TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc185105778"
\l "_Tc185105779" ?題型01 分式方程的定義 05-23
\l "_Tc185105780" ?題型02 解分式方程
\l "_Tc185105781" ?題型03 以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程
\l "_Tc185105782" ?題型04 與解分式方程有關(guān)的新定義問題
\l "_Tc185105783" ?題型05 與解分式方程有關(guān)的跨學(xué)科問題
\l "_Tc185105784" ?題型06 由分式方程的解求參數(shù)
\l "_Tc185105785" ?題型07 由分式方程有解、無解或有增根求參數(shù)
\l "_Tc185105786" ?題型08 由分式方程解的取值范圍求參數(shù)
\l "_Tc185105787" ?題型09 分式方程與不等式組綜合
\l "_Tc185105788" ?題型10 列分式方程
\l "_Tc185105789" ?題型11 利用分式方程解決實際問題
\l "_Tc185105790" ?題型12 分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運用
\l "_Tc185105791" ?題型13 以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應(yīng)用
\l "_Tc185105792" ?題型14 以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實際應(yīng)用
\l "_Tc185105793"
\l "_Tc185105794"
?題型01 分式方程的定義
1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（ ）
A．x+12=53B．13x?1+4x3x+1
C．x2x?1+32x+1=1D．3?x4+2=x?13
【答案】C
【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數(shù)的有理方程是分式方程，據(jù)此進行判斷即可．
【詳解】解：A．x+12=53是一元一次方程，故選項不符合題意；
B．13x?1+4x3x+1不是方程，故選項不符合題意；
C．x2x?1+32x+1=1是分式方程，故選項符合題意；
D．3?x4+2=x?13是一元一次方程，故選項符合題意．
故選：C．
2．（2021·河南信陽·模擬預(yù)測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?x=3；④xa+xb=1（a,b為已知數(shù)），其中分式方程有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；
【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．
?題型02 解分式方程
3．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）分式方程1?1x=xx?1的解為 ．
【答案】x=12
【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進行檢驗即可得．
【詳解】解：1?1x=xx?1
去分母得，xx?1?x?1=x2，
解得x=12，
檢驗：將x=12代入xx?1≠0，
∴原方程的解為x=12．
故答案為：x=12．
4．（2024·青海西寧·三模）解分式方程：2x?2x?1+1=21?x．
【答案】分式方程無解
【分析】本題考查了解分式方程，方程兩邊都乘x?1得出整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可．
【詳解】解：2x?2x?1+1=21?x
方程兩邊都乘x?1，得2x?2+x?1=?2，
解得：x=1，
檢驗：當x=1時，x?1=0，
所以x=1是增根，
即原分式方程無解．
5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）解方程：3x?3?4x2?9=0．
【答案】x=?53
【分析】此題考查了解分式方程，去分母化為整式方程，解整式方程，再進行檢驗即可．
【詳解】解：3x?3?4x2?9=0
去分母得，3x+3?4=0，
去括號得，3x+9?4=0，
移項合并同類項得，3x=?5，
系數(shù)化為1得，x=?53．
經(jīng)檢驗，x=?53是原方程的根
6．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為 ，b的值為 ．
【答案】 13 ?7
【分析】本題考查代數(shù)式求值，分式的求值，解分式方程，把x=2代入分式求出a的值，把m代入分式得到關(guān)于m的分式方程，求出m的值，再代入代數(shù)式求出b的值即可．
【詳解】解：當x=2時，x?1x+1=2?12+1=13，
∴a=13；
當x=m時，x?1x+1=m?1m+1=2，解得：m=?3，
