TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc185112254"
\l "_Tc185112255" ?題型01 一元二次方程的定義
\l "_Tc185112256" ?題型02 已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值
\l "_Tc185112257" ?題型03 選用合適的方法解一元二次方程
\l "_Tc185112258" ?題型04 以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc185112259" ?題型05 配方法的應用
\l "_Tc185112260" ?題型06 以開放性試題的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc185112261" ?題型07 不解方程，判斷一元二次方程根的情況
\l "_Tc185112262" ?題型08 根據根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍
\l "_Tc185112263" ?題型09 利用根的判別式求代數式的值
\l "_Tc185112264" ?題型10 以開放性試題的形式考查根的判別式
\l "_Tc185112265" ?題型11 不解方程，求方程中參數的值
\l "_Tc185112266" ?題型12 不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值
\l "_Tc185112267" ?題型13 已知一元二次方程的解滿足的情況求參數值
\l "_Tc185112268" ?題型14 一元二次方程的實際應用-傳播/循環(huán)問題
\l "_Tc185112269" ?題型15 一元二次方程的實際應用-變化率問題
\l "_Tc185112270" ?題型16 一元二次方程的實際應用-幾何問題
\l "_Tc185112271" ?題型17 一元二次方程的實際應用-營銷問題
\l "_Tc185112272" ?題型18 一元二次方程的實際應用-動態(tài)幾何問題
\l "_Tc185112273" ?題型19 以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用
\l "_Tc185112274" ?題型20 以數學文化為背景考查一元二次方程的實際應用
\l "_Tc185112275"
\l "_Tc185112276"
?題型01 一元二次方程的定義
1．（2024·湖南郴州·模擬預測）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x2-x+1=0B．2x2-y=0
C．3x+1=0D．x+1x=2
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．
根據一元二次方程的定義：只含有一個未知數，且未知數的次數是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A、2x2-x+1=0符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，故此選項符合題意；
B、2x2-y=0含有兩個未知數，是二元二次方程，故此選項不符合題意；
C、3x+1=0是一元一次方程，故此選項不符合題意；
D、x+1x=2不是整式方程，故此選項不符合題意；
故選：A．
2．（2024·廣西桂林·二模）一元二次方程x2-4x+2=0的一次項系數是 ．
【答案】-4
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項的含義”是解題的關鍵．根據一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的二次項系數、一次項系數、常數項分別為a，b，c，據此即可解答．
【詳解】解：一元二次方程x2-4x+2=0的一次項系數為-4．
故答案為：-4．
3．（2024·福建福州·模擬預測）已知關于x的一元二次方程x2-ax-2a+1=0，若一次項系數與常數項相等，則a的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．據此解答即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2-ax-2a+1=0，一次項系數與常數項相等，
∴-a=-2a+1，
解得：a=1，
故答案為：1．
4．（2024·廣東肇慶·一模）二次項系數為2，且兩根分別為x1=1，x2=12的一元二次方程為 ．（寫成ax2+bx+c=0的形式）
【答案】2x2-3x+1=0
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的一般形式，根據題意得出x1+x2=32,x1x2=12，進而根據二次項系數為2，求得b,c的值，即可求解．
【詳解】解：∵二次項系數為2，兩根分別為x1=1，x2=12
∴a=2，x1+x2=32=-b2,x1x2=12=c2，
∴b=-3，c=1
∴這個方程為：2x2-3x+1=0，
故答案為：2x2-3x+1=0．
?題型02 已知一元二次方程的解求未知數/代數式的值
5．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x2+2x-2=0的一個根，則代數式2a2+4a+2019的值為（ ）
A．2021B．2022C．2023D．-2023
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數式求值．熟練掌握一元二次方程的解，代數式求值是解題的關鍵．
由題意得，a2+2a-2=0，即a2+2a=2，根據2a2+4a+2019=2a2+2a+2019，代值求解即可．
【詳解】解：∵x=a是方程x2+2x-2=0的一個根，
∴a2+2a-2=0，即a2+2a=2，
∴2a2+4a+2019=2a2+2a+2019=2×2+2019=2023，
故選：C．
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知方程x2-2024x+1=0的兩根分別為x1，x2，則x12-2024x2的值為（ ）
A．1B．-1C．2024D．-2024
