
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：，
∴
綜上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中
∴，
①當(dāng)時(shí)，，解得：或
②當(dāng)時(shí)，，解得：
③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）
綜上所述，或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；
(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在點(diǎn)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．
（3）分為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，解得：，
∴；
（2）∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，
解得：或，均不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，
∴，
設(shè)，則：，
∴，，，
當(dāng)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)為邊時(shí)，則：，即，
解得：（舍去）或，
此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則：，即：，
解得：或（舍去）
此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：；
綜上：存在以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2．
9．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；
(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過(guò)拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；
（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；
（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則有，過(guò)點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，
，解得，
∴，
聯(lián)立得，
解得或，
∴，
設(shè)，直線為，據(jù)題意得，
，解得，
∴，
聯(lián)立得，
解得或，
∴，
，
，
∴；
（3）設(shè)直線為，由得，
∴，
∴，
設(shè)，，
聯(lián)立直線與拋物線，
得，
，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于F，則．
則，，
在中，
，
即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
10．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．
(1)求線段的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)拋物線與交于定點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知?jiǎng)t有；
（2）由題意得拋物線：，則設(shè)，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，則，即可求得，進(jìn)一步解得點(diǎn)，過(guò)D作于點(diǎn)H，則，即可求得；
（3）設(shè)可求得直線解析式為，過(guò)點(diǎn)D作，可得，結(jié)合題意得設(shè)拋物線解析式為，由于過(guò)點(diǎn)，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點(diǎn)．
【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴，整理得，解得
∴
則；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線：，
則
設(shè)，則，
設(shè)直線解析式為，
∵點(diǎn)D在直線上，
∴，解得，
則直線解析式為，
設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，則，
∴，
∵的面積與的面積相等，
∴，解得，
∴點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，
則；
（3）設(shè)直線解析式為，
則，解得，
那么直線解析式為，
過(guò)點(diǎn)D作，如圖，
則，
∵，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴
由題意知拋物線平移得到拋物線，設(shè)拋物線解析式為，
∵點(diǎn)，都落在拋物線上
∴，
解得，
則拋物線解析式為
∵
整理得，解得，
∴拋物線與交于定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過(guò)定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
11．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；
(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值為：
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；
（2）求解的對(duì)稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過(guò)作于，連接，過(guò)作于，可得，，證明，可得，可得，再進(jìn)一步求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：∵的對(duì)稱軸為直線，而，
∴函數(shù)最小值為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)值的范圍為：；
（3）解：∵，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得：，，
∴，
∴，
設(shè)直線為，
∴，
∴，
∴直線為，
∵拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，而頂點(diǎn)為，
∴，
∴在直線上，
如圖，過(guò)作于，連接，過(guò)作于，
∵，，
∴，，
∵對(duì)稱軸與軸平行，
∴，
∴，
∴，
由拋物線的對(duì)稱性可得：，，
∴，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
∴，
∴，
∴，
即的最小值為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
12．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)代入可得，再利用拋物線的對(duì)稱軸公式可得答案；
（2）把點(diǎn)代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴；
（2）解：∵點(diǎn)在的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為，
將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為
∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
（3）∵的圖像與軸交點(diǎn)為，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識(shí)點(diǎn)建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.
13．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過(guò)和．
(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；
(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點(diǎn)P在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)或；
(2)①；②．
【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；
（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新拋物線為；
（2）解：①如圖，設(shè)，則，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，
由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，
∴軸，
∴，
∴，
由平移的性質(zhì)可得：，即；
如圖，當(dāng)時(shí)，則，
過(guò)作于，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，，
∴，
解得：（不符合題意舍去）；
綜上：；
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.
