TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc184387154"
\l "_Tc184387155" ?題型01 等式的性質
\l "_Tc184387156" ?題型02 一元一次方程的相關概念
\l "_Tc184387157" ?題型03 二元一次方程的相關概念
\l "_Tc184387158" ?題型04 二元一次方程組的相關概念
\l "_Tc184387159" ?題型05 已知二元一次方程組的解求參數(shù)
\l "_Tc184387160" ?題型06 解一次方程（組）
\l "_Tc184387161" ?題型07 一元一次方程解的綜合應用
\l "_Tc184387162" ?題型08 與一次方程（組）有關的污染問題
\l "_Tc184387163" ?題型09 與一元一次方程有關的新定義問題
\l "_Tc184387164" ?題型10 解二元一次方程組--特殊解法
\l "_Tc184387165" ?題型11 解二元一次方程組--錯解復原問題
\l "_Tc184387166" ?題型12 解二元一次方程組--同解方程組
\l "_Tc184387167" ?題型13 解二元一次方程組—拓展
\l "_Tc184387168" ?題型14 中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程組
\l "_Tc184387169" ?題型15 列方程（組）
\l "_Tc184387170" ?題型16 一元一次方程的應用
\l "_Tc184387171" ?題型17 二元一次方程組的應用
\l "_Tc184387172" ?題型18 中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用
\l "_Tc184387173" ?題型19 洛書
\l "_Tc184387174"
\l "_Tc184387175"
?題型01 等式的性質
1．（2024·吉林長春·一模）已知a=b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a+2=b+2B．ac=bc
C．a-1>b-2D．a2>b3
【答案】D
【分析】本題考查了等式和不等式性質，根據(jù)等式性質逐項判斷即可．
【詳解】解：A、a=b，a+2=b+2成立，不符合題意；
B、a=b，ac=bc成立，不符合題意；
C、a=b，a-1>b-2成立，不符合題意；
D、當a=b=0時，a2=b3=0，故式子不一定成立，符合題意，
故選：D．
2．（2024·河北邯鄲·三模）天平兩邊托盤中相同形狀的物體質量相同，且兩架天平均保持平衡，如圖，則關于“□”“?”“△”質量的大小關系，下列說法正確的是 （ ）
A．△最重B．?最重C．□最重D．無法比較
【答案】C
【分析】本題主要考查了三元一次方程組的應用，根據(jù)兩個托盤的質量相等列出方程組是解題的關鍵．設“□”“?”“△”質量的大小分別為x，y，z，通過理解題意，可知本題的等量關系為x=2y3y=2z．即x=2yz=32y，根據(jù)等量關系求解即可．
【詳解】解：設“□”“?”“△”質量的大小分別為x，y，z，
根據(jù)題意可得，
x=2y3y=2z
解得x=2yz=32y，
∴x>z>y
即“□”最重，
故選：C．
3．（2024·安徽亳州·三模）設a,b,c為互不相等的實數(shù)，且a=37b+17c，則下列結論正確的是（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a-b=6b-cD．a-c=3b-2a
【答案】D
【分析】本題主要考查了等式的性質，根據(jù)等式的性質得到7a=3b+c，則a-c=3b-6a，據(jù)此可判斷D；例如當a=2，b=3，c=5時，滿足7a=3b+c，據(jù)此可判斷A、C；例如當a=-1，b=2，c=-13，滿足7a=3b+c，據(jù)此可判斷B．
【詳解】解：∵a=37b+17c，
∴7a=3b+c，
∴a-c=3b-6a，即a-c=3b-2a，故D結論正確，符合題意；
例如當a=2，b=3，c=5時，滿足7a=3b+c，故A結論錯誤，不符合題意；
∴此時a-b=-1，6b-c=-12，故C結論錯誤，不符合題意；
例如當a=-1，b=2，c=-13，滿足7a=3b+c，故B結論錯誤，不符合題意；
故選：D．
4．（2023·內蒙古包頭·二模）設x、y、c是實數(shù)，正確的是（ ）
A．若x=y，則x+c=c-yB．若x=y，則c-x=c-y
C．若x=y，則xc=ycD．若x2c=y3c，則2x=3y
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質，即可一一判定．
【詳解】解：A.若x=y，則x+c=y+c，故該選項錯誤，不符合題意；
B.若x=y，則c-x=c-y，故該選項正確，符合題意；
C.若x=y且c≠0，則xc=yc，故該選項錯誤，不符合題意；
D. 若x2c=y3c，則3x=2y，故該選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握和運用等式的性質是解決本題的關鍵．
?題型02 一元一次方程的相關概念
1．（2020·浙江·模擬預測）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可
【詳解】解：①不含未知數(shù)，故錯
②未知數(shù)的最高次數(shù)為2，故錯
③含一個未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對
④左邊不是整式，故錯
⑤不是等式，故錯
⑥含一個未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對
故選：B
【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握并理解一元一次方程的定義是解本題的關鍵
2．（2020·吉林長春·三模）關于x的一元一次方程2xa-2-2+m=4的解為x=1，則a+m的值為（ ）
A．9B．8C．7D．5
【答案】C
【分析】先根據(jù)一元一次方程的定義可得出a的值，再根據(jù)一元一次方程的解定義可求出m的值，然后代入求值即可．
【詳解】∵方程2xa-2-2+m=4是關于x的一元一次方程，
∴a-2=1，
解得a=3，
∴方程為2x-2+m=4，
又∵x=1是方程2x-2+m=4的解，
∴2×1-2+m=4，
解得m=4，
則a+m=3+4=7，
故選：C．
【點睛】本題考查了一元一次方程的定義、以及解定義，掌握理解一元一次方程的定義是解題關鍵．
3．（2024·廣東佛山·三模）小明做作業(yè)時發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3x+12=2x+■電話詢問老師后知道：方程的解x=1且被墨水遮蓋的是一個常數(shù)．則該常數(shù)是（ ）
A．32B．-32C．12D．-12
【答案】A
【分析】此題考查了一元一次方程的解．設被污染的常數(shù)■是a，把x=1代入計算即可求出a的值．
【詳解】解：設被污染的常數(shù)■是a，
把x=1代入3x+12=2x+a，得：3+12=2+a，
解得a=32，
故選A．
4．（2024·四川雅安·三模）已知x=2是關于x的一元一次方程m-1x+m2=1的解，則2042-2m4-4m3-12m的值是 ．
【答案】2024
【分析】本題考查了方程的解和求代數(shù)式的值，先將x=2代入一元一次方程，得出m2+2m=3，再將原式整理成2042-2m2m2+2m-12m，代入m2+2m=3得出2042-6m2-12m，最后整體代入求值即可．
【詳解】解：∵x=2是關于x的一元一次方程m-1x+m2=1的解，
∴2m-1+m2=1，
整理得m2+2m=3，
∴2042-2m4-4m3-12m
=2042-2m2m2+2m-12m
=2042-6m2-12m
=2042-6m2+2m
=2042-6×3
=2024．
故答案為：2024．
?題型03 二元一次方程的相關概念
1．（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．xy=1B．x2-1=0C．x-y=1D．x+1y=1
【答案】C
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得答案．
【詳解】解：A．含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；
B．含有1個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；
C．含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1的整式方程，屬于二元一次方程，符合題意；
D．是分式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意．
故選：C．
【點睛】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．
2．（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a-b-3ya+b=2是關于x、y的二元一次方程，則ab的值為（ ）
A．29B．2C．32D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出關于a、b的二元一次方程組，解出a、b的值即可求出ab的值．
【詳解】解：∵方程x2a-b-3ya+b=2是關于x、y的二元一次方程
∴2a-b=1a+b=1
解得：a=23b=13
∴ab=23×13=29
故選：A．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組是解答本題的關鍵．
3．（2023·山東棗莊·模擬預測）若二元一次方程組x+y=33x-5y=1的解為x=ay=b，則a-b的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查二元一次方程組的解，解題的關鍵是觀察兩方程的系數(shù)，從而求出a-b的值．
把x、y的值代入方程組，再將兩式相加即可求出a-b的值．
【詳解】將x=ay=b代入方程組x+y=33x-5y=1，得：a+b=3①3a-5b=1②，
①+②，得：4a-4b=4，
則a-b=1，
故答案為1．
4．（2024·河南駐馬店·模擬預測）已知方程2x+y=0，請寫出該方程的一組解： ．
【答案】x=0y=0 （答案不唯一）
【分析】本題考查了二元一次方程的解，令x=0，求出y值即可．
【詳解】解：當x=0時，y=0，
故答案為：x=0y=0 （答案不唯一）．
?題型04 二元一次方程組的相關概念
1．（2020·浙江杭州·模擬預測）與方程5x+2y=-9構成的方程組，其解為x=-3y=3的是（ ）
A．x+2y=1B．3x+2y=-8C．3x-4y=-8D．5x+4y=-3
【答案】D
【分析】將解x=-3y=3代入選項中驗證即可求解．
【詳解】解：A．x=-3y=3不是方程x+2y=1的解，該項不符合題意；
B．x=-3y=3不是方程3x+2y=-8的解，該項不符合題意；
C．x=-3y=3不是方程3x-4y=-8的解，該項不符合題意；
D．x=-3y=3是方程5x+4y=-3的解，該項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解的定義是解題的關鍵．
2．（2022·貴州黔東南·模擬預測）在下列數(shù)對中：①x=2y=-2；②x=1y=0；③x=1y=-1；④x=5y=2，其中是方程x+y=0的解的是 ；是方程x-4y=5的解的是 ；既是方程x+y=0的解，又是方程x-4y=5的解的是 .(填序號)
【答案】 ①③ ③ ③
【分析】把四組值分別代入方程x+y=0和x-4y=5，然后根據(jù)二元一次方程的解的定義進行判斷．
【詳解】解：∵2+(-2)=0；1+1≠0；1+(-1)=0；5+2≠0，
∴①③是方程x+y=0的解；
∵當x=2，y=-2時，x-4y=2-4×(-2)=10，
∴①不是方程x-4y=5的解；
∵當x=1，y=0時，x-4y=1-4×0=1，
∴②不是方程x-4y=5的解；
∵當x=1，y=-1時，x-4y=1-4×(-1)=5，
∴③是方程x-4y=5的解；
∵當x=5，y=2時，x-4y=5-4×2=-3，
∴④不是方程x-4y=5的解．
故答案為①③；③；③．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．
3．（2020·浙江杭州·模擬預測）已知關于x，y的方程組3x+5y=m+22x+3y=m，給出下列結論：①x=3y=-4是方程組的解；②m=2時，x，y的值互為相反數(shù)；③無論m的x，y都滿足的關系式x+2y=2；④x，y的都為自然數(shù)的解有2對，其中正確的為 ．（填正確的序號）
【答案】②③④
【分析】先解方程組用m表示出x與y，根據(jù)方程組解的情況即可作出判斷．
【詳解】解：解出方程組得x=2m-6y=4-m，
①由x＝3得，2m-6＝3，解得m＝92，
由y＝-4得，4-m＝-4，解得m＝8，
∴x=3y=-4不是方程組的解，
故①不正確；
②若x，y的值互為相反數(shù)，
2m-6+4-m＝0，
解得m＝2，
故②正確；
③∵2m-6+2（4-m）＝2，
∴無論m取何值，x，y都是滿足關系式x+2y＝2，
故③正確；
④∵x，y的都為自然數(shù)，
∴m＝3，4，共2個，
即x=0y=1，x=2y=0．
故④正確；
故答案為：②③④．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．
?題型05 已知二元一次方程組的解求參數(shù)
1．（2024·廣東汕頭·一模）若關于x，y的方程組2x-y=2m-1x-2y=n的解滿足x+y=-4，則4m÷2n的值為（ ）
A．8B．18C．6D．-6
【答案】B
【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵，利用①-②得：x+y=2m-n-1，即可得到2m-n=-3，再將4m÷2n=22m÷2n=22m-n，代入即可得到答案．
【詳解】解：2x-y=2m-1①x-2y=n②
①-②得：x+y=2m-n-1，
∴x+y=-4，
∴2m-n-1=-4，
∴2m-n=-3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m-n=2-3=18，
故選：B．
2．（2023·山東聊城·模擬預測）若關于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c無解，則（ ）
A．5a=4cB．4a=5bC．4a=5cD．5a=4b
【答案】B
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)二元一次方程組無解時，即可得出a與b得關系式，解題的關鍵是掌握二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，當a1a2=b1b2≠c1c2時方程組無解．
【詳解】∵關于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c無解，
∴5a=4b，
∴4a=5b，
故選：B．
3．（2024·湖北荊州·一模）已知x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8bx-ay=1的解，則3a-12b的立方根為 ．
【答案】2
【分析】本題考的是二元一次方程的解，以及立方根，解題的關鍵是求出a、b的值．先把x=2y=1代入方程組，求出a、b的值，即可得到答案.
