2025年高考數(shù)學(xué)考試易錯題(新高考通用)專題13統(tǒng)計與統(tǒng)計案例(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：統(tǒng)計
易錯點01 混淆總體與總體容量、樣本與樣本容量
易錯點02 求中位數(shù)、百分位數(shù)時忽略數(shù)據(jù)順序
易錯點03 對頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)特征理解不透
題型二統(tǒng)計案例
易錯點04 混淆函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系而出錯
易錯點05 忽視回歸直線與回歸曲線方程的區(qū)別與聯(lián)系
易錯點06 求解獨立性檢驗問題對的值理解不準確
題型一：統(tǒng)計
易錯點01：混淆總體與總體容量、樣本與樣本容量

典例（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）某校為了解高三年級學(xué)生體重情況，從該年級1000名學(xué)生中抽取125名學(xué)生測量他們的體重進行分析．在這項調(diào)查中，抽取的125名學(xué)生的體重是（）
A．總體B．樣本C．總體容量D．樣本容量
【答案】B
【分析】根據(jù)樣本的定義即可求解.
【詳解】抽取的125名學(xué)生的體重是樣本，故選：B
【易錯剖析】
本題容易混淆樣本與樣本容量而出錯.
【避錯攻略】
抽樣調(diào)查
（1）總體：統(tǒng)計中所考察對象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．
（2）個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體．
（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．
易錯提醒：(1) 總體是指考察對象的全體，而總體容量是指總體的個數(shù)；(2)樣本是指從總體中抽取的若干個個體組成的集合，而樣本容量是指樣本個體的數(shù)目，要注意二者的區(qū)別．
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為了了解某地參加計算機水平測試的5 000名學(xué)生的成績，從中抽取了200名學(xué)生的成績進行調(diào)查分析，在這個問題中，被抽取的200名學(xué)生的成績是（）
A．總體B．個體
C．樣本D．樣本量
【答案】C
【分析】根據(jù)統(tǒng)計中抽樣調(diào)查的概念即可得解.
【詳解】從5000名學(xué)生的成績中抽取了200名學(xué)生的成績進行調(diào)查分析，
總體: 5000名學(xué)生的成績；
個體:每個學(xué)生的成績；
樣本: 200名學(xué)生的成績；
樣本容量:200，
所以抽取的200名學(xué)生的成績是樣本
故選：C.
2．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）某中等職業(yè)學(xué)校為了了解高二年級1200名學(xué)生的視力情況，抽查了其中200名學(xué)生的視力，并進行統(tǒng)計分析.下列敘述正確的是（）
A．上述調(diào)查屬于全面調(diào)查B．每名學(xué)生是總體的一個個體
C．200名學(xué)生的視力是總體的一個樣本D．1200名學(xué)生是總體
【答案】C
【分析】利用總體、樣本、調(diào)查方法的相關(guān)概念分析選項即可.
【詳解】上述調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A項錯誤;
每名學(xué)生的視力是總體的一個個體，故B項錯誤；
200名學(xué)生的視力是總體的一個樣本，故C項正確；
1200名學(xué)生的視力是總體，故D項錯誤.
故選：C
3．（24-25高三·甘肅蘭州·訓(xùn)練）為了了解參加運動會的1500名運動員的年齡情況，從中抽取了150名運動員的年齡進行調(diào)查，則下列說法正確的是（）
A．1500名運動員的年齡是總體
B．抽取到的150名運動員是樣本
C．這個抽樣方法可以采取隨機數(shù)表法抽樣
D．每個運動員被抽到的機會相等
【答案】BD
【分析】根據(jù)總體、樣本的定義，結(jié)合隨機抽樣的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】1500名運動員是總體，故A錯誤；抽取到的150名運動員是樣本，故B正確；隨機數(shù)表法常常用于總體的個體較少時，當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，編號復(fù)雜，將總體“儻拌均勻”也比較困難，用隨機數(shù)表法產(chǎn)生的代表性不合理，故C錯誤；在簡單的隨機抽樣時，每個運動員被抽到的機會是相等的，故D正確.
