TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc184387154"
\l "_Tc184387155" ?題型01 等式的性質(zhì)
\l "_Tc184387156" ?題型02 一元一次方程的相關(guān)概念
\l "_Tc184387157" ?題型03 二元一次方程的相關(guān)概念
\l "_Tc184387158" ?題型04 二元一次方程組的相關(guān)概念
\l "_Tc184387159" ?題型05 已知二元一次方程組的解求參數(shù)
\l "_Tc184387160" ?題型06 解一次方程（組）
\l "_Tc184387161" ?題型07 一元一次方程解的綜合應(yīng)用
\l "_Tc184387162" ?題型08 與一次方程（組）有關(guān)的污染問(wèn)題
\l "_Tc184387163" ?題型09 與一元一次方程有關(guān)的新定義問(wèn)題
\l "_Tc184387164" ?題型10 解二元一次方程組--特殊解法
\l "_Tc184387165" ?題型11 解二元一次方程組--錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題
\l "_Tc184387166" ?題型12 解二元一次方程組--同解方程組
\l "_Tc184387167" ?題型13 解二元一次方程組—拓展
\l "_Tc184387168" ?題型14 中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程組
\l "_Tc184387169" ?題型15 列方程（組）
\l "_Tc184387170" ?題型16 一元一次方程的應(yīng)用
\l "_Tc184387171" ?題型17 二元一次方程組的應(yīng)用
\l "_Tc184387172" ?題型18 中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc184387173" ?題型19 洛書
\l "_Tc184387174"
\l "_Tc184387175"
?題型01 等式的性質(zhì)
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）已知a=b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+2=b+2B．a(chǎn)c=bc
C．a(chǎn)?1>b?2D．a(chǎn)2>b3
【答案】D
【分析】本題考查了等式和不等式性質(zhì)，根據(jù)等式性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、a=b，a+2=b+2成立，不符合題意；
B、a=b，ac=bc成立，不符合題意；
C、a=b，a?1>b?2成立，不符合題意；
D、當(dāng)a=b=0時(shí)，a2=b3=0，故式子不一定成立，符合題意，
故選：D．
2．（2024·河北邯鄲·三模）天平兩邊托盤中相同形狀的物體質(zhì)量相同，且兩架天平均保持平衡，如圖，則關(guān)于“□”“?”“△”質(zhì)量的大小關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是 （ ）
A．△最重B．?最重C．□最重D．無(wú)法比較
【答案】C
【分析】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)兩個(gè)托盤的質(zhì)量相等列出方程組是解題的關(guān)鍵．設(shè)“□”“?”“△”質(zhì)量的大小分別為x，y，z，通過(guò)理解題意，可知本題的等量關(guān)系為x=2y3y=2z．即x=2yz=32y，根據(jù)等量關(guān)系求解即可．
【詳解】解：設(shè)“□”“?”“△”質(zhì)量的大小分別為x，y，z，
根據(jù)題意可得，
x=2y3y=2z
解得x=2yz=32y，
∴x>z>y
即“□”最重，
故選：C．
3．（2024·安徽亳州·三模）設(shè)a,b,c為互不相等的實(shí)數(shù)，且a=37b+17c，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)>b>cB．c>b>aC．a(chǎn)?b=6b?cD．a(chǎn)?c=3b?2a
【答案】D
【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)得到7a=3b+c，則a?c=3b?6a，據(jù)此可判斷D；例如當(dāng)a=2，b=3，c=5時(shí)，滿足7a=3b+c，據(jù)此可判斷A、C；例如當(dāng)a=?1，b=2，c=?13，滿足7a=3b+c，據(jù)此可判斷B．
【詳解】解：∵a=37b+17c，
∴7a=3b+c，
∴a?c=3b?6a，即a?c=3b?2a，故D結(jié)論正確，符合題意；
例如當(dāng)a=2，b=3，c=5時(shí)，滿足7a=3b+c，故A結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
∴此時(shí)a?b=?1，6b?c=?12，故C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
例如當(dāng)a=?1，b=2，c=?13，滿足7a=3b+c，故B結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：D．
4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)x、y、c是實(shí)數(shù)，正確的是（ ）
A．若x=y，則x+c=c?yB．若x=y，則c?x=c?y
C．若x=y，則xc=ycD．若x2c=y3c，則2x=3y
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，即可一一判定．
【詳解】解：A.若x=y，則x+c=y+c，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B.若x=y，則c?x=c?y，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C.若x=y且c≠0，則xc=yc，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D. 若x2c=y3c，則3x=2y，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
?題型02 一元一次方程的相關(guān)概念
1．（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）下列各式：①?2+5=3；②3x?5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可
【詳解】解：①不含未知數(shù)，故錯(cuò)
②未知數(shù)的最高次數(shù)為2，故錯(cuò)
③含一個(gè)未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對(duì)
④左邊不是整式，故錯(cuò)
⑤不是等式，故錯(cuò)
⑥含一個(gè)未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對(duì)
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握并理解一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵
2．（2020·吉林長(zhǎng)春·三模）關(guān)于x的一元一次方程2xa?2?2+m=4的解為x=1，則a+m的值為（ ）
A．9B．8C．7D．5
【答案】C
【分析】先根據(jù)一元一次方程的定義可得出a的值，再根據(jù)一元一次方程的解定義可求出m的值，然后代入求值即可．
【詳解】∵方程2xa?2?2+m=4是關(guān)于x的一元一次方程，
∴a?2=1，
解得a=3，
∴方程為2x?2+m=4，
又∵x=1是方程2x?2+m=4的解，
∴2×1?2+m=4，
解得m=4，
則a+m=3+4=7，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義、以及解定義，掌握理解一元一次方程的定義是解題關(guān)鍵．
3．（2024·廣東佛山·三模）小明做作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3x+12=2x+■電話詢問(wèn)老師后知道：方程的解x=1且被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)．則該常數(shù)是（ ）
A．32B．?32C．12D．?12
【答案】A
【分析】此題考查了一元一次方程的解．設(shè)被污染的常數(shù)■是a，把x=1代入計(jì)算即可求出a的值．
【詳解】解：設(shè)被污染的常數(shù)■是a，
把x=1代入3x+12=2x+a，得：3+12=2+a，
解得a=32，
故選A．
4．（2024·四川雅安·三模）已知x=2是關(guān)于x的一元一次方程m?1x+m2=1的解，則2042?2m4?4m3?12m的值是 ．
【答案】2024
【分析】本題考查了方程的解和求代數(shù)式的值，先將x=2代入一元一次方程，得出m2+2m=3，再將原式整理成2042?2m2m2+2m?12m，代入m2+2m=3得出2042?6m2?12m，最后整體代入求值即可．
【詳解】解：∵x=2是關(guān)于x的一元一次方程m?1x+m2=1的解，
∴2m?1+m2=1，
整理得m2+2m=3，
∴2042?2m4?4m3?12m
=2042?2m2m2+2m?12m
=2042?6m2?12m
=2042?6m2+2m
=2042?6×3
=2024．
故答案為：2024．
?題型03 二元一次方程的相關(guān)概念
1．（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．xy=1B．x2?1=0C．x?y=1D．x+1y=1
【答案】C
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得答案．
【詳解】解：A．含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；
B．含有1個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；
C．含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程，屬于二元一次方程，符合題意；
D．是分式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．
2．（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a?b?3ya+b=2是關(guān)于x、y的二元一次方程，則ab的值為（ ）
A．29B．2C．32D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解出a、b的值即可求出ab的值．
【詳解】解：∵方程x2a?b?3ya+b=2是關(guān)于x、y的二元一次方程
∴2a?b=1a+b=1
解得：a=23b=13
∴ab=23×13=29
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2023·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）若二元一次方程組x+y=33x?5y=1的解為x=ay=b，則a?b的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是觀察兩方程的系數(shù)，從而求出a?b的值．
把x、y的值代入方程組，再將兩式相加即可求出a?b的值．
【詳解】將x=ay=b代入方程組x+y=33x?5y=1，得：a+b=3①3a?5b=1②，
①+②，得：4a?4b=4，
則a?b=1，
故答案為1．
4．（2024·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）已知方程2x+y=0，請(qǐng)寫出該方程的一組解： ．
【答案】x=0y=0 （答案不唯一）
【分析】本題考查了二元一次方程的解，令x=0，求出y值即可．
【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=0，