14．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最小值為
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)表示兩點(diǎn)距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）可求，設(shè)，由，得，則
，解得，（舍去），故；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，得到這個(gè)面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進(jìn)而求最值即可．
【詳解】（1）解：把，代入得，
，解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：如圖：
由得拋物線對(duì)稱軸為直線，
∵兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)軸對(duì)稱，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）存在，理由：
當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
設(shè)直線表達(dá)式為：，
代入，
得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
令，得
則，
則，
則
，
即存在最小值為；
當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，
同上可求直線表達(dá)式為：，
令，得
則，
則，
則
即存在最小值為；
當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方同理可求，
即存在最小值為，
綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．
15．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于另一點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積等于面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)的坐標(biāo)為
(3)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，則，，由，可得，解出的值可得的坐標(biāo)為；
（3）過(guò)作軸交直線于，求出，知，故，設(shè)，則，可得，，根據(jù)的面積等于面積的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．
【詳解】（1）解：把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)，則，，
，
，
解得或（此時(shí)不在直線上方，舍去）；
的坐標(biāo)為；
（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使的面積等于面積的一半，理由如下：
過(guò)作軸交直線于，過(guò)點(diǎn)B作，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，如圖：
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
，
設(shè)，則，
，
∵
，
的面積等于面積的一半，
，
，
或，
解得或，
的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
16．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N，連接．求證：平分；
(3)當(dāng)，時(shí)，過(guò)直線上一點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．若的最大值為4，求的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進(jìn)而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)，則，，求出當(dāng)時(shí)，，得到點(diǎn)在的上方，設(shè)，故，其對(duì)稱軸為，分為和兩種情況討論即可．
【詳解】（1）解：分別將，代入，
得，
解得．
函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：連接，
，
．
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．
，，
，，，
在中，．
，
，
．
，
．
．
平分．
（3）解：設(shè)，則，．
當(dāng)時(shí)，．
令，
解得，．
，
，
點(diǎn)在的上方（如圖1）．

設(shè)，
故，
其對(duì)稱軸為，且．
①當(dāng)時(shí)，即．
由圖2可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．
解得或（舍去）．
②當(dāng)時(shí)，得，
由圖3可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．
解得（舍去）．
綜上所述，的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與角度的綜合問(wèn)題，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式及最值等問(wèn)題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過(guò)點(diǎn)，．
(1)求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)P位于第一象限，且在圖象上，直線l過(guò)點(diǎn)P且與x軸平行，與圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象的交點(diǎn)為M，N（N在M左側(cè)）．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作．交圖象于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)時(shí)，求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）可求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對(duì)稱軸為直線．作直線，交直線l于點(diǎn)H．（如答圖①）由二次函數(shù)的對(duì)稱性得，，，由，得到，設(shè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，，，故有，解得，（舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）連接，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)J，（如答圖②），則四邊形為矩形，設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，可求，，則，，，而，則．設(shè)，則，，，即，可得，故，則，則①，由點(diǎn)F在上，得到，化簡(jiǎn)得②，由①，②可得，解得，因此，故的函數(shù)表達(dá)式為．
【詳解】（1）解：（1）將，代入，得，
，
解得：
對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入
得：，
解得：．
對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對(duì)稱軸為直線．
又圖象的對(duì)稱軸也為直線，
作直線，交直線l于點(diǎn)H（如答圖①）
由二次函數(shù)的對(duì)稱性得，，
∴．
又，而
．
設(shè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．
將代入，得，
將代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：連接，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)J．（如答圖②）
，軸，軸，
四邊形為矩形，
，．
設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，
點(diǎn)D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點(diǎn)，
將分別代入，
得，
∴，，
，，．
在中，．
，
．
又，
．
．
設(shè)，則，．
，
．
，
．
，
．
又，
，
①
點(diǎn)F在上，
，
即．
，
②
由①，②可得．
解得（舍去），，
．
的函數(shù)表達(dá)式為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
18．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①為何值時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；
②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
②先利用等邊對(duì)等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過(guò)，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．
【詳解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
設(shè)直線解析式為，
則，
解得，
∴直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
（2）解：①設(shè)，則，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又軸，
∴軸，
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖，
∴，
∴軸，
∴P的縱坐標(biāo)為3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)B作于F，
則，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐標(biāo)為
綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．
19．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．
(1)若拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚憽⒒颍?br>①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，最大值與最小值的差為，求b的值．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)b的值為或或．
【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，不等式性質(zhì)，二次函數(shù)最值情況，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)．
（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，利用不等式性質(zhì)變形，即可判斷②③．
（2）根據(jù)題意得到，結(jié)合進(jìn)行求解，即可解題；
（3）根據(jù)題意得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由最大值與最小值的差為，分以下情況①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時(shí)，②當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，③當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，建立等式求解，即可解題．
【詳解】（1）解：與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且，
，且拋物線開口向上，
與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．
即向上平移1個(gè)單位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案為；；；；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
對(duì)稱軸為；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時(shí)，
有，解得；
②當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，
有，解得（舍去）或，
