易錯點01 混淆互斥、對立、獨立事件的概念
易錯點02 混淆“有放回”與“不放回”致錯
易錯點03 古典概型問題忽略“等可能性”
易錯點04 對條件概率理解不透徹致錯
易錯點01：混淆互斥、對立、獨立事件的概念

典例 （2024·上海虹口·一模）已知事件和事件滿足，則下列說法正確的是（ ）．
A．事件和事件獨立B．事件和事件互斥
C．事件和事件對立D．事件和事件互斥
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的定義判斷即可.
【詳解】因為事件和事件滿足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對立，故B正確，C錯誤；
因為，當(dāng)，不為時，事件和事件不獨立，故A錯誤；
拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)點為事件，出現(xiàn)點為事件，
則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯誤.
故選：B
【易錯剖析】
本題容易混淆互斥事件、對立事件和相互獨立事件的概率而出錯.
【避錯攻略】
1.互斥事件與對立事件
（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：
如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．
【解讀】互斥事件與對立事件的關(guān)系
①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．
②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．
2、相互獨立事件的概念
（1）對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．
由此可得：設(shè)，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）相互獨立事件的性質(zhì)：如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
兩個事件的相互獨立性的推廣：兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．
易錯提醒：(1)判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件與相互獨立事件的相同點與不同點：①相同點：二者都是描述兩個事件間的關(guān)系；
②不同點：互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.
1．（24-25高三上·上?！て谥校仈S一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B：“出現(xiàn)3 點或4 點”，則事件A與事件 B的關(guān)系為 （ ）
A．是相互獨立事件，不是互斥事件B．是互斥事件，不是相互獨立事件
C．既是相互獨立事件又是互斥事件D．既不是互斥事件也不是相互獨立事件
2．（24-25高二上·湖北·期中）一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4，5，6的6個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和不超過6”，事件“摸出的兩個球的編號都大于3”，事件“摸出的兩個球中有編號為4的球”，則（ ）
A．事件與事件是相互獨立事件B．事件與事件是對立事件
C．事件與事件是互斥事件D．事件與事件是互斥事件
3．（24-25高三上·江蘇南京·期中）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（ ）
A．與為互斥事件B．與相互獨立
C．D．
1．（24-25高三上·上海黃浦·期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點數(shù)．設(shè)事件：點數(shù)是奇數(shù)，事件：點數(shù)是偶數(shù)，事件：點數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點數(shù)是4．下列每對事件中，不是互斥事件的為（ ）
A．與B．與C．與D．與
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件， “兩枚結(jié)果相同”記為事件，那么事件與，與 間的關(guān)系是（ ）
A．與，與均相互獨立B．與相互獨立，與互斥
C．與，與均互斥D．與互斥，與相互獨立
3．（24-25高三上·上海·開學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
4．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知，，，則事件與的關(guān)系是（ ）
A．與互斥不對立B．與對立
C．與相互獨立D．與既互斥又獨立
5．（2024·江蘇·二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（ ）
A．A與B為對立事件B．A與C互斥
C．A與C相互獨立D．B與C相互獨立
6．（24-25高三上·上?！て谥校τ谝粋€古典概型的樣本空間和事件、、、，其中，，，，，，，，則（ ）（注：表示集合的元素個數(shù)）
A．與不互斥B．與互斥但不對立
C．與互斥D．與相互獨立
易錯點02：混淆“有放回”與“不放回”致錯

