2025年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題(新高考通用)【消滅易錯(cuò)】專題05立體幾何(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件求出的面積，把求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化成求三棱錐的體積，再根據(jù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
【詳解】平面，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
所以，
故選：B．
易錯(cuò)分析：求幾何體的體積時(shí)，若幾何體是規(guī)則圖形可直接利用公式求解，若幾何體是不規(guī)則圖形，可考慮用“割補(bǔ)法”求解.
2．（24-25高三上·北京順義·期末）某同學(xué)在勞動(dòng)實(shí)踐課中，用四塊板材制作了一個(gè)簸箕（如圖1），其底面擋板是等腰梯形，后側(cè)擋板是矩形，左右兩側(cè)擋板為全等的直角三角形，后側(cè)擋板與底面擋板垂直．簸箕的造型可視為一個(gè)多面體（如圖2）．若，，，與之間的距離為28cm，則該多面體的體積是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將幾何體的體積轉(zhuǎn)化為四棱錐和三棱錐的體積后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，故，而平面平面?br>平面平面，平面，
故平面，
在平面中過作，垂足為，則，
同理可證平面，
而，故，
，
故幾何體的體積為，
故選：C.
3．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）若在長方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先確定兩個(gè)四面體的公共部分，再利用錐體的體積公式求體積.
【詳解】如圖：
取與的交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，
則三棱錐即為四面體與四面體的公共部分.
因?yàn)?
又，所以，所以.
過作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，平面，所?
因?yàn)椋矫?，所以平?
所以為到平面的距離，其值為，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為：.
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：幾何圖形的公共部分和體積計(jì)算：通過分析兩個(gè)幾何體公共部分的幾何位置，逐步構(gòu)造關(guān)鍵點(diǎn)，利用三角形面積和錐體體積公式，最終得出公共部分的體積，此方法清晰有效，能充分展示邏輯推理與代數(shù)運(yùn)算等解題技巧.
4．（24-25高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，這是正四棱臺(tái)被截去一個(gè)三棱錐后所留下的幾何體，其中，，則該幾何體的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由正四棱臺(tái)的性質(zhì)，可求得正四棱臺(tái)的高，從而可得正四棱臺(tái)的體積.補(bǔ)全圖中幾何體可知截去的三棱錐的底面為三角形，高為正四棱臺(tái)的高，從而可得截去的三棱錐的體積.兩者做差即可得到題目中幾何體的體積.
【詳解】
因?yàn)椋?，根?jù)正四棱臺(tái)性質(zhì)，其高為，
則該正四棱臺(tái)的體積為.
又由圖可知截去三棱錐底面積為，
所以三棱錐體積為，
即所求幾何體體積為.
故選：A
5．（24-25高三上·吉林長春·期末）若圓臺(tái)上、下底的面積分別為，，高為2，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用給定條件結(jié)合圓臺(tái)側(cè)面積公式求解即可.
【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)上、下底的面積分別為，，設(shè)上底半徑為，下底半徑為，
所以，，解得，(負(fù)根舍去)，
設(shè)圓臺(tái)母線為，由勾股定理得，且設(shè)圓臺(tái)側(cè)面積為，
故，故C正確.
故選：C
易錯(cuò)分析：空間幾何體的面積問題要注意區(qū)分表面積和側(cè)面積的區(qū)別.
6．（24-25高三上·重慶·期末）在正四棱臺(tái)中，，且正四棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則此正四棱臺(tái)外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由內(nèi)切球切點(diǎn)的截面性質(zhì)，確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而結(jié)合勾股定理得四棱臺(tái)的高度，再由外接球幾何性質(zhì)建立關(guān)系得外接球的半徑，從而得所求.
【詳解】因?yàn)檎睦馀_(tái)內(nèi)切球存在時(shí)，內(nèi)切球大圓是圖中梯形的內(nèi)切圓，圓心為，
設(shè)上下底面的中心分別為．
過作于，連接，
由圖可知，
則，
過作于，，
即四棱臺(tái)的高為，
設(shè)外接球球心為，設(shè)外接球的半徑為，
則
，
解得，
則外接球表面積為．
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)于正四棱臺(tái)的內(nèi)切球問題，關(guān)鍵是要通過截面法確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而轉(zhuǎn)換為幾何體的內(nèi)切球，由幾何性質(zhì)確定正四棱臺(tái)的高度，從而再根據(jù)外接球的性質(zhì)求解外接球半徑，即可得所求。
7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)表面積為1的球，該球與圓臺(tái)的側(cè)面和底面均相切，則該圓臺(tái)的表面積的可能取值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓臺(tái)的下底面半徑為，上底面半徑為，球的半徑為，根據(jù)幾何體的特征可得，根據(jù)基本不等式可得，從而可得正確的選項(xiàng).
