1.本試題卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙上.
3.選擇題的答案須用鉛筆將答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈.
4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作圖時(shí)可先使用鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫(xiě)在本試題卷上無(wú)效.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合定義求得，再由交集定義計(jì)算．
【詳解】因，，
所以，
所以，
故選：B．
2. 已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則，
因此，.
故選：C.
3. 雙曲線的另一種定義：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它與定直線：的距離的比是常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)雙曲線.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它與定直線：的距離的比是，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡(jiǎn)得答案.
【詳解】設(shè)，依題意，，化簡(jiǎn)整理得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：B
4. 為研究光照時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了9組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，并對(duì)，進(jìn)行線性回歸分析.若在此圖中加上點(diǎn)后，再次對(duì)，進(jìn)行線性回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. ，不具有線性相關(guān)性B. 決定系數(shù)變大
C. 相關(guān)系數(shù)變小D. 殘差平方和變小
【答案】C
【解析】
【分析】從圖中分析得到加入點(diǎn)后，回歸效果會(huì)變差，再由決定系數(shù)，相關(guān)系數(shù)，殘差平方和及相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷即可.
詳解】對(duì)于A，加入點(diǎn)后，變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酰?br>但不能說(shuō)，不具有線性相關(guān)性，所以A不正確
對(duì)于B，決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，所以加上點(diǎn)后，決定系數(shù)變小，故B不正確；
對(duì)于C，從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，所以加上點(diǎn)后，回歸效果變差.
所以相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨于0，故C正確；
對(duì)于D，殘差平方和變大，擬合效果越差，所以加上點(diǎn)后，殘差平方和變大，故D不正確；
故選：C.
5. 已知外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)中點(diǎn)為，確定，為正三角形，再計(jì)算向量的投影得到答案.
【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，則，即，故邊為圓的直徑，
則，又，則為正三角形，
則有，
向量在向量上的投影向量，
故選：A
6. 古代農(nóng)耕常用水車(chē)作為灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類改造自然的成果之一.如圖是一個(gè)半徑為的水車(chē)，以水車(chē)的中心為原點(diǎn)，過(guò)水車(chē)的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，當(dāng)秒時(shí)，（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)求得半徑，再由周期是60秒，經(jīng)過(guò)45秒，就是旋轉(zhuǎn)了個(gè)周期，由計(jì)算出圖中（小于平角的那個(gè)），然后由勾股定理計(jì)算．
【詳解】由已知，，
經(jīng)過(guò)45秒后，即旋轉(zhuǎn)了個(gè)周期，因此，如圖，
所以，
故選：A．

7. 已知長(zhǎng)方體，是棱的中點(diǎn)，平面將長(zhǎng)方體分割成兩部分，則體積較小部分與體積較大部分的體積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意可知平面將長(zhǎng)方體分割成的體積較小部分為三棱臺(tái)，利用臺(tái)體體積公式計(jì)算即可得出答.
【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：
由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得，因此平面即為平面，
根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)，由相似比可知交于同一點(diǎn)，
所以長(zhǎng)方體被平面割成的體積較小部分為三棱臺(tái)，
設(shè)長(zhǎng)方體的各棱長(zhǎng)為，因此長(zhǎng)方體的體積為；
再由棱臺(tái)體積公式可得
，
可得較大部分的體積為；
因此體積較小部分與體積較大部分的體積之比為.
故選：D
8. 已知函數(shù)，，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求出，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.
【詳解】由，得，而，則，，
，因此，解得，
由，得或，于是，
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)的意義求出兩個(gè)零點(diǎn)是解題之關(guān)鍵.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判斷AB選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)判斷CD選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A選項(xiàng)正確；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項(xiàng)正確；
∵，∴，∴，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
10. 現(xiàn)有一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，主持人將獎(jiǎng)品放在編號(hào)為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號(hào)箱子，但暫時(shí)未打開(kāi)箱子，主持人此時(shí)打開(kāi)了另一個(gè)箱子（主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子，他只打開(kāi)甲選擇之外的一個(gè)空箱子）.記表示第號(hào)箱子有獎(jiǎng)品，表示主持人打開(kāi)第號(hào)箱子.則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B.
C. 若再給甲一次選擇的機(jī)會(huì)，則甲換號(hào)后中獎(jiǎng)概率增大
D. 若再給甲一次選擇的機(jī)會(huì)，則甲換號(hào)后中獎(jiǎng)概率不變
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結(jié)合條件概率和全概率公式及逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，甲選擇1號(hào)箱，獎(jiǎng)品在2號(hào)箱里，主持人打開(kāi)3號(hào)箱的概率為1，即，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，，，
則，
因此，B正確；
對(duì)于CD，若繼續(xù)選擇1號(hào)箱，獲得獎(jiǎng)品的概率為，主持人打開(kāi)了無(wú)獎(jiǎng)品的箱子，
若換號(hào)，選擇剩下的那個(gè)箱子，獲得獎(jiǎng)品的概率為，甲換號(hào)后中獎(jiǎng)概率增大，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（ ）