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程解的定義及根與系數的關系．
根據一元二次方程解的定義及根與系數的關系可得x12=2024x1-1，x1?x2=1，再代入通分計算即可求解．
【詳解】解：∵方程x2-2024x+1=0的兩根分別為x1，x2，
∴x12-2024x1+1=0，x1?x2=1，
∴x12=2024x1-1，
∴x12-2024x2= 2024x1-1-2024x2= 2024x1?x2-x2x2-2024x2= 2024×1-x2-2024x2= -x2x2=-1．
故選B．
7．（2024·江西·模擬預測）設m，n是方程x2+x-2024=0的兩個實數根，則m2+2m+n+mn的值為 ．
【答案】-1
【分析】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數的關系，根據一元二次方程的解的定義可得出m2=2024-m，根據一元二次方程根與系數的關系可得出m+n=-1，mn=-2024，然后整體代入計算即可．
【詳解】解∶∵m，n是方程x2+x-2024=0的兩個實數根，
∴m2+m-2024=0，m+n=-1，mn=-2024，
∴m2=2024-m，
∴m2+2m+n+mn
=2024-m+2m+n+mn
=2024+m+n+mn
=2024+-1+-2024
=-1，
故答案為：-1．
8．（2024·湖南郴州·模擬預測）已知關于x的一元二次方程3x2-5x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值．
【答案】方程的另一個根是23，m的值是2
【分析】本題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
把x=1代入方程3x2-5x+m=0，求得m=2．再用因式分解法求解方程即可．
【詳解】解：把x=1代入方程3x2-5x+m=0，得：m=2．
把m=2代入方程3x2-5x+m=0，得：3x2-5x+2=0．
解方程得：x1=1，x2=23．
∴方程的另一個根是23，m的值是2．
?題型03 選用合適的方法解一元二次方程
9．（2024·甘肅·模擬預測）解方程：5x2-2x-3=0．
【答案】x1=1，x2=-35
【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：5x2-2x-3=0，
x-15x+3=0
∴x-1=0或5x+3=0
解得x1=1，x2=-35．
10．（2024·湖南郴州·模擬預測）解方程：
(1)x-22=4
(2)2x2+x-3=0
【答案】(1)x1=5，x2=1
(2)x1=1，x2=-32
【分析】本題考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．
（1）用直接開平方法求解即可；
（2）先計算判別式，用公式法求解可得．
【詳解】（1）解：x-32=4，
x-3=±2，
∴x-3=2或x-3=-2，
∴x1=5，x2=1；
（2）解：2x2+x-3=0，
∴a=2，b=1，c=-3，
∴Δ=b2-4ac=12-4×2×-3=25>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=-1±252×2=-1±54，
∴x1=1，x2=-32．
11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）解方程：yy-3+2y-6=0．
【答案】y1=3，y2=-2
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．
先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：yy-3+2y-6=0，
yy-3+2y-3=0，
y-3y+2=0，
有y-3=0或y+2=0，
解得y1=3，y2=-2．
12．（2024·寧夏銀川·一模）下面是某老師講解一元二次方程的解法時在黑板上的板書過程：請認真閱讀并完成任務．
(1)任務一：
①楊老師解方程的方法是 ；
A．直接開平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步變形的依據是 ；
(2)任務二：
解方程：x2+2x-3=0；
【答案】(1)①B；②等式的性質
(2)x1=1，x2=-3
【分析】本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的求解過程是解答的關鍵．
（1）①根據解方程過程可得結論；
②根據等式的性質求解即可；
（2）仿照例題中的配方法求解過程求解即可．
【詳解】（1）解：①楊老師解方程的方法是配方法，
故選：B；
②第二步變形的依據是等式的性質，
故答案為：等式的性質；
（2）解：x2+2x=3
x2+2x+1=3+1
x+12=4
x+1=±2
解得x1=1，x2=-3．
?題型04 以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程
13．（2024·河北石家莊·模擬預測）下面是小華同學解方程2x-3-3xx-3=0的過程：
(1)小華同學的解題過程從第________步開始出現錯誤，錯誤的原因是________；
(2)請你寫出正確的解題過程．
【答案】(1)二；忽略x-3=0的情況
(2)x=3或x=23
【分析】本題考查了用因式分解法解一元二次方程：
（1）首先判定小明的解法從第二步開始出現錯誤；
（2）利用因式分解的方法與步驟求得方程的解即可．
【詳解】（1）解：小明的解法從第二步開始出現錯誤；錯誤原因是忽略x-3=0的情況；故答案為：二，忽略x-3=0的情況；
（2）解：2x-3-3xx-3=0
x-32-3x=0
x-3=0或2-3x=0
x=3或x=23．
14．（2024·江西景德鎮(zhèn)·二模）小明在學習了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2-8x+3=0的過程如下：
(1)小明的解題過程從第__________步開始出現了錯誤；
(2)請利用配方法正確地解方程2x2-8x+3=0．
【答案】(1)二
(2)x1=2+102，x1=2-102
【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程．
（1）根據等式的性質判斷②錯誤；
