題型一：兩個原理
易錯點01 混淆兩個計數(shù)原理而出錯
易錯點02 分步“有序”導(dǎo)致錯誤
易錯點03 分步不合理導(dǎo)致重復(fù)或遺漏
題型二 排列組合
易錯點04 忽視排列數(shù)組合數(shù)公式的隱含條件致誤
易錯點05 分組問題混淆“均分”與“非均分”
易錯點07 計數(shù)時混淆有序與定序
題型三 二項式定理
易錯點08 混淆“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”而出錯
題型一：兩個原理
易錯點01：混淆兩個計數(shù)原理而出錯

典例 （24-25高三上·湖北武漢·期末）某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學(xué)只能報個項目，每個項目至少有名同學(xué)報名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報名方法共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】C
【分析】在甲單獨(dú)參加某項比賽條件下，結(jié)合分堆問題的處理方法及分步乘法計數(shù)原理求滿足條件的方法數(shù)，再在甲不單獨(dú)參加某項比賽條件下，.由分步乘法計數(shù)原理及排列知識求滿足條件的方法數(shù)，最后利用分類加法原理求結(jié)論.
【詳解】滿足條件的報名方法可分為兩類：
第一類：甲單獨(dú)參加某項比賽，
先安排甲，由于甲不能參加跳遠(yuǎn)，故甲的安排方法有種，
再將余下人，安排到與下的三個項目，
由于每名同學(xué)只能報個項目，每個項目至少有名同學(xué)報名，
故滿足條件的報名方法有,
所以甲單獨(dú)參加某項比賽的報名方法有種，
第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有種方法，再安排余下三人，有種方法，所以甲不單獨(dú)參加某項比賽的報名方法有種，
所以滿足條件的不同的報名方法共有種方法.
故選：C.
【易錯剖析】
在利用兩個計數(shù)原理處理計數(shù)問題時，往往容易因為混淆分類、分步而錯用兩個原理致錯.
【避錯攻略】
分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法。
分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m·n種不同的方法。
兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理．
易錯提醒：兩個原理的辨析：
(1)聯(lián)系
分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.
(2)區(qū)別
分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)
別如下表：
(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇
分類→將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計數(shù)原理；
分步→將問題分為幾個相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計數(shù)原理.
在解決有關(guān)計數(shù)問題時，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.
1．（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（ ）
A．4B．6C．8D．12
2．（2025·上?！つM預(yù)測）有一四邊形，對于其四邊，按順序分別拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣：如硬幣正面朝上，則將其擦去；如硬幣反面朝上，則不擦去．最后，以A為起點沿著尚未擦去的邊出發(fā)，可以到達(dá)C點的概率為（ ）．
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·天津紅橋·期中）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有 種．
1．（24-25高三上·重慶·期末）已知某班級將學(xué)生分為4個不同的大組，每個大組均有14名學(xué)生，現(xiàn)從這個班級里抽取5名學(xué)生參加年級活動，要求每個大組至少有1名同學(xué)參加，則不同的抽取結(jié)果共有（ ）
A．種B．種
C．種D．種
2．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）將1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)隨機(jī)地排成一個數(shù)列、記第i項為，若，，，則這樣的數(shù)列共有（ ）
A．70個B．71個C．80個D．81個
3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某校計劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學(xué)校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（ ）
A．80種B．90種C．100種D．120種
4．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（ ）種
A．114B．120C．126D．132
5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（ ）種.
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
易錯點02：分步“有序”導(dǎo)致錯誤