故選：BD
1．（23-24高三·西藏日喀則·期末）高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級1000名學(xué)生的高考成績，從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（）
A．100名學(xué)生是個體
B．樣本容量是100
C．每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本
D．1000名學(xué)生是樣本
【答案】B
【分析】根據(jù)有關(guān)的概念可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，再結(jié)合題中選項即可得到答案．
【詳解】根據(jù)有關(guān)的概念并且結(jié)合題意可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，
根據(jù)選項可得選項A、D表達的對象都是學(xué)生，而不是成績，所以A、D都錯誤．
C每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績是一個個體．
B：樣本的容量是100正確．
故選:B．
2．（24-25高三上·福建福州·開學(xué)考試）為檢查某校學(xué)生心理健康情況，市教委從該校名學(xué)生中隨機抽查名學(xué)生，檢查他們心理健康程度，則下列說法正確的是（）
A．名學(xué)生的心理健康情況是總體B．每個學(xué)生是個體
C．名學(xué)生是總體的一個樣本D．名學(xué)生為樣本容量
【答案】A
【分析】根據(jù)總體、個體、樣本容量概念依次判斷選項即可.
【詳解】對選項A：名學(xué)生的心理健康情況是總體，故A正確；
對選項B，每個學(xué)生的心理健康情況是個體，故B錯誤；
對選項C，名學(xué)生的心理健康情況是總體的一個樣本，故C錯誤；
對選項D，名學(xué)生的心理健康情況為樣本容量，故D錯.
故選：
3．（23-24高一下·山西晉中·階段練習(xí)）為了了解某路口每天在學(xué)校放學(xué)時段的車流量，有下面幾個樣本，統(tǒng)計該路口在學(xué)校放學(xué)時段的車流量，你認為合適的是（）
A．抽取兩天作為一個樣本
B．春?夏?秋?冬每個季節(jié)各選兩周作為樣本
C．選取每周星期日作為樣本
D．以全年每一天作為樣本
【答案】B
【分析】選擇調(diào)查的對象要有代表性即可判斷．
【詳解】解：依題意春?夏?秋?冬每個季節(jié)某路口在學(xué)校放學(xué)時段的車流量可能會有差異，
為了統(tǒng)計該路口在學(xué)校放學(xué)時段的車流量，春?夏?秋?冬每個季節(jié)各選兩周作為樣本更具有代表性，故B正確；
對于A：隨機抽取兩天作為一個樣本，不具有代表性，故A錯誤；
對于C：顯然星期一到星期五學(xué)校放學(xué)時段的車流量與周末時學(xué)校放學(xué)時段的車流量會有差異，故選取每周星期日作為樣本也不具有代表性，故C錯誤；
對于D：全年每天的數(shù)據(jù)，屬于全面調(diào)查，不屬于抽樣調(diào)查，故D錯誤；
故選：B．
4．（24-25高一上·全國·課堂例題）（多選）某市模考共有70000多名學(xué)生參加，某校教科室為了了解本校3390名考生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取300名考生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（）
A．3390名考生是總體的一個樣本B．3390名考生的數(shù)學(xué)成績是總體
C．樣本容量是300D．70000多名考生的數(shù)學(xué)成績是總體
【答案】BC
【分析】根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的概念，可以判斷BC正確.
【詳解】總體是3390名考生的數(shù)學(xué)成績，樣本是抽取的300名考生的數(shù)學(xué)成績，樣本容量是300.
故選：BC.
5．（23-24高一下·青海海東·階段練習(xí)）為了了解某社區(qū)60周歲以上老年人的體重，進行如下調(diào)查：
調(diào)查一：對該社區(qū)所有60周歲以上老年人的體重進行調(diào)查；
調(diào)查二：對該社區(qū)部分60周歲以上老年人（500名）的體重進行調(diào)查.
關(guān)于上述調(diào)查，下列說法正確的是（）
A．調(diào)查一是普查，調(diào)查二是抽樣調(diào)查
B．調(diào)查二中的總體是指該社區(qū)抽取的500名60周歲以上老年人的體重
C．調(diào)查二中的樣本量是500
D．檢測一批燈泡的壽命宜采用調(diào)查一的調(diào)查方式，以使收集的數(shù)據(jù)更精確
【答案】AC
【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查和普查的概念、總體和樣本的概念即可求解.
【詳解】對于選項，根據(jù)抽樣調(diào)查和普查的概念可知，
調(diào)查一的調(diào)查方式是普查，調(diào)查二的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，故A正確；
對于選項B，根據(jù)總體和樣本的概念可知，總體是指該社區(qū)所有60周歲以上老年人的體重，樣本是指抽取的該社區(qū)500名60周歲以上老年人的體重，故B錯誤；
對于選項C，結(jié)合已知條件和樣本量的概念可知，樣本量是500，故C正確；
對于選項D，由于檢測一批燈泡的壽命，具有損毀性，故只能用抽樣調(diào)查，故D錯誤.
故選：AC.
