考生須知：
1.本卷共 4 頁滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的
1. 設(shè)集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解一元二次不等式求解集，即可求交集.
【詳解】由 ，
所以 ，
故選：C.
2. “ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.
【詳解】“ ”是“ ”成立的充分條件;舉反例 推出“ ”是“ ”成立的不必要
條件,故選 A.
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【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要條件、充分條件的判斷.充分條件與必要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)概念之
一,要理解好其中的概念.
3. 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù) 的取值范圍（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化為 ，對(duì) 恒成立，利用判別式法求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域?yàn)?，
所以 ，對(duì) 恒成立，
當(dāng) 時(shí)， ，符合題意；
由 ，得 ，
綜上：實(shí)數(shù) 取值范圍是 ，
故選：B
4. 如圖一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為 ，腰和上底均為 1 的等腰梯形，則原平面圖
形的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，由直觀圖的特征推出原平面圖形的形狀及相關(guān)邊長，再利用梯形面積公
式計(jì)算原平面圖形的面積．
【詳解】在直觀圖中作 ，垂足分別為 E，F(xiàn)，
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則
確定原平面圖形的形狀及部分邊長：
在斜二測(cè)畫法中，平行于 y 軸的線段，在原圖形中長度變?yōu)橹庇^圖中對(duì)應(yīng)線段長度的 倍．
已知直觀圖是底角為 ，腰和上底均為 的等腰梯形，因?yàn)橹庇^圖中腰長為 且平行于 y 軸，所以原平面
圖形為直角梯形，其直角腰長為直觀圖中腰長的 倍，即 ；上底邊長在斜二測(cè)畫法中長度不變，
所以原平面圖形上底邊長為 ． 原圖如下：
將原平面圖形上底 ，下底 ，高 代入公式，可得 ．
原平面圖形的面積是 ．
故選：A．
5. 關(guān)于函數(shù) ，下列說法不正確的是（ ）
A. 周期為 B. 在 上不單調(diào)
C. 是它的一條對(duì)稱軸 D. 有一個(gè)對(duì)稱中心
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)于 A，由周期公式 可判斷正誤；對(duì)于 B、C、D，有兩種方法判斷正誤，一種是利用
的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，將 看成一個(gè)整體，將 反解出來即得 的單調(diào)區(qū)間、
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對(duì)稱軸、對(duì)稱中心；另一種是從選項(xiàng)入手，由選項(xiàng)條件得到 的范圍或值，判斷是否是 的單
調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，由此可判斷正誤，注意本題是選非題，故選擇不正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于 A， 的最小正周期為 ，故 A 正確；
對(duì)于 B，由 ，得 ，因?yàn)?在 上不單調(diào)，
所以 在 上不單調(diào)，故 B 正確；
對(duì)于 C，當(dāng) 時(shí)， ，因?yàn)?是 的一條對(duì)稱軸，
所以 時(shí)是 一條對(duì)稱軸，故 C 正確；
對(duì)于 D，當(dāng) 時(shí)， ，而 是 的一條對(duì)稱軸，而非對(duì)稱中心，
故 不是 的一個(gè)對(duì)稱中心，故 D 不正確.
故選：D.
6. 若 ，且 在 方向上的投影向量為 ，則 與 的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的概念列式即可求數(shù)量積，從而可求夾角大小.
【詳解】根據(jù) 在 方向上的投影向量為 ，可得：
，
根據(jù) ，又因?yàn)?，
所以 ，
又因?yàn)?，所以 ，
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故選：B.
7. 靈山江畔的龍洲塔，有“人文薈萃，學(xué)養(yǎng)深厚”的福地一說.如圖，某同學(xué)為了測(cè)量龍洲塔的高度，在地面
處測(cè)得塔在南偏東 的方向上，向正南方向行走 后到達(dá) D 處，測(cè)得塔在南偏東 的方向上，
處測(cè)得塔尖 的仰角為 ，則可得龍洲塔高度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)題意得到角度和邊 ，則在 中，由正弦定理可求得 ，
而塔是垂直于地面的，故在 中，結(jié)合仰角和 可算得龍洲塔高度.