典例 （24-25高二上·福建泉州·階段訓(xùn)練）有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【答案】 C
【解析】方法一 將“至少有1個是一等品”的不同取法分三類：“恰有1個一等品”“恰有2個一等品”“恰有3個一等品”．由分類加法計數(shù)原理，得不同取法有（種）．
方法二 考慮其對立事件“3個都是二等品”，用間接法，得至少有1個一等品的不同取法有（種），故選C.
【易錯剖析】
由于對實際問題中“至少有1個一等品”意義理解不明，可能導(dǎo)致下面的錯誤：按分步乘法計數(shù)原理，第一步確保有1個一等品，有種取法；第二步從余下的19個零件中任取兩個，有種不同的取法，故共有（種）取法，實際上這個解法是錯誤的．下面我們作如下分析，第一步取出1個一等品，那么第二步就有3種可能：①取出的2個都是二等品，這時的取法有（種）；②取出1個一等品，1個二等品，因為取出2個一等品是分步完成的，這2個一等品的取法就有了先后順序，而實際上這2個一等品是沒有先后順序的，因此這時的取法就產(chǎn)生了多一倍的重復(fù)，即這時的取法有（種）；③取出的2個都是一等品，這時我們?nèi)〕龅?個都是一等品了，實際的取法種數(shù)應(yīng)是．
【避錯攻略】
用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進(jìn)行仔細(xì)分析—需要分類還是需要分步；分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．
易錯提醒：對于“至少”“至多”類型的問題，考生應(yīng)注意從兩個方面處理：一是從正面進(jìn)行處理，可以根據(jù)要求進(jìn)行合理分類，利用分類加法計數(shù)原理求解；二是求解該事件的對立事件，即利用排除法求解，其實質(zhì)還是先進(jìn)行分類．求解時要根據(jù)具體情況選取類別較少的一種方法進(jìn)行解答．
1．（24-25高三上·廣西·期中）為促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內(nèi)的5名城區(qū)教師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校支教，若每所學(xué)校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學(xué)校，則甲、乙不安排在同一所學(xué)校的方法數(shù)有（ ）
A．1440種B．240種C．216種D．120種
2．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實習(xí)活動，現(xiàn)將他們分配到高一年級的，，三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
3．（24-25高三上·廣東河源·階段練習(xí)）某市教育局人事部門打算將甲?乙?丙?丁?戊這5名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生安排到該市4所不同的學(xué)校任教，每所學(xué)校至少安排一名，則不同的安排方法種數(shù)是 .
1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某校致力于打造“書香校園”，以此來提升學(xué)生的文化素養(yǎng)．現(xiàn)準(zhǔn)備將7本不同的書全部分配給甲、乙、丙、丁4個不同的班級，要求每個班級均有書，且甲班的書比乙班多，丙班至少2本，則不同的分配方案有（ ）
A．630種B．840種C．1470種D．1480種
2．（24-25高三上·江蘇宿遷·期中）從5名男生和3名女生中選出4人參加一項創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為（ ）
A．15B．40C．55D．70
3．（24-25高三上·河北唐山·開學(xué)考試）某學(xué)校4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只能去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市3所高校的校長計劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（ ）
A．60種B．64種C．72種D．80種
5．（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）將4名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰2個項目協(xié)助培訓(xùn)工作，每名志愿者分配到1個項目，每個項目至少分配到1名志愿者，則不同的分配方案共有 種．（用數(shù)字作答）
6．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）重陽節(jié)，農(nóng)歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長久之意，是我國民間的傳統(tǒng)節(jié)日，人們常在此日感恩敬老．某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排6名學(xué)生到兩所敬老院開展志愿服務(wù)活動，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案是 種．
7．（24-25高三·上?！ふn堂例題）在迎新班會上，小王設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球中獎，則中獎的概率為 .（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
7．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個會議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1人．每人只負(fù)責(zé)一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有 種．（用數(shù)字作答）
易錯點03：分步不合理導(dǎo)致重復(fù)或遺漏

典例 （24-25高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域與區(qū)域）所涂顏色相同.若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有 種.