故答案為：x=0y=0 （答案不唯一）．
?題型04 二元一次方程組的相關(guān)概念
1．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）與方程5x+2y=?9構(gòu)成的方程組，其解為x=?3y=3的是（ ）
A．x+2y=1B．3x+2y=?8C．3x?4y=?8D．5x+4y=?3
【答案】D
【分析】將解x=?3y=3代入選項(xiàng)中驗(yàn)證即可求解．
【詳解】解：A．x=?3y=3不是方程x+2y=1的解，該項(xiàng)不符合題意；
B．x=?3y=3不是方程3x+2y=?8的解，該項(xiàng)不符合題意；
C．x=?3y=3不是方程3x?4y=?8的解，該項(xiàng)不符合題意；
D．x=?3y=3是方程5x+4y=?3的解，該項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）在下列數(shù)對(duì)中：①x=2y=?2；②x=1y=0；③x=1y=?1；④x=5y=2，其中是方程x+y=0的解的是 ；是方程x?4y=5的解的是 ；既是方程x+y=0的解，又是方程x?4y=5的解的是 .(填序號(hào))
【答案】 ①③ ③ ③
【分析】把四組值分別代入方程x+y=0和x?4y=5，然后根據(jù)二元一次方程的解的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵2+(?2)=0；1+1≠0；1+(?1)=0；5+2≠0，
∴①③是方程x+y=0的解；
∵當(dāng)x=2，y=?2時(shí)，x?4y=2?4×(?2)=10，
∴①不是方程x?4y=5的解；
∵當(dāng)x=1，y=0時(shí)，x?4y=1?4×0=1，
∴②不是方程x?4y=5的解；
∵當(dāng)x=1，y=?1時(shí)，x?4y=1?4×(?1)=5，
∴③是方程x?4y=5的解；
∵當(dāng)x=5，y=2時(shí)，x?4y=5?4×2=?3，
∴④不是方程x?4y=5的解．
故答案為①③；③；③．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．
3．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x，y的方程組3x+5y=m+22x+3y=m，給出下列結(jié)論：①x=3y=?4是方程組的解；②m=2時(shí)，x，y的值互為相反數(shù)；③無(wú)論m的x，y都滿足的關(guān)系式x+2y=2；④x，y的都為自然數(shù)的解有2對(duì)，其中正確的為 ．（填正確的序號(hào)）
【答案】②③④
【分析】先解方程組用m表示出x與y，根據(jù)方程組解的情況即可作出判斷．
【詳解】解：解出方程組得x=2m?6y=4?m，
①由x＝3得，2m-6＝3，解得m＝92，
由y＝-4得，4-m＝-4，解得m＝8，
∴x=3y=?4不是方程組的解，
故①不正確；
②若x，y的值互為相反數(shù)，
2m-6+4-m＝0，
解得m＝2，
故②正確；
③∵2m-6+2（4-m）＝2，
∴無(wú)論m取何值，x，y都是滿足關(guān)系式x+2y＝2，
故③正確；
④∵x，y的都為自然數(shù)，
∴m＝3，4，共2個(gè)，
即x=0y=1，x=2y=0．
故④正確；
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．
?題型05 已知二元一次方程組的解求參數(shù)
1．（2024·廣東汕頭·一模）若關(guān)于x，y的方程組2x?y=2m?1x?2y=n的解滿足x+y=?4，則4m÷2n的值為（ ）
A．8B．18C．6D．?6
【答案】B
【分析】本題考查二次一次方程組含參問(wèn)題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵，利用①?②得：x+y=2m?n?1，即可得到2m?n=?3，再將4m÷2n=22m÷2n=22m?n，代入即可得到答案．
【詳解】解：2x?y=2m?1①x?2y=n②
①?②得：x+y=2m?n?1，
∴x+y=?4，
∴2m?n?1=?4，
∴2m?n=?3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m?n=2?3=18，
故選：B．
2．（2023·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c無(wú)解，則（ ）
A．5a=4cB．4a=5bC．4a=5cD．5a=4b
【答案】B
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)二元一次方程組無(wú)解時(shí)，即可得出a與b得關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，當(dāng)a1a2=b1b2≠c1c2時(shí)方程組無(wú)解．
【詳解】∵關(guān)于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c無(wú)解，
∴5a=4b，
∴4a=5b，
故選：B．
3．（2024·湖北荊州·一模）已知x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8bx?ay=1的解，則3a?12b的立方根為 ．
【答案】2
【分析】本題考的是二元一次方程的解，以及立方根，解題的關(guān)鍵是求出a、b的值．先把x=2y=1代入方程組，求出a、b的值，即可得到答案.
【詳解】解：∵ x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8bx?ay=1的解，
∴ 2a+b=82b?a=1，
解得：a=3b=2，
∴ 3a?12b=3×3?12×2=8，
∴ 3a?12b的立方根為38=2，
故答案為：2．
4．（2024·甘肅·一模）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=kx+2y=?1的解滿足x>y，則k的取值范圍為 ．
【答案】k>?53/k>?123
【分析】本題主要考查解二元一次方程組以及不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)遠(yuǎn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵ 2x+3y=kx+2y=?1，
∴x=2k+3y=?k?2，
∵x>y，
∴2k+3>?k?2，
解得k>?53，
故答案為：k>?53．
5．（2023·山東濟(jì)寧·一模）已知關(guān)于x，y的方程組x+y?b=03x+y?2=0的解是x=?1y=m，則直線y=?x+b與直線y=?3x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)是 .
【答案】(?1,5)
【分析】
將解代入方程3x+y?2=0，求得m，即得答案．
【詳解】由題意知，3×(?1)+m?2=0，
解得m=5，
交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,5)；
故答案為：(?1,5)．
【點(diǎn)睛】本題考查方程組解的定義，一次函數(shù)圖象與二元一次方程組的聯(lián)系，理解一次函數(shù)圖象交點(diǎn)與二元一次方程組解的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
?題型06 解一次方程（組）
1．（2024·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）解下列方程：
(1)2x?13?5x+26=1?2x2?2．
(2)x2?y+13=13x+2y=10．
【答案】(1)x=?1
(2)x=3y=12
【分析】本題考查的是解一元一次方程以及二元一次飯方程，掌握方程的相關(guān)解法是解題關(guān)鍵．
（1）依次去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，即可解方程；
（2）利用加減消元法，即可解方程．
【詳解】（1）解：2x?13?5x+26=1?2x2?2
去分母得：2(2x?1)?(5x+2)=3(1?2x)?12，
去括號(hào)得：4x?2?5x?2=3?6x?12，
移項(xiàng)得：4x?5x+6x=3?12+2+2，
合并同類項(xiàng)得：5x=?5，
系數(shù)化為1得：x=?1；
（2）解：x2?y+13=1①3x+2y=10②
由①得：3x?2y=8③，
②+③得，6x=18，
解得x=3，
②?③得，4y=2，
解得y=12，
∴方程組的解是x=3y=12．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）解方程組：
(1)2x+y=?54x?5y=11
(2)x?22?5?y3=1x0.2?y+10.3=5
【答案】(1)x=?1y=?3
(2)x=92y=174
【分析】本題考查了解二元一次方程組．
（1）利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先將方程組整理成一般式，再利用加減消元法求解可得．
【詳解】（1）解：2x+y=?5①4x?5y=11②，
①×5+②，14x=?14，
解得x=?1，
把x=?1代入①，?2+y=?5，
解得y=?3，
∴原方程組的解是x=?1y=?3；
（2）解：x?22?5?y3=1x0.2?y+10.3=5，
化簡(jiǎn)方程組可得，3x+2y=22①3x?2y=5②，
①+②得，6x=27，
解得x=92，
將x=92代入②，得y=174，
∴方程組的解為x=92y=174．
?題型07 一元一次方程解的綜合應(yīng)用
1．（2023·河北石家莊·一模）已知P=A?B?C，
(1)若A=?20，B=?13?1，C=?52，求P的值．
上面的計(jì)算過(guò)程有錯(cuò)誤嗎？如果有，請(qǐng)你指出是第幾步錯(cuò)誤，并求出正確的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，當(dāng)x為何值時(shí)，P的值為7
【答案】(1)第一步，?8
(2)x=2
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，開平方，按照計(jì)算法則計(jì)算即可解答；
（2）列方程，解出即可解答．
【詳解】（1）解：第一步，
P=?20×?13?1??52
=1×?3?5
=?3?5
=?8；
（2）解：當(dāng)A=3，B=2x，C=2x+1時(shí)，
P=3?2x?2x+1=7，
解得：x=2．
【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，開平方，解一元一次方程，熟知計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江金華·一模）如圖是一道關(guān)于整式運(yùn)算的例題及正確的解答過(guò)程，其中A，B是兩個(gè)關(guān)于x的二項(xiàng)式．
(1)二項(xiàng)式A為_______，二項(xiàng)式B為_______．
(2)當(dāng)x為何值時(shí)，A與B的值相等？
【答案】(1)2x?3，3x+5
(2)x=?8
【分析】本題考查了整式的加減，解一元一次方程，掌握整式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意添括號(hào)，即可求解；
（2）根據(jù)題意，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵2A?3B
=4x?6?9x?15
=22x?3?33x+5
∴A=2x?3,B=3x+5；
（2）解：依題意，2x?3=3x+5，
解得：x=?8．
3．（2024·河北保定·三模）把式子?4x+3記作P，式子x?6記作Q，
(1)當(dāng)x=?3時(shí)，P=______，Q=______；
(2)若P，Q的值互為相反數(shù)，求x．
【答案】(1)15；?9
(2)x=?1
【分析】本題考查了解一元一次方程，相反數(shù)的定義及代數(shù)式求值．
（1）將x=?3分別代入?4x+3和x?6計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意，列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當(dāng)x=?3時(shí)，
P=?4×?3+3=15，Q=?3?6=?9；
（2）解：根據(jù)題意，則?4x+3+x?6=0，
即?4x+x=6?3
解得：x=?1．
