第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知向量滿足：，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．C．1D．3
5．已知圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
6．已知，且，則（ ）
A．B．C．1D．
7．某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．在正三棱臺(tái)中，，，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．正三棱臺(tái)的高為
B．正三棱臺(tái)的體積為
C．與平面所成角的正切值為1
D．正三棱臺(tái)外接球的表面積為
10．已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，的平分線與軸交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的面積為
B．的離心率為
C．點(diǎn)到軸的距離為
D．
11．定義在R上的函數(shù)滿足，，.若，記函數(shù)的最大值與最小值分別為、，則下列說法正確的是（ ）
A．為的一個(gè)周期B．
C．若，則D．在上單調(diào)遞增
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．的展開式中的系數(shù)為 ．
13．已知函數(shù)與函數(shù)在公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)m的值為 ．
14．如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。
15．（13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過拋物線焦點(diǎn)的直線和拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，，求直線方程．
16．（15分）在六面體中，平面，，且底面為菱形.
(1)證明：平面.
(2)若，，.求平面與平面所成二面角的正弦值.
17．（15分）已知數(shù)列an滿足，.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
18．（17分）如圖，在研究某種粒子的實(shí)驗(yàn)裝置中，粒子從腔室出發(fā)，到達(dá)腔室，粒子從室經(jīng)過號(hào)門進(jìn)入室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從室經(jīng)過號(hào)門進(jìn)入室后，粒子的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變的概率為.粒子間的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)有兩個(gè)粒子從室出發(fā).
(1)求兩粒子進(jìn)入室都為上旋狀態(tài)的概率；
(2)若實(shí)驗(yàn)裝置出現(xiàn)故障，兩個(gè)粒子進(jìn)入室后，共裂變?yōu)閭€(gè)粒子，裂變后的每個(gè)粒子再經(jīng)過號(hào)門返回室的概率為，各粒子返回室相互獨(dú)立.
①時(shí)，寫出返回室的粒子個(gè)數(shù)的分布列、期望、方差；
②時(shí)，記有個(gè)粒子返回室的概率為，則為何值時(shí)，取最大值.
19．（17分）設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.
(1)已知在區(qū)間上嚴(yán)格減，且對(duì)任意，有，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；
(2)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；
(3)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，證明：

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