【答案】
【分析】確定區(qū)域，，，的顏色，分區(qū)域與區(qū)域涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】解：根據(jù)題意，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個傘面的涂色．
先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，
當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；
當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域有種選擇，
故不同的涂色方案有種．
故答案為：
【易錯剖析】
本題在求解過程中容易錯用分步乘法計數(shù)原理，從1到8依次涂色，方法數(shù)為，錯解的根源是涂完1、2后，3號可以與1相同，也可以不同，而3號的顏色影響4號顏色的選擇.
【避錯攻略】
1.分類計數(shù)原理的應(yīng)用原則
分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，
分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.
2.分類計數(shù)原理的應(yīng)用原則
①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；
②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.
③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.
易錯提醒：使用分步計數(shù)原理時，要注意以下三點：（1）?步驟完整性?：完成一件事必須且只需連續(xù)完成所有步驟。每個步驟的方法選擇與其他步驟無關(guān)，但所有步驟必須依次完成；
（2）?獨(dú)立性?：每一步的方法選擇是獨(dú)立的，即前一步的選擇不會影響后一步的選擇；
（3）?連續(xù)性?：只有當(dāng)前一步完成后，才能進(jìn)行下一步。所有步驟必須依次進(jìn)行，不能跳過任何一步?.
1．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）如圖，對，，，，五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
2．（24-25高二上·遼寧·期末）《九章算術(shù)》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數(shù)學(xué)社團(tuán)制作板報向全校師生介紹這一結(jié)論，給證明圖形的六個區(qū)域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法有（ ）
A．48種B．96種C．102種D．120種
3．（23-24高三上·河南·期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個側(cè)面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的6個面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（ ）
A．216B．360C．720D．1080
1．（25-26高三上·上?！卧獪y試）如題圖所示是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供選擇，要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（ ）．

A．240種
B．300種
C．360種
D．420種
2．（24-25高二上·山東菏澤·期中）如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)要給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的著色方案種數(shù)為（ ）
A．36B．48C．72D．144
3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色，欲給如圖所示的地圖中南昌市及與它相鄰的4個城市著色，要求相鄰城市不涂同一顏色，則不同的涂色方法共有 種.

4．（24-25高三上·福建福州·期中）如圖，對某市的個區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有 種.

5．（24-25高三·全國·專題訓(xùn)練）已知自然界氧的同位素有，氫的同位素有（自然界中存在極微，可忽略不計），水由氧元素和氫元素組成，化學(xué)式為，則自然界中水分子共有 種．
6．（2025年高考模擬）現(xiàn)有A，B，C，D，E五個興趣小組，在勞動實踐課上制作的手工藝品，擺放到如圖所示桌面上的四個區(qū)域，供學(xué)生參觀，若要求相鄰區(qū)域不可以放入同一個興趣小組的手工藝品，每個區(qū)域內(nèi)只能擺放一個興趣小組的手工藝品，共有 種擺法．
7．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運(yùn)會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為 ．
8．（24-25高三上·全國·單元測試）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有 種.（用數(shù)字作答）

題型二：排列組合
易錯點04：忽視排列數(shù)組合數(shù)公式的隱含條件致誤

典例 （24-25高三上·河北·期末）若，則（ ）
A．1B．2C．8D．9
【答案】B
【分析】直接利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式計算.
【詳解】由得，
解得
故選：B.
【易錯剖析】
本題在求解過程中容易忽略這一隱含條件而出錯.
【避錯攻略】
1、排列與排列數(shù)
（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．
（2）排列數(shù)的公式：．
特例：當(dāng)時，；規(guī)定：．
（3）排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．
2、組合與組合數(shù)
（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．
（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)
求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：
第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；
第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；
因此．
這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．
易錯提醒：無論是排列數(shù)還是組合數(shù)，在計算含參題目中要注意隱含條件.
1．（23-24高二下·河南·期中）若，則（ ）
A．5B．20C．60D．120
2．（23-24高三下·寧夏吳忠·期中）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·上海寶山·一模）已知關(guān)于正整數(shù)的方程，則該方程的解為 .
1．（24-25高三上·全國·專題訓(xùn)練）若，則的值為（ ）
A．12B．14C．16D．18
2．（23-24高二下·陜西西安·期末）若，則n等于（ ）
A．11B．12C．13D．14
3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知組合數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為 ．
4．（24-25高三上·河北承德·開學(xué)考試）若，則 .
5．（24-25高三·上?！ふn堂例題）若，則 ．
6．（24-25高三·上?！ふn堂例題）不等式的解集為 ．
7．（23-24高三·全國·對口高考）計算的值為 .
8．（24-25高三上·江西上饒·階段練習(xí)）若，則 .
易錯點05：分組問題混淆“均分”與“非均分”