經(jīng)檢驗m=?3是原方程的解，
∴當x=?3時，b=2×?3?1=?7；
故答案為：13，?7．
?題型03 以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程
7．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）小王同學(xué)解分式方程x+13x?6+2x+12?x=3的過程，請指出他解答過程中最先出現(xiàn)的錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程．
解：去分母得：x+1?3(2x+1)=3①
去括號得：x+1?6x+1=3②
移項得：x?6x=3?1?1③
合并同類項得：?5x=1④
系數(shù)化為1得：x=?15⑤
∴x=?15是原分式方程的解⑥
【答案】錯誤的步驟是①、②，正確解答見解析
【分析】本題考查了解分式方程，觀察閱讀材料中的解方程過程，找出錯誤的步驟，修改解答過程即可．
【詳解】解：錯誤的步驟是①、②，正確解答如下：
去分母得：x+1?3(2x+1)=3(3x?6)，
去括號得：x+1?6x?3=9x?18，
移項得：x?6x?9x=?18?1+3，
合并同類項得：?14x=?16，
解得：x=87，
檢驗：當x=87時，3x?6=?187≠0，
所以分式方程的解為x=87．
8．（2024·山東濱州·模擬預(yù)測）（1）先化簡，再求值：(a?3b)(a+3b)+(a?3b)2，其中a=?3,b=13．
（2）小丁和小迪分別解方程xx?2?x?32?x=1過程如下：
你認為小丁和小迪的解法是否正確，若正確，打“√”，如果錯誤，請寫出正確的解答過程
【答案】（1）2a2?6ab；24；（2）小丁和小迪的解法都不正確，正確過程見解析
【分析】本題考查的是整式的化簡求值、分式方程的解法，掌握整式的混合運算法則、解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平方差公式、完全平方公式、合并同類項法則把原式化簡，把a、b的值代入計算即可；
（2）根據(jù)解分式方程的一般步驟解出方程．
【詳解】解：（1）原式=a2?9b2+a2?6ab+9b2
=2a2?6ab，
當a=?3，b=13時，原式=2×(?3)2?6×(?3)×13=18+6=24；
（2）小丁和小迪的解法都不正確，
正確解法如下：方程兩邊同乘x?2，得x+(x?3)=x?2，
去括號，得x+x?3=x?2，
移項、合并同類項，得x=1，
檢驗，當x=1時，x?2≠0，
∴原方程的解是x=1．
9．（2024·寧夏銀川·二模）以下是小明解方程x+1x?2=12?x?2的過程，請認真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．
解：去分母：x+1=?1?2x?2…………．第一步．
去括號：x+1=?1?2x?4 …………，第二步
移項，合并同類項得：3x=?6…………．第三步
系數(shù)化為1，得：x=?2…………．第四步
檢驗：當x=?2時，x?2=?4≠0，
所以：x=?2是原分式方程的解．
(1)填空：
①以上解題過程中，第一步去分母的依據(jù) ；
②第 步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是 ；
(2)請你寫出此方程的正確求解過程．
【答案】(1)二，去括號時第二項沒有變號；
(2)x=23，過程見解析
【分析】本題考查了解分式方程步驟的依據(jù)以及解分式方程的一般步驟．
（1）觀察已知條件所給的解方程的步驟，根據(jù)等式的基本性質(zhì)進行解答即可；
（2）①觀察已知條件所給的解方程的步驟，根據(jù)去括號法則進行解答即可；
②按照解分式方程的一般步驟解方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）解：①以上解題過程中，第一步去分母的依據(jù)等式的基本性質(zhì)，
故答案為：等式的基本性質(zhì)；
②第二步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是：去括號時第二項沒有變號，
故答案為：二，去括號時第二項沒有變號．
（2）解：正確的求解過程如下：
x+1x?2=12?x?2，
去分母得：x+1=?1?2x?2，
去括號得：x+1=?1?2x+4，
移項，合并同類項得：3x=2，
系數(shù)化為1，得：x=23，
檢驗：當x=23時，x?2≠0，
∴x=23是原分式方程的解．
10．（2024·山西忻州·三模）（1）|?9|×?132?8÷2+12?1+(?1)0．
（2）下面是小明同學(xué)解分式方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)一：以上解題過程從第 步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是 ．
任務(wù)二：該方程的正確解是 ．
任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解分式方程時還需要注意的事項給其他同學(xué)提一條建議．
【答案】（1）2；（2）任務(wù)一：一；去分母時，1沒有乘(x?3)；任務(wù)二：x=32；任務(wù)三：解分式方程必須檢驗（答案不唯一）