③當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，
有，解得（舍去）或；
綜上所述，b的值為或或．
20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點(diǎn)為P．
(1)直接寫出a的值和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
(2)嘉嘉說(shuō)：無(wú)論t為何值，將的頂點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在上．
淇淇說(shuō)：無(wú)論t為何值，總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．
請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理．
(3)當(dāng)時(shí)，
①求直線PQ的解析式；
②作直線，當(dāng)l與的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(4)設(shè)與的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點(diǎn)M在上，橫坐標(biāo)為．點(diǎn)N在上，橫坐標(biāo)為．若點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．
【答案】(1)，
(2)兩人說(shuō)法都正確，理由見解析
(3)①；②或
(4)
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，再檢驗(yàn)即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過(guò)定點(diǎn)；
（3）①先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點(diǎn)，交點(diǎn)，再進(jìn)一步求解即可；
（4）如圖，由題意可得是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，再進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴；
（2）解：把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴在上，
∴嘉嘉說(shuō)法正確；
∵
，
當(dāng)時(shí)，，
∴過(guò)定點(diǎn)；
∴淇淇說(shuō)法正確；
（3）解：①當(dāng)時(shí)，
，
∴頂點(diǎn)，而，
設(shè)為，
∴，
解得：，
∴為；
②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），
∴，
∴交點(diǎn)，交點(diǎn)，
由直線，設(shè)直線為，
∴，
解得：，
∴直線為：，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
同理當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，
直線為：，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
（4）解：如圖，∵，，
∴是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，
如圖，連接交于，連接，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，
此時(shí)與重合，與重合，
∵，，
∴的橫坐標(biāo)為，
∵，，
∴的橫坐標(biāo)為，
∴，
解得：；
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得的周長(zhǎng)最?。舸嬖?，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
(3)的取值范圍為．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)M，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，據(jù)此求解即可；
（3）以為邊在的下方作等邊三角形，得到點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的上，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線的表達(dá)式為，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（2）解：∵點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)，
∵，，
∴長(zhǎng)為定值，
作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接交軸于點(diǎn)M，
則，
∴，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，，
∴直線的解析式為，
令，則，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
（3）解：以為邊在的下方作等邊三角形，作軸于點(diǎn)，連接，，
∵等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的上，
，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值為；
當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，有最大值為；
∴的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
22．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；
(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．
【答案】(1)
(2)為定值3，證明見解析
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；
（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長(zhǎng)度的最大值．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，．
∴，
∴的值為定值；
（3）設(shè)，則，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
，
∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
23．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．
(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；
(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征．?dāng)?shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．
（1）把代入后再將拋物線化成頂點(diǎn)式為，即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的范圍確定點(diǎn)A縱坐標(biāo)的范圍；
（3）結(jié)合圖象確定有4個(gè)“完美點(diǎn)”時(shí)a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）令，則，
∴，
∵線段上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，
∴“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)．
∵，
∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，分別為，，，；
當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，分別為，，，，．
∴．
∴a的取值范圍是．
（3）根據(jù)，
得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)，，．
∵拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，
顯然，“完美點(diǎn)”，，符合題意．
下面討論拋物線經(jīng)過(guò)，的兩種情況：
①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，共4個(gè)．
②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，，，共6個(gè)．
∴a的取值范圍是．
24．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)的坐標(biāo)為或
(3)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）過(guò)作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；
（3）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時(shí)．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：過(guò)作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
的面積為3，
，即，
解得或，
的坐標(biāo)為或；
（3）解：在直線上存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直線解析式為，
設(shè)，，
過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，
①，
當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，如圖：

此時(shí)；
②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐標(biāo)為；
③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐標(biāo)為；
④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐標(biāo)為；
綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三角形存在性問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
25．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．
(2)過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）
(3)將該拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，，補(bǔ)圖見解析
(3)、、、
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進(jìn)而分別求得，，根據(jù)可得，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，．進(jìn)而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進(jìn)而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．
（3）①以為對(duì)角線，如圖作的垂直平分線交于點(diǎn)交直線于，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，②以為邊，如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以為邊，如圖以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，連接，，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，和相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；
【詳解】（1）解：∵把點(diǎn)，代入得
，
解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵軸且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
，，
∴，．
連接交拋物線于，連接交拋物線于，
∴，的解析式為，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，．
（3）、、、．
方法一：
①以為對(duì)角線，如圖作的垂直平分線交于點(diǎn)交直線于
∵，，
∴．
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
