1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.
2.考生答題前，務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.
3.選擇題的答案須用鉛筆將答題紙上對應題目的答案標號涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈.
4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應區(qū)域內，作圖時可先使用鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫在本試題卷上無效.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合定義求得，再由交集定義計算．
【詳解】因，，
所以，
所以，
故選：B．
2. 已知復數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，利用復數(shù)的模長公式可求得結果.
【詳解】因為，則，
因此，.
故選：C.
3. 雙曲線的另一種定義：動點與定點的距離和它與定直線：的距離的比是常數(shù)，則點的軌跡是一個雙曲線.動點與定點的距離和它與定直線：的距離的比是，則點的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡得答案.
【詳解】設，依題意，，化簡整理得，
所以點的軌跡方程為.
故選：B
4. 為研究光照時長（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關系，某課題研究小組采集了9組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并對，進行線性回歸分析.若在此圖中加上點后，再次對，進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（ ）
A. ，不具有線性相關性B. 決定系數(shù)變大
C. 相關系數(shù)變小D. 殘差平方和變小
【答案】C
【解析】
【分析】從圖中分析得到加入點后，回歸效果會變差，再由決定系數(shù)，相關系數(shù)，殘差平方和及相關性的概念和性質作出判斷即可.
詳解】對于A，加入點后，變量與預報變量相關性變弱，
但不能說，不具有線性相關性，所以A不正確
對于B，決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，所以加上點后，決定系數(shù)變小，故B不正確；
對于C，從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，所以加上點后，回歸效果變差.
所以相關系數(shù)的絕對值越趨于0，故C正確；
對于D，殘差平方和變大，擬合效果越差，所以加上點后，殘差平方和變大，故D不正確；
故選：C.
5. 已知外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設中點為，確定，為正三角形，再計算向量的投影得到答案.
【詳解】設中點為，則，即，故邊為圓的直徑，
則，又，則為正三角形，
則有，
向量在向量上的投影向量，
故選：A
6. 古代農耕常用水車作為灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類改造自然的成果之一.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，當秒時，（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由點坐標求得半徑，再由周期是60秒，經過45秒，就是旋轉了個周期，由計算出圖中（小于平角的那個），然后由勾股定理計算．
【詳解】由已知，，
經過45秒后，即旋轉了個周期，因此，如圖，
所以，
故選：A．

7. 已知長方體，是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小部分與體積較大部分的體積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意可知平面將長方體分割成的體積較小部分為三棱臺，利用臺體體積公式計算即可得出答.
【詳解】取的中點為，連接，如下圖所示：
由長方體性質可得，因此平面即為平面，
根據(jù)長方體性質，由相似比可知交于同一點，
所以長方體被平面割成的體積較小部分為三棱臺，
設長方體的各棱長為，因此長方體的體積為；
再由棱臺體積公式可得
，
可得較大部分的體積為；
因此體積較小部分與體積較大部分的體積之比為.
故選：D
8. 已知函數(shù)，，若有兩個零點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點的定義，結合余弦函數(shù)的性質求出，再逐項計算判斷即得.
【詳解】由，得，而，則，，
，因此，解得，
由，得或，于是，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：利用余弦函數(shù)的性質，結合零點的意義求出兩個零點是解題之關鍵.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判斷AB選項，由不等式的基本性質判斷CD選項.
【詳解】當且僅當時取等號，A選項正確；
當且僅當時取等號，B選項錯誤；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項正確；
∵，∴，∴，D選項正確.
故選：ACD.
10. 現(xiàn)有一個抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號箱子，但暫時未打開箱子，主持人此時打開了另一個箱子（主持人知道獎品在哪個箱子，他只打開甲選擇之外的一個空箱子）.記表示第號箱子有獎品，表示主持人打開第號箱子.則下列說法正確的是（ ）
A.
B.
C. 若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率增大
D. 若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率不變
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結合條件概率和全概率公式及逐項判斷即可.
【詳解】對于A，甲選擇1號箱，獎品在2號箱里，主持人打開3號箱的概率為1，即，A錯誤；
對于B，，，，，
則，
因此，B正確；
對于CD，若繼續(xù)選擇1號箱，獲得獎品的概率為，主持人打開了無獎品的箱子，
若換號，選擇剩下的那個箱子，獲得獎品的概率為，甲換號后中獎概率增大，C正確，D錯誤.
故選：BC
11. 如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點，是線段上的動點（含端點），則下列命題正確的是（ ）