6．（23-24高二上·湖北武漢·期中）“知名雪糕放1小時不化”事件曝光后，某市市場監(jiān)管局從所管轄十五中、十七中、常青一中三校周邊超市在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對其質(zhì)量進行了檢查．在這個問題中，18是（）
A．總體B．個體C．樣本D．樣本量
【答案】D
【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查中總體、個體、樣本、樣本容量的概念，即可判斷.
【詳解】總體：我們把與所研究問題有關(guān)的全體對象稱為總體；
個體：把組成總體的每個對象稱為個體；
樣本：從總體中，抽取的一部分個體組成了一個樣本；
樣本量：樣本中個體的個數(shù)叫樣本容量，其不帶單位；
在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對其質(zhì)量進行了檢查，在這個問題中，28種雪糕是總體，每一種雪糕是個體，18種雪糕是樣本，18是樣本量；
故選：D.
易錯點02：求中位數(shù)、百分位數(shù)時忽略數(shù)據(jù)順序

典例（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（）
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】由中位數(shù)定義即可得.
【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
則其中位數(shù)為16.
故選：B.
【易錯剖析】
本題求解時容易忽略講數(shù)據(jù)從小到大排列而出錯.
【避錯攻略】
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．
（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平．
（3）平均數(shù)：個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：．
2.百分位數(shù)
（1）定義：一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
（2）計算一組個數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
②計算．
③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）四分位數(shù)：我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第百分位數(shù)．在實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．
易錯提醒：在求數(shù)據(jù)的中位數(shù)、百分數(shù)時，一定要先把數(shù)據(jù)從小到大排列，然后再根據(jù)中位數(shù)、百分數(shù)的定義進行求解.
1．（2025高三上·四川眉山·階段練習(xí)）假設(shè)有一組數(shù)據(jù)為6，8，3，6，4，6，5，這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）
A．5，6B．6，4C．6，5D．6，6
【答案】D
【分析】由小到大排列給定數(shù)據(jù)組，再利用眾數(shù)與中位數(shù)的意義求解即得.
【詳解】依題意，原數(shù)據(jù)組由小到大排列為：3，4，5，6，6， 6，8，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是6，6.
故選：D
2．（24-25高三上·天津和平·期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，3，，7，10，11，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)極差的，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（）
A．3B．4C．5D．7
【答案】A
【分析】計算出中位數(shù)與極差后即可得的值，再借助百分位數(shù)定義即可得解.
【詳解】該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，極差為，
則有，即，
，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是.
故選：A.
3．（24-25高三上·山東淄博·期末）某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評委對甲、乙的演講分別進行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則（）
A．若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)
B．甲得分的極差大于乙得分的極差
C．甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】ABD
【分析】運用極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計算，和方差的意義逐項判斷即可.
【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：
甲：，乙：，
故去掉最高分和最低分可得甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，故A正確；
甲的極差為，乙的極差為，故B正確；
，所以甲的第75百分位數(shù)為，乙的第75百分位數(shù)為，故C錯誤；
由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.
故選：ABD
1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）
A．10B．12C．4D．3
【答案】C
【分析】應(yīng)用百分位數(shù)定義求分位數(shù).
【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，共10個數(shù)，
所以，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為4.
故選：C
2．（24-25高三上·廣東茂名·階段練習(xí)）四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤，晶瑩剔透等特點深受民眾喜愛，某耙耙柑果園的質(zhì)檢員對剛采摘下來的耙耙柑采用隨機抽樣的方式對成筐的耙耙柑進行質(zhì)檢，記錄下了8筐耙耙柑中殘次品的個數(shù)為5，7，6，3，9，4，8，10，則該組樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為（）
A．5B．5.5C．6D．6.5
【答案】A
【分析】把給定的數(shù)據(jù)組由小到大排列，再利用第30百分位數(shù)的定義求出結(jié)果.
【詳解】殘次品的個數(shù)由小到大排列為：3，4，5，6，7，8，9，10，
由，得該組樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為5.
故選：A.
3．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知，且的中位數(shù)為1，則（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意判斷出，再分別討論和即可求解.
【詳解】因為，所以，又的中位數(shù)為1，所以，
當(dāng)時，分別為，則中位數(shù)為，不符合題意；
當(dāng)時，，則中位數(shù)為，解得.
故選：B
4．（24-25高三上·天津紅橋·期末）從某學(xué)校高二年級隨機抽取10名學(xué)生進行數(shù)學(xué)能力測試，測試成績?yōu)椋O(shè)學(xué)生測試成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)分別為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)公式求出平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)定義，找到和，從而可以比較大小
【詳解】平均數(shù)，
數(shù)據(jù)從小到大排列為：，第五個數(shù)為79，第六個數(shù)為81，所以中位數(shù)，
出現(xiàn)次數(shù)最多的是眾數(shù)，所以眾數(shù)，
所以.
