1．已知直線過點，，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知，，則在方向上的投影向量的模長為（ ）
A．B．C．D．
4．圓：與圓：的公切線有且僅有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
5．如圖，在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．已知球與正方體的各個切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長為（ ）
A．B．C．1D．2
8．關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點為F，右頂點為A，過F且垂直于x軸的直線與C的一個交點為M，過M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知空間中三點，則正確的有（ ）
A．與是共線向量B．點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)是
C．與夾角的余弦值是D．與同向的單位向量是
10．已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（ ）
A．弦的中點軌跡是圓
B．直線分別過定點和
C．直線的交點在定圓上
D．線段的最小值為
11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過橢圓C上一點P和原點O作直線l交圓O：于M，N兩點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．實數(shù)a越小，橢圓C越圓
B．若，且，則
C．當(dāng)時，過的直線交C于A，B兩點（點A在x軸的上方）且，則的斜率
D．若，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關(guān)系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
13．橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，如果的中點在y軸上，那么是的 倍
14．已知圓，過圓外點向圓引兩條切線，且切點分別為A，B兩點，則最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知焦點在軸上的橢圓過點，離心率為，
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率為的直線與曲線相交于點D，E，弦長，求直線的方程．
16．已知圓過點三個點．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知，直線與圓相交于A，B兩點，求的最小值．
17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點．
(1)證明：；
(2)若四棱錐的體積為1，求平面與平面夾角的余弦值．
18．已知曲線是平面內(nèi)到和的距離之和為4的點的軌跡.
(1)求曲線的方程；
(2)過點作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點，交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點的坐標(biāo).
19．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，
(1)求證：平面
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值
(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】直線的斜率為，對應(yīng)傾斜角為.
故選：B
2．【正確答案】B
【詳解】當(dāng)時，，解得或，
當(dāng)時，兩直線分別為，符合題意，
當(dāng)時，兩直線分別為符合題意，
所以“”是“∥”的充分不必要條件
故選：B
3．【正確答案】D
【詳解】在方向上的投影向量的模長為.
故選：D
4．【正確答案】B
【詳解】解：圓，則圓心，半徑，
圓，則圓心，半徑，
得兩圓的圓心距為：，
則，
得兩圓相交，得兩圓的公切線有且僅有2條．
故選：B
5．【正確答案】B
【詳解】連接交于，連接，
由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.
以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由，不妨設(shè)，則，
在中，，
則，則，
，
則，
由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.
故選：B.
6．【正確答案】B
【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，
由對稱性可知，此時直線被橢圓所截得的線段AB的中點在軸上，
而已知是線段AB的中點，不在軸上，不滿足題意.
故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，則直線的方程為，
即，
代入橢圓的方程化簡得，
所以，解得，
故直線方程為，即.
故選：B.
7．【正確答案】D
【詳解】解法1：設(shè)正方體棱長為，則球的半徑為，
∵平面截此球所得的截面的面積為，∴截面圓的半徑為，
由題意，球心與的距離為，
設(shè)到平面的距離為，
是邊長為的等邊三角形，，
由得，可得，
，由平面，所以球心到平面的距離為，
∴，∴，即正方體棱長為；
解法2：設(shè)正方體棱長為，內(nèi)切球與正方體各面的切點，
恰好為等邊三角形各邊的中點，截面圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，
又因為平面截此球所得的截面的面積為，
所以截面圓的半徑為，，
所以，整理得，
故截面圓的半徑，解得，
即正方體棱長為．
故選：D．
8．【正確答案】C
【分析】由題意可得相應(yīng)點的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得切線與直線的斜率，列式求解即可.
【詳解】由題意可知：，
令代入橢圓方程可得，不妨設(shè)，
則切線，即，
可知直線的斜率，切線的斜率，
由題意可知：，即.
故選C.
【關(guān)鍵點撥】由根據(jù)題意可得切線，即可得切線斜率.
9．【正確答案】BCD
【詳解】.
A選項，由于，所以與是不是共線向量，A選項錯誤.