4．（2022·河北廊坊·二模）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為－2，1，P為A點(diǎn)左側(cè)上的一點(diǎn)，它表示的數(shù)為x．
(1)用含x的代數(shù)式表示PB+PA2的值．
(2)若以PO，PA，AB的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成等腰三角形，請(qǐng)求出符合條件的x的值．
【答案】(1)?1?2x2
(2)x=?3或x=?5
【分析】（1）將PA、PB表示出來(lái)，代入PA+PB2 即可；
（2）將PO，PA，AB的長(zhǎng)分別用x表示出來(lái)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，即可求得。
【詳解】（1）解：∵PB=1?x，PA=?2?x，
∴PA+PB2=1?x?2?x2=?1?2x2；
（2）解：PA=?2?x，PO=?x，AB=3,
若以PO，PA，AB的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成等腰三角形，則
當(dāng)PO=PA時(shí)，即?x=?2?x，方程無(wú)解，故不符合題意；
當(dāng)PO=AB時(shí)，即?x=3，解得x=?3，則三邊分別為3，3，1，滿足條件；
當(dāng)AB=PA時(shí)，即3=?2?x，解得x=?5，則三邊分別為3，3，5，滿足條件；
滿足條件的值為：x=?3或x=?5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離、等腰三角形的性質(zhì)，解一元一次方程，根據(jù)條件列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
?題型08 與一次方程（組）有關(guān)的污染問(wèn)題
1．（2022·河北保定·一模）對(duì)于題目：“若方程組x?y=p2x+y=0的解為x=1y=a，且整式A=a?3+a2+□a?1，求：整式A的值．”
小明化簡(jiǎn)求值時(shí)，將系數(shù)□看錯(cuò)了，他求的A的值為0；
小宇求的結(jié)果，與題的正確答案一樣，A的值為6．
(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是多少？
(2)化簡(jiǎn)整式A．
【答案】(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是?1
(2)A=a2?3a?4
【分析】（1）先求出a=?2p=3，設(shè)小明將系數(shù)□看成了m，則A=a2+m+1a?4，根據(jù)小明求的A的值，得到關(guān)于m的方程，解方程即可得到m=?1；
（2）設(shè)正確的□為n，則A=a2+n+1a?4，根據(jù)小宇求的A的值為6得到?22+n+1??2?4=6，解得：n=?4，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵方程組x?y=p2x+y=0的解為x=1y=a
∴1?a=p2+a=0，解得a=?2p=3．
設(shè)小明將系數(shù)□看成了m，則A=a?3+a2+ma?1=a2+m+1a?4，
∵小明求的A的值為0，
∴?22+m+1??2?4=0，
解得：m=?1，即小明將系數(shù)□看成的數(shù)是?1；
（2）設(shè)正確的□為n，
則A=a?3+a2+na?1=a2+n+1a?4，
∵小宇求的A的值為6
∴?22+n+1??2?4=6，解得：n=?4，
∴A=a2+?4+1a?4=a2?3a?4．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解、一元一次方程的應(yīng)用、整式的加減等知識(shí)，熟練掌握一元一次方程的的解法和整式的加減法則是解題的關(guān)鍵
2．（2022·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：?6×23?■?23．圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是12，請(qǐng)計(jì)算?6×23?12?23．
(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得?6×23?x?23=6，解方程即可；
【詳解】（1）解：?6×23?12?23=?6×16?8 =?1?8=?9；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，
由題意，得?6×23?x?23=6，解得x=3，
所以被污染的數(shù)字是3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、一元一次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和步驟是接替的關(guān)鍵．
3（2022·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x?12+＝3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)被污染了；
(1)嘉淇猜是2，請(qǐng)解一元一次方程3x?12+2=3；
(2)若老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
【分析】（1）由題意得方程3x?12+2=3，按解一元一次方程的一般步驟求解即可；
（2）設(shè)被污染的正整數(shù)為m，得方程3x?12+m=3，求解得x=7?2m3，再根據(jù)解是正整數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：3x?12+2=3，
去分母，得3x?1+4=6；
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得3x=3；
系數(shù)化為1，得x=1．
（2）解：設(shè)被污染的正整數(shù)為m，
則有3x?12+m=3，
解之得，x=7?2m3，
∵7?2m3是正整數(shù)，且m為正整數(shù)，
∴m=2．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
4（2022·河北保定·一模）已知整式a2?2ab?■ab?4b2，其中“■”處的系數(shù)被墨水污染了．當(dāng)a=?2，b=1時(shí)，該整式的值為16．
(1)則■所表示的數(shù)字是多少？
(2)小紅說(shuō)該代數(shù)式的值是非負(fù)數(shù)，你認(rèn)為小紅的說(shuō)法對(duì)嗎？說(shuō)明理由．
【答案】(1)■所表示的數(shù)字是2；
(2)小紅的說(shuō)法是正確的，理由見解析.
【分析】（1）直接把a(bǔ)=?2，b=1代入代數(shù)式其值等于16，解關(guān)于■方程即可；
（2）把（1）求得的■的結(jié)果代入代數(shù)式整理即可求解．
【詳解】（1）（1）將a=?2，b=1代入a2?2ab?■ab?4b2，
可得4+4?(■×(?2)?4)=16，解得■=2；
（2）（2）由（1）求得的結(jié)果可得該整式為，
a2?2ab?2ab?4b2=a2?4ab+4b2=(a?2b)2≥0，
故小紅的說(shuō)法是正確的．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解題的關(guān)鍵．
?題型09 與一元一次方程有關(guān)的新定義問(wèn)題
1．（2022·河北石家莊·三模）若兩個(gè)有理數(shù)A、B滿足A+B=8，則稱A、B互為“吉祥數(shù)”．如5和3就是一對(duì)“吉祥數(shù)”．回答下列問(wèn)題：
(1)求?5的“吉祥數(shù)”；
(2)若3x的“吉祥數(shù)”是?4，求x的值；
(3)x和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請(qǐng)求出；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)13
(2)x=4
(3)不能，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)由“吉祥數(shù)”的定義求解即可；
（2）由題意知3x?4=8，計(jì)算求解即可；
（3）依題意，x+9=?8，進(jìn)而作出判斷，即可求解．
【詳解】（1）解：由“吉祥數(shù)”的定義可知
?5的“吉祥數(shù)”為8??5=13；
（2）解：由題意知3x?4=8
解得x=4
∴x的值為4．
（3）解：若|x|和9互為“吉祥數(shù)”，則有x+9=8
∵x≥0
∴x+9≥9≠8
∴|x|和9不能互為“吉祥數(shù)”．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元一次方程，絕對(duì)值的非負(fù)性等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解．
2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n都有m☆n=mn?3n，例如4☆2=4×2?3×2=8?6=2，請(qǐng)根據(jù)上述知識(shí)解決下列問(wèn)題．
(1)x☆2>4，求x取值范圍；
(2)若x☆?14=3，求x的值；
(3)若方程x☆□=x?6，□中是一個(gè)常數(shù)，且此方程的一個(gè)解為x=1，求□中的常數(shù)．
【答案】(1)x>5
(2)x=?9
(3)52
【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意列出方程進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）設(shè)□中的常數(shù)為y，根據(jù)題意列出關(guān)于y的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：∵x☆2>4，
∴2x?3×2>4，
解得：x>5．
（2）解：∵x☆?14=3，
∴?14x?3×?14=3，
解得：x=?9．
（3）解：設(shè)□中的常數(shù)為y，根據(jù)題意得：
xy?3y=x?6，
∵此方程的一個(gè)解為x=1，
∴y?3y=1?6，
解得：y=52．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，解不等式，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意列出相應(yīng)的不等式或方程．
3．（2024浦口區(qū)模擬）閱讀下列材料：讓我們來(lái)規(guī)定一種運(yùn)算：ac bd=ad?bc，例如：23 41=2×1?4×3=?10，再如：xy 62=2x?6y．按照這種運(yùn)算的規(guī)定：請(qǐng)解答下列各個(gè)問(wèn)題：
(1)?24 ?53=______．
(2)當(dāng)x1 1?x2=0時(shí)，求x的值．
(3)將下面式子進(jìn)行因式分解：x2?2x?3 8x2?2x?11
【答案】(1)14
(2)13
(3)x+1x?3x+2x?4
【分析】（1）先按新運(yùn)算的規(guī)定方法計(jì)算，再作有理數(shù)的混合運(yùn)算；
（2）先按新運(yùn)算的規(guī)定方法展開等號(hào)左邊，再解方程即可；
（3）先按新運(yùn)算的規(guī)定方法展開，再把x2?2x看作一個(gè)整體展開x2?2xx2?2x?11，而后按二次項(xiàng)系數(shù)是“1”的二次三項(xiàng)式的因式分解方法分解因式．
【詳解】（1）原式=(?2)×3?(?5)×4=?6+20=14，
故答案為：14；
（2）由題意得，2×x?(1?x)×1=0，
解得：；
（3）原式=(x2?2x)(x2?2x?11)?(?3)×8
=(x2?2x)2?11(x2?2x)+24
=(x2?2x?3)(x2?2x?8)
=x+1x?3x+2x?4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了定義新運(yùn)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義，有理數(shù)的運(yùn)算，整式的運(yùn)算，解方程，換元法，因式分解．
?題型10 解二元一次方程組--特殊解法
1．（2024·山東煙臺(tái)·一模）閱讀下列解方程的解法，然后解決有關(guān)問(wèn)題.