故選：C.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)從小到大依次為3，5，6，7，8，9，m，10，11，13，且眾數(shù)為9，下列說法錯誤的是（）
A．B．中位數(shù)為8.5C．平均數(shù)為8D．極差為10
【答案】C
【分析】由條件結(jié)合眾數(shù)的定義求，再結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)，極差定義求中位數(shù)，平均數(shù)，極差判斷各選項.
【詳解】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，因此；
該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5位和第6位數(shù)的平均數(shù)，即為；
極差為；
平均數(shù)是，
故選：C．
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標(biāo)準差不小于的標(biāo)準差
D．的極差不大于的極差
【答案】BD
【分析】根據(jù)特殊值法分別求出平均數(shù)及標(biāo)準差判斷A，C錯誤，根據(jù)中位數(shù)和極差計算判斷B，D.
【詳解】取，
的平均數(shù)等于2，的平均數(shù)，選項錯誤；
的標(biāo)準差為0，的標(biāo)準差，選項C錯誤；
不妨設(shè)，
則的中位數(shù)等于，的中位數(shù)等于，
的中位數(shù)等于的中位數(shù)，B正確；
的極差為，的極差為，
則的極差不大于的極差，D正確.
故選：BD.
7．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，下列說法正確的是（）
A．若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則B．若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a，則
C．當(dāng)時，該組數(shù)據(jù)的極差為8D．當(dāng)時，該組數(shù)據(jù)的方差最小
【答案】ABD
【分析】A.由平均數(shù)的定義求解判斷；B.由中位數(shù)的定義求解判斷；C.由極差的定義求解判斷；D. 由方差的定義求解判斷.
【詳解】解：因為樣本數(shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，
A.若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則，解得，故正確；
B. 當(dāng)時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；
當(dāng)時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；當(dāng)時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，符合題意；
當(dāng)時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；
當(dāng)時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意，綜上：，故正確；
C.當(dāng)時，該組數(shù)據(jù)的極差為故錯誤；
D.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為由A知，當(dāng)時，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，
則其方差
所以要使方差最小，則取得最小值，所以，故D正確.
故選：ABD
8．（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）2024年10月央行再次下調(diào)人民幣存款利率，存款利率下調(diào)是為了刺激經(jīng)濟增長?促進投資和消費而采取的一種貨幣政策.下表為某銀行近年來幾個時間發(fā)布的人民幣一年定期存款利率：
關(guān)于表中的7個數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）
A．極差為0.25B．平均數(shù)不大于1.5
C．分位數(shù)與分位數(shù)相等D．中位數(shù)為1.75
【答案】BC
【分析】將諸數(shù)據(jù)排序后根據(jù)極差、平均數(shù)、百分位數(shù)、中位數(shù)的計算公式計算后可得正確的選項.
【詳解】把這7個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：，，，，，，.
選項A：極差為，A錯誤.
選項B：平均數(shù)為，B正確.
選項C：，，
故分位數(shù)與分位數(shù)都是1.35，C正確.
選項D：中位數(shù)為第四個數(shù)即，D錯誤.
故選：BC.
易錯點03：對頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)特征理解不透

典例（24-25高三上·廣東汕頭·期末）某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價格，隨機抽取100戶居民，得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù)信息，下列結(jié)論中正確的是（）
A．100戶居民的月均用水量的中位數(shù)大于7.2
B．100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶所占比例超過
C．100戶居民的月均用水量的極差介于21與27之間
D．100戶居民的月均用水量的平均值介于16.2與22.2之間
【答案】C
【分析】首先根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長方形的面積和為求出的值，再分別求出100戶居民的月均用水量的中位數(shù)，平均數(shù)，極差等即可判斷.
【詳解】由頻率分布直方圖可知，
，
解得，
對于A，月均用水量在的頻率為，
月均用水量在的頻率為，
所以100戶居民的月均用水量的中位數(shù)在，故A錯誤；
對于B，因為100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶的頻率為
，
所以100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶所占比例為，故B錯誤；
對于C，由圖知，極差的最大值為，最小值為，
所以100戶居民的月均用水量的極差介于21與27之間，故C正確；
對于D，100戶居民的月均用水量的平均值為
t，故D錯誤.
故選：C.
【易錯剖析】
本題在計算過程中容易對中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)估計值的計算公式理解不透徹而出錯.