【詳解】不妨設(shè)圓臺(tái)的下底面半徑為，上底面半徑為，球的半徑為，
如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意知圓與梯形的四條邊均相切，則，
又，
故，化簡可得，
設(shè)圓臺(tái)與球的表面積分別為，
則，（，故取不到等號(hào)）
故．由于，，都不大于，，故圓臺(tái)的表面積的可能取值為．
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決幾何體與球相切問題的基本邏輯是找空間關(guān)系或找一個(gè)特殊截面，將問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行解決．求內(nèi)切球半徑的兩種方法：①等體積法，先將幾何體的內(nèi)切球球心與幾何體各個(gè)頂點(diǎn)用線段連接，運(yùn)用等體積法就有（為幾何體各表面的面積），于是就有，其中為幾何體內(nèi)切球的半徑，為幾何體的體積，為幾何體的表面積；②平面化，通過找特殊截面（一般為球的截面剛好與幾何體截面相切的截面），將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而通過求得某幾何圖形的內(nèi)切圓半徑，求出原問題中內(nèi)切球的半徑．
8．（24-25高三上·廣東茂名·階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為和，母線長為，且該圓臺(tái)上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圓臺(tái)的高，球心在上、下底圓心的連線上，利用勾股定理建立等量關(guān)系，求出球心位置，即可得到球的半徑，從而解出球的表面積.
【詳解】取圓臺(tái)的一條母線，連接、，
過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，如圖：
由題意可知，四邊形為直角梯形，且，，，
因?yàn)?，，?br>所以四邊形為矩形，所以，則，
所以，
設(shè)，則，
因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，
所以，解得，
則球的半徑為，
故該球的表面積為.
故選：D.
易錯(cuò)分析：空間幾何體的外接球問題要注意先確定球心位置，然后根據(jù)截面圓半徑、球半徑、球心距組成的直角三角形求解.
9．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知三棱錐的側(cè)棱長相等，且所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其中，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，結(jié)合余弦定理可得的長，從而得，于是可得截球所得的圓的半徑，由此能求出球的半徑，從而能求出球的表面積．
【詳解】
如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，

，
由余弦定理得，
，則，
截球所得的圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑，
由于三棱錐的側(cè)棱長相等，所以共線，且，
.
設(shè)球的半徑為，由得：.
球的表面積．
故選：A．
10．（24-25高三上·湖南株洲·期末）已知長方體的長，寬，高分別為，連接其各面的中心，得到一個(gè)八面體.已知該八面體的體積為8，則該長方體的表面積的最小值為 .
【答案】
【分析】由已知條件作出示意圖，可以把八面體分成兩個(gè)同底等高的四棱錐，并且得出四棱錐的底面積和高與長方體的關(guān)系，，從而可求得，再由長方體表面積公式，利用基本不等式，即可求得長方體表面積的最小值.
【詳解】
如上圖所示，
八面體分成兩個(gè)同底等高的四棱錐和四棱錐，
所以，
因?yàn)樗睦忮F的底面面積是長方體底面面積的一半，高是長方體高的一半，
所以，化簡得：，
所以長方體的表面積為：
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以長方體的表面積的最小值為80.
故答案為：80.
11．（24-25高三上·山東淄博·期末）已知三棱錐的底面ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是的垂心，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球半徑等于．
【答案】
【分析】做輔助線，根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可證，同理可得，可知點(diǎn)為的垂心，即可知點(diǎn)為的中心，根據(jù)體積可得，結(jié)合外接球的性質(zhì)列式求解即可.
【詳解】延長交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)H是的垂心，則，
又因?yàn)槠矫妫矫?，則，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，，
且底面ABC是邊長為2的正三角形，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，
過點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，
且平面，可得，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
同理可得，可知點(diǎn)為的垂心，
因?yàn)闉榈冗吶切?，可知點(diǎn)為的中心，
則，且，
因?yàn)槿忮F的體積為，可得，
可知三棱錐的外接球的球心，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，
則，解得，
所以外接球的半徑為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法
1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；
2.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；
3.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對角線長；
4.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．
考點(diǎn)02 點(diǎn)線面的位置關(guān)系
1．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對A，與相交或平行；對B，與可能相交但不垂直；對C，可推出；對D，可得，結(jié)合，得到答案.