典例 （24-25高三上·天津南開·期中）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機(jī)抽樣和有放回簡單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.
【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，
記事件 “抽到的兩人是一男生一女生”，
在無放回簡單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:
共12個樣本點，
其中有8個樣本點，所以.
在有放回簡單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:
共16個樣本點，
其中有8個樣本點，所以.
故選：A.
【易錯剖析】
本題求解時容易混淆“有放回”和“無放回”的區(qū)別而出錯.
【避錯攻略】
1.?定義和操作方式?
（1）?無放回抽取?：每次抽取后，抽出的元素不再放回原處。例如，如果有10個元素，第一次抽取后剩下9個，第二次抽取時只剩下9個元素可供選擇。
（2）?有放回抽取?：每次抽取后，元素仍然放回原處，攪拌均勻后再進(jìn)行下一次抽取。這樣，每次抽取時元素總數(shù)保持不變和概率不變。
2.?概率模型和應(yīng)用場景?
（1）?無放回抽取?：適用于超幾何分布，主要用于處理總體中成功與失敗的獨立事件，如抽獎活動中獎概率等。
（2）?有放回抽取?：適用于二項分布，常用于重復(fù)獨立試驗的情況，如多次投擲硬幣、多次獨立試驗等。
3.?數(shù)學(xué)表達(dá)和計算方法?
（1）?無放回抽取?：計算概率時需要考慮元素的順序和組合數(shù)。例如，從n個元素中抽取m個元素的組合數(shù)為
（2）?有放回抽取?：每次抽取是相互獨立的，因此可以直接使用二項分布公式進(jìn)行計算，即P(X=k) = binm(n, p, k)，其中n是試驗次數(shù)，p是成功的概率，k是成功的次數(shù)。?
易錯提醒：在處理與抽樣有關(guān)的概率問題時要區(qū)分“有放回抽取”和“無放回抽取”的不同，有放回抽取時每一次抽取背景是一樣的，即總體個數(shù)不變概率不變；無放回抽取時每一次抽取背景是變化的，即總體個數(shù)要變，概率也變.
1．（2024·四川宜賓·一模）從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·上海徐匯·一模）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（ ）
A．40個B．45個C．50個D．55個
1．（24-25高三上·專題訓(xùn)練）從甲袋中隨機(jī)摸出1個球是紅球的概率是，從乙袋中隨機(jī)摸出1個球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個球，則是（ ）
A．4個球不都是紅球的概率B．4個球都是紅球的概率
C．4個球中恰有3個紅球的概率D．4個球中恰有1個紅球的概率
2．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）在一個口袋中裝有大小和質(zhì)地均相同的5個白球和3個黃球，第一次從中隨機(jī)摸出一個球，觀察其顏色后放回，同時在袋中加入兩個與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機(jī)摸出一個球，則此次摸出的是黃球的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）盒中有a個紅球，b個黑球，今隨機(jī)地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個，再從盒中第二次抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率為（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中每次隨機(jī)取出一個數(shù)字，取出后放回，連續(xù)取兩次，至少有一個是奇數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.
(1)求甲、乙兩人摸出的兩個球編號之和為6的概率；
(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.
7．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為. 現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止. 每枚棋子在每一次被摸出的機(jī)會都是等可能的.用表示取棋子終止時所需的取棋子的次數(shù).
（1）求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求甲取到白棋的概率.
易錯點03：古典概型問題忽略“等可能性”

【典例】（2025全國高三專題訓(xùn)練） 甲乙兩人進(jìn)行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所有卡片被抽完時，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束的概率是 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，
且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；
總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；
其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；
當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時，
乙在剩余的4個數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；
當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時，
若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時不合題意，此時共有種；
所以符合題意的排列總數(shù)為種，
可得所求概率為.
故答案為：
【易錯剖析】
在處理古典概型問題時一定要注意基本事件的等可能性，否則容易誤用古典概型概率公式而出錯.
【避錯攻略】
1.古典概型的定義
一般地，若試驗具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.
3.古典概型解題步驟
（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；
（3）分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；
（4）利用公式求出事件的概率．
易錯提醒：在解決這類問題時，首要步驟是確認(rèn)試驗是否符合古典概型的特征。隨后，關(guān)鍵在于構(gòu)建樣本空間，這一過程中需特別注意兩點：一是樣本中的元素是否存在順序性，因為順序的不同會構(gòu)成不同的樣本空間；二是取樣時是否允許元素重復(fù)，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重復(fù)出現(xiàn)。明確了這兩點后，就可以計算出樣本空間的總樣本點數(shù)量，以及所求事件對應(yīng)的樣本點數(shù)量，最后利用古典概型的概率計算公式，得出所求事件的概率。
1．（2024·山東日照·三模）從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號卡片的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機(jī)取出一個球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
1．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知在個電子元件中，有個次品，個合格品，每次任取一個測試，測試完后不再放回，直到個次品都找到為止，則經(jīng)過次測試恰好將個次品全部找出的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三上·專題訓(xùn)練）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）4個產(chǎn)品中有3個正品，1個次品．現(xiàn)每次取出1個做檢查（檢查完后不再放回），直到次品被找到為止，則經(jīng)過3次檢查恰好將次品找到的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
5．（2024·廣西·模擬預(yù)測）每次從0～9這10個數(shù)字中隨機(jī)取一個數(shù)字（取后放回），連續(xù)取n次，依次得到n個數(shù)字組成的數(shù)字序列．若使該序列中的數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（ ）（參考數(shù)據(jù)）
A．23B．22C．21D．20
6．（24-25高二上·北京平谷·階段練習(xí)）從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中不放回地任取兩個數(shù)，則兩個數(shù)都是奇數(shù)的概率是 .
7．（24-25高三上·廣西貴港·開學(xué)考試）甲?乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標(biāo)號為的6個大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為 .
8．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為 ；從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為 .
9．（2024·浙江寧波·一模）一個盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的五個大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球，若甲抽取的兩個小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個球中依次不放回地隨機(jī)取一個球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為 .
易錯點04：對條件概率理解不透徹致錯