【詳解】解：∵ x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8bx-ay=1的解，
∴ 2a+b=82b-a=1，
解得：a=3b=2，
∴ 3a-12b=3×3-12×2=8，
∴ 3a-12b的立方根為38=2，
故答案為：2．
4．（2024·甘肅·一模）已知關于x，y的二元一次方程組2x+3y=kx+2y=-1的解滿足x>y，則k的取值范圍為 ．
【答案】k>-53/k>-123
【分析】本題主要考查解二元一次方程組以及不等式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據(jù)遠算法則進行計算即可．
【詳解】解：∵ 2x+3y=kx+2y=-1，
∴x=2k+3y=-k-2，
∵x>y，
∴2k+3>-k-2，
解得k>-53，
故答案為：k>-53．
5．（2023·山東濟寧·一模）已知關于x，y的方程組x+y-b=03x+y-2=0的解是x=-1y=m，則直線y=-x+b與直線y=-3x+2的交點坐標是 .
【答案】(-1,5)
【分析】
將解代入方程3x+y-2=0，求得m，即得答案．
【詳解】由題意知，3×(-1)+m-2=0，
解得m=5，
交點坐標為(-1,5)；
故答案為：(-1,5)．
【點睛】本題考查方程組解的定義，一次函數(shù)圖象與二元一次方程組的聯(lián)系，理解一次函數(shù)圖象交點與二元一次方程組解的聯(lián)系是解題的關鍵．
?題型06 解一次方程（組）
1．（2024·四川攀枝花·模擬預測）解下列方程：
(1)2x-13-5x+26=1-2x2-2．
(2)x2-y+13=13x+2y=10．
【答案】(1)x=-1
(2)x=3y=12
【分析】本題考查的是解一元一次方程以及二元一次飯方程，掌握方程的相關解法是解題關鍵．
（1）依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，即可解方程；
（2）利用加減消元法，即可解方程．
【詳解】（1）解：2x-13-5x+26=1-2x2-2
去分母得：2(2x-1)-(5x+2)=3(1-2x)-12，
去括號得：4x-2-5x-2=3-6x-12，
移項得：4x-5x+6x=3-12+2+2，
合并同類項得：5x=-5，
系數(shù)化為1得：x=-1；
（2）解：x2-y+13=1①3x+2y=10②
由①得：3x-2y=8③，
②+③得，6x=18，
解得x=3，
②-③得，4y=2，
解得y=12，
∴方程組的解是x=3y=12．
2．（2024·廣東·模擬預測）解方程組：
(1)2x+y=-54x-5y=11
(2)x-22-5-y3=1x0.2-y+10.3=5
【答案】(1)x=-1y=-3
(2)x=92y=174
【分析】本題考查了解二元一次方程組．
（1）利用加減消元法進行計算即可；
（2）先將方程組整理成一般式，再利用加減消元法求解可得．
【詳解】（1）解：2x+y=-5①4x-5y=11②，
①×5+②，14x=-14，
解得x=-1，
把x=-1代入①，-2+y=-5，
解得y=-3，
∴原方程組的解是x=-1y=-3；
（2）解：x-22-5-y3=1x0.2-y+10.3=5，
化簡方程組可得，3x+2y=22①3x-2y=5②，
①+②得，6x=27，
解得x=92，
將x=92代入②，得y=174，
∴方程組的解為x=92y=174．
?題型07 一元一次方程解的綜合應用
1．（2023·河北石家莊·一模）已知P=A?B-C，
(1)若A=-20，B=-13-1，C=-52，求P的值．
上面的計算過程有錯誤嗎？如果有，請你指出是第幾步錯誤，并求出正確的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，當x為何值時，P的值為7
【答案】(1)第一步，-8
(2)x=2
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，開平方，按照計算法則計算即可解答；
（2）列方程，解出即可解答．
【詳解】（1）解：第一步，
P=-20×-13-1--52
=1×-3-5
=-3-5
=-8；
（2）解：當A=3，B=2x，C=2x+1時，
P=3?2x-2x+1=7，
解得：x=2．
【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，開平方，解一元一次方程，熟知計算法則是解題的關鍵．
2．（2023·浙江金華·一模）如圖是一道關于整式運算的例題及正確的解答過程，其中A，B是兩個關于x的二項式．
(1)二項式A為_______，二項式B為_______．
(2)當x為何值時，A與B的值相等？
【答案】(1)2x-3，3x+5
(2)x=-8
【分析】本題考查了整式的加減，解一元一次方程，掌握整式的加減運算法則是解題的關鍵．
（1）根據(jù)題意添括號，即可求解；
（2）根據(jù)題意，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵2A-3B
=4x-6-9x-15
=22x-3-33x+5
∴A=2x-3,B=3x+5；
（2）解：依題意，2x-3=3x+5，
解得：x=-8．
3．（2024·河北保定·三模）把式子-4x+3記作P，式子x-6記作Q，
(1)當x=-3時，P=______，Q=______；
(2)若P，Q的值互為相反數(shù)，求x．
【答案】(1)15；-9
(2)x=-1
【分析】本題考查了解一元一次方程，相反數(shù)的定義及代數(shù)式求值．
（1）將x=-3分別代入-4x+3和x-6計算即可；
（2）根據(jù)題意，列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當x=-3時，
P=-4×-3+3=15，Q=-3-6=-9；
（2）解：根據(jù)題意，則-4x+3+x-6=0，
即-4x+x=6-3
解得：x=-1．
4．（2022·河北廊坊·二模）如圖，在數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為－2，1，P為A點左側上的一點，它表示的數(shù)為x．
(1)用含x的代數(shù)式表示PB+PA2的值．
(2)若以PO，PA，AB的長為邊長能構成等腰三角形，請求出符合條件的x的值．
【答案】(1)-1-2x2
(2)x=-3或x=-5
【分析】（1）將PA、PB表示出來，代入PA+PB2 即可；
（2）將PO，PA，AB的長分別用x表示出來，根據(jù)等腰三角形的性質列出關于x的方程，即可求得。
【詳解】（1）解：∵PB=1-x，PA=-2-x，
∴PA+PB2=1-x-2-x2=-1-2x2；
（2）解：PA=-2-x，PO=-x，AB=3,
若以PO，PA，AB的長為邊長能構成等腰三角形，則
當PO=PA時，即-x=-2-x，方程無解，故不符合題意；
當PO=AB時，即-x=3，解得x=-3，則三邊分別為3，3，1，滿足條件；
當AB=PA時，即3=-2-x，解得x=-5，則三邊分別為3，3，5，滿足條件；
滿足條件的值為：x=-3或x=-5．
【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，數(shù)軸上兩點間距離、等腰三角形的性質，解一元一次方程，根據(jù)條件列出代數(shù)式是解題的關鍵．
?題型08 與一次方程（組）有關的污染問題
1．（2022·河北保定·一模）對于題目：“若方程組x-y=p2x+y=0的解為x=1y=a，且整式A=a-3+a2+□a-1，求：整式A的值．”
小明化簡求值時，將系數(shù)□看錯了，他求的A的值為0；
小宇求的結果，與題的正確答案一樣，A的值為6．
(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是多少？
(2)化簡整式A．
【答案】(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是-1
(2)A=a2-3a-4
【分析】（1）先求出a=-2p=3，設小明將系數(shù)□看成了m，則A=a2+m+1a-4，根據(jù)小明求的A的值，得到關于m的方程，解方程即可得到m=-1；
（2）設正確的□為n，則A=a2+n+1a-4，根據(jù)小宇求的A的值為6得到-22+n+1?-2-4=6，解得：n=-4，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵方程組x-y=p2x+y=0的解為x=1y=a
∴1-a=p2+a=0，解得a=-2p=3．
設小明將系數(shù)□看成了m，則A=a-3+a2+ma-1=a2+m+1a-4，
∵小明求的A的值為0，
∴-22+m+1?-2-4=0，
解得：m=-1，即小明將系數(shù)□看成的數(shù)是-1；
（2）設正確的□為n，
則A=a-3+a2+na-1=a2+n+1a-4，
∵小宇求的A的值為6
∴-22+n+1?-2-4=6，解得：n=-4，
∴A=a2+-4+1a-4=a2-3a-4．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的解、一元一次方程的應用、整式的加減等知識，熟練掌握一元一次方程的的解法和整式的加減法則是解題的關鍵
2．（2022·浙江杭州·中考真題）計算：-6×23-■-23．圓圓在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是12，請計算-6×23-12-23．
(2)如果計算結果等于6，求被污染的數(shù)字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運算法則計算即可；
（2）設被污染的數(shù)字為x，由題意，得-6×23-x-23=6，解方程即可；
【詳解】（1）解：-6×23-12-23=-6×16-8 =-1-8=-9；
（2）設被污染的數(shù)字為x，
由題意，得-6×23-x-23=6，解得x=3，
所以被污染的數(shù)字是3．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算、一元一次方程的應用，掌握相關運算法則和步驟是接替的關鍵．
3（2022·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關于x的一元一次方程3x-12+＝3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)被污染了；
(1)嘉淇猜是2，請解一元一次方程3x-12+2=3；
(2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
【分析】（1）由題意得方程3x-12+2=3，按解一元一次方程的一般步驟求解即可；
（2）設被污染的正整數(shù)為m，得方程3x-12+m=3，求解得x=7-2m3，再根據(jù)解是正整數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：3x-12+2=3，
去分母，得3x-1+4=6；
移項，合并同類項，得3x=3；
系數(shù)化為1，得x=1．
（2）解：設被污染的正整數(shù)為m，
則有3x-12+m=3，
解之得，x=7-2m3，
∵7-2m3是正整數(shù)，且m為正整數(shù)，
∴m=2．
【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關鍵．
4（2022·河北保定·一模）已知整式a2-2ab-■ab-4b2，其中“■”處的系數(shù)被墨水污染了．當a=-2，b=1時，該整式的值為16．
(1)則■所表示的數(shù)字是多少？
(2)小紅說該代數(shù)式的值是非負數(shù)，你認為小紅的說法對嗎？說明理由．
【答案】(1)■所表示的數(shù)字是2；
(2)小紅的說法是正確的，理由見解析.
