2025年高考數(shù)學(xué)考試易錯題(新高考通用)模塊03三角函數(shù)與解三角形(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（24-25高三上·山東濟寧·階段練習(xí)）在三角形中，，，，則（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，即可求解.
【詳解】由可得：，
所以，又，
所以或，
結(jié)合內(nèi)角和定理，所以或，
故選：C
2．（2024·海南·模擬預(yù)測）若，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先左右兩邊平方，得出，再應(yīng)用弦化切，最后結(jié)合角的范圍可得求出正切值.
【詳解】因為，所以，
即，所以，
所以，得，
解得或，
因為，且，
所以，所以，所以.
故選：.
3．（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由已知可得，可求得，利用二倍角的正余弦公式可得，代入求值即可.
【詳解】因為，所以，
因為的終邊過點，所以，解得，
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
綜上所述：或.
故選：C.
4．（24-25高三上·甘肅臨夏·期末）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的（）
A．最大值為B．最小值為C．一個對稱中心為D．一條對稱軸為
【答案】D
【分析】利用平移變換求得的解析式，進而求得最值判斷AB；求得對稱中心與對稱軸方程判斷CD.
【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
可得的圖象，
又再向下平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以，
當(dāng)時，，故A錯誤；
當(dāng)時，，故B錯誤；
由，得，所以函數(shù)的，
當(dāng)k=1時，的一個對稱中心為，故C錯誤；
由，得，所以的對稱軸為，
當(dāng)當(dāng)時，的一條對稱軸為，故D正確.
故選：D.
5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．為奇函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．圖象的一個對稱中心為D．的最小正周期為π
【答案】C
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域、對稱中心、周期、單調(diào)性逐項判斷即可得解.
【詳解】因為，所以，解得，
即函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；
當(dāng)時，，此時無意義，故在區(qū)間上單調(diào)遞增不正確，故B錯誤；
當(dāng)時，，正切函數(shù)無意義，故為函數(shù)的一個對稱中心，故C正確；
因為，故是函數(shù)的一個周期，故D錯誤.
故選：C
6．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則下列說法錯誤的是（）
A．點第一次到達最高點需要20秒
B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點距離水面1米
C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點在水面下方，距離水面2米
D．點距離水面的高度（米）與時間（秒）之間的函數(shù)解析式為
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求出點距離水面的高度（米）與時間（秒）之間的函數(shù)解析式為，結(jié)合選項依次判斷即可.
【詳解】設(shè)點距離水面的高度為（米）與時間（秒）之間的函數(shù)解析式為，，
由題意，，，解得,
，則.
當(dāng)時，，則，
又，則.
綜上，，故D正確；
令，則，
若，得秒，故A正確；
當(dāng)秒時，米，故B不正確；
當(dāng)秒時，米，故C正確.
故選：B.
7．（24-25高三上·湖南長沙·期末）若，，并且均為銳角，且，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系計算可得，，再由兩角差的余弦公式計算可得結(jié)果.
【詳解】由，可得，
又，所以，
因為，，所以，
所以
，
又因為，所以.
故選：C
8．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則邊上中線長度的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理角化邊得到，結(jié)合基本不等式得到，再由中線長公式求解.
【詳解】，由正弦定理可得，
即，則，
又，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，則．
設(shè)邊上中線的長度為，則，
所以邊上中線長度的最大值為．
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（24-25高三上·吉林·期末）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由二倍角公式結(jié)合正弦定理的角化邊公式求出，進而由和角公式得出，進而得出，最后求出三角形面積.
【詳解】因為，所以，又，
所以，又，所以，
，所以，
.
故選：ACD
10．（24-25高三上·重慶·期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）
A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點對稱
C．在上有最小值D．在上有兩個極值點
【答案】ABD
【分析】根據(jù)對稱可得，即可得，根據(jù)周期的計算公式求解A，代入即可求解B，根據(jù)整體法即可求解CD.
【詳解】，即，
而，故．故，
對于選項A：最小正周期，正確．
對于選項B：時，為的對稱中心，正確．
對于選項C：時，，無最小值，錯誤．
對于選項D：時，，結(jié)合的圖象可知，有兩個極值點，正確．
故選：ABD
11．（24-25高三上·湖北·開學(xué)考試）受潮汐影響，某港口5月份每一天水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的關(guān)系都符合函數(shù)（，，，）.根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于2.5米，否則該船必須立即離港，一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計劃于5月10日進港卸貨（該船進港立即可以開始卸貨），已知卸貨時吃水深度以每小時0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米（不計船?？看a頭和駛離碼頭所需時間）.下表為該港口5月某天的時刻與水深關(guān)系：
以下選項正確的有（）
A．水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的函數(shù)關(guān)系為，
B．該船滿載貨物時可以在0：00到4：00之間以及12：00到16：00之間進入港口
C．該船卸完貨物后可以在19：00離開港口
D．該船5月10日完成卸貨任務(wù)的最早時間為16：00
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，即可判斷A；解不等式組，即可判斷B；求出19時水的深度，即可判斷C；求出函數(shù)與的圖象的交點，即可判斷D.