【詳解】對于A，由，，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；
對于B，由，，，則與可能相交但不垂直，故B錯(cuò)誤；
對于C，由，，，則，故C錯(cuò)誤；
對于D，由，，則，又，則，故D正確.
故選：D.
易錯(cuò)分析：利用空間中的平行、垂直問題時(shí)，一定要注意判定定理成立的前提條件.
2．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）
A．若，則B．若則
C．若,則D．若，則
【答案】C
【分析】利用空間中線線，面面的位置關(guān)系判斷即可.
【詳解】對于選項(xiàng)A：若，當(dāng)都平行于的交線時(shí).滿足條件，此時(shí)兩個(gè)平面相交. 故A錯(cuò)誤.
對于選項(xiàng)B：若，則有可能，故B錯(cuò)誤.
對于選項(xiàng)C：若，則或，又因?yàn)?，如果根?jù)面面垂直的判定定理可得；如果，假設(shè)過n作平面與相交于直線l，由，可得，因?yàn)?，所以，而，根?jù)面面垂直判定定理即可得到，故C正確
對于選項(xiàng)D：若，則可能平行或異面.故D錯(cuò)誤.
故選：C
易錯(cuò)分析：平行關(guān)系的辨析問題，容易忽略直線在平面內(nèi)這一特殊位置而致錯(cuò).
3．（24-25高三上·天津河北·期末）已知，是兩個(gè)平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】D
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)得答案．
【詳解】對選項(xiàng)A，若，，則，故A錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)B，若，，則，，或與相交，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，，則，
即一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)，D正確．
故選：D
4．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知是空間中的兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線.下列命題正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】對于A：根據(jù)線面垂直的判定定理分析判斷；對于B：根據(jù)面面垂直的判定定理分析判斷；對于C：根據(jù)線面平面的判定定理分析判斷；對于D：根據(jù)平行關(guān)系可知，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)線面垂直的判定定理可知：需保證m，n相交，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：根據(jù)面面垂直的判定定理可知：需推出線面垂直，現(xiàn)有條件不能得出，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：根據(jù)線面平面的判定定理可知：需保證，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：若，則，
且，所以，故D正確；
故選：D.
5．（2024·山東·模擬預(yù)測）設(shè)是空間中的一個(gè)平面，是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真命題的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A；結(jié)合線面垂直與線線垂直的性質(zhì)分析可判斷B；由線面垂直性質(zhì)可判斷C、D.
【詳解】對于A，由，，只有直線與相交時(shí)，可得，故A錯(cuò)誤；
對于B，由，知或，故B錯(cuò)誤；
對于C，由，則，故C錯(cuò)誤；
對于D，由，可得，又因?yàn)椋?，故D正確．
故選：D.
6．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的有關(guān)判定、性質(zhì)定理，可得正確結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，，所?
又，，所以，，
，平行或異面.
故選：A
7．（24-25高三上·天津和平·期末）已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.
【詳解】對于A：若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；
對于B：在內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)與直線確定一個(gè)平面，且，
由，由線面平行的性質(zhì)定理，可得，
因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故B正確；
對于C：若且，則或在內(nèi)，故C錯(cuò)誤；
對于D：若，，則或，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
8．（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，則的一個(gè)充分不必要條件可以是（）
A．與內(nèi)所有的直線都垂直B．，，
C．與內(nèi)無數(shù)條直線垂直D．，，
【答案】D
【分析】A項(xiàng)由線面垂直定義可知；BC項(xiàng)在長方體中舉反例可知；D項(xiàng)由推證可得充分性，必要性顯然不成立.
【詳解】A項(xiàng)，由直線與平面垂直的定義可知與內(nèi)所有的直線都垂直是的充要條件，選項(xiàng)A錯(cuò)；
B項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，缺少條件，
如圖長方體中，
設(shè)平面為平面，設(shè)平面為平面，直線為，
則，滿足，，，
但，不與平面垂直，故不能推出，
故條件“，，”也不是的充分不必要條件，選項(xiàng)B錯(cuò)；

C項(xiàng)，如圖長方體中，
設(shè)平面為平面，直線為，
則直線與平面內(nèi)無數(shù)條與垂直的直線都垂直，但，不與平面垂直，
故由與內(nèi)無數(shù)條直線垂直不能推出，所以不是的充分不必要條件，選項(xiàng)C錯(cuò)；

D項(xiàng)，由，，得，又因?yàn)?，所以?br>反之，由推不出，，，
所以，，是的一個(gè)充分不必要條件，選項(xiàng)D正確.