．
②以為邊
如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，
過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，和相交于點(diǎn)，同理可得
，，
，
．
過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
點(diǎn)是由點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，
，，
③以為邊
如圖以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，
連接，，則，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三點(diǎn)共線，
過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，
和相交于點(diǎn)，
∵、，
的中點(diǎn)．
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
．
綜上所述：、、、．
26．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；
（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．
【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；
∵，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：∵，，
∴,
∴，
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
如圖：當(dāng)，
∴,即；
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（3）解：如圖：∵軸，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵設(shè)，則,
∴，
∴，解得：（負(fù)值舍去），
當(dāng)時(shí)，，
∴．
（4）解： ∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線，
如圖：將線段向右平移單位得到,
∴四邊形是平行四邊形，
∴,即,
作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則
∴,
∵，
∴的最小值為．
故答案為．
27．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)最大值為；；
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；
（2）如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，求解，可得，證明，設(shè)，，，再建立二次函數(shù)求解即可；
（3）由拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，證明，可得，證明，如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，同理可得：，再進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，
∵當(dāng)時(shí)，
解得：，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∵，，
設(shè)為，
∴，解得：，
∴直線為：，
設(shè)，
∴，
∴，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；
此時(shí)；
（3）解：∵拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∴新的拋物線為：，，
如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，
∵，
同理可得：直線為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，
同理可得：，
設(shè)，則，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
28．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是射線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求的最小值；
(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)（2）中線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)的最小值為；
(3)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，求得最大，點(diǎn)，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；
（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：令，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
將和代入得，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：令，則，
解得或，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)（），則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
∴，，，
∴，，
連接，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴的最小值為；
（3）解：由（2）得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得，
∴，
∴新拋物線由向左平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，
∴，
過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，
∴，
同理求得直線的解析式為，
∵，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
作關(guān)于直線的對(duì)稱線得交拋物線于點(diǎn)，
∴，
設(shè)交軸于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，
過(guò)點(diǎn)作軸，作軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
綜上，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合問(wèn)題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
29．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且．
(1)求拋物線的對(duì)稱軸；
(2)求的值；
(3)直線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時(shí)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
①求的值；
②設(shè)的面積為，若對(duì)于任意的，均有成立，求的最大值及此時(shí)拋物線的解析式．
【答案】(1)對(duì)稱軸為直線：；
(2)
(3)①，②的最大值為，拋物線為；
【分析】（1）直接利用對(duì)稱軸公式可得答案；
（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設(shè)，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計(jì)算，當(dāng)時(shí)，可得，則，，可得，可得當(dāng)時(shí)，的最小值為，再進(jìn)一步求解可得答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線：；
（2）解：∵直線過(guò)點(diǎn)，
∴，
如圖，
∵直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且，
∴在的左邊，，
∵在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，
∵直線，
∴，
∴，
解得：，
②∵，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，
∴此時(shí)，
∵對(duì)于任意的，均有成立，
∴的最大值為，
∴拋物線為；
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
30．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；
（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可；
（3）如圖，以為對(duì)角線作正方形，可得，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過(guò)作軸的平行線交軸于，過(guò)作于，則，設(shè)，則，求解，進(jìn)一步求解直線為：，直線為，再求解函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
設(shè)，
∴，
∴
；
當(dāng)時(shí)，有最大值；
此時(shí)；
（3）解：如圖，以為對(duì)角線作正方形，
∴，
∴與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，
如圖，過(guò)作軸的平行線交軸于，過(guò)作于，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設(shè)，則，
∴,
∴，
由可得：
∴，
解得：，
∴，
設(shè)為：，
∴，解得：，
∴直線為：，
∴，
解得：或，
∴，
∵，，，正方形，
∴，
同理可得：直線為，
∴，
解得：或，
∴，
綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
31．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對(duì)稱軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．
(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；
(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為原來(lái)的相反數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求解；
（2）將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過(guò)點(diǎn)D作直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，可得，作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，可求直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：或（舍），故；當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，可得，可證明出，由，得，設(shè)，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，解得：或（舍），故．
【詳解】（1）解：設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，
由題意得，
∵對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
將A、B、C分別代入，
得：，
解得：，
∴，
∴，頂點(diǎn)為
∵拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，
∴拋物線的，頂點(diǎn)為，
∴的表達(dá)式為：，即
（2）解：將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過(guò)點(diǎn)D作直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，
∴，
∵，
∴直線為直線，
∵軸，
∴，
對(duì)于拋物線，令，則，
∴，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴點(diǎn)，
∵軸，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
而，
∴的最小值為；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，如圖：
∵拋物線，
∴