典例 （24-25高三上·天津武清·期末）為了推動城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，某師范大學(xué)6名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這6名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人，則分配方案的總數(shù)為 ．
【答案】540
【分析】先將6名畢業(yè)生分成3組，結(jié)合平均分組和不平均分組公式，得到分配方案數(shù)，再進(jìn)行全排列，求出答案.
【詳解】第一步將6名畢業(yè)生分成3組，且每組至少1人，一共有3種分配方案，
其中1、1、4分配方式有種；
1、2、3，分配方式有種；
2、2、2，分配方式有種，
第二步將分好的3組畢業(yè)生分配到3所鄉(xiāng)村小學(xué)，其分法有種，
利用分步計數(shù)原理可知，分配方案的總數(shù)為．
故答案為：540
【易錯剖析】
本題容易在分組過程中，忽略均分組的計數(shù)方法而出錯.
【避錯攻略】
分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配
（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：
①完全均勻分組，每組元素的個數(shù)都相等；
②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；
③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．
（2）分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：
①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；
②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配；
③有限制條件的分配問題，采用分類求解．
易錯提醒：對于分堆與分配問題應(yīng)注意：①處理分配問題要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也應(yīng)是不同的；③分堆時要注意是否均勻．
1．（24-25高三上·湖北武漢·期末）某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學(xué)只能報個項目，每個項目至少有名同學(xué)報名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報名方法共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
2．（24-25高三上·河北邢臺·期末）運(yùn)動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個場地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．72B．96C．114D．124
3．（25-26高三上·上?！卧獪y試）3位男生、3位女生平均分成三組，恰好每組都有一位男生和一位女生的概率是 .
1．（24-25高三上·河北邯鄲·開學(xué)考試）在第33屆夏季奧運(yùn)會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當(dāng)天A，B，C三個比賽場地的現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（ ）
A．32B．24C．18D．12
2．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（ ）
A．12B．24C．28D．36
3．（23-24高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知 A，B兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承包方式共有（ ）
A．24種B．70種C．48種D．50種
4．（2024高三下·江西新余·專題練習(xí)）將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（ ）種.
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實習(xí)活動，現(xiàn)將他們分配到高一年級的，，三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
6．（24-25高三·上?！ふn堂例題）6本不同的書平均分給3人，共有（ ）種分法．
A．90B．180C．270D．45
7．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亞運(yùn)會比賽中，6名志愿者被安排到安檢、引導(dǎo)運(yùn)動員入場、賽場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則合適的安排方案共有 種.（用數(shù)字作答）
8．（2024·陜西寶雞·三模）圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵．在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成三個小組，則甲和乙在同一個小組的概率為 ．
易錯點06：計數(shù)時混淆有序與定序