【分析】（1）直接把a=-2，b=1代入代數(shù)式其值等于16，解關于■方程即可；
（2）把（1）求得的■的結果代入代數(shù)式整理即可求解．
【詳解】（1）（1）將a=-2，b=1代入a2-2ab-■ab-4b2，
可得4+4-(■×(-2)-4)=16，解得■=2；
（2）（2）由（1）求得的結果可得該整式為，
a2-2ab-2ab-4b2=a2-4ab+4b2=(a-2b)2≥0，
故小紅的說法是正確的．
【點睛】本題考查了代數(shù)式的化簡求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解題的關鍵．
?題型09 與一元一次方程有關的新定義問題
1．（2022·河北石家莊·三模）若兩個有理數(shù)A、B滿足A+B=8，則稱A、B互為“吉祥數(shù)”．如5和3就是一對“吉祥數(shù)”．回答下列問題：
(1)求-5的“吉祥數(shù)”；
(2)若3x的“吉祥數(shù)”是-4，求x的值；
(3)x和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請求出；若不能，請說明理由．
【答案】(1)13
(2)x=4
(3)不能，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)由“吉祥數(shù)”的定義求解即可；
（2）由題意知3x-4=8，計算求解即可；
（3）依題意，x+9=-8，進而作出判斷，即可求解．
【詳解】（1）解：由“吉祥數(shù)”的定義可知
-5的“吉祥數(shù)”為8--5=13；
（2）解：由題意知3x-4=8
解得x=4
∴x的值為4．
（3）解：若|x|和9互為“吉祥數(shù)”，則有x+9=8
∵x≥0
∴x+9≥9≠8
∴|x|和9不能互為“吉祥數(shù)”．
【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，解一元一次方程，絕對值的非負性等知識．解題的關鍵在于對新定義的理解．
2．（2023·河北滄州·模擬預測）定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n=mn-3n，例如4☆2=4×2-3×2=8-6=2，請根據(jù)上述知識解決下列問題．
(1)x☆2>4，求x取值范圍；
(2)若x☆-14=3，求x的值；
(3)若方程x☆□=x-6，□中是一個常數(shù)，且此方程的一個解為x=1，求□中的常數(shù)．
【答案】(1)x>5
(2)x=-9
(3)52
【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式進行計算即可；
（2）根據(jù)題意列出方程進行計算即可；
（3）設□中的常數(shù)為y，根據(jù)題意列出關于y的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：∵x☆2>4，
∴2x-3×2>4，
解得：x>5．
（2）解：∵x☆-14=3，
∴-14x-3×-14=3，
解得：x=-9．
（3）解：設□中的常數(shù)為y，根據(jù)題意得：
xy-3y=x-6，
∵此方程的一個解為x=1，
∴y-3y=1-6，
解得：y=52．
【點睛】本題主要考查了新定義運算，解不等式，解一元一次方程，解題的關鍵是理解題意列出相應的不等式或方程．
3．（2024浦口區(qū)模擬）閱讀下列材料：讓我們來規(guī)定一種運算：ac bd=ad-bc，例如：23 41=2×1-4×3=-10，再如：xy 62=2x-6y．按照這種運算的規(guī)定：請解答下列各個問題：
(1)-24 -53=______．
(2)當x1 1-x2=0時，求x的值．
(3)將下面式子進行因式分解：x2-2x-3 8x2-2x-11
【答案】(1)14
(2)13
(3)x+1x-3x+2x-4
【分析】（1）先按新運算的規(guī)定方法計算，再作有理數(shù)的混合運算；
（2）先按新運算的規(guī)定方法展開等號左邊，再解方程即可；
（3）先按新運算的規(guī)定方法展開，再把x2-2x看作一個整體展開x2-2xx2-2x-11，而后按二次項系數(shù)是“1”的二次三項式的因式分解方法分解因式．
【詳解】（1）原式=(-2)×3-(-5)×4=-6+20=14，
故答案為：14；
（2）由題意得，2×x-(1-x)×1=0，
解得：；
（3）原式=(x2-2x)(x2-2x-11)-(-3)×8
=(x2-2x)2-11(x2-2x)+24
=(x2-2x-3)(x2-2x-8)
=x+1x-3x+2x-4．
【點睛】本題主要考查了定義新運算，解決問題的關鍵是熟練掌握新定義，有理數(shù)的運算，整式的運算，解方程，換元法，因式分解．
?題型10 解二元一次方程組--特殊解法
1．（2024·山東煙臺·一模）閱讀下列解方程的解法，然后解決有關問題.
解方程組19x+18y=17 117x+16y=15 2時，如果考慮常規(guī)的消元法(即代入消元法和加減消元法)那將非常麻煩！若用下而的方法，則輕而易舉.
解：(1)-(2)，得2x+2y=2，即x+y=1(3).
(3)×16，得16x+16y=16(4).
(2)-(4)，得x=-1.
把x=-1代入(3)得-1+y=1，即y=2.
所以原方程組的解是x=-1y=2.
以上解法的技巧是根據(jù)方程的特點構造了方程(3)，我們把這種解法稱為構造法，請你用構造法解方程組7x+11y=913x+17y=21.
【答案】x=134y=-54
【分析】本題考查了解二元一次方程組，②-①得出6x+6y=12，求出x+y=2③，①-③×7求出y=-54，把y=-54代入③求出x即可．
【詳解】解：7x+11y=9①13x+17y=21②
②-①得：6x+6y=12，即：x+y=2③，
①-③×7得：4y=-5，解得：y=-54，
把y=-54代入③得：x=134，
所以原方程組的解為：x=134y=-54．
2．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務．
換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，變量求出結果之后，返回去求原變量的結果，換元法是數(shù)學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數(shù)學問題，若能根據(jù)問題的特點進行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個例題來說明．
例1：計算：20163-2015×2016×2017．
解：設2016=x，則原式=x3-x-1?xx+1=x3-xx2-1=x=2016．
請你利用上述方法解答下列問題：
(1)計算：123456789×123456786-123456788×123456787；
(2)已知方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則方程組2x+2-3y-1=133x+2+5y-1=30.9的解是 ．
【答案】(1)-2
(2)x=6.3y=2.2
【分析】本題考查了換元法解復雜式子以及二元一次方程組，整式的乘法運算，解決本題（2）的關鍵是先求(x+2)、(y-1)的解，再求x、y的值．
（1）仿照例題的思路，設123456786=x，分別表示原式=(x+3)?x-(x+2)(x+1)，然后進行整式乘法運算即可；
（2）根據(jù)加減法，可得(x+2)、(y-1)的解，再根據(jù)解方程，可得答案．
【詳解】（1）解：依題意，
設123456786=x，
123456789×123456786-123456788×123456787
=(x+3)?x-(x+2)(x+1)
=x2+3x-x2+3x+2
=x2+3x-x2-3x-2
=-2
（2）解：∵方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，
同理∴方程組2(x+2)-3(y-1)=133(x+2)+5(y-1)=30.9中x+2=8.3y-1=1.2
∴ x=6.3y=2.2
3．（2024·廣東珠海·三模）閱讀下面材料，并完成相應的學習任務.
“整體思想”是數(shù)學解題中的一種重要思想方法，數(shù)學課上，張老師給出了一個問題：已知實數(shù)m，n滿足m+n-2=0①4m+n+n=5②，求m+n和2m-n的值.
小真：利用消元法解方程組，分別求出m，n的值后，再代入m+n和2m-n即可.
小善：由①，得m+n=2，③
將③代入②，得4×2+n=5，解得n=-3，
把n=-3代入③，解得m=5，
所以原方程組的解為m=5n-3
張老師對兩位同學的講解進行點評，指出小善同學的思路體現(xiàn)了數(shù)學中的“整體思想”的運用，請你參考小善同學的做法，完成以下兩個任務.
(1)任務一：解方程組2a-3b-5=02a-3b+27+b=0
(2)任務二：在（1）的前提下取a，b的值，若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有唯一的交點，求此拋物線的解析式.