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線：，
∴，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
代入，,
得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，得：，
解得：或（舍），
∴；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，如圖：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由點(diǎn)
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線表達(dá)式為：，
代入點(diǎn)N，E，
得：，
解得：
∴直線表達(dá)式為：，
聯(lián)立，
得：，
整理得：
解得：或（舍），
∴，
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
32．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．
(3)點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，得到，當(dāng)時(shí)，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長(zhǎng)．
（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)F落在拋物線上，得到，解得即可；
②過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計(jì)算解答即可．
【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴軸，
∴E的橫坐標(biāo)為1，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
∴．
（3）①根據(jù)題意，得，
∵四邊形是平行四邊形，
∴點(diǎn)C，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，
設(shè)，
∵點(diǎn)F落在拋物線上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，
則四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
33．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．
(1)求的值．
(2)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點(diǎn)，記，記頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
①求與的函數(shù)解析式．
②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)①；②的取值范圍為或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，分當(dāng)點(diǎn)在軸上方和點(diǎn)在軸下方時(shí)，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式求解即可；
（3）①利用平移的性質(zhì)得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此列式計(jì)算即可求解；
②先求得或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)交軸于，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
令，則，
解得或，
令，則，
∴，，，
作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
∴或；
（3）解：①∵將二次函數(shù)沿水平方向平移，
∴縱坐標(biāo)不變是4，
∴圖象的解析式為，
∴，
∴，
由題意知：C、D不重合，則，
∴；
②由①得，
則函數(shù)圖象如圖，
∵隨增加而增加，
∴或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，或，
∴；
∵或，
∴；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴或，，
∴；
∵或，
∴；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
此情況不存在，舍去，
綜上，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)與線段的交點(diǎn)問(wèn)題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．
34．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的右邊），交軸于點(diǎn)．
(1)直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)如圖（1），連接，，過(guò)第三象限的拋物線上的點(diǎn)作直線，交y軸于點(diǎn)．若平分線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖（2），點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)原點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），線段交拋物線于另一點(diǎn)，連接．若，求直線的解析式．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）分別令，解方程，即可求解；
（2）分別求得直線，根據(jù)得出的解析式，設(shè)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平分線段，則的中點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式，即可求解．
（3）過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，證明，得出，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，設(shè)，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出，，，進(jìn)而求得，代入，化簡(jiǎn)后得出，即，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：由，
當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)，
解得：
∵在的右邊
∴，，
（2）解：設(shè)直線的解析式為
將，代入得，
解得：
∴直線的解析式為
∵
設(shè)直線的解析式為
∵在第三象限的拋物線上
設(shè)，
∴
∴
∴
設(shè)的中點(diǎn)為，則
由，，設(shè)直線的解析式為，
將代入得，
，
解得：
∴直線的解析式為，
∵平分線段，
∴在直線上，
∴
解得：（舍去）
當(dāng)時(shí)，
∴；
（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，
∴
∴
∴
∴
即
∵點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
∴,
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，，
即
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，
即
設(shè)，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
將代入得：
∴，
∴，
∴直線解析式為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相似三角形的性質(zhì)與判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
35．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)、．
(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求證：當(dāng)取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值始終為2；
(3)作的垂直平分線交直線于點(diǎn)，以為邊、為對(duì)角線作菱形，連結(jié)．
①當(dāng)與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí)，求菱形的面積；
②當(dāng)此拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)①；②或或
【分析】（1）將代入，解方程即可；
（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，由題意得，則，，因此；
（3）①記交于點(diǎn)M，，而對(duì)稱軸為直線，則，解得：，則，，由，得，則，因此；
②分類討論，數(shù)形結(jié)合，記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)F，則，故菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)m繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，符合題意，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，由，得到，解得：或（舍），故，當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意：當(dāng)m繼續(xù)變小，直至點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，故；當(dāng)m繼續(xù)變小，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，也符合題意，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，同上可得，，解得：或（舍），當(dāng)m繼續(xù)變小時(shí)，仍符合題意，因此，故m的取值范圍為：或或．
【詳解】（1）解：將代入，
得：，
解得：，
∴拋物線表達(dá)式為：；
（2）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，
由題意得：，
∴，，
∴在中，；
（3）解：①如圖，記交于點(diǎn)M，

由題意得，，
由，
得：對(duì)稱軸為直線：
∵四邊形是菱形，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于對(duì)稱，，
∵與此拋物線的對(duì)稱軸重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，則，
∴；
②記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)F，把代入，得：，
∴，
∵拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大，
∴菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線，
當(dāng)時(shí)，如圖，符合題意，
當(dāng)m繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，符合題意，如圖：
過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，如圖，符合題意：
當(dāng)m繼續(xù)變小，直至點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，符合題意，如圖：
∴；
當(dāng)m繼續(xù)變小，直至直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，也符合題意，如圖：
過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
當(dāng)m繼續(xù)變小時(shí)，仍符合題意，如圖：
∴，
綜上所述，m的取值范圍為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與幾何的綜合，菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求銳角的正切值，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出臨界狀態(tài)是解決本題的關(guān)鍵．
①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9

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