A. 三棱錐的體積為定值
B. 在直三棱柱內(nèi)部能夠放入一個(gè)表面積為的球
C. 直線與所成角的正切值的最小值是
D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】證明出平面，結(jié)合錐體體積公式可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出的外接圓半徑，并與球的半徑比較大小，可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷C選項(xiàng)；作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，可知，然后將平面和平面延展為一個(gè)平面，結(jié)合余弦定理可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則為的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫?，平面，則平面，
因?yàn)?，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，為定值，
又因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，
且表面積為的球的半徑為，
的內(nèi)切圓半徑為，
所以，直三棱柱內(nèi)部不能放入一個(gè)表面積為的球，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A2,0,0、、、、，
設(shè)，其中，
則，
設(shè)直線與所成角為，
所以，，
當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，取最小值，取最大值，
此時(shí)，，，
所以，直線與所成角的正切值的最小值是，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，

，，
所以，，則，
因?yàn)槠矫?，，則平面，
因?yàn)槠矫妫瑒t，
將平面和平面延展為一個(gè)平面，如下圖所示：

在中，，，，
由余弦定理可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，
故的最小值為，D對(duì).
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】（1）計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問(wèn)題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開(kāi)化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來(lái)解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀；
（2）對(duì)于幾何體內(nèi)部折線段長(zhǎng)的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，則______.
【答案】5
【解析】
【分析】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式，令的次數(shù)為1，此時(shí)的系數(shù)等于10建立等式，解出的值.
【詳解】，
令，則，
∴.
故答案為：5.
13. 已知橢圓：，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與圓：相切于點(diǎn)，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則橢圓離心率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】由題意利用直線與圓相切可得，再由余弦定理計(jì)算得出，利用橢圓定義即可得出離心率.
【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，如下圖所示：
由圓：可知圓心，半徑；
顯然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由橢圓定義可得，即，
因此離心率.
故答案為：
14. 若，已知數(shù)列中，首項(xiàng)，，，則______.
【答案】158
【解析】
【分析】利用已知確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出，，由函數(shù)解析式得出，結(jié)合倒序相加法求和．
【詳解】，則，
所以，整理得，
即是常數(shù)數(shù)列，又，
所以，，
，
則，
所以，
又，所以，，
所以，
所以．
故答案為：158．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，為三角形的重心.
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)重心性質(zhì)以及線段比可知是的重心，再利用線段比例關(guān)系以及線面平行判定定理可得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用二面角的向量求法，由二面角的大小為解方程即可得滿足題意.
【小問(wèn)1詳解】
連接交于點(diǎn)，由重心性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，可知是的重心；
連接，可知點(diǎn)在上，如下圖所示：
由重心性質(zhì)可得，，所以；
又平面，平面，
所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以；
又平面，且分別為的中點(diǎn)，所以可得平面；即兩兩垂直；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
設(shè)的長(zhǎng)為，
則可得，所以；
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，可得，
即可取，
易知平面的一個(gè)法向量為；
所以，解得或（舍）；
即當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為3時(shí)，二面角的大小為.
16. 在中，角對(duì)應(yīng)的的三邊分別是，，，且.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換可求得，可得；
（2）根據(jù)可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得邊長(zhǎng)即求出面積.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意由正弦定理可得，
整理可得，
即，所以；
可得，又，所以，
又，因此.
【小問(wèn)2詳解】
由三角形內(nèi)角關(guān)系可得，