解方程組19x+18y=17 117x+16y=15 2時(shí)，如果考慮常規(guī)的消元法(即代入消元法和加減消元法)那將非常麻煩！若用下而的方法，則輕而易舉.
解：(1)-(2)，得2x+2y=2，即x+y=1(3).
(3)×16，得16x+16y=16(4).
(2)-(4)，得x=?1.
把x=?1代入(3)得?1+y=1，即y=2.
所以原方程組的解是x=?1y=2.
以上解法的技巧是根據(jù)方程的特點(diǎn)構(gòu)造了方程(3)，我們把這種解法稱為構(gòu)造法，請(qǐng)你用構(gòu)造法解方程組7x+11y=913x+17y=21.
【答案】x=134y=?54
【分析】本題考查了解二元一次方程組，②?①得出6x+6y=12，求出x+y=2③，①?③×7求出y=?54，把y=?54代入③求出x即可．
【詳解】解：7x+11y=9①13x+17y=21②
②?①得：6x+6y=12，即：x+y=2③，
①?③×7得：4y=?5，解得：y=?54，
把y=?54代入③得：x=134，
所以原方程組的解為：x=134y=?54．
2．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來(lái)的某些變量，變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果，換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，對(duì)于一些較繁較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)進(jìn)行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明．
例1：計(jì)算：20163?2015×2016×2017．
解：設(shè)2016=x，則原式=x3?x?1?xx+1=x3?xx2?1=x=2016．
請(qǐng)你利用上述方法解答下列問(wèn)題：
(1)計(jì)算：123456789×123456786?123456788×123456787；
(2)已知方程組2a?3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則方程組2x+2?3y?1=133x+2+5y?1=30.9的解是 ．
【答案】(1)?2
(2)x=6.3y=2.2
【分析】本題考查了換元法解復(fù)雜式子以及二元一次方程組，整式的乘法運(yùn)算，解決本題（2）的關(guān)鍵是先求(x+2)、(y?1)的解，再求x、y的值．
（1）仿照例題的思路，設(shè)123456786=x，分別表示原式=(x+3)?x?(x+2)(x+1)，然后進(jìn)行整式乘法運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)加減法，可得(x+2)、(y?1)的解，再根據(jù)解方程，可得答案．
【詳解】（1）解：依題意，
設(shè)123456786=x，
123456789×123456786?123456788×123456787
=(x+3)?x?(x+2)(x+1)
=x2+3x?x2+3x+2
=x2+3x?x2?3x?2
=?2
（2）解：∵方程組2a?3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，
同理∴方程組2(x+2)?3(y?1)=133(x+2)+5(y?1)=30.9中x+2=8.3y?1=1.2
∴ x=6.3y=2.2
3．（2024·廣東珠海·三模）閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù).
“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想方法，數(shù)學(xué)課上，張老師給出了一個(gè)問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)m，n滿足m+n?2=0①4m+n+n=5②，求m+n和2m?n的值.
小真：利用消元法解方程組，分別求出m，n的值后，再代入m+n和2m?n即可.
小善：由①，得m+n=2，③
將③代入②，得4×2+n=5，解得n=?3，
把n=?3代入③，解得m=5，
所以原方程組的解為m=5n?3
張老師對(duì)兩位同學(xué)的講解進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出小善同學(xué)的思路體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“整體思想”的運(yùn)用，請(qǐng)你參考小善同學(xué)的做法，完成以下兩個(gè)任務(wù).
(1)任務(wù)一：解方程組2a?3b?5=02a?3b+27+b=0
(2)任務(wù)二：在（1）的前提下取a，b的值，若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有唯一的交點(diǎn)，求此拋物線的解析式.
【答案】(1)a=1b=?1
(2)y=x2?x+14
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組、拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題、一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵.
（1）直接運(yùn)用整體代入消元法解答即可；
（2）先將a=1b=?1代入y=ax2+bx+c得y=x2?x+c，然后根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可.
【詳解】（1）解：2a?3b?5=0①2a?3b+27+b=0②
由①得2a?3b=5③
將③代入②，得1+b=0，解得b=?1，
將b=?1代入③，解得a=1，
所以原方程組的解為a=1b=?1.
（2）解：將a=1b=?1代入y=ax2+bx+c得y=x2?x+c
∵拋物線與x軸有唯一的交點(diǎn)，
∴Δ=(?1)2?4×1×c=0，解得c=14，
∴拋物線的解析式為y=x2?x+14.
4．（2024煙臺(tái)市模擬）［閱讀理解]在解方程組或求代數(shù)式的值時(shí)，可以用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡(jiǎn)．
（1）解方程組x+2x+y=3①x+y=1②，
解：把②代入①得，x+2×1=3，
解得x=1，
把x=1代入②得y=0，
所以方程組的解為x=1y=0，
（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②求x+y+z的值．
解：①+②，得10x+10y+10z=40，③
③÷10，得x+y+z=4．
［類比遷移]
（1）求方程組3a?b+4=2aa?b=2的解．
（2）若6x+5y+z=82x+y?3z=4求x+y+z的值．
【答案】（1）a=5b=3；（2）x+y+z=1
【分析】（1）根據(jù)題干給出的方法解二元一次方程組即可；
（2）利用整體的思想求出x+y+z=1即可．
【詳解】（1）3a?b+4=2a①a?b=2②把②代入①，
得3×2+4=2a，
解得a=5．
把a(bǔ)=5代入②，得b=3，
∴方程組的解為a=5b=3；
（2）6x+5y+z=8①2x+y?3z=4②，
①?②得：4x+4y+4z=4，
∴x+y+z=1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解方程組的方法，準(zhǔn)確計(jì)算，注意整體思想．
?題型11 解二元一次方程組--錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題
1．（2024周口市三模）解方程組ax+by=2cx?7y=8時(shí)，一學(xué)生把c看錯(cuò)而得到x=?2,y=2,而正確的解是x=3,y=?2,那么a+b?c= .
【答案】11
【分析】將錯(cuò)誤的解和正確的解分別代入方程組，得出b?a=1和3a?2b=2，c=?2，聯(lián)立關(guān)于a,b的方程組，解得a,b的值，即可得解.
【詳解】將x=?2,y=2,代入方程組，得b?a=1①
將x=3,y=?2,代入方程組，得3a?2b=2②，c=?2
①②聯(lián)立，得
b?a=13a?2b=2
解得a=4b=5
∴a+b?c=4+5+2=11
故答案為：11.
【點(diǎn)睛】此題主要考查利用二元一次方程組的解求參數(shù)的值，熟練掌握，即可解題.