【答案】(1)a=1b=-1
(2)y=x2-x+14
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組、拋物線與x軸交點問題、一元二次方程根的判別式等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵.
（1）直接運用整體代入消元法解答即可；
（2）先將a=1b=-1代入y=ax2+bx+c得y=x2-x+c，然后根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可.
【詳解】（1）解：2a-3b-5=0①2a-3b+27+b=0②
由①得2a-3b=5③
將③代入②，得1+b=0，解得b=-1，
將b=-1代入③，解得a=1，
所以原方程組的解為a=1b=-1.
（2）解：將a=1b=-1代入y=ax2+bx+c得y=x2-x+c
∵拋物線與x軸有唯一的交點，
∴Δ=(-1)2-4×1×c=0，解得c=14，
∴拋物線的解析式為y=x2-x+14.
4．（2024煙臺市模擬）［閱讀理解]在解方程組或求代數(shù)式的值時，可以用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡．
（1）解方程組x+2x+y=3①x+y=1②，
解：把②代入①得，x+2×1=3，
解得x=1，
把x=1代入②得y=0，
所以方程組的解為x=1y=0，
（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②求x+y+z的值．
解：①+②，得10x+10y+10z=40，③
③÷10，得x+y+z=4．
［類比遷移]
（1）求方程組3a-b+4=2aa-b=2的解．
（2）若6x+5y+z=82x+y-3z=4求x+y+z的值．
【答案】（1）a=5b=3；（2）x+y+z=1
【分析】（1）根據(jù)題干給出的方法解二元一次方程組即可；
（2）利用整體的思想求出x+y+z=1即可．
【詳解】（1）3a-b+4=2a①a-b=2②把②代入①，
得3×2+4=2a，
解得a=5．
把a=5代入②，得b=3，
∴方程組的解為a=5b=3；
（2）6x+5y+z=8①2x+y-3z=4②，
①-②得：4x+4y+4z=4，
∴x+y+z=1．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握解方程組的方法，準確計算，注意整體思想．
?題型11 解二元一次方程組--錯解復原問題
1．（2024周口市三模）解方程組ax+by=2cx-7y=8時，一學生把c看錯而得到x=-2,y=2,而正確的解是x=3,y=-2,那么a+b-c= .
【答案】11
【分析】將錯誤的解和正確的解分別代入方程組，得出b-a=1和3a-2b=2，c=-2，聯(lián)立關于a,b的方程組，解得a,b的值，即可得解.
【詳解】將x=-2,y=2,代入方程組，得b-a=1①
將x=3,y=-2,代入方程組，得3a-2b=2②，c=-2
①②聯(lián)立，得
b-a=13a-2b=2
解得a=4b=5
∴a+b-c=4+5+2=11
故答案為：11.
【點睛】此題主要考查利用二元一次方程組的解求參數(shù)的值，熟練掌握，即可解題.
2．（2021·廣東汕頭·一模）甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x-by=-10②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=-3y=1乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為x=5y=-4
（1）求a，b的值；
（2）若關于x的一元二次方程ax2-bx+m=0兩實數(shù)根為x1，x2，且滿足7x1-2x2=7，求實數(shù)m的值．
【答案】（1）a=7b=-2；（2）m=-5
【分析】（1）將x=-3y=1代入方程②求出b的值，將x=5y=-4代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再將a，b的值代入ax2-bx+m=0中，再利用根與系數(shù)的關系得到方程組，解出兩個根，即可得出m的值．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意得5a+5×-4=154×-3-b=-10解得a=7b=-2
（2）當a=7b=-2時，一元二次方程ax2-bx+m=0化為7x2+2x+m=0，
由根與系數(shù)關系得x1+x2=-27，x1×x2=m7
聯(lián)成方程組得x1+x2=-277x1-2x2=7，解得x1=57x2=-1
∴m=-5
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解和解二元一次方程組，一元二次方程以及根與系數(shù)的關系，正確理解題意是解題的關鍵．
?題型12 解二元一次方程組--同解方程組
1．（2024·湖南長沙·一模）已知方程組2x-y=7x+y=a和方程組x-y=b3x+y=8有相同的解，求a，b的值．
【答案】a=2，b=4
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法和步驟是解題關鍵．利用加減消元法解方程組2x-y=73x+y=8得到x、y的值，再把x、y的值代入方程組求解即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，可有2x-y=7①3x+y=8②，
①+②，可得 5x=15，
解得 x=3，
x=3把代入①，可得2×3-y=7，
解得y=-1，
∴該方程組的解為x=3y=-1，
∵方程組2x-y=7x+y=a和方程組x-y=b3x+y=8有相同的解，
∴a=3+-1=2，b=3--1=4．
2．（2024·廣東江門·一模）已知方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=-35x+ny=1有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知△ABC的兩邊AB，AC的長是關于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，求△ABC的面積．
【答案】(1)m=-1n=-4
(2)S△ABC=6
【分析】本題主要考查了同解方程組，解一元二次方程，解二元一次方程組，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是熟練掌握同解方程組的定義，求出m、n的值．
（1）解方程組5x-2y=3x-4y=-3得x=1y=1，根據(jù)同解方程組，得出方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1y=1，代入求出m、n的值即可；
（2）把m=-1n=-4代入x2m-7x-3n=0得出x2-7x+12=0，解一元二次方程得出△ABC的兩邊長分別為3，4，根據(jù)勾股定理逆定理得出△ABC為直角三角形，求出結果即可．
【詳解】（1）解：由方程組5x-2y=3x-4y=-3得：x=1y=1，
∵方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=-35x+ny=1有相同的解，
∴方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1y=1，
∴m+5=45+n=1，
解得：m=-1n=-4；
（2）解：把m=-1n=-4代入關于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0得：x2-7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
∴△ABC的兩邊長分別為3，4，
∵第三邊BC的長為5，
又∵32+42=52，
∴△ABC為直角三角形，
∴S△ABC=12×3×4=6．
?題型13 解二元一次方程組—拓展
1．（2024·福建龍巖·模擬預測）閱讀素材并解決問題．
【答案】問題1：105；問題2：45°；問題3：見解析
【分析】本題考查了“設參法”，解題關鍵是先設定一個輔助未知量（輔助元），然后根據(jù)輔助元與未知量之間的關系，建立一個包含輔助元、未知量和已知量的方程或代數(shù)式，最后通過消元法或代換法來解決問題．
（1）按題目提示即可解答；
（2）設∠A=α，則∠C=90°-∠A=90°-α，由BA=BE可知∠BEA=∠A=α，進而可得∠ABE=180°-2α，∠EBC=∠ABC-∠ABE=2α-90°，∠CBD=12∠EBC=α-45°，再由三角形外角性質可得∠ADB=∠CBD+∠C=45°；
（3）設P(m,n)，用m、n、k表示點的坐標和線段長，求得tan∠PBA=APBP=nm，tan∠PDC=PCPD=nm，即可得出∠PBA=∠PDC，進而證明結論．
【詳解】解：問題1： x+y+z=105．
問題2：設∠A=α，∵BA=BE，∴∠BEA=∠A=α
根據(jù)三角形內角和可得：∠A+∠BEA+∠ABE=180°
∴∠ABE=180°-2α
∵∠ABC=90°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-(180°-2α)=2α-90°
∵BD平分∠CBE
∴∠CBD=12∠EBC=α-45°
∵∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∴∠C=90°-∠A=90°-α
∴∠ADB=∠CBD+∠C=(α-45°)+(90°-α)=45°．
問題3：方法一：設P(m,n)
∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，且點C，點D在雙曲線y=kx上，
∴C(m,km),D(kn,n)
∴AC=km， BD=kn
∴PD=BP-BD=m-kn=mn-kn
PC=AP-AC=n-km=mn-km
∴tan∠PBA=APBP=nm，tan∠PDC=PCPD=mn-kmmn-kn=nm
∴tan∠PBA=tan∠PDC
∴∠PBA=∠PDC
∴AB∥CD．
方法二：設P(m,n)
∵ PA⊥x軸，PB⊥y軸，且點C、點D在雙曲線y=kx上，
∴ C(m,km),D(kn,n)
∴AC=km， BD=kn
∴PD=BP-BD=m-kn=mn-kn
PC=AP-AC=n-km=mn-km
∴PDBP=mn-knm=mn-kmn，PCAP=mn-kmn=mn-kmn
∴PDBP=PCAP
又∵∠P=∠P
∴△PCD∽△PAB
∴∠PCD=∠PAB
∴AB∥CD．
2．（2023·浙江臺州·三模）密度是物質的重要屬性，生產、生活中常常需要測量各種液體的密度．某同學在綜合實踐活動中自制了測量液體密度的杠桿密度計，可以從杠桿上的刻度直接讀出液體密度的數(shù)值，受到了老師的肯定和表揚，結構如圖所示．所用器材：輕質杠桿（自身重力忽略不計）、兩種規(guī)格的空桶（100mL和200mL）、質量為m的物體A、細線．設計過程如下：

(1)將杠桿在O點懸掛起來，空桶懸掛在B點，質量為m的物體A懸掛在C點時，杠桿水平平衡．測出B點到O點的距離為l，C點到O點的距離為l0，此時滿足G桶?l=GA?l0，即：G桶?l=mg?l0，則C點的密度刻度線應標注為 ；
(2)在B點的空桶內注滿液體，空桶容積為V，移動物體A至C1位置，使杠桿在水平位置平衡．C1點到O點的距離為l1，此時滿足G桶+G液?l=GA?l1，即：G桶+ρ液Vg?l=mg?l1，則C1點的密度值為 （用m、V、l、l0、l1表示）；
(3)已知密度為1.0×103kg/m3刻度線與零刻度線之間的距離為4cm，求密度為0.8×103kg/m3刻度線與零刻度線之間的距離是多少cm？
(4)要使制作的杠桿密度計測量精度更高一些，應選擇規(guī)格的空桶（選填“100mL”或“200mL”）．
【答案】(1)0
(2)ρ液=ml1-l0Vl
(3)3.2cm
(4)200mL
【分析】本題主要考查杠桿平衡的條件，整式的混合運算，函數(shù)思想的運用，理解題目中的數(shù)量關系，掌握函數(shù)思想解實際問題的方法是解題的關鍵．
（1）根據(jù)題意，杠桿平衡時空桶和懸掛物理的情況進行分析即可求解；
（2）根據(jù)杠桿平衡的條件，得到空桶內注滿液體時的數(shù)量關系，聯(lián)立方程組求解即可；
（3）根據(jù)空桶時杠桿平衡的條件，倒?jié)M液體時平衡的條件列方程組求解即可；
（4）根據(jù)杠桿平衡條件F1L1=F2L2，可得L1=F2L2F1，結合函數(shù)的增減性知識即可求解．
【詳解】（1）解：將杠桿在O點懸掛起來，空桶懸掛在B點，質量為m的物體A在C點時，杠桿水平平衡，此時桶中沒有液體，
∴密度為0，
故答案為：0；
（2）解：在B點懸掛空桶時，杠桿平衡，根據(jù)題意，G桶·l=GA·l0，即G桶·l=mg·l0，
在B點的空桶內注滿液體，空桶容積為V，則液體的重力G液=m液g=ρ液Vg，
∵此時移動物體A至C1，杠桿在水平位置平衡，
∴根據(jù)杠桿平衡條件得，G桶+G液·l=GA·l1，即G桶+ρ液Vg·l=mg·l1，
∴G桶·l=mg·l0G桶+ρ液Vg·l=mg·l1，
解得，ρ液=ml1-l0Vl，
故答案為：ρ液=ml1-l0Vl；
（3）解：當測量密度為1.0×103kg/m3的液體時，由1.0×103kg/m3的刻度線與零刻度線之間的距離為4cm，即此時的物體A的力臂為：l'=l0+4(cm)，
∴G桶+G'·l=GA·l'，即G桶+1.0×103×Vg·l=mg·l0+4，
當測量密度為0.8×103kg/m3的液體時，此時的物體A的力臂為：l″=l0+Δl（cm），
∴G桶+G″·l=GA·l″，即G桶+0.8×103×Vg·l=mg·l0+Δl，
∴G桶·l=mg·l0G桶+1.0×103×Vg·l=mg·l0+4G桶+0.8×103×Vg·l=mg·l0+Δl，
解得，Δl=3.2cm；
（4）解：設物體A對桿秤的力為動力，則液體和桶對桿秤的力為阻力，
∴F1L1=F2L2，即L1=F2L2F1，
在動力F1與阻力臂L2不變的情況下，增大液體重力，即增加空桶的容積，則L1變大，即該密度秤的精度會增加，
∴應該選擇200mL規(guī)格的空桶，
故答案為：200mL．
3．（2023·山西大同·模擬預測）閱讀與思考
小敏在九年級復習階段，針對“一次方程的解”整理得出以下幾種方法，請仔細閱讀并完成相應的任務.
