05（廣東專用）-2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第I卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化簡集合，然后利用交集的定義運算即得.
【詳解】因為，,
所以.
故選：B．
2．已知向量，均為單位向量，，若向量與向量的夾角為，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量的夾角和模長公式求解即可.
【詳解】因為向量，均為單位向量，，
所以a=b=1，，因為，所以，
，所以.故選：D.
3．某品牌可降解塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量y與時間t（單位：年）之間的關(guān)系為．其中為初始量，k為降解系數(shù)．已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的．若該品牌塑料袋需要經(jīng)過n年，使其殘留量為初始量的，則n的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．20B．16C．12D．7
【答案】B
【分析】由可得，再代入，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，則，，則經(jīng)過n年時，有，
即，則，所以，則.
故選：B.
4．橢圓：（）的左、右焦點分別為，，過作垂直于軸的直線，交于A，兩點，若，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知直線：，結(jié)合方程可得，進而求離心率.
【詳解】因為，且直線垂直于軸，可知直線：，
將代入橢圓方程可得，解得，所以，又因為，則，即，
可得，則，解得.
故選：A.
5．過直線上一點P作⊙M：的兩條切線，切點分別為A，B，若使得的點P有兩個，則實數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】易得，根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，進而可得出答案.
【詳解】⊙M：的圓心，半徑，
由，得，
由題意可得圓心到直線的距離，
即，解得.
故選：B.
6．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項公式為，設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】利用對數(shù)運算將變形化簡得到，結(jié)合的表達式可得，結(jié)合，即可求出答案.
【詳解】因為，所以，即
故，故，所以，
由斐波那契數(shù)列可知，則，所以的最小值為9，
故選：D.
7．已知其中則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)兩角和與差得正弦余弦公式構(gòu)造并計算出，，再根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系計算出，同理計算出，最后代入即可算出.
【詳解】因為，，得，所以，
所以，，所以，
因為，，得，所以，
，，所以，
所以.
故選：C.
8．已知函數(shù)的零點為的零點為，則下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、進行逐一判斷即可.
【詳解】由，得，，即可得，，
即有，函數(shù)與互為反函數(shù)，
在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，，的圖象，如圖所示，

則，，由反函數(shù)性質(zhì)知，關(guān)于對稱，
則，，，A、D錯誤，
在上為增函數(shù)，，，.
點在直線上，即，，故B正確；
,，
此時，故C錯誤；
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的形式利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解是解題的關(guān)鍵．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．袋子中有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（）
A．事件與是互斥事件B．事件與是對立事件
C．事件與是互斥事件D．事件與相互獨立
【答案】AB
【分析】利用互斥，對立，相互獨立的概念逐一判斷.
【詳解】對于AB：取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，故事件與是互斥事件，也是對立事件，AB正確；
對于C：如果取出的數(shù)為，則事件與事件均發(fā)生，不互斥，C錯誤；
對于D：，
則，即事件與不相互獨立，D錯誤；
故選：AB.
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．的圖像關(guān)于軸對稱
B．是周期為的周期函數(shù)
C．的值域為
D．不等式的解集為
【答案】AC
【分析】對A，結(jié)合偶函數(shù)的定義判斷即可；對B，由即可判斷；對C，先判斷出是其周期，結(jié)合偶函數(shù)，即求的值域即可；對D，解出的解集，結(jié)合偶函數(shù)與周期即可求解.
【詳解】對于A，因為的定義域為，
又，
所以是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，故A正確；
對于B，因為，
，
所以，故B錯誤；
對于C，因為，
所以是周期為的周期函數(shù)，所以在上的值域即的值域.
當(dāng)時，，
又當(dāng)時，，所以，又為偶函數(shù)，
故在上的值域也為，
對于D，因此的值域為，故C正確；
當(dāng)時，，
，即，
所以，則，
又為偶函數(shù)，
所以不等式在上的解集為，
所以不等式的解集為
，故D錯誤.
故選：AC.
11．已知有兩個不同的極值點，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知有2個正數(shù)根，從而可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合判別式求得a的范圍，即可判斷A；求出的表達式，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B；求出的表達式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，即可判斷C；將化簡為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷，即可判斷D.
【詳解】由題意得，
由于有兩個不同的極值點，
即有2個正數(shù)根，則，，
故需滿足，解得，
對于A，，A錯誤；
對于B，，故，
令，，
即在上單調(diào)遞減，故，
即，B正確；
對于C，
，C正確；
對于D，
，
可看作曲線上兩點連線的斜率，
由于，，故不妨設(shè)，
由于，，則曲線在處的切線斜率為1，
由于，故連線的斜率小于1，即，
所以，即，D正確，
故選：BCD
【點睛】難點點睛：解答本題的難點時選項D的判斷，解答時結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷，即可判斷該選項.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知的展開式中含的項的系數(shù)為5，則 _．
【答案】2
【分析】首先原式展開為，然后分別求每一項中含有的系數(shù)，最后求.
【詳解】由題意知原式展開為，
所以的展開式中含的項為，
即，由已知條件知，解得 .
【點睛】本題考查了二項式定理的綜合問題，意在考查二項式定理指定項的求法，屬于基礎(chǔ)題.
13．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓.若用平行于圓錐的底面，且與底面的距離為的平面截圓錐，將此圓錐截成一個小圓錐和一個圓臺，則小圓錐和圓臺的體積之比為 .