故選：D.
9．（24-25高三上·河北張家口·期末）已知是一個(gè)平面，是兩條不同的直線，，則是的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理及空間中直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件定義判定即可得.
【詳解】若，由，則；
若，則與可能垂直、可能相交也可能平行，還有可能平面；
故是的充分不必要條件.
故選：A.
10．（24-25高三上·天津河西·期末）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)各項(xiàng)給定的線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的的基本性質(zhì)及空間想象判斷正誤即可.
【詳解】A：若，則、可能平行或相交，故A錯(cuò)；
B：若，則或，故B錯(cuò)；
C：若，則或，故C錯(cuò)；
D：若，則存在直線，使得，
又，所以，所以.故D對.
故選：D
11．（2025·上?！つM預(yù)測）如圖，是正四棱臺(tái)，則下列各組直線中屬于異面直線的是（）．

A．和；B．和；C．和；D．和．
【答案】D
【分析】根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)及直線與直線的位置關(guān)系即可判斷.
【詳解】因?yàn)槭钦睦馀_(tái)，所以，故A錯(cuò)誤，
側(cè)棱延長交于一點(diǎn)，所以與相交，故B錯(cuò)誤，
同理與也相交，所以四點(diǎn)共面，所以與相交，故C錯(cuò)誤，
與是異面直線，故D正確.
故選：D
12．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在正方體中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）
A．與異面B．
C．平面平面D．平面
【答案】D
【分析】根據(jù)異面直線的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)線線平行可證明線面平行判斷D，根據(jù)面面平行的判定求解C.
【詳解】由于,而與相交，結(jié)合正方體的性質(zhì)易知與異面，所以A正確；
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又在正方體中易知，，
，平面，所以平面，
又平面，所以，所以B正確；
因?yàn)?，平面，平面ACD1，所以平面，
又，平面，平面ACD1，所以平面，
因?yàn)椋?，平面?br>所以平面平面，所以C正確；
因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面，所以D錯(cuò)誤．故選D．
故選：D
考點(diǎn)03 空間角
1．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）若為正方體，則異面直線與所成角的大小為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意作圖，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，利用異面直線夾角的定義，可得答案.
【詳解】連接，，如下圖：
易知，所以為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），
易知為等邊三角形，所以.
故選：A.
易錯(cuò)分析：求異面直線所成角的方法一般有兩種：一是幾何法，即平移作角、通過解三角形求解；二是向量法，即通過空間向量進(jìn)行求解，無論何種方法都要注意異面直線所成角的范圍為.
2．（23-24高三上·江蘇南京·期中）已知矩形中，是邊的中點(diǎn)．和交于點(diǎn)，將沿折起，在翻折過程中當(dāng)與垂直時(shí)，異面直線和所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】證明三角形相似得到，進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直，作出輔助線，得到或其補(bǔ)角即為異面直線和所成角，結(jié)合余弦定理求出答案
【詳解】如圖1，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，
故，故，
又，故，所以，
則，故．
如圖2，將沿折起，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，在翻折過程中，當(dāng)與垂直時(shí)，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>因?yàn)槠矫?，平面平面?br>所以平面，
連接，因?yàn)椋?br>所以或其補(bǔ)角即為異面直線和所成角，
因?yàn)?，所以?br>故，則，又，
故，即所求角的余弦值為，
故選：D．
3．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱臺(tái)中，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先做，得出，再得出，進(jìn)而應(yīng)用空間向量的線性表示及數(shù)量積公式計(jì)算，最后應(yīng)用異面直線所成角的向量法求解.
【詳解】
設(shè)，過點(diǎn)做，是中點(diǎn)，
因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，所以,
因?yàn)樗裕?br>所以，因?yàn)檎馀_(tái)中，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰梯形，
所以，
所以，，
又因?yàn)?，?br>所以，
設(shè)異面直線，所成角為
所以.
故選：C.
4．（2024·四川綿陽·一模）三棱柱，底面邊長和側(cè)棱長都相等．，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意設(shè)，，由數(shù)量積的運(yùn)算律、模的運(yùn)算公式以及向量夾角的余弦的關(guān)系即可運(yùn)算求解.
【詳解】
設(shè)，
由題意，
，
，
又，
設(shè)異面直線與所成角為，則.