2．（2021·廣東汕頭·一模）甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x?by=?10②，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=1乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為x=5y=?4
（1）求a，b的值；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程ax2?bx+m=0兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，且滿足7x1?2x2=7，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】（1）a=7b=?2；（2）m=?5
【分析】（1）將x=?3y=1代入方程②求出b的值，將x=5y=?4代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再將a，b的值代入ax2?bx+m=0中，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到方程組，解出兩個(gè)根，即可得出m的值．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意得5a+5×?4=154×?3?b=?10解得a=7b=?2
（2）當(dāng)a=7b=?2時(shí)，一元二次方程ax2?bx+m=0化為7x2+2x+m=0，
由根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=?27，x1×x2=m7
聯(lián)成方程組得x1+x2=?277x1?2x2=7，解得x1=57x2=?1
∴m=?5
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解和解二元一次方程組，一元二次方程以及根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
?題型12 解二元一次方程組--同解方程組
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知方程組2x?y=7x+y=a和方程組x?y=b3x+y=8有相同的解，求a，b的值．
【答案】a=2，b=4
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法和步驟是解題關(guān)鍵．利用加減消元法解方程組2x?y=73x+y=8得到x、y的值，再把x、y的值代入方程組求解即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，可有2x?y=7①3x+y=8②，
①+②，可得 5x=15，
解得 x=3，
x=3把代入①，可得2×3?y=7，
解得y=?1，
∴該方程組的解為x=3y=?1，
∵方程組2x?y=7x+y=a和方程組x?y=b3x+y=8有相同的解，
∴a=3+?1=2，b=3??1=4．
2．（2024·廣東江門·一模）已知方程組5x?2y=3mx+5y=4與x?4y=?35x+ny=1有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2m?7x?3n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，求△ABC的面積．
【答案】(1)m=?1n=?4
(2)S△ABC=6
【分析】本題主要考查了同解方程組，解一元二次方程，解二元一次方程組，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同解方程組的定義，求出m、n的值．
（1）解方程組5x?2y=3x?4y=?3得x=1y=1，根據(jù)同解方程組，得出方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1y=1，代入求出m、n的值即可；
（2）把m=?1n=?4代入x2m?7x?3n=0得出x2?7x+12=0，解一元二次方程得出△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為3，4，根據(jù)勾股定理逆定理得出△ABC為直角三角形，求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：由方程組5x?2y=3x?4y=?3得：x=1y=1，
∵方程組5x?2y=3mx+5y=4與x?4y=?35x+ny=1有相同的解，
∴方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1y=1，
∴m+5=45+n=1，
解得：m=?1n=?4；
（2）解：把m=?1n=?4代入關(guān)于x的一元二次方程x2m?7x?3n=0得：x2?7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
∴△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為3，4，
∵第三邊BC的長(zhǎng)為5，
又∵32+42=52，
∴△ABC為直角三角形，
∴S△ABC=12×3×4=6．
?題型13 解二元一次方程組—拓展
1．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）閱讀素材并解決問(wèn)題．
【答案】問(wèn)題1：105；問(wèn)題2：45°；問(wèn)題3：見解析
【分析】本題考查了“設(shè)參法”，解題關(guān)鍵是先設(shè)定一個(gè)輔助未知量（輔助元），然后根據(jù)輔助元與未知量之間的關(guān)系，建立一個(gè)包含輔助元、未知量和已知量的方程或代數(shù)式，最后通過(guò)消元法或代換法來(lái)解決問(wèn)題．
（1）按題目提示即可解答；
（2）設(shè)∠A=α，則∠C=90°?∠A=90°?α，由BA=BE可知∠BEA=∠A=α，進(jìn)而可得∠ABE=180°?2α，∠EBC=∠ABC?∠ABE=2α?90°，∠CBD=12∠EBC=α?45°，再由三角形外角性質(zhì)可得∠ADB=∠CBD+∠C=45°；
（3）設(shè)P(m,n)，用m、n、k表示點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)，求得tan∠PBA=APBP=nm，tan∠PDC=PCPD=nm，即可得出∠PBA=∠PDC，進(jìn)而證明結(jié)論．
【詳解】解：?jiǎn)栴}1： x+y+z=105．
問(wèn)題2：設(shè)∠A=α，∵BA=BE，∴∠BEA=∠A=α
根據(jù)三角形內(nèi)角和可得：∠A+∠BEA+∠ABE=180°
∴∠ABE=180°?2α
∵∠ABC=90°
∴∠EBC=∠ABC?∠ABE=90°?(180°?2α)=2α?90°
∵BD平分∠CBE
∴∠CBD=12∠EBC=α?45°
∵∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∴∠C=90°?∠A=90°?α
∴∠ADB=∠CBD+∠C=(α?45°)+(90°?α)=45°．
問(wèn)題3：方法一：設(shè)P(m,n)
∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，且點(diǎn)C，點(diǎn)D在雙曲線y=kx上，
∴C(m,km),D(kn,n)
∴AC=km， BD=kn
∴PD=BP?BD=m?kn=mn?kn
PC=AP?AC=n?km=mn?km
∴tan∠PBA=APBP=nm，tan∠PDC=PCPD=mn?kmmn?kn=nm
∴tan∠PBA=tan∠PDC
∴∠PBA=∠PDC
∴AB∥CD．
方法二：設(shè)P(m,n)
∵ PA⊥x軸，PB⊥y軸，且點(diǎn)C、點(diǎn)D在雙曲線y=kx上，
∴ C(m,km),D(kn,n)
∴AC=km， BD=kn
∴PD=BP?BD=m?kn=mn?kn
PC=AP?AC=n?km=mn?km
∴PDBP=mn?knm=mn?kmn，PCAP=mn?kmn=mn?kmn
∴PDBP=PCAP
又∵∠P=∠P
∴△PCD∽△PAB
∴∠PCD=∠PAB
∴AB∥CD．
2．（2023·浙江臺(tái)州·三模）密度是物質(zhì)的重要屬性，生產(chǎn)、生活中常常需要測(cè)量各種液體的密度．某同學(xué)在綜合實(shí)踐活動(dòng)中自制了測(cè)量液體密度的杠桿密度計(jì)，可以從杠桿上的刻度直接讀出液體密度的數(shù)值，受到了老師的肯定和表?yè)P(yáng)，結(jié)構(gòu)如圖所示．所用器材：輕質(zhì)杠桿（自身重力忽略不計(jì)）、兩種規(guī)格的空桶（100mL和200mL）、質(zhì)量為m的物體A、細(xì)線．設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

(1)將杠桿在O點(diǎn)懸掛起來(lái)，空桶懸掛在B點(diǎn)，質(zhì)量為m的物體A懸掛在C點(diǎn)時(shí)，杠桿水平平衡．測(cè)出B點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l，C點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l0，此時(shí)滿足G桶?l=GA?l0，即：G桶?l=mg?l0，則C點(diǎn)的密度刻度線應(yīng)標(biāo)注為 ；
(2)在B點(diǎn)的空桶內(nèi)注滿液體，空桶容積為V，移動(dòng)物體A至C1位置，使杠桿在水平位置平衡．C1點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l1，此時(shí)滿足G桶+G液?l=GA?l1，即：G桶+ρ液Vg?l=mg?l1，則C1點(diǎn)的密度值為 （用m、V、l、l0、l1表示）；
(3)已知密度為1.0×103kg/m3刻度線與零刻度線之間的距離為4cm，求密度為0.8×103kg/m3刻度線與零刻度線之間的距離是多少cm？
(4)要使制作的杠桿密度計(jì)測(cè)量精度更高一些，應(yīng)選擇規(guī)格的空桶（選填“100mL”或“200mL”）．
【答案】(1)0
(2)ρ液=ml1?l0Vl
(3)3.2cm
(4)200mL
【分析】本題主要考查杠桿平衡的條件，整式的混合運(yùn)算，函數(shù)思想的運(yùn)用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握函數(shù)思想解實(shí)際問(wèn)題的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，杠桿平衡時(shí)空桶和懸掛物理的情況進(jìn)行分析即可求解；
（2）根據(jù)杠桿平衡的條件，得到空桶內(nèi)注滿液體時(shí)的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)立方程組求解即可；
（3）根據(jù)空桶時(shí)杠桿平衡的條件，倒?jié)M液體時(shí)平衡的條件列方程組求解即可；
（4）根據(jù)杠桿平衡條件F1L1=F2L2，可得L1=F2L2F1，結(jié)合函數(shù)的增減性知識(shí)即可求解．
【詳解】（1）解：將杠桿在O點(diǎn)懸掛起來(lái)，空桶懸掛在B點(diǎn)，質(zhì)量為m的物體A在C點(diǎn)時(shí)，杠桿水平平衡，此時(shí)桶中沒有液體，
∴密度為0，
故答案為：0；
（2）解：在B點(diǎn)懸掛空桶時(shí)，杠桿平衡，根據(jù)題意，G桶·l=GA·l0，即G桶·l=mg·l0，
在B點(diǎn)的空桶內(nèi)注滿液體，空桶容積為V，則液體的重力G液=m液g=ρ液Vg，
∵此時(shí)移動(dòng)物體A至C1，杠桿在水平位置平衡，
∴根據(jù)杠桿平衡條件得，G桶+G液·l=GA·l1，即G桶+ρ液Vg·l=mg·l1，
∴G桶·l=mg·l0G桶+ρ液Vg·l=mg·l1，
解得，ρ液=ml1?l0Vl，
故答案為：ρ液=ml1?l0Vl；
（3）解：當(dāng)測(cè)量密度為1.0×103kg/m3的液體時(shí)，由1.0×103kg/m3的刻度線與零刻度線之間的距離為4cm，即此時(shí)的物體A的力臂為：l'=l0+4(cm)，
∴G桶+G'·l=GA·l'，即G桶+1.0×103×Vg·l=mg·l0+4，
當(dāng)測(cè)量密度為0.8×103kg/m3的液體時(shí)，此時(shí)的物體A的力臂為：l″=l0+Δl（cm），
∴G桶+G″·l=GA·l″，即G桶+0.8×103×Vg·l=mg·l0+Δl，
∴G桶·l=mg·l0G桶+1.0×103×Vg·l=mg·l0+4G桶+0.8×103×Vg·l=mg·l0+Δl，
解得，Δl=3.2cm；
（4）解：設(shè)物體A對(duì)桿秤的力為動(dòng)力，則液體和桶對(duì)桿秤的力為阻力，
∴F1L1=F2L2，即L1=F2L2F1，
在動(dòng)力F1與阻力臂L2不變的情況下，增大液體重力，即增加空桶的容積，則L1變大，即該密度秤的精度會(huì)增加，
∴應(yīng)該選擇200mL規(guī)格的空桶，
故答案為：200mL．
3．（2023·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考
小敏在九年級(jí)復(fù)習(xí)階段，針對(duì)“一次方程的解”整理得出以下幾種方法，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).