【答案】/1:7
【分析】由題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積計算公式，求的圓錐底面半徑、母線，結(jié)合三角形相似即可求出小圓錐和圓臺的體積之比.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，
由題意，，，故，
作圓錐軸截面如下圖：
所以，，，所以圓錐體積為，
因為用與底面的距離為的平面截圓錐，故，且，
所以小圓錐體積，
所以圓臺的體積，
故小圓錐和圓臺的體積之比為.
故答案為：
14．已知，分別是橢圓的左、右焦點，點是直線上一動點，當(dāng)點的縱坐標(biāo)為時，最大，則橢圓的離心率為．
【答案】33/133
【分析】利用數(shù)型結(jié)合畫出圖，分別設(shè)，，從而得，然后結(jié)合基本不等式從而可求解.
【詳解】由題意得如圖，設(shè)直線與軸的交點設(shè)為，則，
設(shè)，m>0，，，
所以，
設(shè)，，得，
則，，
所以，
因為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，由題意知，有最大值，所以，化簡得，
即，解得或（舍）.
又因為，所以.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用數(shù)型結(jié)合分別求出，然后利用基本不等式從而求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若△ABC外接圓的直徑為，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因為，所以，所以，
因為，所以.
（2）由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以
，又，所以，
所以，所以的取值范圍為.
16．已知平行四邊形如圖甲，，，沿將折起，使點到達點位置，且，連接得三棱錐，如圖乙.
(1)證明：平面平面；
(2)在線段上是否存在點，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)存在，且
【分析】（1）推導(dǎo)出，證明出平面，可得出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，
因為，則，，
由余弦定理可得，
所以，，則，同理可證，
翻折后，則有，，
因為，，、平面，
所以，平面，
因為平面，則，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，故平面平面.
（2）解：因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，
、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
設(shè)PM=λPC=λ0,3,?1=0,3λ,?λ，其中，
則AM=AP+PM=0,0,1+0,3λ,?λ=0,3λ,1?λ，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，
所以，，
易知平面的一個法向量為，
則，整理可得，因為，解得，
因此，線段上存在點，使二面角的余弦值為，且.
17．在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣的結(jié)果相互獨立.
(1)若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；
①求甲獲得第四名的概率；
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.
【答案】(1)①0.16；②3.128
(2)答案見解析..
【分析】（1）結(jié)合對立事件概率和獨立事件概率公式求解即可；
（2）結(jié)合對立事件概率和獨立事件概率公式比較計算.
【詳解】（1）①記“甲獲得第四名”為事件，則；
②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量，
則的所有可能取值為2，3，4，
連敗兩局：，
可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；
，
；
故的分布列如下：
故數(shù)學(xué)期望；
（2）“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率，
在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為，
由，且
所以時，，“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；
時，，“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；
時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.
18．已知橢圓的方程為（），離心率為，點在橢圓上.其左右頂點分別為、，左右焦點分別為、.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線過軸上的定點（點不與、重合），且交橢圓于、兩點（，），當(dāng)滿足時，求點的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)離心率，且點在橢圓上，從而可求解.
（2）設(shè)出直線的方程，然后與橢圓方程進行聯(lián)立并結(jié)合韋達定理及題中幾何關(guān)系從而求解.
【詳解】（1）由題知離心率，且，得，
又因為點在橢圓上，所以，解得，，
所以橢圓的方程為.
故橢圓的標(biāo)準方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，Px1,y1，Qx2,y2，
由（1）知，，
聯(lián)立，得，
由韋達定理，得，
由題得，即（*）
因為，所以，
所以
，解得，
故直線的方程為，經(jīng)過軸上的定點.
19．拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f'x，那么在區(qū)間內(nèi)存在點，使得成立．設(shè)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．易知，在實數(shù)集上有唯一零點，且．
(1)證明：當(dāng)時，；
(2)從圖形上看，函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)．直接求解的零點是困難的，運用牛頓法，我們可以得到零點的近似解：先用二分法，可在中選定一個作為的初始近似值，使得，然后在點x0,fx0處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點x1,fx1處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列．
①當(dāng)時，證明：；
②根據(jù)①的結(jié)論，運用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．
【答案】(1)證明見解析；
(2)①證明見解析；②證明見解析.
【分析】（1）因為在R上單調(diào)遞增，所以任意，有，另一方面，注意到，即，根據(jù)拉格明日中值定理，即可證明結(jié)論.
（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行證明即可；②根據(jù)①，及前面的結(jié)論，，，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合拉格朗日中值定理證明結(jié)論.
【詳解】（1）由在R上單調(diào)遞增，得任意，有，
又由，得，根據(jù)拉格明日中值定理，
存在，，
因為，所以，，
所以
（2）①先證，
在處，曲線的切線方程為，
令，得，即，
由于，在R上單調(diào)遞增，則，
而，則有，所以，即；
再證：，
由于在R上單調(diào)遞增，只需證，
曲線的切線方程為，即，
根據(jù)的定義，，
令，，
，，
于是在上單調(diào)遞減，而，
因此，又，即，所以，
綜上.
②由在R上單調(diào)遞增，，得，
則，由①，及前面的結(jié)論，，，
令，則，記，則當(dāng)時，
，
根據(jù)拉格朗日中值定理，
，，，
即，于是，累乘得，所以
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.
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