A. 三棱錐的體積為定值
B. 在直三棱柱內部能夠放入一個表面積為的球
C. 直線與所成角的正切值的最小值是
D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】證明出平面，結合錐體體積公式可判斷A選項；計算出的外接圓半徑，并與球的半徑比較大小，可判斷B選項；利用空間向量法可判斷C選項；作點關于平面的對稱點，可知，然后將平面和平面延展為一個平面，結合余弦定理可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，如下圖所示，連接交于點，連接，

因為四邊形為平行四邊形，則為的中點，
又因為為的中點，則，
因為平面，平面，則平面，
因為，則點到平面的距離等于點到平面的距離，為定值，
又因為的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，A對；
對于B選項，因為，，則，
且表面積為的球的半徑為，
的內切圓半徑為，
所以，直三棱柱內部不能放入一個表面積為的球，B錯；
對于C選項，因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則A2,0,0、、、、，
設，其中，
則，
設直線與所成角為，
所以，，
當時，取最大值，此時，取最小值，取最大值，
此時，，，
所以，直線與所成角的正切值的最小值是，C對；
對于D選項，點關于平面的對稱點為，則，

，，
所以，，則，
因為平面，，則平面，
因為平面，則，
將平面和平面延展為一個平面，如下圖所示：

在中，，，，
由余弦定理可得
，
當且僅當、、三點共線時，取最小值，
故的最小值為，D對.
故選：ACD.
【點睛】（1）計算多面體或旋轉體的表面上折線段的最值問題時，一般采用轉化的方法進行，即將側面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉體的側面展開圖的形狀；
（2）對于幾何體內部折線段長的最值，可采用轉化法，轉化為兩點間的距離，結合勾股定理求解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在的展開式中，的系數(shù)為，則______.
【答案】5
【解析】
【分析】由二項式的展開式，令的次數(shù)為1，此時的系數(shù)等于10建立等式，解出的值.
【詳解】，
令，則，
∴.
故答案為：5.
13. 已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意利用直線與圓相切可得，再由余弦定理計算得出，利用橢圓定義即可得出離心率.
【詳解】設橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：
由圓：可知圓心，半徑；
顯然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由橢圓定義可得，即，
因此離心率.
故答案為：
14. 若，已知數(shù)列中，首項，，，則______.
【答案】158
【解析】
【分析】利用已知確定數(shù)列的通項公式，得出，，由函數(shù)解析式得出，結合倒序相加法求和．
【詳解】，則，
所以，整理得，
即是常數(shù)數(shù)列，又，
所以，，
，
則，
所以，
又，所以，，
所以，
所以．
故答案為：158．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面，點是的中點，點在線段上且，為三角形的重心.
（1）求證：平面；
（2）當?shù)拈L為何值時，二面角的大小為.
【答案】（1）證明見解析；
（2）3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)重心性質以及線段比可知是的重心，再利用線段比例關系以及線面平行判定定理可得結論；
（2）建立空間直角坐標系利用二面角的向量求法，由二面角的大小為解方程即可得滿足題意.
【小問1詳解】
連接交于點，由重心性質可得是的中點，
又點是的中點，點在線段上且，可知是的重心；
連接，可知點在上，如下圖所示：
由重心性質可得，，所以；
又平面，平面，
所以平面；
【小問2詳解】
因為底面是邊長為2的等邊三角形，所以；
又平面，且分別為的中點，所以可得平面；即兩兩垂直；
以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
設的長為，
則可得，所以；
所以，
設平面的一個法向量為，
則，令，可得，
即可取，
易知平面的一個法向量為；
所以，解得或（舍）；
即當?shù)拈L為3時，二面角的大小為.
16. 在中，角對應的的三邊分別是，，，且.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換可求得，可得；
（2）根據(jù)可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得邊長即求出面積.
【小問1詳解】
根據(jù)題意由正弦定理可得，
整理可得，