任務(wù)：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C． 數(shù)形結(jié)合 D．分類討論
(2)解方程23x+4=2+x的步驟從第__________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是_________________，方程正確的解為___________________________.
(3)實(shí)際上，除了解二元一次方程組外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí).例如：可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元一次方程的解，請(qǐng)你再舉出一例；
【答案】(1)B
(2)一，+x移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)；x=6
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根據(jù)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解方程，再進(jìn)行判斷即可；
（3）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系舉例即可．
【詳解】（1）解：由題意可得，解方程的基本思想是是轉(zhuǎn)化思想，
故選：B．
（2）解：由題意可得，第一步：移項(xiàng)得，23x?x=2?4，
第二步：合并同類項(xiàng)得，?13x=?2，
第三步：化系數(shù)為1得，x=6，
∴從第一步開始出錯(cuò)，原因是：x移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，
故答案為：一，+x移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，x=6．
（3）解：用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程的解（用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元一次不等式的解集）．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程和二元一次方程組、函數(shù)與方程的關(guān)系，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．
?題型14 中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程組
1．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）以下是圓圓解方程x+12?x?33=1的解答過(guò)程．
解：去分母，得3(x+1)?2(x?3)=1
去括號(hào)，得3x+1?2x+3=1
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x=?3．
(1)圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過(guò)程；
(2)請(qǐng)嘗試解方程x+10.2?x?30.3=1．
【答案】(1)有錯(cuò)誤，見解析
(2)x=?425
【分析】（1）去分母的時(shí)候方程的右邊沒有乘上6，去括號(hào)后，兩個(gè)括號(hào)的后一項(xiàng)漏乘，更正后再根據(jù)解一元一次方程的基本步驟進(jìn)行解題，即可作答．
（2）根據(jù)解一元一次方程的基本步驟可得答案．
本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：圓圓的解答過(guò)程錯(cuò)誤，正確的解答過(guò)程如下：
x+12?x?33=1，
去分母，得3(x+1)?2(x?3)=6，
去括號(hào)，得3x+3?2x+6=6，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x=?3；
（2）解：x+10.2?x?30.3=1，
5(x+1)?10(x?3)3=1，
去分母得15(x+1)?10(x?3)=3，
去括號(hào)得15x+15?10x+30=3，
移項(xiàng)得15x?10x=3?15?30，
合并同類項(xiàng)得5x=?42，
系數(shù)化1得x=?425．
2．（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解：x?2y=1①2x+2y=5②
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：將③代入②，得2×2y+1+2y=5
第三步：解得y=23
第四步：將y=1代入③，解得x=73；
第五步：所以原方程組的解為x=23y=73
任務(wù)一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；
任務(wù)二：小亮解方程組的過(guò)程，從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是________．
任務(wù)三：請(qǐng)寫出方程組正確的解答過(guò)程．
【答案】任務(wù)一：代入；任務(wù)二：二，整體代入未添加括號(hào)（言之成理即可）；任務(wù)三：過(guò)程見解析．
【分析】根據(jù)二元一次方程的解法分別以各個(gè)任務(wù)進(jìn)行判斷整理即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，小亮用的方法是代入消元；
但是從第二步開始錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因：整體代入未添加括號(hào)；
正確的解答過(guò)程：由①得x=2y+1 ③
將③代入②得2(2y+1)+2y=5
解得y=12，代入③，解得x=2
∴原方程組的解為：x=2y=12
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加減消元是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：??12023+?23×12?4cs60°；
（2）下面是小輝和小瑩兩位同學(xué)解方程組x?3y=?1,2x+3y=7的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解：令x?3y=?1①2x+3y=7②
任務(wù)一：請(qǐng)你從中選擇一位同學(xué)的解題過(guò)程并解答下列問(wèn)題．
①我選擇___________同學(xué)的解題過(guò)程，該同學(xué)第一步變形的依據(jù)是___________；
②該同學(xué)從第___________開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是___________；
任務(wù)二：直接寫出該方程組的正確解；
任務(wù)三：除以上兩位同學(xué)的方法，請(qǐng)你再寫出一種方法（不用求解）．
【答案】（1）?5；（2）①小輝；等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)法，所得結(jié)果仍是等式）；②三；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是“?”號(hào)，去年括號(hào)后未給 括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；任務(wù)二：x=2y=1；任務(wù)三：②?①×2
【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方以及特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）任務(wù)一：①根據(jù)小輝或小瑩的解法分析，根據(jù)等式的基本性質(zhì)1即可求解；②根據(jù)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是“?”號(hào)，去年括號(hào)后未給 括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；
任務(wù)二：根據(jù)加減消元法解二元一次方程組；
任務(wù)三：②?①×2，加減消元法解二元一次方程組即可求解．
【詳解】解：原式=1+?8×12?2
=1+?4?2=?5；
（2）任務(wù)一：①小輝；
等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)法，所得結(jié)果仍是等式）；
②三；
去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是“?”號(hào)，去年括號(hào)后未給 括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；
或①小瑩；
等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式）；
②四；
移項(xiàng)未變號(hào)；
任務(wù)二：令x?3y=?1①2x+3y=7②
①+②得，3x=6
解得：x=2
將x=2代入①得，2?3y=?1
解得：y=1
正確的解為x=2y=1
任務(wù)三：②?①×2．
得9y=9
解得：y=1，代入①得x?3=?1，
解得：x=2
【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方以及特殊角的三角函數(shù)值，解二元一次方程組，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
?題型15 列方程（組）
1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問(wèn)：人與車各幾何？大意：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問(wèn)：人與車各多少？小青根據(jù)題意列出方程組y+2=3xy?9=2x小云根據(jù)題意列出一元一次方程3x?2=2x+9，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．小青正確，小云錯(cuò)誤B．小青錯(cuò)誤，小云正確
C．小青、小云都正確D．小青、小云都錯(cuò)誤
【答案】B
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程和二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次和二元一次方程組是解題的關(guān)鍵，根據(jù)“若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，和關(guān)于x的一元一次方程．
【詳解】解：設(shè)人數(shù)量為y個(gè)，車的輛數(shù)為x輛，
若3人坐一輛車，則兩輛車是空的，
∴y=3x?2；
若2人坐一輛車，則9人需要步行，
∴y?9=2x，
∴3x?2=2x+9，
根據(jù)意可列出方程組為y=3x?2y?9=2x，
即小青錯(cuò)誤，小云正確，
故選：B．
2．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）地理老師介紹道：長(zhǎng)江比黃河長(zhǎng)836千米，黃河長(zhǎng)度的6倍比長(zhǎng)江長(zhǎng)度的5倍多1284千米，小東根據(jù)地理教師的介紹，設(shè)長(zhǎng)江長(zhǎng)為x千米，黃河長(zhǎng)為y千米，然后通過(guò)列、解二元一次方程組，正確的求出了長(zhǎng)江和黃河的長(zhǎng)度，那么小東列的方程組可能是（ ）
A．x?y=8365x?6y=1284B．x?y=8366x?5y=1284
C．x+y=8366y?5x=1284D．x?y=8366y?5x=1284
【答案】D
【分析】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，根據(jù)題意，找出等量關(guān)系:長(zhǎng)江比黃河長(zhǎng)836千米，黃河長(zhǎng)度的6倍比長(zhǎng)江長(zhǎng)度的5倍多1284千米，列出方程組，選出正確答案即可，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程組．
【詳解】設(shè)長(zhǎng)江長(zhǎng)為x千米，黃河長(zhǎng)為y千米，