典例 （2024·山東臨沂·模擬）身高互不相同的七名學(xué)生排成一排,從中間往兩邊越來越矮,不同的排法有（ ）
A．5040種 B．720種C．240種D．20種
【答案】D
【詳解】最高個子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,因順序固定有種排法,第二步：排右邊,因順序固定,有1種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有種,故選．
【易錯剖析】
本題容易混淆定序與有序的區(qū)別而錯解，即最高個子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,有種排法,第二步：排右邊,有 種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有種,而錯選B．
【避錯攻略】
1.一般地，對于某些元素的順序固定型問題，解決時有兩種方法：
(1)倍縮法：先不考慮限制條件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在總位置中，安排非定序元素的位置，然后對定序元素進(jìn)行排列時，只有1種排法．如已知n個不同的元素進(jìn)行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)個元素相對順序固定不變，有eq \f(Aeq \\al(n,n),Aeq \\al(m,m))種不同的方法，或從n個位置中排m個元素之外的n－m個元素，再放這定序的m個元素，共有Aeq \\al(n－m,n)種不同的方法．
對于給定元素順序確定，再插入其他元素進(jìn)行排列：順序確定的元素為n個，新插入的元素為m個，則排列數(shù)為eq \f(（m＋n）！,n！).
2.相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有Ceq \\al(m－1,n－1)種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板．
易錯提醒：“定序”是指元素的相對順序固定,定序問題可看作組合問題，可以看做排列問題之后除掉之間的順序．
1．（24-25高三上·全國·專題訓(xùn)練）用2個0，2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（ ）
A．8個B．12個C．18個D．24個
2．（23-24高三上·鄭州·模擬）今有2個紅球，3個黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5個球排成一行，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．甲，乙等5人站成一排，則甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的概率為 .
1．某班2024年元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插入方法的種數(shù)為( )
A．2B．11
C．36D．42
2．某工程隊有6項工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后進(jìn)行，那么安排這6項工程不同的排法種數(shù)是________．
3．身高互不相同的7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有________種(用數(shù)字作答)．
4．某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．
題型三：二項式定理
易錯點07：混淆“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”而出錯

典例 （2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）的展開式的第項的系數(shù)為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二項式定理的通項可知展開式中的第項為，代入計算可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)二項展開式的通項可知第項為，
因此展開式的第項的系數(shù)為.
故選：C
【易錯剖析】
本題容易將展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)混淆而出錯.
【避錯攻略】
1、二項式定理
（1）二項式定理：，
（2）通項公式：，表示展開式的第項：，
（3）二項式系數(shù)：系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù).
2、二項式展開式中的最值問題
（1）二項式系數(shù)的性質(zhì)：
= 1 \* GB3 ①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．
（2）二項式系數(shù)的最大項
二項式系數(shù)先增后減中間項最大
= 1 \* GB3 ①如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
= 2 \* GB3 ②如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．
（3）系數(shù)的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，
設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
易錯提醒：處理二項展開式的系數(shù)問題要區(qū)分“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”的區(qū)別：二項展開式中各項的二項式系數(shù)為(),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.
1．（24-25高三上·甘肅臨夏·期末）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．2B．6C．4D．-4
2．（24-25高三上·貴州·階段練習(xí)）在的二項展開式中，第3項的二項式系數(shù)是（ ）
A．8B．C．28D．
3．（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數(shù)項為B．各項的系數(shù)和為64
C．第3項的二項式系數(shù)最大D．奇數(shù)項二項式系數(shù)和為
1．（24-25高三上·天津和平·期末）二項式的展開式中，項的系數(shù)為 .
2．（24-25高三上·天津紅橋·期末）的展開式中的的系數(shù)是 .
3．（24-25高三上·湖北武漢·期末）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）
4．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）已知展開式的二項式系數(shù)之和為32，則該展開式中x的系數(shù)為 .
5．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）在的展開式中系數(shù)最大的項是第 項．
6．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）已知的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項為a，系數(shù)最大的項為b，則 ．
7．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）已知的二項式展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64，則展開式中第3項為 ．
區(qū)別
分類加法計數(shù)原理
分步乘法計數(shù)原理
①
針對的是“分類”問題
針對的是“分步”問題
②
各種方法相互獨(dú)立
各個步驟中的方法互相依存
③
用其中任何一種方法都可以完成這件事
只有各個步驟都完成才算完成這件事

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