一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
3．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，則C=（ ）
A．B．C．或D．
4．已知向量，且，則（ ）
A．－1B．0C．1D．2
5．在中，已知，則的面積為（ ）
A．B．C．D．2
6．已知向量，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．且C．D．且
7．為了測量某塔的高度，檢測員在地面A處測得塔頂T處仰角為，從A處向正東方向走了70米到地面B處，測得塔頂T處仰角為，若，則鐵塔OT的高度為（ ）米
A．B．C．D．
8．已知單位向量，且向量的夾角為，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．－1
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．一定是實(shí)數(shù)
C．若，則D．
11．已知平面向量滿足，則下列說法正確的為（ ）
A．B．最小值為
C．最大值為D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知的周長為，且，則 ．
13．已知是方程的一個(gè)根，則 ．
14．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，
(1)若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
16．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的值．
17．已知函數(shù)的最大值為1．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若在上單調(diào)遞增，求的值；
(3)在（2）的條件下，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
18．如圖，在中，，線段與線段交于點(diǎn)F．
(1)求的值；
(2)求的值：
(3)若O為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
19．若三角形內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則稱P為三角形的布洛卡點(diǎn)，為三角形的布洛卡角．已知a，b，c分別為三角形三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，點(diǎn)P為三角形的布洛卡點(diǎn)，為三角形的布洛卡角．
(1)若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；
(2)若三角形的面積為S．
①證明：；
②當(dāng)時(shí)，求面積S的大?。?br>參考答案
1．【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
故選A
2．【答案】A
【詳解】因?yàn)?所以復(fù)數(shù)的虛部為，選A.
3．【答案】C
【詳解】在中，由及正弦定理，提，
所以或.
故選C．
4．【答案】B
【詳解】向量，由，得，解得，
由，得，所以.
故選B
5．【答案】C
【詳解】因?yàn)椋昂停?br>所以,解得：，
又因?yàn)?
所以.
所以.
故選C.
6．【答案】D
【詳解】向量，則，
由與的夾角為銳角，得，且與不共線，
因此，解得且，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.
故選D．
7．【答案】B
【詳解】設(shè)鐵塔OT的高度為，依題意，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
所以鐵塔OT的高度為米.
故選B．
8．【答案】C
【詳解】由單位向量，且向量的夾角為，得，
由，得，
即，依題意，對任意的，恒成立，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
因此，整理得，所以.
故選C．
9．【答案】BC
【詳解】對于A，因?yàn)?，故不是偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；
對于B，由二次函數(shù)性質(zhì)知，圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.
故選BC．
10．【答案】ABD
【詳解】對于A：設(shè)，則，可得，，故A正確；
對于B：令，由，故B正確；
對于C：設(shè)，則，，
滿足，但，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋蔇正確.
故選ABD.
11．【答案】ABD
【詳解】由，得，解得，
對于A，，，
又是非零向量，因此，故A正確；
對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；
對于C，由，得，
則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時(shí)取等號，解，得，故C錯(cuò)誤；
對于D，由，得，
則，，而，
因此，故D正確.
故選ABD．
12．【答案】
【詳解】在中，令內(nèi)角所對邊分別為，
由，得，而，
所以.
13．【答案】0
【詳解】由是方程的一個(gè)根，得是該方程的另一根，
則，，解得，
所以.
14．【答案】1
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．
15．【答案】(1)空集
(2)
【詳解】（1）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，無解，
所以實(shí)數(shù)m的值的集合為空集；
（2）由z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，得，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正弦定理可得，
又，
所以,
又，
所以，即；
（2）由，又,
解得，
因?yàn)?，所以?br>由余弦定理可得，
即.
17．【答案】(1)1；
(2)1；
(3).
【詳解】（1）函數(shù)
，
函數(shù)，解得，
所以的值是.
（2）當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，得，
解得，而，則，
所以的值是1.
（3）由（1）（2）知，，由，得，
當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，
得，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
18．【答案】(1);
(2);
(3).
【詳解】（1）由可得，，
在中，由可知：，
由余弦定理得：，又因?yàn)椋?br>所以由勾股定理可得：，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
有：，由可得：，
所以 ，
則；
（2）由圖可得：；
（3）
由，
設(shè)中點(diǎn)為，
同理可得，
所以，
在如圖坐標(biāo)系中，可設(shè)，，
則
,
此時(shí)，
即點(diǎn)作軸垂線垂足為，點(diǎn)作軸垂線垂足為，
則為的八等分點(diǎn)，為的四等分點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)在內(nèi)部，滿足題意.所以取到最小值.
19．【答案】(1)
(2)①證明見解析；②.
【詳解】（1）如圖設(shè)，因，
則，由題可得，
則，由余弦定理，可得：
，注意到.
則.
則；
（2）①由圖可得，
則要證等式右邊等于，
由余弦定理，，
同理可得：，.
則要證等式右邊等于左邊；
②先證：在三角形中，，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形取等號.
由海倫公式，，其中.
則.
故所證不等式等價(jià)于證明：
，
即證：，
即證：，
注意到，
.
則
.
注意到
，則，
即，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)取等號.
當(dāng)時(shí)，由①，，由以上證明不等式取等條件可得，
此時(shí)三角形為等邊三角形，則.

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