由題意得，x?y=8366y?5x=1284，
故選：D．
3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問(wèn)清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問(wèn)清酒、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（ ）
A．x+y=510x+3y=30B．x+3y=53x+10y=30C．x+3y=30x10+y3=5D．x+y=30x3+y10=5
【答案】A
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題列二元一次方程，設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，根據(jù)“現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒”列出二元一次方程組即可，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，
由題意得：x+y=510x+3y=30，
故選：A．
4．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）成語(yǔ)“朝三暮四”講述了一位老翁喂養(yǎng)猴子的故事，老翁為了限定猴子的食量分早晚兩次投喂，早上的糧食是晚上的34，猴子們對(duì)于這個(gè)安排很不滿意，于是老翁進(jìn)行調(diào)整，從晚上的糧食中取2千克放在早上投喂，這樣早上的糧食是晚上的43，猴子們對(duì)這樣的安排非常滿意．設(shè)調(diào)整前早上的糧食是x千克，晚上的糧食是y千克，則可列方程組為（ ）
A．x=43yx+2=34(y?2)B．x=34yx+2=43(y?2)
C．x=34yx?2=43yD．x=43yx?2=34(y+2)
【答案】B
【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)調(diào)整前和調(diào)整后分別列式，可列二元一次方程組，即可選出答案．
【詳解】解：∵調(diào)整前早上的糧食是x千克，晚上的糧食是y千克，且早上的糧食是晚上的34，
∴x=34y．
∵老翁從晚上的糧食中取2千克放在早上投喂后，
∴早上糧食為(x+2)千克，晚上糧食為(y?2)千克，
∵調(diào)整后早上的糧食是晚上的43，
∴x+2=43(y?2)，
∴可列方程組x=34yx+2=43(y?2)，
故選B．
5．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）某車間有20名工人，每人每天可以生產(chǎn)600個(gè)螺母或900個(gè)螺絲．一個(gè)螺絲需要配兩個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺絲與螺母剛好配套，設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意可列方程為 ．
【答案】600x=2×900(20?x)
【分析】本題考查了列一元一次方程，設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺母，則(20?x)名工人生產(chǎn)螺絲，根據(jù)題意列方程即可．掌握列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立等量關(guān)系．
【詳解】解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺母，則(20?x)名工人生產(chǎn)螺絲，
由題意得600x=2×900(20?x)，
故答案為：600x=2×900(20?x)．
6．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問(wèn)人車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剛好每車坐滿后還剩余2輛車沒人坐；若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無(wú)車可乘只能步行，問(wèn)共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x輛車，則可列方程 ．
【答案】3x?2=2x+9
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程．根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意，得：3x?2=2x+9．
故答案為：3x?2=2x+9．
?題型16 一元一次方程的應(yīng)用
1．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）2024年3月22日，“世界水日”、“中國(guó)水周”山西省宣傳活動(dòng)在太原啟動(dòng)，本1次活動(dòng)，旨在調(diào)動(dòng)全社會(huì)各方力量團(tuán)結(jié)治水興水，吸引并推動(dòng)社會(huì)公眾關(guān)心支持水利事業(yè)為貫徹落實(shí)本次活動(dòng)精神，太原市現(xiàn)計(jì)劃修一條水渠便于引水用水．已知，甲工程隊(duì)活單獨(dú)修需20天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要的天數(shù)比甲工程隊(duì)單獨(dú)完成天數(shù)的35多少2天．
(1)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要多少天？
(2)若甲先單獨(dú)修5天，之后甲乙合作修完這條水渠，求甲乙還需合作幾天才能修完這條水渠？
【答案】(1)10天
(2)5天
【分析】（1）根據(jù)題意列出算式計(jì)算即可求解；
（2）設(shè)甲乙還需合作y天才能修完這條水渠，根據(jù)題意列出方程即可求解；
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：20×35?2=10，
答：乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要10天；
（2）解：設(shè)甲乙還需合作y天才能修完這條水渠，
由題意得，1205+y+110y=1，
解得y=5，
答：甲乙還需合作5天才能修完這條水渠．
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)分別表示a，b，且a，b分別是3，?2兩數(shù)中的一個(gè)．
(1)求a?b的值；
(2)若在數(shù)軸上添加點(diǎn)C，其表示的數(shù)為c，且a?b?c的值與a，b，c三數(shù)的平均數(shù)相等，求c的值，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)C的位置．
【答案】(1)?5
(2)c=?4，數(shù)軸見解析
【分析】本題考查有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的減法及解一元一次方程．
（1）根據(jù)數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的位置，可得a=?2,b=3，代入a?b計(jì)算即可；
（2）由題意，得a?b?c=a+b+c3，根據(jù)（1）中a?b=?5，可得?5?c=?2+3+c3，求出c=?4，即可解答．
【詳解】（1）解∶由點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置可知，a=?2,b=3，
∴a?b=?2?3=?5；
（2）解：由題意，得a?b?c=a+b+c3，即?5?c=?2+3+c3，
解得c=?4，
點(diǎn)C在數(shù)軸上的位置如圖所示．
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）為助力環(huán)保事業(yè)，某企業(yè)先將該月銷售的A 款產(chǎn)品所有營(yíng)收的40%捐給中國(guó)環(huán)?；饡?huì)，后同樣再次捐贈(zèng)該月銷售的B款產(chǎn)品所有營(yíng)收的50%，已知該月銷售A、B兩款產(chǎn)品共1000個(gè)，A款產(chǎn)品每個(gè)售價(jià)為100元，B款產(chǎn)品每個(gè)售價(jià)為120元，設(shè)該月銷售A款產(chǎn)品x個(gè)．
(1)該企業(yè)第一次捐贈(zèng) 元，第二次捐贈(zèng) 元；(用含x的式子表示)
(2)該企業(yè)兩次共捐贈(zèng)48000元，那么該企業(yè)月銷售A、B兩款產(chǎn)品各多少個(gè)？
【答案】(1)40x，60000?60x
(2)該企業(yè)月銷售A、B兩款產(chǎn)品各600個(gè)，400個(gè)．
【分析】此題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵正確分析等量關(guān)系．
（1）根據(jù)題意列式求解即可；
（2）根據(jù)題意列出方程求解即可．
【詳解】（1）40%×100x=40x（元），50%×1201000?x=(60000?60x)（元）
∴該企業(yè)第一次捐贈(zèng)40x元，第二次捐贈(zèng)60000?60x（元）；
（2）根據(jù)題意得，40x+60000?60x=48000
解得x=600
1000?600=400（個(gè)）．
∴該企業(yè)月銷售A、B兩款產(chǎn)品各600個(gè)，400個(gè)．
4．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中記載：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問(wèn)人和車各幾何？”其大意是：“今有若干人乘車，每3人乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，最終剩下9人因無(wú)車可乘而步行，問(wèn)有多少人，多少輛車？”試求有多少人，多少輛車．
【答案】有39人，15輛車．
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)共有x輛車，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)共有x輛車，
根據(jù)題意得，3(x?2)=2x+9，
解得x=15，
∴3×(15?2)=39人，
答：有39人，15輛車．
?題型17 二元一次方程組的應(yīng)用
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）每年5—7月份，某商家都會(huì)在線上平臺(tái)開設(shè)的網(wǎng)店銷售荔枝和龍眼兩種水果．下表是5月份某個(gè)星期兩種水果的銷售信息（荔枝2kg/箱，龍眼2.5kg/箱）．
這個(gè)星期網(wǎng)店銷售荔枝和龍眼共1150kg，獲利9600元，求這個(gè)星期網(wǎng)店銷售荔枝和龍眼各多少箱．
【答案】荔枝200箱，龍眼300箱
【分析】本題主要考查二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．熟練掌握總利潤(rùn)與每箱利潤(rùn)和數(shù)量的關(guān)系，列出方程組，是解題的關(guān)鍵．
設(shè)這個(gè)星期網(wǎng)店銷售荔枝x箱，龍眼y箱，根據(jù)“這個(gè)星期網(wǎng)店銷售荔枝和龍眼共1150kg，獲利9600元”，列出二元一次方程組，即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)星期網(wǎng)店銷售荔枝x箱，龍眼y箱，依題意得：
2x+2.5y=115018x+20y=9600，
解得：x=200y=300．
答：這個(gè)星期網(wǎng)店銷售荔枝200箱，龍眼300箱．
2．（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校課后服務(wù)開展有聲有色，這個(gè)學(xué)期因更多的學(xué)生選擇足球和籃球班，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)若干個(gè)足球和籃球．已知籃球和足球的單價(jià)相差30元，且購(gòu)買4個(gè)足球的費(fèi)用與購(gòu)買3個(gè)籃球的費(fèi)用相同，求每個(gè)籃球和足球價(jià)格分別是多少元？
【答案】120元和90元