由可得，解得或；
當(dāng)時(shí)，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意；
因此，；
又，可得，同理；
由正弦定理可得，可得，
同理
因此的面積為.
17. 已知數(shù)列的首項(xiàng)是1，其前項(xiàng)和是，且，.
（1）求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于不等式，有解，求實(shí)數(shù)取到最大值時(shí)的值.
【答案】（1），，
（2）4或5
【解析】
【分析】（1）用累加法得到數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列前項(xiàng)和，列出不等式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)求最大值，并找到最大值點(diǎn).
【小問(wèn)1詳解】
∵，∴
當(dāng)時(shí)，，
即，
當(dāng)時(shí)，也滿足，
∴，
∴，.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，
∴，∴
令，
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
∵
∴的最大值為70，即當(dāng)或時(shí)，取得最大值70，
∴取得最大值時(shí)，取4或5.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，，證明：；
（3）若，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）直接求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算和，由點(diǎn)斜式得直線方程并整理為一般式；
（2）在題設(shè)條件下證明，是減函數(shù)，，再證明即得證；
（3）時(shí)，由說(shuō)明遞減，不等式不可能恒成立，時(shí)，由（2）得出時(shí)，，的大于1的根記為（是地，），證明時(shí)，，時(shí)，，由確定的單調(diào)性，，時(shí)，由完成證明，時(shí)，由確定．綜合后得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
時(shí)，，
，
，又，
所以切線方程為，即；
【小問(wèn)2詳解】
，
時(shí)，遞增函數(shù)，因此，，
又，所以，在上遞減，
，
因?yàn)椋裕?br>從而；
【小問(wèn)3詳解】
，，
當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，因此不可能恒成立，
時(shí)，由得，
記，，
則有兩個(gè)實(shí)根，一根小于1，一根大于1，
大于1的根為，易知它是關(guān)于的減函數(shù)，
注意到在上是增函數(shù)，且，
即時(shí)，，時(shí)，，
所以時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以，
時(shí)，，此時(shí)，
記，在上遞減，在上遞增，且，
因此
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
綜上，時(shí)，恒成立
所以的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求切線方程，研究不等式恒成立問(wèn)題，難度較大．第（3）小題的求解，一般由完成，但本題中，難點(diǎn)一是確定函數(shù)值是何時(shí)取得的，結(jié)合（2）的求解，得出時(shí)，，難點(diǎn)二是在分類討論和的結(jié)論時(shí)需要用兩種不同的思路，時(shí)，最小值作為的函數(shù)是遞增的，得出，然后由的單調(diào)性得證，時(shí)，先由的單調(diào)性得出．
19. 直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過(guò)點(diǎn)0,1的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1）圓：是直線族的包絡(luò)曲線，求，滿足的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族的包絡(luò)曲線的方程；
（3）在（1）（2）的條件下，過(guò)曲線上動(dòng)點(diǎn)向圓做兩條切線，，交曲線于點(diǎn)，，求面積的最小值.
【答案】（1）
（2），曲線的方程為.
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切得到方程，化簡(jiǎn)即可；
（2）轉(zhuǎn)化為方程無(wú)實(shí)數(shù)解，則判別式小于0，則得到范圍，再根據(jù)直線族：為拋物線的切線即可；
（3）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，根據(jù)直線與圓相切得到，再將直線與聯(lián)立得得到，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到面積表達(dá)式，最后利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題可得，直線族為圓M的切線，
故滿足，，所以滿足．
【小問(wèn)2詳解】
將點(diǎn)代入，可得關(guān)于的方程，
因?yàn)辄c(diǎn)不在直線族上，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
所以，那么，故，
因?yàn)閰^(qū)域的邊界為拋物線，
下證：是的包絡(luò)曲線．
證明：聯(lián)立直線與，可得，所以，
故直線族：為拋物線的切線.
因此直線族的包絡(luò)曲線的方程為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，
則，
故
由直線與相切，所以，
整理得，①
同理可得，，②
由①②可得直線．
直線與聯(lián)立得，（顯然）
可得，
由韋達(dá)定理可得．
因此，
由于點(diǎn)到直線的距離，
所以面積為，
令，則，
由，解得，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在0,4上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到），
所以面積的最小值是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)相切得到方程，從而得到直線的方程，再聯(lián)立拋物線得到得到韋達(dá)定理式，最后利用弦長(zhǎng)公式得到面積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.

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