【詳解】由題意可知 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
因?yàn)?處測(cè)得塔尖 仰角為 ，即 ，
則在 中，龍洲塔高度為 .
故選：C.
8. 定義在 上的偶函數(shù) 滿足：當(dāng) 時(shí)， ，且當(dāng) 時(shí)，
，則 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A. 6 個(gè) B. 7 個(gè) C. 8 個(gè) D. 無數(shù)個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】將 的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為 與 圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出圖像，看
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交點(diǎn)即可.
【詳解】 的零點(diǎn)，則 ，即 的根個(gè)數(shù)，
畫出 與 圖像，看兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
當(dāng) 時(shí)， ，畫出此部分圖像，再根據(jù)當(dāng) 時(shí)， ，
即表示 x 隔 2 函數(shù)值減半，畫出 y 軸右側(cè)圖像.最后根據(jù)偶函數(shù)圖像性質(zhì)，得到 y 軸左側(cè)圖像.
根據(jù)圖像，知道 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 8 個(gè).
故選：C.
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選
對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得 0 分.
9. 下列各組函數(shù)的圖象，能夠通過左右平移實(shí)現(xiàn)重合的是（ ）
A 與 B. 與
C. 與 D. 與
【答案】AD
【解析】
【分析】A 通過誘導(dǎo)公式 即可判斷；B 通過兩個(gè)函數(shù)的最低點(diǎn)判斷；C 反證法，在
一個(gè)函數(shù)圖象上找出兩個(gè)特殊點(diǎn)通過平移判斷能否在另一個(gè)圖象上；D 通過指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)性質(zhì)可得
.
【詳解】因 ，
則將 函數(shù)圖象向左平移 個(gè)單位可得 ，故 A 正確；
因 ，則其最低點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
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而 最低點(diǎn)坐標(biāo)為 ，故無法只通過左右平移實(shí)現(xiàn)，故 B 錯(cuò)誤；
因 圖象上存在點(diǎn) ， 圖象上存在 ，
若 函數(shù)圖象可左右平移得到 ，
則將 函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位即可得到 ，
而 函數(shù)圖象上的點(diǎn) 向右平移 個(gè)單位后得到的點(diǎn) 不在 圖象上，故 C 錯(cuò)
誤；
，則將 函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位即可得到 ，故 D 正確.
故選：AD
10. 在 中，內(nèi)角 所對(duì)的邊分別是 ，則下列說法正確的是（ ）
A. 若 ，則 的外接圓的面積是
B. 若 ，則 是等腰三角形
C. 若 ，則 可能等于 10
D. 若 ，則 的面積為 或
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算即可判斷 A；根據(jù)正弦定理和三角恒等變換計(jì)算即可判斷 B；根據(jù)余弦定理和基
本不等式計(jì)算即可判斷 C；根據(jù)余弦定理和三角形面積公式計(jì)算即可判斷 D.
【詳解】A：由正弦定理得 為 外接圓的半徑），
得 ，所以該外接圓的面積為 ，故 A 正確；
B：由正弦定理得 ，即 ，
得 或 ，解得 或 ，
所以 為等腰三角形或直角三角形，故 B 錯(cuò)誤；
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C：由余弦定理得 ，
即 ，
得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到“=”，
又 ，所以 ，故 C 正確；
D：由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 2.
當(dāng) 時(shí)， ， ；
當(dāng) 時(shí)， ， ，故 D 正確.