任務：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．轉化思想 C． 數(shù)形結合 D．分類討論
(2)解方程23x+4=2+x的步驟從第__________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是_________________，方程正確的解為___________________________.
(3)實際上，除了解二元一次方程組外，初中數(shù)學還有一些知識也可以用函數(shù)的觀點來認識.例如：可以用函數(shù)的觀點來認識一元一次方程的解，請你再舉出一例；
【答案】(1)B
(2)一，+x移項時沒有變號；x=6
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根據(jù)移項、合并同類項、系數(shù)化為1解方程，再進行判斷即可；
（3）根據(jù)函數(shù)與方程的關系舉例即可．
【詳解】（1）解：由題意可得，解方程的基本思想是是轉化思想，
故選：B．
（2）解：由題意可得，第一步：移項得，23x-x=2-4，
第二步：合并同類項得，-13x=-2，
第三步：化系數(shù)為1得，x=6，
∴從第一步開始出錯，原因是：x移項時沒有變號，
故答案為：一，+x移項時沒有變號，x=6．
（3）解：用二次函數(shù)的觀點認識一元二次方程的解（用函數(shù)的觀點認識一元一次不等式的解集）．
【點睛】本題考查解一元一次方程和二元一次方程組、函數(shù)與方程的關系，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．
?題型14 中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程組
1．（2024·寧夏銀川·模擬預測）以下是圓圓解方程x+12-x-33=1的解答過程．
解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1
去括號，得3x+1-2x+3=1
移項，合并同類項，得x=-3．
(1)圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程；
(2)請嘗試解方程x+10.2-x-30.3=1．
【答案】(1)有錯誤，見解析
(2)x=-425
【分析】（1）去分母的時候方程的右邊沒有乘上6，去括號后，兩個括號的后一項漏乘，更正后再根據(jù)解一元一次方程的基本步驟進行解題，即可作答．
（2）根據(jù)解一元一次方程的基本步驟可得答案．
本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質進行變形是解此題的關鍵．
【詳解】（1）解：圓圓的解答過程錯誤，正確的解答過程如下：
x+12-x-33=1，
去分母，得3(x+1)-2(x-3)=6，
去括號，得3x+3-2x+6=6，
移項，合并同類項，得x=-3；
（2）解：x+10.2-x-30.3=1，
5(x+1)-10(x-3)3=1，
去分母得15(x+1)-10(x-3)=3，
去括號得15x+15-10x+30=3，
移項得15x-10x=3-15-30，
合并同類項得5x=-42，
系數(shù)化1得x=-425．
2．（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
解：x-2y=1①2x+2y=5②
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：將③代入②，得2×2y+1+2y=5
第三步：解得y=23
第四步：將y=1代入③，解得x=73；
第五步：所以原方程組的解為x=23y=73
任務一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；
任務二：小亮解方程組的過程，從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是________．
任務三：請寫出方程組正確的解答過程．
【答案】任務一：代入；任務二：二，整體代入未添加括號（言之成理即可）；任務三：過程見解析．
【分析】根據(jù)二元一次方程的解法分別以各個任務進行判斷整理即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，小亮用的方法是代入消元；
但是從第二步開始錯誤，錯誤的原因：整體代入未添加括號；
正確的解答過程：由①得x=2y+1 ③
將③代入②得2(2y+1)+2y=5
解得y=12，代入③，解得x=2
∴原方程組的解為：x=2y=12
【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加減消元是解題的關鍵．
3．（2023·山西大同·模擬預測）（1）計算：--12023+-23×12-4cs60°；
（2）下面是小輝和小瑩兩位同學解方程組x-3y=-1,2x+3y=7的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
解：令x-3y=-1①2x+3y=7②
任務一：請你從中選擇一位同學的解題過程并解答下列問題．
①我選擇___________同學的解題過程，該同學第一步變形的依據(jù)是___________；
②該同學從第___________開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是___________；
任務二：直接寫出該方程組的正確解；
任務三：除以上兩位同學的方法，請你再寫出一種方法（不用求解）．
【答案】（1）-5；（2）①小輝；等式的基本性質1（或等式的兩邊同時加（或減）同一個代數(shù)法，所得結果仍是等式）；②三；去括號時，括號外是“-”號，去年括號后未給 括號內的第二項進行變號；任務二：x=2y=1；任務三：②-①×2
【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方以及特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可求解；
（2）任務一：①根據(jù)小輝或小瑩的解法分析，根據(jù)等式的基本性質1即可求解；②根據(jù)去括號時，括號外是“-”號，去年括號后未給 括號內的第二項進行變號；
任務二：根據(jù)加減消元法解二元一次方程組；
任務三：②-①×2，加減消元法解二元一次方程組即可求解．
【詳解】解：原式=1+-8×12-2
=1+-4-2=-5；
（2）任務一：①小輝；
等式的基本性質1（或等式的兩邊同時加（或減）同一個代數(shù)法，所得結果仍是等式）；
②三；
去括號時，括號外是“-”號，去年括號后未給 括號內的第二項進行變號；
或①小瑩；
等式的基本性質1（或等式的兩邊同時加（或減）同一個代數(shù)式，所得結果仍是等式）；
②四；
移項未變號；
任務二：令x-3y=-1①2x+3y=7②
①+②得，3x=6
解得：x=2
將x=2代入①得，2-3y=-1
解得：y=1
正確的解為x=2y=1
任務三：②-①×2．
得9y=9
解得：y=1，代入①得x-3=-1，
解得：x=2
【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方以及特殊角的三角函數(shù)值，解二元一次方程組，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
?題型15 列方程（組）
1．（2024·河北·模擬預測）《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問：人與車各幾何？大意：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問：人與車各多少？小青根據(jù)題意列出方程組y+2=3xy-9=2x小云根據(jù)題意列出一元一次方程3x-2=2x+9，則下列說法正確的是（ ）
A．小青正確，小云錯誤B．小青錯誤，小云正確
C．小青、小云都正確D．小青、小云都錯誤
【答案】B
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程和二元一次方程組，找準等量關系，正確列出一元一次和二元一次方程組是解題的關鍵，根據(jù)“若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，和關于x的一元一次方程．
【詳解】解：設人數(shù)量為y個，車的輛數(shù)為x輛，
若3人坐一輛車，則兩輛車是空的，
∴y=3x-2；
若2人坐一輛車，則9人需要步行，
∴y-9=2x，
∴3x-2=2x+9，
根據(jù)意可列出方程組為y=3x-2y-9=2x，
即小青錯誤，小云正確，
故選：B．
2．（2024·廣西南寧·模擬預測）地理老師介紹道：長江比黃河長836千米，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284千米，小東根據(jù)地理教師的介紹，設長江長為x千米，黃河長為y千米，然后通過列、解二元一次方程組，正確的求出了長江和黃河的長度，那么小東列的方程組可能是（ ）
A．x-y=8365x-6y=1284B．x-y=8366x-5y=1284
C．x+y=8366y-5x=1284D．x-y=8366y-5x=1284
【答案】D
【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)題意，找出等量關系:長江比黃河長836千米，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284千米，列出方程組，選出正確答案即可，解答本題的關鍵是讀懂題意，找出等量關系，列出方程組．
【詳解】設長江長為x千米，黃河長為y千米，
由題意得，x-y=8366y-5x=1284，
故選：D．
3．（2024·湖北·模擬預測）我國古代數(shù)學名著《張邱建算經》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清酒、醑酒各幾斗？如果設清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（ ）
A．x+y=510x+3y=30B．x+3y=53x+10y=30C．x+3y=30x10+y3=5D．x+y=30x3+y10=5
【答案】A
【分析】本題考查了由實際問題列二元一次方程，設清酒x斗，醑酒y斗，根據(jù)“現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒”列出二元一次方程組即可，理解題意，找準等量關系，正確列出方程是解此題的關鍵．
【詳解】解：設清酒x斗，醑酒y斗，
由題意得：x+y=510x+3y=30，
故選：A．
4．（2023·四川成都·模擬預測）成語“朝三暮四”講述了一位老翁喂養(yǎng)猴子的故事，老翁為了限定猴子的食量分早晚兩次投喂，早上的糧食是晚上的34，猴子們對于這個安排很不滿意，于是老翁進行調整，從晚上的糧食中取2千克放在早上投喂，這樣早上的糧食是晚上的43，猴子們對這樣的安排非常滿意．設調整前早上的糧食是x千克，晚上的糧食是y千克，則可列方程組為（ ）
A．x=43yx+2=34(y-2)B．x=34yx+2=43(y-2)
C．x=34yx-2=43yD．x=43yx-2=34(y+2)
【答案】B
【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
根據(jù)調整前和調整后分別列式，可列二元一次方程組，即可選出答案．
【詳解】解：∵調整前早上的糧食是x千克，晚上的糧食是y千克，且早上的糧食是晚上的34，
∴x=34y．
∵老翁從晚上的糧食中取2千克放在早上投喂后，
∴早上糧食為(x+2)千克，晚上糧食為(y-2)千克，
∵調整后早上的糧食是晚上的43，
∴x+2=43(y-2)，
∴可列方程組x=34yx+2=43(y-2)，
故選B．
5．（2024·貴州貴陽·二模）某車間有20名工人，每人每天可以生產600個螺母或900個螺絲．一個螺絲需要配兩個螺母，為使每天生產的螺絲與螺母剛好配套，設安排x名工人生產螺母，根據(jù)題意可列方程為 ．
【答案】600x=2×900(20-x)
【分析】本題考查了列一元一次方程，設安排x名工人生產螺母，則(20-x)名工人生產螺絲，根據(jù)題意列方程即可．掌握列方程解應用題的關鍵是建立等量關系．
【詳解】解：設安排x名工人生產螺母，則(20-x)名工人生產螺絲，
由題意得600x=2×900(20-x)，
故答案為：600x=2×900(20-x)．