【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，解分式方程，熟練掌握解解分式方程的基本步驟，掌握運算順序是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)含有乘方的有理數(shù)混合運算法則計算即可；
（2）根據(jù)解分式方程的步驟進行分析和解答即可．
【詳解】（1）解：原式=9×19?2+2+1
=1?2+2+1
=2．
（2）解：任務(wù)一：
解方程：3x?3=1?3x3?x．
解：去分母，得3=x?3+3x，……………………………………………………第一步，
∴以上解題過程從第一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是1沒有乘(x?3) ．
故答案為：一；去分母時，1沒有乘(x?3)．
任務(wù)二：
解方程：3x?3=1?3x3?x．
解：去分母，得3=x?3+3x，
移項，得x+3x=3+3，
合并同類項，得4x=6，
系數(shù)化為1，得x=32．
檢驗：當x=32時，x?3=?32≠0．
所以x=32是原方程的根．
故答案為：x=32．
任務(wù)三：解分式方程必須檢驗．（答案不唯一）
?題型04 與解分式方程有關(guān)的新定義問題
11．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：1?3=11?32=?18．則方程x??2=2x?4?1的解是（ ）
A．x=5B．x=6C．x=7D．無解
【答案】A
【分析】根據(jù)新定義可得，x??2=1x?4，從而可得分式方程1x?4=2x?4?1，再解分式方程即可求解．
【詳解】解：由題意可得，x??2=1x??22=1x?4，
∵x??2=2x?4?1，
∴1x?4=2x?4?1，
解得：x=5，
把x=5代入x?4得，x?4=5?4=1≠0，
∴x=5是原方程的解，
故選；A．
12．（2022·河南平頂山·二模）定義運算m※n=1+1m+n，如：1※2=1+11+2=43．則方程x※(x+1)=32的解為（ ）
A．x=1B．x=?1C．x=?12D．x=12
【答案】D
【分析】根據(jù)新定義得出方程1+1x+x+1=32，再解分式方程，求出其解即可．
【詳解】解：由題意，得
1+1x+x+1=32，
∴12x+1=12，
解得：x=12，
經(jīng)檢驗，x=12是方程的根，
故選：D．
【點睛】本題考查新定義和解分式方程，理解定義和求解分式方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）定義兩種新運算“△”和“※”，其運算規(guī)則為a△b=a?ba+b，a※b=a+2ba?2b，若x△1=x※2，則x= ．
【答案】0
【分析】本題考查了新運算，解分式方程，根據(jù)新運算規(guī)則得x?1x+1=x+4x?4，解出方程，即可求解；理解新運算規(guī)則，掌握解分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得
x?1x+1=x+4x?4，
去分母得：
x?1x?4=x+1x+4，
整理得：10x=0，
解得：x=0，
檢驗：當x=0時，
x+1x?4=?4≠0，
∴原方程的解為x=0，
故答案：0．
14．（2023·廣東深圳·二模）對于實數(shù)a，b，定義一種新運算“θ”為： aθb=1a+b2，例如： 1θ2=11+22，則xθ?2=2x+4?2的解是 ．
【答案】x=?72/x=?3.5
【分析】利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．
【詳解】解：∵aθb=1a+b2，
∴xθ?2=2x+4?2，即1x+4=2x+4?2，
去分母得：1=2?2x+4，
解得：x=?72，
檢驗：當x=?72時，x+4≠0，
∴分式方程的解是x=?72，
故答案為：x=?72
【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
15．（21-22八年級下·江蘇揚州·期中）對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”；②若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程”．
(1)判斷一元一次方程3－2(1－x)=4x與分式方程2x+12x?1?1=44x2?1是否是“相似方程”，并說明理由；
(2)已知關(guān)于x，y的二元一次方程y=mx+6與y=x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．
【答案】(1)不是“相似方程”，理由見解析
(2)m=2或3
【分析】（1）求出兩方程的解，再根據(jù)“相似方程”的定義判斷即可．
（2）由“相伴方程”的定義求得方程解的表達式，進而分類討論求得滿足條件的m的值．
【詳解】（1）解：不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=12
解分式方程2x+12x?1?1=44x2?1，解得：x=12