【避錯攻略】
1、畫頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的步驟：
（1）找出最值，計算極差；
（2）合理分組，確定區(qū)間；
（3）整理數(shù)據(jù)；
（4）作出相關(guān)圖示；
2、頻率分布表與頻率分布直方圖的特點
頻數(shù)分布表反映具體數(shù)據(jù)在各個不同區(qū)間的取值頻率，但不直觀，數(shù)據(jù)的總體態(tài)勢不明顯；頻率分布直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)分布的行狀態(tài)勢，但失去了原始數(shù)據(jù)。
3、頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折線圖
把頻數(shù)分布直方圖和頻率分布直方圖中每個矩形上面一邊的中點用線段連接起來。
為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際意義的。
4．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計參數(shù)
(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”
根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用
中點近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).
因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”
平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
易錯提醒：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，易出錯，應(yīng)注意區(qū)分這三者．在頻率分布直方圖中：
（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；
（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；
（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）某校高三年級共800名學(xué)生，將其期中考試的數(shù)學(xué)成績進行適當(dāng)分組后，得到頻率分布直方圖如圖所示．若要從這800人中按分數(shù)從高到低錄取72人組成數(shù)學(xué)興趣小組，則錄取分數(shù)線估計為（）

A．105分B．108分C．110分D．112.5分
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出，從而得到取分數(shù)線在區(qū)間內(nèi)，設(shè)錄取分數(shù)線為分，得到方程，解得；
方法二：求出分數(shù)不低于110分的人數(shù)為，排除C，D；分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)大于120，估計分數(shù)不低于105分的人數(shù)大于，排除A，得到答案.
【詳解】方法一：因為，
解得，分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為，
分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為，
由于，故錄取分數(shù)線在區(qū)間內(nèi)．
設(shè)錄取分數(shù)線為分，則，解得；
方法二：排除法，
分數(shù)不低于110分的人數(shù)為，排除C，D．
分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)是分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)的三倍以上，
即分數(shù)在內(nèi)的人數(shù)大于120，
因此估計分數(shù)不低于105分的人數(shù)大于，排除A．
故選：B．
2．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）某校1000名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，隨機抽取了20名學(xué)生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）
A．頻率分布直方圖中的值為0.004
B．估計這20名學(xué)生考試成績的平均數(shù)為76.5
C．估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為80
D．估計總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150
【答案】BD
【分析】根據(jù)所有矩形的面積和為1求出，然后逐一判斷即可.
【詳解】對A，由可得，故A錯誤；
對B，這20名學(xué)生考試成績的平均數(shù)為：
分，故B正確；
對C，這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為75，故C錯誤；
對D，總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D正確.
故選：BD
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．則當(dāng)漏診率時，誤診率 .
【答案】
【分析】先根據(jù)左邊的頻率分布直方圖得到，再根據(jù)右邊的頻率分布直方圖可得.
【詳解】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
由右邊的頻率分布直方圖可得.
故答案為：
1．（24-25高三上·天津河西·期末）某中學(xué)組織高中學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取100名學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）
A．85B．86C．87D．88
【答案】C
【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)求出，再由百分位數(shù)的方法求解即可.
【詳解】由題意可得，解得，
所以前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，
設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，則，
解得.
故選：C.
2．（24-25高三上·吉林長春·階段練習(xí)）某市為了了解全市10萬名高一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，抽取了該市某個區(qū)的15000名學(xué)生進行數(shù)學(xué)能力測試（百分制），并將這些學(xué)生的成績整理成如圖所示的頻率分布直方圖、根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）
A．圖中a的值為0.15
B．估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為85
C．用樣本可以估計全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測試不及格（低于60分）的人數(shù)為5000
D．用樣本可以估計全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測試的平均分約為81.5分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）
【答案】C
【分析】A選項，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)計算；
B選項，先判斷出分位數(shù)所在的區(qū)間，然后列方程計算；
C選項，先算出樣本數(shù)據(jù)中不及格的頻率，由此估計全市學(xué)生不及格的人數(shù)；
D選項，根據(jù)題意中的平均數(shù)的計算要求進行計算.
【詳解】A選項，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，，
解得，A選項錯誤；
B選項，前個矩形條的面積為，
前個矩形條的面積為：，
故樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)落在中，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，
于是，解得，B選項錯誤；
C選項，根據(jù)直方圖可以看出，低于分的頻率為：，
于是估計全市學(xué)生不及格的人數(shù)為：，C選項正確；
D選項，由題意，平均數(shù)為：
，D選項錯誤.
故選：C.