即，所以；
可得，又，所以，
又，因此.
【小問2詳解】
由三角形內角關系可得，
由可得，解得或；
當時，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意；
因此，；
又，可得，同理；
由正弦定理可得，可得，
同理
因此的面積為.
17. 已知數(shù)列的首項是1，其前項和是，且，.
（1）求，的值及數(shù)列的通項公式；
（2）若存在實數(shù)，使得關于不等式，有解，求實數(shù)取到最大值時的值.
【答案】（1），，
（2）4或5
【解析】
【分析】（1）用累加法得到數(shù)列通項公式；
（2）求出數(shù)列前項和，列出不等式，構造函數(shù)利用導函數(shù)求最大值，并找到最大值點.
【小問1詳解】
∵，∴
當時，，
即，
當時，也滿足，
∴，
∴，.
【小問2詳解】
由（1）可知，
∴，∴
令，
，當時，，當時，
∵
∴的最大值為70，即當或時，取得最大值70，
∴取得最大值時，取4或5.
18. 已知函數(shù).
（1）當時，求曲線y=fx在點處的切線方程；
（2）若，，證明：；
（3）若，恒有，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）證明見解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）直接求出導函數(shù)，計算和，由點斜式得直線方程并整理為一般式；
（2）在題設條件下證明，是減函數(shù)，，再證明即得證；
（3）時，由說明遞減，不等式不可能恒成立，時，由（2）得出時，，的大于1的根記為（是地，），證明時，，時，，由確定的單調性，，時，由完成證明，時，由確定．綜合后得出結論．
【小問1詳解】
時，，
，
，又，
所以切線方程為，即；
【小問2詳解】
，
時，遞增函數(shù)，因此，，
又，所以，在上遞減，
，
因為，所以，
從而；
【小問3詳解】
，，
當時，，在上是減函數(shù)，
當時，，因此不可能恒成立，
時，由得，
記，，
則有兩個實根，一根小于1，一根大于1，
大于1的根為，易知它是關于的減函數(shù)，
注意到在上是增函數(shù)，且，
即時，，時，，
所以時，，遞減，時，，遞增，
所以，
時，，此時，
記，在上遞減，在上遞增，且，
因此
當時，，，
當時，，，
綜上，時，恒成立
所以的取值范圍是．
【點睛】難點點睛：本題考查用導數(shù)求切線方程，研究不等式恒成立問題，難度較大．第（3）小題的求解，一般由完成，但本題中，難點一是確定函數(shù)值是何時取得的，結合（2）的求解，得出時，，難點二是在分類討論和的結論時需要用兩種不同的思路，時，最小值作為的函數(shù)是遞增的，得出，然后由的單調性得證，時，先由的單調性得出．
19. 直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點0,1的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1）圓：是直線族的包絡曲線，求，滿足的關系式；
（2）若點不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族的包絡曲線的方程；
（3）在（1）（2）的條件下，過曲線上動點向圓做兩條切線，，交曲線于點，，求面積的最小值.
【答案】（1）
（2），曲線的方程為.
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切得到方程，化簡即可；
（2）轉化為方程無實數(shù)解，則判別式小于0，則得到范圍，再根據(jù)直線族：為拋物線的切線即可；
（3）設Ax1,y1，Bx2,y2，，根據(jù)直線與圓相切得到，再將直線與聯(lián)立得得到，再根據(jù)弦長公式得到面積表達式，最后利用導數(shù)求出其最值即可.
【小問1詳解】
由題可得，直線族為圓M的切線，
故滿足，，所以滿足．
【小問2詳解】
將點代入，可得關于的方程，
因為點不在直線族上，故方程無實數(shù)解，
所以，那么，故，
因為區(qū)域的邊界為拋物線，
下證：是的包絡曲線．
證明：聯(lián)立直線與，可得，所以，
故直線族：為拋物線的切線.
因此直線族的包絡曲線的方程為.
【小問3詳解】
設Ax1,y1，Bx2,y2，，
則，
故
由直線與相切，所以，
整理得，①
同理可得，，②
由①②可得直線．
直線與聯(lián)立得，（顯然）
可得，
由韋達定理可得．
因此，
由于點到直線的距離，
所以面積為，
令，則，
由，解得，
當，，當，，
所以在0,4上單調遞減，在上單調遞增，
那么（當且僅當時取到），
所以面積的最小值是.
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是通過相切得到方程，從而得到直線的方程，再聯(lián)立拋物線得到得到韋達定理式，最后利用弦長公式得到面積表達式，利用導數(shù)求出最值即可.

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