檢驗：當x=12時，(2x+1)(2x－1)=0
∴分式方程無解
∴一元一次方程3－2(1－x)=4x與分式方程2x+12x?1?1=44x2?1不是“相似方程”．
（2）解：由題意，兩個方程有相同的整數(shù)解
∴mx+6=x+4m，
∴(m－1)x=4m－6，
①當m－1=0時，方程無解；
②當m－1≠0， 即m≠1時，x=4m?6m?1 ，即x=4－2m?1
∵x，y均為整數(shù)
∴m－1=1，2，－1，－2，
∴m=2，3，0，－1，
又∵m取正整數(shù)，
∴m=2或3
綜上所述，m=2或3．
【點睛】本題考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定義求解方程是解題的關(guān)鍵．
?題型05 與解分式方程有關(guān)的跨學(xué)科問題
16．化學(xué)小組欲將100g濃度為98%的酒精溶液稀釋為75%的酒精溶液．設(shè)需要加水xg，根據(jù)題意可列方程為 ．
【答案】0.98×100x+100=0.75
【分析】利用酒精的質(zhì)量不變列方程即可．
【詳解】解：設(shè)需要加水xg，
由題意得0.98×100x+100=0.75，
故答案為：0.98×100x+100=0.75．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，準確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，把R1、R2兩個電阻并聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，總電阻為R總，則U=IR總，其中，R1，R2，R總滿足關(guān)系式：1R總=1R1+1R2.當R1=10，R2=30，I=1.6時，求U的值．
【答案】12
【分析】先把R1、R2、R總關(guān)系式1R總=1R1+1R2化簡為最簡形式，然后把未知數(shù)對應(yīng)的值代入，得出R總的值，再根據(jù)U=IR總即可求出答案．
【詳解】解：分式方程兩邊同乘以R1·R2·R總，得
R1·R2＝R2·R總＋R1·R總
把R1=10，R2=30代入上式，得：
300＝40·R總
∴R總＝7.5
又∵U=IR總，I=1.6
∴U＝12
【點睛】本題主要考查解分式方程，先把分式方程化簡，再把解方程，關(guān)鍵是掌握分式方程化簡的方法和步驟．
18．科學(xué)中，經(jīng)常需要把兩種物質(zhì)混合制作成混合物，研究混合物的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)．現(xiàn)將甲、乙兩種密度分別為ρ甲，ρ乙的液體混合（ρ甲ρ2
(3)需要加水50g
【分析】本題考查列代數(shù)式，分式的加減，分式方程的應(yīng)用，掌握比差法是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)混合溶液密度為ρ1的兩種液體的體積分別為V，表示出兩種液體的質(zhì)量，利用公式解題即可；
（2）用含ρ甲，ρ乙式子表示出ρ2，然后利用比差法計算ρ1?ρ2的值進行比較大??；
（3）根據(jù)題意找出等量關(guān)系，利用分式方程解題即可．
【詳解】（1）解：設(shè)混合溶液密度為ρ1的兩種液體的體積分別為V，
∴ρ1=ρ甲V+ρ乙V2V=ρ甲+ρ乙2；
（2）設(shè)混合溶液密度為ρ2的兩種液體的質(zhì)量分別為m，
∴ρ2=m+mmρ甲+mρ乙=2ρ甲ρ乙ρ甲+ρ乙，
∵ρ1?ρ2=ρ甲+ρ乙2?2ρ甲ρ乙ρ甲+ρ乙=ρ甲+ρ乙2?4ρ甲ρ乙2(ρ甲+ρ乙)=ρ甲?ρ乙22(ρ甲+ρ乙)>0，
∴ρ1>ρ2；
（3）解：密度為1.2g/cm3的鹽水600g的體積為6001.2=500cm3，
設(shè)需要加水xg，即加入的水的體積為xcm3
則600500+x=1.1，
解得：x=50，
經(jīng)檢驗x=50是原方程的解．
答：需要加水50g，才能使密度為1.1g/cm3的雞蛋懸浮在稀釋后的鹽水中．
19．（2024·江蘇無錫·二模）在跨學(xué)科探究學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)如下兩個公式：如圖①，在串聯(lián)電路中，總電阻R滿足R=R1+R2；如圖②，在并聯(lián)電路中，總電阻R滿足1R=1R1+1R2．
(1)如圖③，已知R1=12Ω，R3=4Ω，總電阻為12Ω，求R2的值；
(2)如圖④，已知R0為定值電阻，現(xiàn)有兩個電阻R1和R2 R1

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2025年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第05講 一次方程（組）及其應(yīng)用（練習(xí)，19題型模擬練+重難練+真題練）

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2025年中考數(shù)學(xué)第04講 二次根式（練習(xí)，13題型模擬練+重難練+真題練）

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