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）（多選）國際學(xué)生評估項目測試是世界經(jīng)濟合作與發(fā)展組織對各國中學(xué)生閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)能力評價測試. 從年開始，每年進行一次測試評估. 在評估研究時將測試成績按一定規(guī)則轉(zhuǎn)換成等級賦分，賦分范圍是至分，如圖是年的某地中學(xué)生參加閱讀測試后用賦分數(shù)據(jù)繪制成的不完整頻率分布直方圖. 據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下面說法正確的是（）
A．該地學(xué)生成績的中位數(shù)一定大于
B．該地學(xué)生成績的眾數(shù)介于至之間
C．該地學(xué)生成績的極差介于至之間
D．該地學(xué)生成績沒有超過分學(xué)生所占比例為
【答案】C
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，利用中位數(shù)、眾數(shù)、極差的定義，對選項A、B和C逐一分析判斷，即可求解；對于選項D，利用頻率分布直方圖，可得沒有超過分學(xué)生所占比例為，即可求解.
【詳解】對于選項A，分數(shù)在40,50的頻率為，分數(shù)在的頻率為，分數(shù)在的頻率為，分數(shù)在的頻率為，分數(shù)在的頻率為，
由圖知，，所以，
所以中位數(shù)在間，但不一定大，所以選項A錯誤，
對于選項B，由眾數(shù)的定義知，眾數(shù)是成績出現(xiàn)次數(shù)最多的，
所以眾數(shù)不一定介于至之間，所以選項B錯誤，
對于選項C，由極差的定義知，學(xué)生成績的極差介于至之間，所以選項C正確，
對于選項D，由選項A知，學(xué)生成績沒有超過分學(xué)生所占比例為，所以選項D錯誤，
故選：C.
4．（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）（多選）某超市隨機抽取了當(dāng)天100名顧客的消費金額作為樣本，并分組如下：，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）
A．若該超市當(dāng)天總共有600名顧客，則消費金額在（單位：元）內(nèi)的顧客約有180人
B．若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表，則樣本中消費金額的平均數(shù)是145元
C．若用樣本估計總體，則該超市當(dāng)天消費金額的中位數(shù)是100.8元
D．現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率是
【答案】BD
【分析】根據(jù)頻率分步直方圖性質(zhì)求出a再計算消費金額在內(nèi)的顧客判斷A，應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)及中位數(shù)判斷B，C，應(yīng)用分層抽樣及古典概型計算判斷D.
【詳解】因為，所以，
對于A，所以消費金額在內(nèi)的顧客約有人，A選項錯誤；
對于B，樣本中消費金額的平均數(shù)是元，B選項正確；
對于C，設(shè)消費金額的中位數(shù)是，前二組的頻率和為，前三組的頻率和為，
所以在第三組，所以，所以元，C選項錯誤；
對于D，第1組頻率，第2組頻率分別為，所以從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，
所以從這6人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率是，D選項正確.
故選：BD.
5．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）（多選）某次物理考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機抽取了名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為．則（）
A．
B．估計該年級成績在分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為
C．估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為
D．估計該年級成績在分及以上的學(xué)生成績的方差為
【答案】AD
【分析】對于A選項，由各組頻率之和為求參數(shù)；對于B選項，兩組求加權(quán)平均數(shù)可得；對于C選項，由頻率分布直方圖面積與比較，估計中位數(shù)所在區(qū)間，利用面積關(guān)系建方程求解可得；對于D選項，由兩組成績的方差與兩組總方差的關(guān)系求解即可.
【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，
則，解得，故A正確；
對于B選項，估計成績在分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為
分，故B錯誤；
對于C選項，前兩個矩形的面積之和為
前三個矩形的面積之和為.
設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，
根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，
所以，估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為，故C錯誤；
對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為
，故D正確.
故選：AD.
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）某校為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況，從某項體育測試成績中隨機抽取個學(xué)生的成績進行分析，得到成績頻率分布直方圖（如圖所示），估計該校高三學(xué)生此項體育成績的中位數(shù)為 .（結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】
【分析】由概率之和為計算出后，結(jié)合中位數(shù)的定義計算即可得.
【詳解】，解得，
由，，
設(shè)中位數(shù)為，則，
有，解得.
故答案為：.
7．（23-24高三上·北京石景山·期末）某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機抽取了50名學(xué)生作為樣本進行數(shù)學(xué)知識測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的值為，若全校學(xué)生參加同樣的測試，估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)? （每組成績用中間值代替）.
【答案】
【分析】由頻率分布直方圖中總面積為可計算出，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算方式計算平均數(shù)即可估計全校學(xué)生的平均成績.
【詳解】由頻率分布直方圖中總面積為，
即，
解得，
，
故可估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?
故答案為：；.
