1. 擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則與的關(guān)系為（ ）．
A. 互斥B. 互為對(duì)立
C. 相互獨(dú)立D. 相等
【答案】C
【解析】擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，
事件與能同時(shí)發(fā)生，故事件與既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；
，，，，
因?yàn)?，所以與獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；
事件與不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C.
2. 雙曲線的漸近線方程為，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由題意可得，又，故.故選：D.
3. 復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】設(shè),則
所以，
又，
所以，即，
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，
表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
所以的最小值是.
故選：B.
4. 已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?，所以，即?br>所以，
設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?br>所以，即與的夾角為.故選：D.
5. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6，3a4，－a5成等差數(shù)列，則＝（ ）
A. 3B. 9
C. 10D. 13
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍6，3a4，－a5成等差數(shù)列，
所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q)由題意得a4>0，q>0.
所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
6. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿足的，有，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因函數(shù)的最小正周期為，
將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，
若對(duì)滿足的可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有，
不妨，則，即在取得最小值，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，，，不合題意，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，，，當(dāng)，滿足題意，故選：A，
7. 已知橢圓為左?右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段的延長線上，則的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由直線，且點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段的延長線上，
如圖所示，可得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，且,
故在中，則,故
又的傾斜角為，則，
故在中，有，，，
又由，可得，
即，
又因?yàn)椋?br>，
所以.
故選：B.
8. 已知正實(shí)數(shù)滿足,,,則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，，為正?shí)數(shù)，且滿足，，，
則，，，
所以，，，
則，，，
令，，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、、的圖象如下所示：
由圖可知.
故選：A
二?多選題
9. 有一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，極差為，則下列判斷正確的是（ ）
A. 若的平均數(shù)是，則
B. 若的極差是，則
C. 若方差，則
D. 若，則第75百分位數(shù)是
【答案】AC
【解析】對(duì)于A中，由，
即，所以A正確；
對(duì)于B中，例如：若樣本數(shù)據(jù)，可得極差為
此時(shí)數(shù)據(jù)的極差為，此時(shí)，所以B不正確；
對(duì)于C中，由，
若，可得，所以C正確；
對(duì)于D中，由，所以數(shù)據(jù)的75分位數(shù)為，所以D不正確.
故選：AC.
10. 已知直三棱柱中，且，直線與底面所成角的正弦值為，則（ ）
A. 線段上存在點(diǎn)，使得
B. 線段上存在點(diǎn)，使得平面平面
C. 直三棱柱的體積為
D. 點(diǎn)到平面的距離為
【答案】ABD
【解析】在直三棱柱中，底面，
則即為直線與底面所成角，即，
則，
所以
又且，所以，
又底面，底面，所以，
所以，解得，
所以直三棱柱的體積，故C錯(cuò)誤；
又底面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段，
設(shè)，，
則，
若，則，即，解得，
此時(shí)為線段的中點(diǎn)，
故在線段上存在點(diǎn)，使得，故A正確；
當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
又，，設(shè)平面的法向量為，
則，取，
因?yàn)?，所以平面平面?br>即當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)滿足平面平面，故B正確；
又，，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
則點(diǎn)到平面的距離，故D正確.
故選：ABD
11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. 為奇函數(shù)
C. D.
【答案】BCD
【解析】令，，則有， 故，即，
令，則，
即恒成立，故，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，故B正確；
則，又為偶函數(shù)，
故，則，故A錯(cuò)誤；，故C正確；
，則，故函數(shù)的周期為，
，則，故D正確.
故選：BCD.
三?填空題
12. 在中，角的對(duì)邊分別為邊上的高等于，則的面積是__________，__________.
【答案】
【解析】在中，作，垂足為點(diǎn)，
則，又
在中，，
即，解得，
所以，
在中，，
所以，
由正弦定理，，即，可得.
故答案為：；
13. 已知圓，若對(duì)于任意的，存在一條直線被圓所截得的弦長為定值，則__________.