故選：D．
5．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）在三棱錐中，平面平面是邊長為的等邊三角形，是直角三角形，且，則與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得與所成角的余弦值.
【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，，
由于平面平面且交線為，平面，
所以平面，由于平面，所以，
由于是直角三角形，且，
所以，且，
由此以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
，
則與所成角的余弦值為.
故選：A
6．（24-25高三上·四川宜賓·階段練習(xí)）在平行六面體中，，則與平面ABCD所成角的正弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】證明是平面的法向量后，可得直線與平面所成角的正弦值即為與所成角的余弦值，借助空間向量夾角公式計(jì)算即可得.
【詳解】
連接，為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
故
；
，
又
，
又
，
故，
又、平面，且，
故平面，即是平面的法向量，
設(shè)與平面ABCD所成角為
所以
故選：B.
易錯(cuò)分析：利用空間向量求線面角的公式是是異面直線的方向向量，不要誤認(rèn)為公式求出的是余弦值.
7．（24-25高三上·云南昆明·期中）在正方體中，下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．B．與所成角為
C．平面D．與平面所成角為
【答案】D
【分析】設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直
線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、，
對于A選項(xiàng)，，，
則，所以，，A對；
對于B選項(xiàng)，，則，
所以，與所成角的大小為，B對；
對于C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，
則，取，則，
則，所以，，
又因?yàn)槠矫?，所以，平面，C對；
對于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
所以，，
所以，與平面所成角為為，D錯(cuò).
故選：D.
8．（2024·河南·模擬預(yù)測）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時(shí)搭建城市共建共享平臺(tái)，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈(zèng)送點(diǎn)位，接受市民贈(zèng)送的休閑長椅.其中觀景草坪上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知和是圓的兩條互相垂直的直徑，將平面沿翻折至平面，使得平面平面（如圖2）此時(shí)直線與平面所成角的正弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦值.
【詳解】依題意，，而平面平面，平面平面，
又平面平面，則平面，，
因此直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
令圓半徑，則，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故選：B
9．（2023·河北保定·二模）如圖，在長方體中，，，對角線與平面交于點(diǎn)．則與面所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，解得平面的法向量為,,，,1,，設(shè)，則,,，，解得，可得坐標(biāo)，
平面的法向量為,1,，設(shè)與平面所成角為，則，進(jìn)而可得答案．
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：
,1,，,1,，
設(shè)平面的法向量為,,，
則，令，則，，
所以,2,，
又,1,，因?yàn)辄c(diǎn)在上，
設(shè),,，所以,,，
所以,,，
因?yàn)槊?，所以?br>所以,,,2,，
所以，解得，
所以,,，
平面的法向量為,1,，
設(shè)與平面所成角為，
所以，
所以，
故選：D．
10．（24-25高三上·北京朝陽·期末）如圖，在五面體中，平面，，，，，，分別為的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）應(yīng)用空間向量法求法向量及線面角的正弦值；
（3）先設(shè)，再應(yīng)用線面平行即得計(jì)算求參即可.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>又因?yàn)?，平面，所以平面?br>又平面，所以．
又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，所以．
又，所以．即四點(diǎn)共面．
又平面平面，
所以平面．
（2）因?yàn)槠矫?，所以?br>又，所以兩兩垂直．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
于是．
可得
由（1）可得AP平面DCE．
所以平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)直線與平面所成角為，則有
．
則直線與平面所成角的正弦值為．
（3）設(shè)是線段上的一點(diǎn)，則存在，使．
，從而．
由點(diǎn)的坐標(biāo)可得．
設(shè)平面的法向量為
則有，即
令，則法向量為
令，即，解得．
此時(shí)，又顯然有平面，從而平面．
所以，線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)．
11．（24-25高三上·吉林長春·期末）如圖四邊形是邊長為的菱形，，平面外的點(diǎn)，滿足，，，四點(diǎn)共面，且底面，.
(1)證明：；
(2)若，，求與平面所成的角的余弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，得到⊥，且，由線面垂直得到，從而⊥平面，所以⊥，由三線合一可知；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，又，故，故，，求出平面的法向量，利用公式先求出線面角的正弦值，進(jìn)而得到線面角的余弦值.