題型二：統(tǒng)計案例
易錯點04：混淆相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系而出錯

典例（24-25高三上·江西南昌·訓(xùn)練）對兩變量間的關(guān)系，下列論述正確的是（）
A．任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系
B．正方形的面積與該正方形的邊長具有相關(guān)關(guān)系
C．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是一種確定性關(guān)系
D．一個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間是一種非確定性的關(guān)系
【答案】D
【分析】由兩個變量之間相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系之間的定義及區(qū)別即可求解.
【詳解】解：對A：當(dāng)兩個變量之間具有確定關(guān)系時，兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系，所以A錯誤；
對B：正方形的面積與該正方形的邊長之間是函數(shù)關(guān)系，所以B錯誤；
對C：農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是相關(guān)關(guān)系，是非確定性的關(guān)系，所以C錯誤；
對D：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間是相關(guān)關(guān)系，是非確定性的關(guān)系，所以D正確；
故選：D.
【易錯剖析】
本題容易不能區(qū)分相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的不同而出錯.
【避錯攻略】
1．相關(guān)關(guān)系的定義：兩個變量有關(guān)系，但沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．
2．相關(guān)關(guān)系的分類
(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負相關(guān)．
①正相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢；
②負相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢．
(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．
①線性相關(guān)：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們稱這兩個變量線性相關(guān)；
②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，我們稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．
3.相關(guān)關(guān)系的直觀表示
散點圖：為了直觀描述成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每對成對樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖，叫做散點圖．
易錯提醒：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）下列兩個變量中，成正相關(guān)的兩個變量是（）
A．汽車自身的重量與行駛每公里的耗油量
B．正方形面積與邊長
C．花費在體育活動上面的時間與期末考試數(shù)學(xué)成績
D．期末考試隨機編排的準考證號與期末考試成績總分
【答案】A
【分析】利用正相關(guān)的定義逐項判斷可得答案.
【詳解】對于A，一般情況下，汽車越重，則每公里耗油量越多，成正相關(guān)，故A正確；
對于B，正方形的面積與邊長是函數(shù)關(guān)系，故B錯誤；
對于C，一般情況下，若花費在體育活動上面的時間越長，則期末考試數(shù)學(xué)成績可能會降低，故不為正相關(guān)，故C錯誤；
對于D，期末考試隨機編排的準考證號與期末考試成績總分沒有相關(guān)關(guān)系，故D錯誤．
故選：A．
2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）對于任意給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）
A．一定可以分析出兩個變量之間的關(guān)系
B．一定可以用一條直線近似地表示兩者之間的關(guān)系
C．一定可以畫出散點圖
D．一定可以用確定的表達式表示兩者之間的關(guān)系
【答案】C
【分析】利用成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性進行分析即可.
【詳解】給出兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，總可以畫出相應(yīng)的散點圖，故C中說法正確；
但不一定能分析出兩個變量之間的關(guān)系，更不一定符合線性相關(guān)，
即不一定能用一條直線近似地表示兩者之間的關(guān)系，故A、B中說法不正確；
兩個變量之間不一定具有函數(shù)關(guān)系，故D中說法不正確．
故選：C．
3．（24-25高三·陜西商洛·階段練習(xí)）如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖（數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局）．
根據(jù)該折線圖，下列說法錯誤的是（）
A．城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)B．鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)接近
C．城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同D．可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的折線圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念，以及回歸分析的含義，逐項判定，即可求解.
【詳解】根據(jù)近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖，可得：
對于A中，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)上升趨勢，所以關(guān)城鎮(zhèn)人口與年份正相關(guān)，所以A正確；
對于B中，鄉(xiāng)村人口與年份呈現(xiàn)下降趨勢，且比較均勻的分布在直線的兩側(cè)，
所以鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)接近，所以B錯誤；
對于C中，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)上升趨勢，且比較均勻的分布在直線的兩側(cè)，
所以城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同，所以C正確；
對于D中，鄉(xiāng)村人口與年份呈現(xiàn)下降趨勢，且比較均勻的分布在直線的兩側(cè)，
可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢，所以D正確.
故選：B.
1．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）兩個變量x與y之間的回歸方程（）
A．表示x與y之間的函數(shù)關(guān)系；B．表示x與y之間的不確定關(guān)系；
C．反映x與y之間的真實關(guān)系；D．是反映x與y之間的真實關(guān)系的一種最佳擬合．
【答案】D
【分析】根據(jù)回歸直線方程的定義，結(jié)合選項，即可求解.
【詳解】根據(jù)回歸方程的定義，可得兩個變量x與y之間的回歸方程是反映x與y之間的真實關(guān)系的一種最佳擬合．
故選：D.