B選項，關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)是，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相反，
所以B選項正確.
C選項，與夾角的余弦值是,C選項正確.
D選項，與同向的單位向量是,D選項正確.
故選：BCD
10．【正確答案】ACD
【詳解】A選項，圓的圓心為，半徑為，
由于且為弦的中點，
所以，所以，
所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以A選項正確.
B選項，直線即，
由解得，所以直線過定點.
直線即，
由解得，所以直線過定點，所以B選項錯誤.
C選項，由于，所以，
所以在以為直徑的圓上，線段的中點為，
，所以在圓上，
整理得，所以C選項正確.
D選項，由上述分析可知，在圓上，
在圓上，
兩個圓的圓心分別為、，圓心距為，兩圓外離，
所以的最小值為，所以D選項正確.
故選：ACD
11．【正確答案】BD
【詳解】A選項，因為，所以，此時，故橢圓的離心率為，
越大，越大，橢圓C越扁，A錯誤；
B選項：因為，則，
又因為，則，故，
又因為，
解得，，故，B正確；
C選項：當(dāng)時，橢圓C： 且F1?1,0，
當(dāng)過的直線斜率為0時，此時A在軸上，不符合要求，舍去，
設(shè)過的直線的方程為，
因為點A在軸的上方，且，所以直線的斜率大于0，
聯(lián)立得，，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
則，，所以，
解得，負值舍去，
所以直線的方程的斜率為，C錯誤；
D選項：設(shè)Px0,y0，則，所以，
則
，
同理可得，由，得，
故，則，
又因為，，
故
，D正確；
故選：BD.
12．【正確答案】異面
【詳解】假設(shè)直線共面，平面，
由，則平面，
同理，平面，故共面，
這與是三棱錐矛盾，故假設(shè)錯誤，故直線異面.
故異面.
13．【正確答案】5
【詳解】由題得，
由題得軸，當(dāng)時，，所以,
所以,
所以是的5倍.
故5
14．【正確答案】
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
根據(jù)切線長的知識可知，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以最小值為.
故

15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，解得，，
橢圓方程為.
（2）設(shè)直線：，，
聯(lián)立并整理得，，，
，
解得，符合，
直線方程為，即．
16．【正確答案】(1)
(2)4
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，
代入各點得：，
所求圓的一般方程為：標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）把代入直線方程得：，
即，令，可得，
所以直線過定點．
又，所以定點在圓內(nèi)，
當(dāng)時，AB最小，此時，，
則.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為平面，且平面，
所以，又，即，
以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，由為的中點，
得，，
所以，
所以，所以
（2）由四棱錐的體積為，梯形的面積為，
所以
所以，可得，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，
所以
設(shè)平面的一個法向量為，
所以，
平面與平面夾角的余弦值為．
18．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由橢圓定義可知軌跡為橢圓，設(shè)曲線的方程，
則，，，，，曲線的方程；
（2）方法一：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，整理得3+4k2x2?8k2x+4k2?12=0，
，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，，
直線交直線于，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，
，
所以線段中點的坐標(biāo)為1,0.
方法二：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，整理得，
，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，，
直線交直線于，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，同理可得，
，
所以線段中點的坐標(biāo)為1,0.
19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)3種，．
【詳解】（1）取的中點，連接，
因為，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，且，
所以，
所以，所以，
又因為，所以．
因為側(cè)棱底面，平面，所以，
因為，平面，所以平面．
（2）
以為坐標(biāo)原點，、、的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．
所以，，．
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，則，．所以．
設(shè)與平面所成角為，
則，解得，
故所求．
（3）由題意可以左側(cè)面重合拼接，或右側(cè)面重合拼接，或側(cè)面重合拼接（這是五棱柱，舍去），或上、下底分別拼成一個平行四邊形或一個矩形（與左右側(cè)面重合拼接相同），也可以上下底面重合拼接，共3種方案，
，，，，，
四棱柱的全面積是，
左側(cè)面重合拼接，，
右側(cè)面重合拼接，，
上下底面重合拼接，，
，，，，
所以．

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