【詳解】（1）連接，與相交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，所以⊥，且，
因?yàn)榈酌妫矫妫?br>所以，
其中，，，四點(diǎn)共面
因?yàn)?，平面?br>所以⊥平面，
因?yàn)槠矫?，所以⊥?br>又，由三線合一可知；
（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)榈酌?，所以底面?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，，
所以均為等邊三角形，
故，
，，故，
因?yàn)榈酌?，平面?br>所以⊥，又，故，
其中，設(shè)，
設(shè)，故，
解得，故，
又，故，解得，故，，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令得，故，
設(shè)與平面所成的角大小為，
則，
故，
所以與平面所成的角的余弦值為.
12．（24-25高三上·天津和平·期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面.
(1)若O是CD的中點(diǎn)，證明:；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在線段CP上是否存在點(diǎn)Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為若存在，確定點(diǎn)Q的位置，若不存在，請說明理由
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)存在點(diǎn)Q，點(diǎn)Q為PC的中點(diǎn)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直可證平面，平面，建系，利用空間向量證明線線垂直；
（2）分別求平面ABP與平面的法向量，利用空間向量求二面角；
（3）設(shè)，利用空間向量結(jié)合線面夾角運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）連接，
因?yàn)槿切蜳CD是正三角形，且O是CD的中點(diǎn)，則，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，則，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過平行于的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
則，所以.
（2）由（1）可得：，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)二面角為，
則，可得，
所以二面角的正弦值為.
（3）由（1）可得，
設(shè)，可得，
由（2）可知：平面的法向量，
則由，
整理可得，解得或（舍去），
即，可知存在點(diǎn)Q，點(diǎn)Q為PC的中點(diǎn).
13．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）如圖，在平面圖形甲中，，，與分別為以斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)將該圖形沿向上翻折使邊重合（重合于），連.圖乙中，為中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求平面與平面夾角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直判定定理證明即可；
（2）應(yīng)用線面平行判定定理證明即可；
（3）空間向量法求二面角余弦值進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出正弦值
【詳解】（1）圖乙中，由題意知，所以，
，平面，所以平面；
（2）取中點(diǎn)為，由于為中點(diǎn)，
故且，結(jié)合，
所以且，
故四邊形為平行四邊形，
所以，而平面，平面，
故平面
（3）在等腰梯形中，設(shè)，
過C作，則所以，
在中，由余弦定理得，所以,所以，
如圖以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：
，
設(shè)平面法向量為，則，
即，令，則，則，
平面法向量可取為，
設(shè)平面與平面夾角為，
所以，故
14．（24-25高三上·天津西青·期末）如圖，在三棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且為棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)滿足直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，.
【分析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法證明線面垂直；
（2）用空間向量法求二面角；
（3）假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，由求線面角的空間向量法求得值．
【詳解】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則
方法一：
.
.
平面
平面.
（證明中兩組均可）
方法二：設(shè)是平面的一個(gè)法向量
取，得.
，即，
平面.
（2）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
，令，則，
.
由（1）可知是平面的一個(gè)法向量.（用均可）
設(shè)平面與平面的夾角為
平面與平面夾角的余弦值為.
（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，
設(shè)直線與平面所成角為，則
解得.
又，得，所以的值為.
所以存在點(diǎn)滿足題意且．
易錯(cuò)分析：二面角與平面法向量所成角的關(guān)系是相等或互補(bǔ)的關(guān)系，求解過程中要注意區(qū)分.
15．（24-25高三上·江蘇常州·期末）在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，且，．
(1)求證：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）依題意可得，，即可得到平面，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)闉橹崩庵?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?br>（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量，則，
取，
又平面的法向量，
記二面角為，則，
則，
即二面角的正弦值為．
16．（24-25高三上·廣東汕頭·期末）如圖，平面四邊形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，于，將沿翻折至，使得.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到一些垂直關(guān)系，再利用平行關(guān)系和已有的垂直關(guān)系推出更多垂直關(guān)系，最后根據(jù)線面垂直的判定定理得出結(jié)論.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，求出面的法向量，結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)橛煞鄱?，且?br>根據(jù)翻折的性質(zhì)，翻折前后對應(yīng)邊和對應(yīng)角不變，所以.
已知，所以
因?yàn)椋?，所以?br>又因?yàn)?，即，，平面，所以平?br>（2）由（1）知平面，平面，所以，
又，.可求得.
又.則.則.
則兩兩垂直，可以建立空間直角坐標(biāo)系.
平面的法向量可取.
點(diǎn)為中點(diǎn)，則，，
則.則，
則
點(diǎn)為中點(diǎn)，則，則.
設(shè)平面法向量為，則
，即，解得，故.
設(shè)平面與平面的夾角為，則
.
故平面與平面的夾角的余弦值為.

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