6．（2024·貴州·模擬預測）《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剛好每車坐滿后還剩余2輛車沒人坐；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘只能步行，問共有多少人，多少輛車？設共有x輛車，則可列方程 ．
【答案】3x-2=2x+9
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程．根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意，得：3x-2=2x+9．
故答案為：3x-2=2x+9．
?題型16 一元一次方程的應用
1．（2024·山西·模擬預測）2024年3月22日，“世界水日”、“中國水周”山西省宣傳活動在太原啟動，本1次活動，旨在調動全社會各方力量團結治水興水，吸引并推動社會公眾關心支持水利事業(yè)為貫徹落實本次活動精神，太原市現(xiàn)計劃修一條水渠便于引水用水．已知，甲工程隊活單獨修需20天完成，乙工程隊單獨完成需要的天數(shù)比甲工程隊單獨完成天數(shù)的35多少2天．
(1)乙工程隊單獨完成需要多少天？
(2)若甲先單獨修5天，之后甲乙合作修完這條水渠，求甲乙還需合作幾天才能修完這條水渠？
【答案】(1)10天
(2)5天
【分析】（1）根據(jù)題意列出算式計算即可求解；
（2）設甲乙還需合作y天才能修完這條水渠，根據(jù)題意列出方程即可求解；
本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意正確列出方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：20×35-2=10，
答：乙工程隊單獨完成需要10天；
（2）解：設甲乙還需合作y天才能修完這條水渠，
由題意得，1205+y+110y=1，
解得y=5，
答：甲乙還需合作5天才能修完這條水渠．
2．（2024·河北·模擬預測）如圖，數(shù)軸上的A，B兩點分別表示a，b，且a，b分別是3，-2兩數(shù)中的一個．
(1)求a-b的值；
(2)若在數(shù)軸上添加點C，其表示的數(shù)為c，且a-b-c的值與a，b，c三數(shù)的平均數(shù)相等，求c的值，并在數(shù)軸上標出點C的位置．
【答案】(1)-5
(2)c=-4，數(shù)軸見解析
【分析】本題考查有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的減法及解一元一次方程．
（1）根據(jù)數(shù)軸上A，B兩點的位置，可得a=-2,b=3，代入a-b計算即可；
（2）由題意，得a-b-c=a+b+c3，根據(jù)（1）中a-b=-5，可得-5-c=-2+3+c3，求出c=-4，即可解答．
【詳解】（1）解∶由點A，B在數(shù)軸上的位置可知，a=-2,b=3，
∴a-b=-2-3=-5；
（2）解：由題意，得a-b-c=a+b+c3，即-5-c=-2+3+c3，
解得c=-4，
點C在數(shù)軸上的位置如圖所示．
3．（2024·廣東·模擬預測）為助力環(huán)保事業(yè)，某企業(yè)先將該月銷售的A 款產品所有營收的40%捐給中國環(huán)?；饡?，后同樣再次捐贈該月銷售的B款產品所有營收的50%，已知該月銷售A、B兩款產品共1000個，A款產品每個售價為100元，B款產品每個售價為120元，設該月銷售A款產品x個．
(1)該企業(yè)第一次捐贈 元，第二次捐贈 元；(用含x的式子表示)
(2)該企業(yè)兩次共捐贈48000元，那么該企業(yè)月銷售A、B兩款產品各多少個？
【答案】(1)40x，60000-60x
(2)該企業(yè)月銷售A、B兩款產品各600個，400個．
【分析】此題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應用，解題的關鍵正確分析等量關系．
（1）根據(jù)題意列式求解即可；
（2）根據(jù)題意列出方程求解即可．
【詳解】（1）40%×100x=40x（元），50%×1201000-x=(60000-60x)（元）
∴該企業(yè)第一次捐贈40x元，第二次捐贈60000-60x（元）；
（2）根據(jù)題意得，40x+60000-60x=48000
解得x=600
1000-600=400（個）．
∴該企業(yè)月銷售A、B兩款產品各600個，400個．
4．（2024·安徽六安·模擬預測）《孫子算經》中記載：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人和車各幾何？”其大意是：“今有若干人乘車，每3人乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，最終剩下9人因無車可乘而步行，問有多少人，多少輛車？”試求有多少人，多少輛車．
【答案】有39人，15輛車．
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設共有x輛車，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設共有x輛車，
根據(jù)題意得，3(x-2)=2x+9，
解得x=15，
∴3×(15-2)=39人，
答：有39人，15輛車．
?題型17 二元一次方程組的應用
1．（2024·廣東·模擬預測）每年5—7月份，某商家都會在線上平臺開設的網店銷售荔枝和龍眼兩種水果．下表是5月份某個星期兩種水果的銷售信息（荔枝2kg/箱，龍眼2.5kg/箱）．
這個星期網店銷售荔枝和龍眼共1150kg，獲利9600元，求這個星期網店銷售荔枝和龍眼各多少箱．
【答案】荔枝200箱，龍眼300箱
【分析】本題主要考查二元一次方程的實際應用．熟練掌握總利潤與每箱利潤和數(shù)量的關系，列出方程組，是解題的關鍵．
設這個星期網店銷售荔枝x箱，龍眼y箱，根據(jù)“這個星期網店銷售荔枝和龍眼共1150kg，獲利9600元”，列出二元一次方程組，即可求解．
【詳解】解：設這個星期網店銷售荔枝x箱，龍眼y箱，依題意得：
2x+2.5y=115018x+20y=9600，
解得：x=200y=300．
答：這個星期網店銷售荔枝200箱，龍眼300箱．
2．（2024·湖南株洲·模擬預測）某學校課后服務開展有聲有色，這個學期因更多的學生選擇足球和籃球班，學校計劃購進若干個足球和籃球．已知籃球和足球的單價相差30元，且購買4個足球的費用與購買3個籃球的費用相同，求每個籃球和足球價格分別是多少元？
【答案】120元和90元
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，設每個籃球的價格為x元，每個足球的價格為y元，由題意知籃球的單價高于足球的單價，再由籃球和足球的單價相差30元，且購買4個足球的費用與購買3個籃球的費用相同，列出方程組求解即可．
【詳解】解：設每個籃球的價格為x元，每個足球的價格為y元，
由題意知籃球的單價高于足球的單價，
則x-y=303x=4y，
解得：x=120y=90
答：每個籃球和足球價格分別是120元和90元．
3．（2024·安徽·模擬預測）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．男裝、女裝的單價各是多少？
【答案】男裝單價為100元，女裝單價為120元
【分析】本題考查二元一次方程組的應用，設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據(jù)1套男裝和1套女裝共需220元，購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同列出二元一次方程組求解即可得出答案．
【詳解】解：設男裝單價為x元，女裝單價為y元，
根據(jù)題意得：x+y=2206x=5y
解得：x=100y=120
答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．
4．（2024·廣東·模擬預測）（綜合與實踐）如圖，某綜合實踐小組在課后利用小球和水做實驗，根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：
(1)放入一個小球水面升高 cm，放入一個大球水面升高 cm；
(2)如果放入10個球且使水面恰好上升到52cm，應放入大球、小球各多少個？
【答案】(1)2，3
(2)應放入大球6 個，小球4 個
【分析】本題考查了二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法，解答時理解圖的含義是解答本題的關鍵．
（1）水面升高量除以球的個數(shù)即可求解；
（2）可設應放入大球x個，小球y個，根據(jù)要使水面上升到26cm，列出方程組，再求解即可．
【詳解】（1）解：32-26÷3=6÷3=2cm，
32-26÷2=6÷2=3cm；
答：放入一個小球水面升高2cm，放入一個大球水面升高3cm；
（2）解：設應放入大球x個，小球y個，依題意有
x+y=103x+2y=52-26
解得：x=6y=4，
答：應放入大球6個，小球4個．
5．（2024·湖北·模擬預測）學校七年級為了開展球類興趣小組，需要購買一批足球和籃球．若購買4個籃球和3個足球需花費530元，若購買1個籃球和6個足球需花費500元．求籃球和足球的單價各是多少元？
【答案】籃球和足球的單價各是80元，70元．
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，設籃球和足球的單價各是x元，y元，根據(jù)購買4個籃球和3個足球共需530元，購買1個籃球和6個足球共需500元列出方程組求解即可．
【詳解】解：設籃球和足球的單價各是x元，y元，
由題意得，4x+3y=530x+6y=500，
解得x=80y=70，
答：籃球和足球的單價各是80元，70元．
?題型18 中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用
1．（2024·江西吉安·三模）小亮在實驗室做實驗時，沒有找到天平稱取實驗所需藥品的質量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質量（杠桿原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂）．如圖1，當天平左盤放置質量為60克的物品時，右盤中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱的藥品放在右盤后，左盤放置15克砝碼，才可使天平再次平衡，則該藥品的質量是 克．

【答案】5
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的應用，理解題意，找出等量關系，列出方程是解題的關鍵．
設該藥品質量為x克，根據(jù)“動力×動力臂=阻力×阻力臂”得“動力阻力=阻力臂動力臂”，根據(jù)題意列出方程2060=x15，即可求解．
【詳解】解：設該藥品質量為x克，
由題意可得：2060=x15 ，
解得x=5．
故答案為：5．
2．（2024·河南漯河·二模）綜合與實踐：如何稱量一個空礦泉水瓶的質量？
如圖是一架自制天平，支點O固定不變，左側托盤固定在點A處，右側托盤（點P）可以在橫梁BC段滑動（點P不與B，C重合）．已知OA=OC=10cm，BC=25cm，砝碼的質量為100g．根據(jù)杠桿原理，平衡時：左盤砝碼質量×OA=右盤物體質量×OP（不計托盤與橫梁質量）．
(1)設右側托盤中放置物體的質量為yg，OP的長為xcm，求y關于x的函數(shù)表達式．
(2)由于一個空的礦泉水瓶太輕無法稱量，小組進行如下操作：左側托盤放置砝碼，右側托盤的點P由點C向點B滑動，向空瓶中加入28g的水后，發(fā)現(xiàn)點P移動到PC的長為15cm時，天平平衡．求這個空礦泉水瓶的質量．
【答案】(1)y=1000x(10≤x≤35)
(2)這個空礦泉水瓶的質量為12g
【分析】本題考查反比例函數(shù)的應用．根據(jù)杠桿平衡的條件找到相等關系并合理使用是解決本題的關鍵．
（1）根據(jù)左盤砝碼重量×OA=右盤物體重量×OP，把相關數(shù)值代入后整理可得y與x的關系式；
（2）設空瓶的質量為mg，加水后的質量均為28+mg，根據(jù)左盤砝碼重量×OA=右盤物體重量×OP列出一元一次方程求解即可得到空瓶的質量．
【詳解】（1）解：∵左盤砝碼重量×OA=右盤物體重量×OP，右側托盤中放置物體的質量為yg，OP的長為xcm，砝碼的質量是100g，OA=10cm，
∴100×10=xy，
∴y=1000x．
∵OC=10cm，BC=25cm，
∴OB=35cm，
∵點P可以在橫梁BC段滑動，
∴10≤OP≤35．
即10≤x≤35．
答：y關于x的函數(shù)表達式為：y=1000x(10≤x≤35)；
（2）解：設空礦泉水瓶的質量為mg．