【答案】
【解析】圓，則，解得，
所以圓，即，
由題設(shè)，令可得，令可得，
顯然兩圓相交，則兩圓方程作差可得，
由，解得或，
所以直線與圓相交的弦長為，
所以，則.
故答案為：
14. 已知正四面體棱長為1，若棱長為的正方體能整體放入正四面體中，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.
【答案】
【解析】依題意，由正四面體及正方體的幾何特征知，要使放入的正方體最大，則正方體的一個(gè)底面在正四面體的一個(gè)底面內(nèi)，
令是正的中心，則底面，而，則，
不妨令放入的正方體的底面在正四面體在內(nèi)，則正方體中與這個(gè)底面相對(duì)的
底面正方形所在平面截正四面體所得截面是正三角形，
且這個(gè)正方形是正的內(nèi)接正方形，于是，
顯然三棱錐是正四面體，與平面的交點(diǎn)是正的中心，
于是，顯然，因此，
解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：
四?解答題
15. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
（1）解：由，，得，解得，
由，，所以，所以或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)；
綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或；
（2）證明：因?yàn)?，所以，則，
則
，
所以
.
16. 如圖，三棱錐中，為線段的中點(diǎn).
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，
所以
因?yàn)?，，?br>所以，
故AB．
又為線段的中點(diǎn)，
所以．
又，平面.
所以平面
又平面，
所以平面平面．
（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)闉橹形痪€，所以，
又，所以．
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以．
又，平面，
所以平面，平面，
所以，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
又，平面，所以平面．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
設(shè)，，
則，，，
，，
由，解得．
所以.
又平面的法向量．
設(shè)直線與平面所成角為，則
,
所以直線與平面所成角為.
17. 設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
解：（1）當(dāng)時(shí)定義域?yàn)椋?br>且，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）函數(shù)定義域?yàn)椋?br>依題意在上恒成立，
設(shè)，，則，
設(shè)，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以使得，即，
所以，
則當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，
所以
，
令，則且，
所以為增函數(shù)，
由，所以，
又與均為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，且在軸上方，和在軸下方（在左側(cè)），關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)，延長線段交軸于點(diǎn)，連接.
（1）證明：為定值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，求的內(nèi)切圓的方程.
（1）證明：設(shè)直線的方程為，
則，
由，消去，得，
，
所以，
直線的方程為，化簡得，
令，得，所以
因此.
（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)橫坐標(biāo)為，由（1）可知，，
設(shè)交拋物線于，，如圖所示
又由（1）知，，同理可得，得，
又，
，
又，
則，
故結(jié)合，得.
所以直線的方程為
又，
則，
所以直線的方程為，
設(shè)圓心
因?yàn)闉榈钠椒志€，故點(diǎn)到直線和直線的距離相等，
所以，因?yàn)?，解得?br>故圓的半徑，
因此圓的方程為.
19. 為保護(hù)森林公園中的珍稀動(dòng)物，采用某型號(hào)紅外相機(jī)監(jiān)測(cè)器對(duì)指定區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測(cè)識(shí)別.若該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，該型號(hào)監(jiān)測(cè)器能正確識(shí)別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，但監(jiān)測(cè)器認(rèn)為有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率為0.2.現(xiàn)用2臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)測(cè)器組成監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，每臺(tái)監(jiān)測(cè)器（功能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測(cè)識(shí)別，若任意一臺(tái)監(jiān)測(cè)器識(shí)別到珍稀動(dòng)物活動(dòng)，則該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng).
（1）若.
（i）在該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率；
（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（精確到0.001）；
（2）若監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在監(jiān)測(cè)識(shí)別中，當(dāng)時(shí)，恒滿足以下兩個(gè)條件：①若判定有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確實(shí)沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.
（參考數(shù)據(jù)：）
解：（1）記事件為“監(jiān)測(cè)系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)”，事件為“監(jiān)測(cè)區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動(dòng)物活動(dòng)”，
（i）；
（ii）
，
則
；
（2），
，
由題意可得，即，
令，，得，，
故，，
即，即，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>故，即，所以，
故.

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