典例 （24-25高二上·遼寧·期末）某高中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對400名高二學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，學(xué)生飲用碳酸飲料的統(tǒng)計結(jié)果如下：學(xué)校有的學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為.若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)相應(yīng)事件,根據(jù)題意利用全概率公式運算求解即可.
【詳解】設(shè)“學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則，，
設(shè)“學(xué)生肥胖”為事件B，則，，
由全概率公式可得，
所以若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為.
故選：A
【易錯剖析】
本題容易混淆“交事件概率”與“條件概率”的區(qū)別而致錯.
【避錯攻略】
1、條件概率
（1）條件概率的定義：一般地，設(shè)，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．
（2）條件概率的性質(zhì)
= 1 \* GB3 ①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
= 2 \* GB3 ②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
= 3 \* GB3 ③如果與互斥，則．
2、全概率公式
（1）全概率公式：；
（2）若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
3、貝葉斯公式
（1）一般地，當(dāng)且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
易錯提醒：解決條件概率問題的步驟
第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進(jìn)行第二步．
第二步，計算概率，這里有兩種思路：
1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末）某廠產(chǎn)品有的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另的產(chǎn)品經(jīng)過調(diào)試以后有能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率 ；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率 ．
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）現(xiàn)有質(zhì)量分別為千克的六件貨物，將它們隨機(jī)打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一?二個箱子的總質(zhì)量均不小于第三個箱子的總質(zhì)量的概率是 .
1．（24-25高二上·遼寧遼陽·期末）在某次電子競技大賽中，甲、乙進(jìn)入決賽，決賽采取五局三勝的冠亞軍爭奪賽制．已知甲在每局比賽中獲勝的概率均為，比賽無平局且各局比賽結(jié)果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了五局的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·江蘇南通·期中）（多選）隨機(jī)事件A，B滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．事件與互斥 B．事件A與相互獨立 C．D．
3．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2個白球4個黑球，乙袋中有4個白球2個黑球.若從兩個袋中分別隨機(jī)各取出一個球，則取出的是兩個白球的概率是 ；若先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球，則取出的是白球的概率是 .
4．（24-25高三上·天津南開·期末）已知甲?乙?丙三人參加射擊比賽，甲?乙?丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個人射擊相互獨立，若每人各射擊一次，則三人中恰有兩人命中的概率為 ；在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為 .
5．（24-25高三上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知某條線路上有兩輛相鄰班次的BRT（快速公交車），若準(zhǔn)點到站的概率為，在準(zhǔn)點到站的前提下準(zhǔn)點到站的概率為，在準(zhǔn)點到站的前提下不準(zhǔn)點到站的概率為，則準(zhǔn)點到站的概率為 .
6．（24-25高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）設(shè)有甲、乙兩個不透明的箱子，每個箱子中裝有除顏色外其他都相同的小球，其中甲箱有4個紅球和3個白球，乙箱有3個紅球和2個白球.從甲箱中隨機(jī)摸出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)摸出1個球.
(1)求從乙箱中摸出白球的概率；
(2)若從乙箱中摸出白球，求從甲箱中摸出2個紅球的概率.
7．（24-25高二上·遼寧錦州·期末）科技特長生是經(jīng)過教育廳、教育局發(fā)文，有正式定義的、享有特殊招生政策的學(xué)生群體，簡言之，就是得到特定比賽或競賽獎項的學(xué)生，可認(rèn)定為科技特長生．目前科技特長生認(rèn)證中認(rèn)可度高的賽事主要分為四大類，第一是科技創(chuàng)新類，第二是機(jī)器人類，第三是信息學(xué)類，第四是航模類．現(xiàn)將兩個班的科技特長生報名表分別裝進(jìn)兩個檔案袋，第一個檔案袋內(nèi)有5份男生檔案和3份女生檔案，第二個檔案袋內(nèi)有2份男生檔案和4份女生檔案．
(1)若從第一個檔案袋中隨機(jī)依次取出2人的檔案，每次取出的檔案不再放回．
（?。┣笕〕龅倪@2人的檔案中有女生檔案的概率；
（ⅱ）求在取出的這2人的檔案中有女生的條件下，第2次取出的檔案是女生的概率；
(2)若先從第一個檔案袋中隨機(jī)取出一人的檔案放入第二個檔案袋中，再從第二個檔案袋中隨機(jī)取出一人的檔案，求從第二個檔案中取出的檔案是女生的概率．思路一
縮減樣本空間法計算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(n?AB?,n?B?)計算
思路二
直接利用公式計算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)計算

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