故選：ACD
11. 在 中， 是 中點(diǎn)， 與 BD 交于點(diǎn) F，則下列說法正確的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】選定 作為基底，根據(jù)圖形的幾何關(guān)系以及向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形面積公式以及數(shù)
量積的運(yùn)算律，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
由 ，則 ，由 是 的中點(diǎn)，則 ，
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由圖可得 ，
，可得 ，解得 ，
則 ，由 ，
，則 ，故 A 錯(cuò)誤；
由 ， ，
則 ，即 ，由 ，則 ，
由圖可得 ，
，則 ，故 B 正確；
由 ， ， ，
則 ，故 C 正確；
由 ， ，
則 ，故 D 正確.
故選：BCD.
非選擇題部分
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知復(fù)數(shù) 是方程 的一個(gè)根，則復(fù)數(shù) 的模 的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出復(fù)數(shù) 后利用公式可求其模.
【詳解】 即為 ，故 ，
故 ，
故答案為：
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13. 古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九?都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫—秦
九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長分別是 ，記 ，則三角形面積為
.已知 中， ，則 的內(nèi)切圓半徑 為
__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用海倫公式結(jié)合等面積法，即可求三角形內(nèi)切圓半徑.
【詳解】根據(jù)海倫公式，可知： ，
再設(shè)內(nèi)切圓半徑為 ，則有 ，
故答案為： .
14. 在正四面體 ABCD 中， 分別為 的中點(diǎn)， ，截面 EFG 將四面體分成兩部分，
則體積較大部分與體積較小部分的體積之比是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平面的公理，將平面進(jìn)行延拓，利用分割法，結(jié)合棱錐的體積公式，可得答案.
【詳解】由題意，取 ，使得 ，連接 ，如下圖：
由 分別為 的中點(diǎn)，則 ， ，
由 ，則 ，所以 共面，
所以截面 將正四面體 分為多面體 與多面體 ，
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設(shè)正四面體 的棱長為 ，易知高 ，
則體積 ，
由圖可知多面體 可分為四棱錐 與三棱錐 ，
在四棱錐 中，由 到底面 的距離為 ，且 ，
則 到底面 的距離，即在底面 上的高 ，
底面 的面積
，
所以四棱錐 的體積 ，
在三棱錐 中，由 到底面 的距離為 ，且 ，
則 到底面 的距離，即底面 上的高 ，
易知 為等邊三角形且邊長為 ，
所以三棱錐 的體積 ，
故多面體 的體積 ，
多面體 的體積 ，
所以體積較大部分與體積較小部分的體積之比是 .
故答案為： .
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為 4 的正三角形.
（1）求該圓錐的體積與表面積；
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（2）該圓錐內(nèi)切球半徑為 ，內(nèi)接正方體棱長為 ，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得圓錐的幾何元素，利用其體積公式以及表面積公式，可得答案；
（2）由題意作圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)，建立方程，可得答案.
【小問 1 詳解】
由軸截面為 4 的等邊三角形，可得底面半徑 ，高為 ，母線長 ，
于是 ，
.
【小問 2 詳解】
如圖 1，易知 ，可得在 中， ，解得 ，
如圖 2，易知 ，可得在 中， ，解得 ，故
16. 已知函數(shù) .
（1）如果 ，求函數(shù) 的最小正周期與增區(qū)間；
（2）如果 ，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最大值，求 的值.
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【答案】（1） ，增區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)周期及單調(diào)性計(jì)算求解；
（2）應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值計(jì)算得出正切值.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)，
故最小正周期
由 ，
得 ，
故增區(qū)間為
【小問 2 詳解】
當(dāng) 時(shí)，
，
其中
當(dāng) 時(shí)， 取得最大值.
所以 ，
所以
17. 已知三角形內(nèi)角 對(duì)邊分別為 ，向量 ，且 .
（1）求角 ；
第 13頁/共 18頁
（2）若 ，三角形邊 上有一點(diǎn) ，求 的長；
（3）角 的平分線交 于點(diǎn) ，且 ，求 面積最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直得到方程，結(jié)合正弦定理得到 ，求出 ；
（2）根據(jù)向量基本定理得到 ，兩邊平方，得到 ，求出模長；
（3）由 和三角形面積公式得到方程，求出 ，由基本不等式求出 ，
得到三角形面積最小值.
