（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．16 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。
15．（本小題滿分13分）
【解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得. ………………………1分
因?yàn)?，所以，所以? ………………………2分
即. ………………………4分
因?yàn)?，所以，? ………………………5分
（2）設(shè)，因?yàn)?，所? ………………………6分
因?yàn)?，所以，，?br>在中，由正弦定理可知， ………………………8分
即，
即， ………………………10分
化簡(jiǎn)可得，即，,
所以. ………………………13分
16．（本小題滿分15分）
【解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
求導(dǎo)得，則，而， ………………………2分
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即. ………………………4分
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得， ………………………5分
當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意； ………7分
當(dāng)時(shí)，由，得或， ………………………8分
①若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意； ………………………10分
②若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意； ………………………12分
③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，
函數(shù)無(wú)極值，不合題意， ………………………14分
所以的取值范圍為. ………………………15分
17．（本小題滿分15分）
【解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，
所以， ………………………1分
因?yàn)?，且四邊形為正方形，故? ………………………2分
所以，而平面，
故平面， ………………………3分
又平面，所以； ………………………4分
（2）設(shè)正方形的中心為，分別取的中點(diǎn)為，
設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，由（1）知四點(diǎn)共面，且平面，
連接，平面，故，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由題意可知四邊形為等腰梯形，故，
平面，故平面， ………………………5分
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則， ………………………6分
又，故，
設(shè)到底面的距離為，
四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，且，
故，又，
故，則，
，
設(shè)， ………………………7分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，， ………………………9分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，， ………………………11分
故， ………………………12分
令，則，
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，
即平面和平面的夾角的余弦值得取值范圍為． ………………………15分
18．（本小題滿分17分）
【解】（1）設(shè)事件表示“該小組比賽勝利”，
則； ………………………4分
（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，
則，，， ………………………7分
所以的分布為：
………………………9分
所以； ………………………11分
（3）若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，
由（2）可知，， ………………………12分
若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，
則， ………………………13分
則
， ………………………15分
因?yàn)?，所以，?br>所以，即， ………………………16分
所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲． ………………………17分
19．（本小題滿分17分）
【解】（1）的左焦點(diǎn)為，
過(guò)的直線與交于，與交于， ………………………2分
故的左焦點(diǎn)為“型點(diǎn)”，且直線可以為； ………………………3分
（2）直線與有交點(diǎn)，則，
若方程組有解，則必須； ………………………5分
直線與有交點(diǎn)，則，
若方程組有解，則必須 ………………………7分
故直線至多與曲線和中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“型點(diǎn)” ………………………8分
（3）以為邊界的正方形區(qū)域記為.
1）若點(diǎn)在的邊界上，則該邊所在直線與相切，與有公共部分，
即邊界上的點(diǎn)都是“型點(diǎn)”； ………………………9分
2）設(shè)是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，即，
假設(shè)是“型點(diǎn)”，
則存在過(guò)點(diǎn)的直線與都有公共點(diǎn). ………………………10分
ⅰ)若直線與有公共點(diǎn)，直線的方程化為，假設(shè)，則，
可知直線在之間，與無(wú)公共點(diǎn)，這與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾，
所以得到：與有公共點(diǎn)的直線的斜率滿足. ………………………12分
ⅱ)假設(shè)與也有公共點(diǎn)，則方程組有實(shí)數(shù)解.
從方程組得，
，由， …………14分
因?yàn)?
所以，， …………………………16分
即直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾，于是可知不是“型點(diǎn)”.
證明完畢 …………………………17分
另解： …………………………9分
令，因?yàn)?，所以|，
即.于是可知的圖像是開口向下的拋物線，且對(duì)稱軸方程為是， …………12分
因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間上為增函數(shù)，在上為減函數(shù). …………………………14分
因?yàn)?，?br>所以對(duì)任意，都有， …………………………16分
即直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾，于是可知不是“型點(diǎn)”.
證明完畢. ……………………………17分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
D
C
D
A
D
9
10
11
BD
ACD
ABC

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