根據(jù)題意，得100×10=10+1528+m，
解得m=12．
∴這個空礦泉水瓶的質量為12g．
3．（2024·河南商丘·二模）高鐵站候車廳的飲水機（圖1）上有溫水、開水兩個按鈕，示意圖如圖2所示．小明先接溫水再接開水，打算接500mL的水，期間不計熱損失．利用圖中信息解決下列問題：
(1)若小明先接溫水19s，求需再接開水的時間．
(2)設接溫水的時間為xs，水杯中水的溫度為y℃．
①求y關于x的函數(shù)表達式；
②求水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時，至少需要接多少mL的溫水?
【答案】(1)需再接開水的時間為8s
(2)①y=-145x+100；②當水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時，至少需要接400mL溫水
【分析】本題考查了一元一次方程的應用、一次函數(shù)的應用、一元一次不等式的應用，理解題意，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）設需再接開水的時間為t s．根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由題意知溫水體積為20xmL，開水體積為500-20xmL，根據(jù)等量關系列式，即可求解；②由題意知y≤44，求出x≥20，得出x的最小值為20，再計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：設需再接開水的時間為t s．
根據(jù)題意，得20×19+15t=500，
解得t=8．
答：需再接開水的時間為8s．
（2）解：①由題意，知溫水體積為20xmL，開水體積為500-20xmL，
∴20xy-30=500-20x100-y．
化簡，得y=-145x+100．
∴y關于x的函數(shù)表達式為y=-145x+100．
②由題意，知y≤44，
∴-145x+100≤44，
解得x≥20．
∴x的最小值為20．
20×20=400mL．
∴當水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時，至少需要接400 mL溫水．
?題型19 洛書
1．（2024·四川廣安·模擬預測）幻方，相傳最早見于我國的“洛書”，如圖1的洛書，每一行、每一列以及每條斜對角線上的點數(shù)之和都相等，轉換為數(shù)字如圖2所示，它是一種三階幻方．根據(jù)三階幻方規(guī)則，由圖3中已知數(shù)求出x-y的值為（ ）
A．-3B．3C．-2D．2
【答案】A
【分析】本題考查等式的性質．由題意，可得：x+6=3+y，求解即可．
【詳解】解：由題意，得：x+6=3+y，
∴x-y=3-6=-3；
故選：A．
2．（2023·江蘇蘇州·二模）幻方是古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個幻方，圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是( )
A．13B．12C．11D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)題意設出相應未知數(shù)，然后列出方程組求解即可．
【詳解】解：設如圖表所示：
根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：y+z-x=4，
又根據(jù)題意可得：x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：z-x=2，x+z-y=20，
聯(lián)立方程組得：
y+z-x=4z-x=2x+z-y=20
解得：x=10y=2z=12
∴x+y=12，
故選：B．
【點睛】題目主要考查三元一次方程組的應用，理解題意，列出相應方程組并求解是解題關鍵．
3．（2024·河北邯鄲·二模）幻方的歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”中，有一種特殊的三角形幻方，是由4個較小的三角形和3個較大的三角形構成，且滿足每個三角形三個頂點處的數(shù)之和相等．如圖1是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個頂點處的數(shù)之和為7+3+5=15，該圖中每個三角形三個頂點處的數(shù)字之和都為15，圖2是這種特殊的三角形幻方．
（1）若圖2滿足三角形三個頂點處的數(shù)之和為15，n=7，則m= ；A處的數(shù)值為 ；
（2）x的值為 ．
【答案】 12 1 -10
【分析】本題考查一元一次方程的應用，整式的加減運算．
（1）根據(jù)三角形三個頂點處的數(shù)之和為15，得到m+n-4=15，A+2+m=15，將n=7代入計算即可；
（2）先根據(jù)每個三角形三個頂點處的數(shù)之和相等求出A、B，即可得到答案．
【詳解】解：（1）由題意，得：m+n-4=15，A+2+m=15，
∵n=7，
∴m=15+4-7=12，
∴A=15-2-12=1；
故答案為：12,1；
（2）∵2+m+A=-4+m+n，
∴A=n-6
∵-4+A+B=-4+m+n，
∴B=m+n-A=m+n-n+6=m+6，
∵n+B+x=m+n-4，
∴x=m-4-B=m-4-m-6=-10；
故答案為：-10．
4．（2024·四川德陽·二模）幻方是一種中國傳統(tǒng)游戲，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方—九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，表1是一個已完成的幻方．表2是一個未完成的幻方，其中A-B的值為 ．
表1
表2
【答案】-6
【分析】本題考查了三元一次方程組的應用以及數(shù)學常識，列出關于x，A，B（y可以消掉）的三元一次方程組，并解出可用含x的代數(shù)式表示出A，B的值是解題的關鍵．
設左下角的空格中的數(shù)字為，根據(jù)每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，可列出關于x，A，B（y可以消掉）的三元一次方程組，解出可用含x的代數(shù)式表示出A，B的值，再將其代入A-B中，即可求出結論．
【詳解】設左下角的空格中的數(shù)字為y，
根據(jù)題意得：x-7-2+y=-4+A+yx-7+x+5-4=-2+A+B，
解得：A=x-5B=x+1，
∴A-B=x-5-x+1=-6．
故答案為：-6．
5．（2020·河北·模擬預測）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”(如圖①)，是世界上最早的矩陣，又稱幻方．用今天的數(shù)學符號表示，洛書就是一個三階幻方(如圖②)．
（1）觀察圖②，根據(jù)九宮圖中各數(shù)字之間的關系，我們可以總結出幻方需要滿足的條件是 ；
（2）若圖③是一個幻方，求圖中a= ，b=
【答案】 每一橫行、每一豎列、每一對角線上三個數(shù)的和相同 -3 0
【分析】通過觀察和口算每橫行、每豎行、每條對角線上的三數(shù)和，便可確定出“幻方”需要的條件，再由此規(guī)律列出二元一次方程組，解方程組即可．
【詳解】解：通過觀察和口算可知，“幻方”需要滿足的條件是：每一橫行、每一豎列、每一對角線上三個數(shù)的和相同．
由幻方的條件得：4+2+a=-1+1+34+a+2=4-1+b，
解得：a=-3b=0，
故答案為：①每一橫行、每一豎列、每一對角線上三個數(shù)的和相同；②-3，③0．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵
1．（2024·浙江·中考真題）有編號分別為①~⑧的8個球，其中6個球一樣重，另外兩個都輕1克，為了找出這兩個輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，則兩個輕球的編號應該是（ ）
A．④⑤B．③⑥C．③⑤D．③④
【答案】A
【分析】本題考查的是推理與論證，靈活應用等式性質的性質是解題關鍵．
由①+②比③+④重可知③與④中至少有一個輕球，由⑤+⑥比⑦+⑧輕可知⑤與⑥至少有一個輕球，①+③+⑤和②+④+⑧一樣重可知兩個輕球的編號是④⑤．
【詳解】解：∵①+②比③+④重，
∴③與④中至少有一個輕球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧輕，
∴⑤與⑥至少有一個輕球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，
∴從第三次稱量看，①、③、⑤三個球中有一個輕的，②、④、⑧三個球中有一個輕的．
∴兩個輕球的編號是④⑤．
故選：A．
2．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：a?b=a2-b,a≤0,-a+b,a>0,例如：-2?4=(-2)2-4=0，2?3=-2+3=1．若x?1=-34，則x的值為 ．
【答案】-12或74
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據(jù)新定義運算法則列出方程求解即可．
【詳解】解：∵a?b=a2-b,a≤0,-a+b,a>0,
而x?1=-34，
∴①當x≤0時，則有x2-1=-34，
解得，x=-12；
②當x>0時，-x+1=-34，
解得，x=74
綜上所述，x的值是-12或74，
故答案為：-12或74．
3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關于x、y的二元一次方程組ax+y=bcx-y=d的解是x=3y=-2，則關于x、y的方程組ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d的解是 ．
【答案】x=5y=-1
【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把x=3y=-2，代入ax+y=bcx-y=d，得到3a-2=b3c+2=d，整體代入ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d中，得到方程組ax+2y=5a-2①cx-2y=5c+2②，加減消元法解方程組即可．
【詳解】解：把x=3y=-2代入ax+y=bcx-y=d，得：3a-2=b3c+2=d，
∵ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d，
∴ax+2y=2a+3a-2cx-2y=2c+3c+2，即：ax+2y=5a-2①cx-2y=5c+2②，
①+②，得：a+cx=5a+c，
∵方程組ax+y=bcx-y=d有解，
∴a+c≠0，
∴x=5，
把x=5代入①，得：5a+2y=5a-2，解得：y=-1；
∴方程組的解集為：x=5y=-1；
故答案為：x=5y=-1．
4．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)A能寫成m2-n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2-n的過程，稱為“方減分解”．例如：因為602=252-23，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602=252-23的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 ．把一個“方減數(shù)”A進行“方減分解”，即A=m2-n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n=k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 ．
【答案】 82 4564
【分析】本題考查了新定義，設m=10a+b，則n=10a+8-b（1≤a≤9，0≤b≤8）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得m=10,n=18，代入，即可求解；根據(jù)B除以19余數(shù)為1，且2m+n=k2（k為整數(shù)），得出3a+4b+719為整數(shù)，30a+b+8是完全平方數(shù)，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐個檢驗計算，即可求解．
【詳解】①設m=10a+b，則n=10a+8-b（1≤a≤9，0≤b≤8）
由題意得：m2-n=10a+b2-10a+8-b，
∵1≤a≤9，“方減數(shù)”最小，
∴a=1，