【小問 1 詳解】
由 得， ，
由正弦定理得， ，
，所以 ，所以 ，
故 ，又 ，所以
【小問 2 詳解】
因?yàn)辄c(diǎn) 在 上， ，
故 ，
所以
第 14頁/共 18頁
，
所以 ；
【小問 3 詳解】
，由 ，
即 ，得 ，
于是 ，解得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
故 .
18. 如圖矩形 中， ，直線 與 相互垂直，垂足
為點(diǎn) .
（1）求 的值；
（2）若 .設(shè) ，求 關(guān)于 的表達(dá)式，并求 的最大值.
【答案】（1）
（2） ， 的最大值為 .
【解析】
【分析】（1）利用基底 表示向量 ，再利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求
解.
（2）利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理求出 關(guān)于 的表達(dá)式，再利用（1）的結(jié)論，結(jié)合數(shù)
量積的運(yùn)算律求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出最值.
【小問 1 詳解】
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在矩形 中，由直線 與 垂直，得 ，
即 ，
而 ，則 ，所以 .
【小問 2 詳解】
由 ，得 ，
即 ，
同理，由 ，得 ，
又 不共線，則 ，解得 ；
，
由 ，得 ，
所以
，
設(shè) ，由 ，得 ，則 ，
當(dāng) ，即 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí) ，
所以當(dāng) ，即 時(shí) 取得最大值 .
19. 以下是數(shù)學(xué)中對(duì)“曼哈頓距離”的定義：在平面直角坐標(biāo)系 中，設(shè)點(diǎn) ，則
叫作 兩點(diǎn)的曼哈頓距離，又稱為折線距離或出租車距離等.某同學(xué)在上課聽
了老師對(duì)曼哈頓距離的介紹后，課后對(duì)它進(jìn)行了研究.首先，把點(diǎn) P 取在特殊直線 上， 取已知定點(diǎn)
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，即轉(zhuǎn)化為函數(shù) （ 為常數(shù)）的問題；第二步，把兩點(diǎn)取在一般直線上，
轉(zhuǎn)化為函數(shù) 為常數(shù) 的問題；第三步，把兩點(diǎn)分別取在直線與曲線上，
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求兩點(diǎn)曼哈頓距離最值；……
請(qǐng)按該同學(xué)研究思路，完成以下問題：
（1）求函數(shù) 的值域；
（2）已知關(guān)于 的函數(shù) 的最小值為 2 時(shí)，求實(shí)數(shù) 的值；
（3）已知點(diǎn) 在直線 上，點(diǎn) 坐標(biāo) 滿足條件 ，求 兩點(diǎn)間曼哈頓距
離的最小值.
【答案】（1）
（2） 或 0
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值得定義，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，作圖可得答案；
（2）由題意可得函數(shù)在何處取得最值，根據(jù)一次函數(shù)分情況討論，可得答案；
（3）利用參數(shù)方程，結(jié)合三角不等式，可得答案.
小問 1 詳解】
由已知得， ，
由圖可得，函數(shù) 值域?yàn)?；
【小問 2 詳解】
根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)， 為常數(shù) ，
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顯然，函數(shù)圖象可分三段，當(dāng) 或 時(shí)函數(shù)取最小值，
考慮此時(shí)函數(shù)單調(diào)性與 大小的關(guān)系，
若 ，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取最小值，
若 ，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取最小值.
由函數(shù) 最小值為 2，
得 或 ，
所以 或 ，
所以 或 0.
【小問 3 詳解】
令 ，結(jié)合（2）中函數(shù) 性質(zhì)，
得 ，當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
所以 (其中 )，
即 兩點(diǎn)間曼哈頓距離的最小值為 .
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