2．（24-25高二·四川成都·期中）下列兩個量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（）
A．勻速直線運動中時間與位移的關(guān)系B．學(xué)生的成績和身高
C．兒童的年齡與體重D．物體的體積和質(zhì)量
【答案】C
【分析】根據(jù)相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的概念即可判斷
【詳解】A、D是函數(shù)關(guān)系；B是不相關(guān)關(guān)系；C是相關(guān)關(guān)系，
故選：C
3．下列關(guān)于回歸分析與獨立性檢驗的說法：①回歸分析和獨立性檢驗沒有什么區(qū)別；②回歸分析是對兩個變量準確關(guān)系的分析，而獨立性檢驗是分析兩個變量之間的不確定性關(guān)系；③回歸分析是研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，而獨立性檢驗是對兩個變量是否具有某種關(guān)系的一種檢驗；④獨立性檢驗可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系．其中正確的是（）
A．①②B．③C．③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根據(jù)回歸分析和獨立性檢驗的定義逐一判斷即可．
【詳解】解：回歸分析是對兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種分析，而相關(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系；獨立性檢驗是對兩個變量是否具有某種關(guān)系的一種分析，并可以分析這兩個變量在多大程度上具有這種關(guān)系，但不能100%肯定這種關(guān)系，所以①②④錯誤，③正確．
故選：B
4．（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）已知表示變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，表示變量u與v之間的相關(guān)系數(shù)，且，，則（）
A．變量x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強于u與v之間的相關(guān)性
B．變量x與y之間呈負相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強于u與v之間的相關(guān)性
C．變量u與v之間呈負相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性弱于u與v之間的相關(guān)性
D．變量u與v之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性弱于u與v之間的相關(guān)性
【答案】C
【分析】根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)越接近1，表示兩個變量之間的相關(guān)性越強，線性相關(guān)系數(shù)的正負表示兩個變量之間呈正相關(guān)關(guān)系或負相關(guān)關(guān)系．
【詳解】因為線性相關(guān)系數(shù)，，
所以變量x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系，變量u與v之間呈負相關(guān)關(guān)系．
因為|r|越接近1，兩個變量的線性相關(guān)程度越高，所以x與y之間的相關(guān)性弱于u與v之間的相關(guān)性．
故選：C．
5．（23-24高二下·北京豐臺·期末）在一般情況下，下列各組的兩個變量呈正相關(guān)的是（）
A．某商品的銷售價格與銷售量B．汽車勻速行駛時的路程與時間
C．氣溫與冷飲的銷售量D．人的年齡與視力
【答案】C
【分析】根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，某商品的銷售價格與銷售量呈負相關(guān)關(guān)系，故錯誤；
對于B，汽車勻速行駛時的路程與時間是函數(shù)關(guān)系，故錯誤；
對于C，氣溫與冷飲的銷售量呈正相關(guān)，故正確；
對于D，人的年齡與視力呈負相關(guān)，故錯誤.
故選：C.
6．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）在一段時間內(nèi)，分5次測得某種商品的價格（萬元）和需求量之間的一組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)上述信息，如下判斷正確的是（）
A．商品的價格和需求量存在正相關(guān)關(guān)系B．與不具有線性相關(guān)關(guān)系
C．D．價格定為萬元，預(yù)測需求量大約為
【答案】D
【分析】由散點圖判斷A，根據(jù)回歸直線方程判斷B，求出，，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點求出，令求出，即可判斷D.
【詳解】由散點圖可知，商品的價格和需求量存在負相關(guān)關(guān)系，故A錯誤；
由經(jīng)驗回歸方程為，可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，故A錯誤；
又，，
又經(jīng)驗回歸直線方程必過樣本中心點，
則，解得，故C錯誤；
當(dāng)時，，
所以價格定為萬元，預(yù)測需求量大約為，故D正確．
故選：D．
易錯點05：混淆回歸直線與回歸曲線而致錯

典例（2025高三·全國·專題練習(xí)）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.
該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了關(guān)于的回歸模型：.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求關(guān)于的回歸方程（的值精確到0.1）；
(2)已知該公司的月利潤（單位：萬元）與，的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報值最大？
【答案】(1)
(2)第9個月的月利潤預(yù)報值最大.
【分析】（1）將非線性回歸方程問題轉(zhuǎn)化線性回歸方程問題，根據(jù)最小二乘法求解即可.
（2）先求得的表達式，然后利用導(dǎo)數(shù)來求得最值問題.
【詳解】（1）令，則，
，
，，
所以關(guān)于的回歸方程為.
（2）由（1）知，
，
令（），
（），
令?′x>0，得，?x單調(diào)遞增，
令?′x

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