【詳解】解：依題意，，，解得，
顯然函數(shù)的圖象過點，
即，又，因此，
所以函數(shù)表達式為，，故A對；
依題意，，整理得，
即有，
即,
解得或，
所以該船可以在0點到4點以及12點到16點進入港口，故B對；
該船卸完貨后符合安全條例的最小水深為5.5，
19時水深為，故C錯；
該船0點進港即可以開始卸貨，設(shè)自0點起卸貨x小時后，
該船符合安全條例的最小水深為
函數(shù)與的圖象交于點，
即卸貨5小時后，在5點該船必須暫時駛離港口，此時該船的吃水深度為4.5米，
下次水深為7米時刻為11點，
故該船在11點可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時后完成卸貨，此時為16點，
綜上，該船在0點進港開始卸貨，5點暫時駛離港口，11點返回港口繼續(xù)卸貨，16點完成卸貨任務(wù)，故D對.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知分別為第一象限角和第三象限角，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩角差的正切公式得的值，再結(jié)合兩個角的取值范圍得到的取值，即可得到結(jié)果.
【詳解】依題意，，
因為，，
即，
所以，又，
所以，，
所以.
故答案為：.
13．（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）如圖，OPQ是以O(shè)為圓心，半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，AB在線段OP上，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，則的最大值為 .
【答案】
【分析】設(shè)，，表達出，，利用三角恒等變換得到，求出最大值，得到答案.
【詳解】設(shè)，，
則，
故，
則，則，
則
，
因為，所以，
故當(dāng)，即時，取得最大值，
最大值為.
故答案為：
14．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為（）.已知，則的最大值是 .
【答案】/
【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到，，從而有，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，即可求解.
【詳解】由，則由正弦定理可得，，
所以或，而，且，即，
所以，且，即，
，
令，則，所以，
當(dāng)時，，則在上遞增；
當(dāng)時，，則在上遞減；
所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（24-25高三上·黑龍江·期末）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求和的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）運用兩角和的正弦公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及特殊角化簡計算即可；
（2）運用余弦定理和正弦定理計算即可.
【詳解】（1）因為，
則，
因為在中，，
所以，
則有，
因為，
所以，，
故.
（2）由（1）可知：，
在中，因為，，
由余弦定理可得：，
則，
由正弦定理可得：，即，
所以.
16．（24-25高三上·山東德州·期末）在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點，連接圓心和得到射線，將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點，其中．
(1)求出的值和銳角的大??；
(2)求的值；
(3)記點的橫坐標(biāo)為，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）由單位圓與三角函數(shù)的定義求解；
（2）用誘導(dǎo)公式化簡后可得；
（3）已知條件代入得，由同角三角函數(shù)關(guān)系得，再由誘導(dǎo)公式化簡后可得．
【詳解】（1）由于點在單位圓上，且是銳角，
可得，，則，
所以，且為銳角，可得；
（2）
；
（3）由（1）可知，
根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，
因為，且，
因此，所以．
所以
．
17．（24-25高三上·山東淄博·期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，成等差數(shù)列，且．
(1)求證：為等邊三角形；
(2)如圖，點D在邊BC的延長線上，且，，求的值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差中項可得，再結(jié)合余弦定理分析證明；
（2）設(shè)，在中，利用余弦定理可得，再利用正弦定理運算求解.
【詳解】（1）因為，，成等差數(shù)列，則，
又因為，由余弦定理可得，
即，解得，
所以為等邊三角形.
（2）設(shè)，則，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，即，
由正弦定理可得.
18．（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)y=fx的解析式；
(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，求函數(shù)在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圖象易得和周期，結(jié)合可得結(jié)果；
（2）根據(jù)平移和伸縮變換可得，進而由整體法即可求解函數(shù)的值域.
【詳解】（1）觀察圖象可得，函數(shù)的周期，解得，
即，由，得，
即，，而，則，
所以函數(shù)的解析式是.
（2）將的圖象向左平移個單位長度，
可得到函數(shù)的圖象，
再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)的圖象，則，
當(dāng)時，，
則，即，
因此在上的值域為.
19．（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）16世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)家韋達在其三角學(xué)著作《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》中給出了積化和差與和差化積恒等式.
積化和差：，．
和差化積：，．
運用上面的公式解決下列問題：
(1)證明：；
(2)若，證明：；
(3)若函數(shù)，判斷的零點個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)僅有1個，理由見解析.
【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化積公式計算即可；
（2）利用積化和差公式和誘導(dǎo)公式即可證明；
（3）易得，再證明當(dāng)時，即可.
【詳解】（1）根據(jù)二倍角公式與和差化積恒等式可得：
.
（2）左邊
.
右邊
.
因為，所以，
故.
（3）僅有一個零點.
顯然，下面證明當(dāng)時，.
.
當(dāng)時，，
所以，
所以當(dāng)時，.
綜上，僅有1個零點.
【點睛】本題第三問的關(guān)鍵利用放縮法證明當(dāng)時，.
時刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
10
7
4
7
10
7
4
7

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