則m=10+b，n=18-b，
∴m2-n=10+b2-18-b=100+20b+b2-18+b=82+b2+21b，
則當b=0時，m2-n最小，為82，
故答案為：82；
②設m=10a+b，則n=10a+8-b（1≤a≤9，0≤b≤8）
∴B=1000a+100b+10a+8-b=1010a+99b+8
∵B除以19余數(shù)為1，
∴1010a+99b+7能被19整除
∴B-119=53a+5b+3a+4b+719為整數(shù)，
又2m+n=k2（k為整數(shù)）
∴210a+b+10a+8-b=30a+b+8是完全平方數(shù)，
∵1≤a≤9，0≤b≤8
∴30a+b+8最小為49，最大為256
即7≤k≤16
設3a+4b+7=19t，t為正整數(shù)，
則1≤t≤3
當t=1時，3a+4b=12，則b=3-34a，則30a+b+8=30a+3-34a+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，無整數(shù)解，
當t=2時，3a+4b=31，則b=31-3a4,則30a+b+8=30a+31-3a4+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，無整數(shù)解，
當t=3時，3a+4b=50，則b=50-3a4，則30a+b+8=30a+50-3a4+8是完全平方數(shù)，
經檢驗，當a=6,b=8時，3a+4b+7=3×6+4×8+7=57=19×3，30×6+8+8=196=142，t=3,k=14，
∴m=68,n=60，
∴A=682-60=4564
故答案為：82，4564．
5．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是 （從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．
【答案】乙槽
【分析】設第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得x+y+z=10，當y=z=1時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作最小的是乙槽．
本題考查了方程的應用，特殊解，熟練掌握整數(shù)解是解題的關鍵．
【詳解】設第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得x+y+z=10，當y=z=1時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作計分最低的是乙槽．
故答案為：乙槽．
6．（2024·山西·中考真題）健康中國，營養(yǎng)先行．今年5月12日-18日是第十屆全民營養(yǎng)周，社區(qū)食堂在全民營養(yǎng)周到來之際，推出系列營養(yǎng)套餐，其中營養(yǎng)套餐A的菜品如下圖所示．
(1)該套餐中的蛋白質和脂肪這兩類營養(yǎng)素主要來自清蒸魚塊和滑炒雞丁，每100克清蒸魚塊和滑炒雞丁中的蛋白質和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品提供的蛋白質、脂肪量應分別為34克、24.8克、求每份該種套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品各有多少克；
(2)按配餐要求，每份素炒時蔬中芹菜與西蘭花共260克，已知每100克芹菜與每100克西蘭花分別含有1.5克、2.5克的膳食纖維，若要使每份素炒時蔬中所含的膳食纖維不少于5克，則每份素炒時蔬中西蘭花至少有多少克？
【答案】(1)每份該種套筤中清蒸魚塊有100克，滑炒雞丁有120克
(2)110克
【分析】題目主要考查二元一次方程組及不等式的應用，理解題意，列出相應的方程及不等式是解題關鍵．
（1）設每份該種套餐中清蒸魚塊有x克，滑炒雞丁有y克，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）設每份素炒時蔬中西蘭花有m克，根據(jù)題意列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設每份該種套餐中清蒸魚塊有x克，滑炒雞丁有y克，
根據(jù)題意，得16100x+15100y=34,8100x+14100y=24.8.
解，得x=100,y=120.
答：每份該種套筤中清蒸魚塊有100克，滑炒雞丁有120克．
（2）設每份素炒時蔬中西蘭花有m克，
根據(jù)題意，得2.5100m+1.5100260-m≥5．
解，得m≥110．
所以，m的最小值為110．
答：每份素炒時荒中西蘭花最少有110克．
1．（2024·江蘇無錫·中考真題）《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經過多少天相遇？設經過x天相遇，則下列方程正確的是（ ）
A．17x+19x=1B．17x-19x=1C．9x+7x=1D．9x-7x=1
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為17，大雁的速度為19，設經過x天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程．
【詳解】解：設經過x天相遇，
可列方程為：17x+19x=1，
故選：A．
2（2024·四川宜賓·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的應用．設快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程，解出即可．
【詳解】解：設快馬x天可以追上慢馬，
據(jù)題題意：240x=150x+12×150，
解得：x=20．
答：快馬20天可以追上慢馬．
故選：D．
3．（2024·山東日照·中考真題）我國明代數(shù)學家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問繩和竿各有多長？”設繩長x尺，竿長y尺，根據(jù)題意得（ ）（注：“托”和“尺”為古代的長度單位，1托=5尺）
A．x-y=5y-12x=5B．y-x=512x-y=5C．x-y=52x=y+5D．x-y=5y-2x=5
【答案】A
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺列方程組即可．
【詳解】解：由題意得x-y=5,y-12x=5.
故選A．
4．（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從A地勻速出發(fā)，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，駐足交流10 min后，繼續(xù)以原速步行前進；乙因故比甲晚出發(fā)30 min，跑步到達B地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離ym與甲出發(fā)的時間xmin之間的函數(shù)關系．( )
那么以下結論：
①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為20min；
②甲出發(fā)86 min時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值3600 m；
③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后100 min；
④A，B兩地之間的距離是11200 m．
其中正確的結論有：
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】本題考查了函數(shù)圖象以及二元一次方程組的應用；①由乙比甲晚出發(fā)30min及當x=50時y第一次為0，可得出乙出發(fā)20min時兩人第一次相遇，進而可得出結論①正確；②觀察函數(shù)圖象，可得出當x=86時，y取得最大值，最大值為3600，進而可得出結論②正確；③設甲的速度為x m/min，乙的速度為ym/min，利用路程=速度×時間，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之可得出x，y的之，將其代入86+3600x+y中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后98min，進而可得出結論③錯誤；④利用路程=速度×時間，即可求出A，B兩地之間的距離是11200m．
【詳解】解：①∵乙比甲晚出發(fā)30min，且當x=50時，y=0，
∴乙出發(fā)50-30=20(min)時，兩人第一次相遇，
既甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為20min，結論①正確；
②觀察函數(shù)圖象，可知：當x=86時，y取得最大值，最大值為3600，
∴甲出發(fā)86min時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值3600m，結論②正確；
③設甲的速度為xm/min，乙的速度為ym/min，
根據(jù)題意得：(50-10)x=(50-30)y(86-30)y-(86-10)x=3600，
解得：x=100y=200，
∴86+3600x+y=86+3600100+200=98，
∴甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后98min，結論③錯誤；
④∵200×(86-30)=11200(m)，
∴A，B兩地之間的距離是11200m，結論④正確．
綜上所述，正確的結論有①②④．
故選：B．
5．（2024·吉林·中考真題）鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數(shù)．
【答案】白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個
【分析】本題考查了列一元一次方程解應用題，正確理解題意是解題的關鍵．
設黑色琴鍵x個，則白色琴鍵x+16個，可得方程x+x+16=88，再解方程即可．
【詳解】解：設黑色琴鍵x個，則白色琴鍵x+16個，
由題意得：x+x+16=88，
解得：x=36，
∴白色琴鍵：36+16=52（個），
答：白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個．
6．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間t（分）的函數(shù)關系如圖所示．
(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
(2)求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分
(2)5分
(3)42.5
【分析】此題考查函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的應用，讀懂圖象中的數(shù)據(jù)是解本題的關鍵．
（1）由小明的跑步里程及時間可得A檔速度，再根據(jù)C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分可得B，C檔速度；
（2）結合圖象求出小麗每段跑步所用時間，再根據(jù)總時間即可求解；
（3）由題意可得，此時小麗在跑第三段，所跑時間為a-10-15-10-5=a-40（分），可得方程80a=3000+160a-40，求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，A檔速度為4000÷50=80米/分，
則B檔速度為80+40=120米/分，C檔速度為120+40=160米/分；
（2）小麗第一段跑步時間為1800÷120=15分，
小麗第二段跑步時間為3000-1800÷120=10分，
小麗第三段跑步時間為4600-3000÷160=10分，
則小麗兩次休息時間的總和=50-10-15-10-10=5分；
（3）由題意可得：小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，
此時小麗在跑第三段，所跑時間為：a-10-15-10-5=a-40（分）
可得：80a=3000+160a-40，
解得：a=42.5．
7．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：
(1)x-y=03x+y=4
(2)3x-6

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