（2）移項，二次項系數化成1，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）解：上述過程中，從第二步開始出現了錯誤，
故答案為：二；
（2）解：2x2-8x+3=0，
移項，得2x2-8x=-3，
x2-4x=-32，
配方，得x2-4x+4=-32+4，即x-22=52，
∴x-2=±102，
∴x1=2+102，x1=2-102．
15．（2024·寧夏銀川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的過程，請仔細閱讀，并完成相應的問題．
解一元二次方程：6x2-2x=1-3x
解：原方程可以化為：2x3x-1=-3x-1第一步
兩邊同時除以3x-1得：2x=-1第二步
系數化為1，得：x=-12第三步
任務：
(1)小明的解法是不正確的，他從第_________步開始出現了錯誤；
(2)請你繼續(xù)用因式分解法完成這個方程的正確解題過程．
【答案】(1)二
(2)x=13或x=-12，過程見解析
【分析】本題考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．
（1）第二步不符合等式的性質；
（2）先移項得到2x3x-1+3x-1=0，再利用因式分解法把方程轉化為3x-1=0或2x+1=0，然后解兩個一次方程．
【詳解】（1）解：他從第二步開始出現了錯誤，
故答案為：二；
（2）解：6x2-2x=1-3x
2x3x-1=-3x-1
2x3x-1+3x-1=0
2x+13x-1=0
3x-1=0或2x+1=0，
解得：x=13或x=-12．
16．（2024·山西臨汾·一模）（1）計算：-132+-5--2+6×140；
（2）下面是小剛同學和小穎同學解一元二次方程5x3x-2=22-3x的過程，請仔細閱讀并完成相應的任務．
任務一：
①小剛同學的解答過程中，從第_________步開始出現錯誤．錯誤的原因是__________；
②小穎同學的解答過程中，從第_________步開始出現錯誤．錯誤的原因是_________．
任務二：該一元二次方程的解為__________．
【答案】（1）109；（2）任務一：①二，方程兩邊同時除以可能為0的代數式3x-2；②三，提公因式3x-2時，后邊的2-3x未變號
任務二：x=-25或x=23
【分析】
本題考查了解一元二次方程，實數的運算．
（1）根據乘方，絕對值，零次冪的性質計算即可求解；
（2）根據因式分解法解一元二次方程的步驟求解即可．
【詳解】解：（1）-132+-5--2+6×140
=19+5-4×1
=19+5-4
=109；
（2）任務一：①小剛同學的解答過程中，從第二步開始出現錯誤．錯誤的原因是方程兩邊同時除以可能為0的代數式3x-2；
故答案為：二，方程兩邊同時除以可能為0的代數式3x-2；
②小穎同學的解答過程中，從第三步開始出現錯誤．錯誤的原因是后邊的2-3x沒有變號．
故答案為：三，提公因式3x-2時，后邊的2-3x未變號．
任務二：5x3x-2=22-3x，
5x3x-2-22-3x=0，
5x+23x-2=0，
5x+2=0或3x-2=0，
解得x=-25或x=23．
?題型05 配方法的應用
17．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）若x=3ay=-b是方程2x+y=5的一個解，則代數式a2+b+50的最小值為 ．
【答案】36
【分析】該題主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．
將x=3ay=-b代入2x+y=5求出b=6a-5，再代入a2+b+50化簡即可得a+32+36≥36即可求解；
【詳解】解：∵x=3ay=-b是方程2x+y=5的一個解，
∴6a-b=5，
∴b=6a-5，
∴a2+b+50
=a2+6a-5+50
=a+32+36≥36，
∴代數式a2+b+50的最小值為36．
故答案為：36．
18．（2024·河北邢臺·模擬預測）已知，圖1中陰影面積為S1，圖2中陰影面積為S2．
(1)用含x的代數式表示S1，S2；當x=1時，求S1+S2的值；
(2)比較S1與S2的大小，并說明理由．
【答案】(1)S1=x2-14x+48，S2=4-2x，S1+S2=37
(2)S1>S2，理由見解析
【分析】本題考查列代數式，整式的加減運算，完全平方公式：
（1）直接利用梯形和長方形的面積公式進行計算，列出代數式即可，將x=1，代入所列代數式，進行計算即可；
（2）判斷兩個代數式相減后與0的大小關系，即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵ S1=12(8-2x+8)?(6-x)=x2-14x+48；
S2=2(2-x)=4-2x，
S1+S2=x2-14x+48+4-2x=x2-16x+52，
當x=1時，S1+S2=1-16+52=37；
（2）S1>S2，
理由如下：∵S1=x2-14x+48，S2=4-2x，
∴S1-S2=x2-14x+48-(4-2x)=x2-12x+44=(x-6)2+8，
∵(x-6)2≥0，
∴(x-6)2+8>0，
∴S1>S2．
19．（2024·廣東東莞·一模）綜合與探究
【閱讀理解】
我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，解決問題的策略一般都是進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通過作差、變形，利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數式A、B的大小，只要算A-B的值，若A-B>0，則A>B；若A-B=0，則A=B；若A-B，5x2+4x-3，理由見解析；（3）S10，
∴3-2>4-22，
故答案為：>；
②∵x-1-x+3=x-1-x-3=-45x2+4x-3；
（3）S1x1)，
∴x1+x2=2m，x1x2=m2-4，
∵x1=2x2+3，
∴(2x2+3)x2=m2-4，2x2+3+x2=2m，
∴x2=2m-33，
∴(2×2m-33+3)×2m-33=m2-4，
解得：m1=3，m2=-9，
當m1=3時，x2=2×3-33=1，x1=2×1+3=5>x2，故m1=3不符合題意舍去，
當m2=-9時，x2=2×(-9)-33=-7，x1=2×(-7)+3=-110，x2

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