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每個(gè)籃球的價(jià)格為x元，每個(gè)足球的價(jià)格為y元，由題意知籃球的單價(jià)高于足球的單價(jià)，再由籃球和足球的單價(jià)相差30元，且購(gòu)買4個(gè)足球的費(fèi)用與購(gòu)買3個(gè)籃球的費(fèi)用相同，列出方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)每個(gè)籃球的價(jià)格為x元，每個(gè)足球的價(jià)格為y元，
由題意知籃球的單價(jià)高于足球的單價(jià)，
則x?y=303x=4y，
解得：x=120y=90
答：每個(gè)籃球和足球價(jià)格分別是120元和90元．
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長(zhǎng)·書香恩施”的號(hào)召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動(dòng)需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購(gòu)買一套服裝．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購(gòu)買1套男裝和1套女裝共需220元；購(gòu)買6套男裝與購(gòu)買5套女裝的費(fèi)用相同．男裝、女裝的單價(jià)各是多少？
【答案】男裝單價(jià)為100元，女裝單價(jià)為120元
【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，根據(jù)1套男裝和1套女裝共需220元，購(gòu)買6套男裝與購(gòu)買5套女裝的費(fèi)用相同列出二元一次方程組求解即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，
根據(jù)題意得：x+y=2206x=5y
解得：x=100y=120
答：男裝單價(jià)為100元，女裝單價(jià)為120元．
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）（綜合與實(shí)踐）如圖，某綜合實(shí)踐小組在課后利用小球和水做實(shí)驗(yàn)，根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)放入一個(gè)小球水面升高 cm，放入一個(gè)大球水面升高 cm；
(2)如果放入10個(gè)球且使水面恰好上升到52cm，應(yīng)放入大球、小球各多少個(gè)？
【答案】(1)2，3
(2)應(yīng)放入大球6 個(gè)，小球4 個(gè)
【分析】本題考查了二元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，二元一次方程組的解法，解答時(shí)理解圖的含義是解答本題的關(guān)鍵．
（1）水面升高量除以球的個(gè)數(shù)即可求解；
（2）可設(shè)應(yīng)放入大球x個(gè)，小球y個(gè)，根據(jù)要使水面上升到26cm，列出方程組，再求解即可．
【詳解】（1）解：32?26÷3=6÷3=2cm，
32?26÷2=6÷2=3cm；
答：放入一個(gè)小球水面升高2cm，放入一個(gè)大球水面升高3cm；
（2）解：設(shè)應(yīng)放入大球x個(gè)，小球y個(gè)，依題意有
x+y=103x+2y=52?26
解得：x=6y=4，
答：應(yīng)放入大球6個(gè)，小球4個(gè)．
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校七年級(jí)為了開展球類興趣小組，需要購(gòu)買一批足球和籃球．若購(gòu)買4個(gè)籃球和3個(gè)足球需花費(fèi)530元，若購(gòu)買1個(gè)籃球和6個(gè)足球需花費(fèi)500元．求籃球和足球的單價(jià)各是多少元？
【答案】籃球和足球的單價(jià)各是80元，70元．
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)籃球和足球的單價(jià)各是x元，y元，根據(jù)購(gòu)買4個(gè)籃球和3個(gè)足球共需530元，購(gòu)買1個(gè)籃球和6個(gè)足球共需500元列出方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)籃球和足球的單價(jià)各是x元，y元，
由題意得，4x+3y=530x+6y=500，
解得x=80y=70，
答：籃球和足球的單價(jià)各是80元，70元．
?題型18 中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用
1．（2024·江西吉安·三模）小亮在實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，沒有找到天平稱取實(shí)驗(yàn)所需藥品的質(zhì)量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質(zhì)量（杠桿原理：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂）．如圖1，當(dāng)天平左盤放置質(zhì)量為60克的物品時(shí)，右盤中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱的藥品放在右盤后，左盤放置15克砝碼，才可使天平再次平衡，則該藥品的質(zhì)量是 克．

【答案】5
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)該藥品質(zhì)量為x克，根據(jù)“動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”得“動(dòng)力阻力=阻力臂動(dòng)力臂”，根據(jù)題意列出方程2060=x15，即可求解．
【詳解】解：設(shè)該藥品質(zhì)量為x克，
由題意可得：2060=x15 ，
解得x=5．
故答案為：5．
2．（2024·河南漯河·二模）綜合與實(shí)踐：如何稱量一個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量？
如圖是一架自制天平，支點(diǎn)O固定不變，左側(cè)托盤固定在點(diǎn)A處，右側(cè)托盤（點(diǎn)P）可以在橫梁BC段滑動(dòng)（點(diǎn)P不與B，C重合）．已知OA=OC=10cm，BC=25cm，砝碼的質(zhì)量為100g．根據(jù)杠桿原理，平衡時(shí)：左盤砝碼質(zhì)量×OA=右盤物體質(zhì)量×OP（不計(jì)托盤與橫梁質(zhì)量）．
(1)設(shè)右側(cè)托盤中放置物體的質(zhì)量為yg，OP的長(zhǎng)為xcm，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
(2)由于一個(gè)空的礦泉水瓶太輕無(wú)法稱量，小組進(jìn)行如下操作：左側(cè)托盤放置砝碼，右側(cè)托盤的點(diǎn)P由點(diǎn)C向點(diǎn)B滑動(dòng)，向空瓶中加入28g的水后，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P移動(dòng)到PC的長(zhǎng)為15cm時(shí)，天平平衡．求這個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量．
【答案】(1)y=1000x(10≤x≤35)
(2)這個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量為12g
【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)杠桿平衡的條件找到相等關(guān)系并合理使用是解決本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)左盤砝碼重量×OA=右盤物體重量×OP，把相關(guān)數(shù)值代入后整理可得y與x的關(guān)系式；
（2）設(shè)空瓶的質(zhì)量為mg，加水后的質(zhì)量均為28+mg，根據(jù)左盤砝碼重量×OA=右盤物體重量×OP列出一元一次方程求解即可得到空瓶的質(zhì)量．
【詳解】（1）解：∵左盤砝碼重量×OA=右盤物體重量×OP，右側(cè)托盤中放置物體的質(zhì)量為yg，OP的長(zhǎng)為xcm，砝碼的質(zhì)量是100g，OA=10cm，
∴100×10=xy，
∴y=1000x．
∵OC=10cm，BC=25cm，
∴OB=35cm，
∵點(diǎn)P可以在橫梁BC段滑動(dòng)，
∴10≤OP≤35．
即10≤x≤35．
答：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=1000x(10≤x≤35)；
（2）解：設(shè)空礦泉水瓶的質(zhì)量為mg．
根據(jù)題意，得100×10=10+1528+m，
解得m=12．
∴這個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量為12g．
3．（2024·河南商丘·二模）高鐵站候車廳的飲水機(jī)（圖1）上有溫水、開水兩個(gè)按鈕，示意圖如圖2所示．小明先接溫水再接開水，打算接500mL的水，期間不計(jì)熱損失．利用圖中信息解決下列問(wèn)題：
(1)若小明先接溫水19s，求需再接開水的時(shí)間．
(2)設(shè)接溫水的時(shí)間為xs，水杯中水的溫度為y℃．
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
②求水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時(shí)，至少需要接多少mL的溫水?
【答案】(1)需再接開水的時(shí)間為8s
(2)①y=?145x+100；②當(dāng)水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時(shí)，至少需要接400mL溫水
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)需再接開水的時(shí)間為t s．根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由題意知溫水體積為20xmL，開水體積為500?20xmL，根據(jù)等量關(guān)系列式，即可求解；②由題意知y≤44，求出x≥20，得出x的最小值為20，再計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)需再接開水的時(shí)間為t s．
根據(jù)題意，得20×19+15t=500，
解得t=8．
答：需再接開水的時(shí)間為8s．
（2）解：①由題意，知溫水體積為20xmL，開水體積為500?20xmL，
∴20xy?30=500?20x100?y．
化簡(jiǎn)，得y=?145x+100．
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=?145x+100．
②由題意，知y≤44，
∴?145x+100≤44，
解得x≥20．
∴x的最小值為20．
20×20=400mL．
∴當(dāng)水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時(shí)，至少需要接400 mL溫水．
?題型19 洛書
1．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）幻方，相傳最早見于我國(guó)的“洛書”，如圖1的洛書，每一行、每一列以及每條斜對(duì)角線上的點(diǎn)數(shù)之和都相等，轉(zhuǎn)換為數(shù)字如圖2所示，它是一種三階幻方．根據(jù)三階幻方規(guī)則，由圖3中已知數(shù)求出x?y的值為（ ）
A．?3B．3C．?2D．2
【答案】A
【分析】本題考查等式的性質(zhì)．由題意，可得：x+6=3+y，求解即可．
【詳解】解：由題意，得：x+6=3+y，
∴x?y=3?6=?3；
故選：A．
2．（2023·江蘇蘇州·二模）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方，圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是( )
A．13B．12C．11D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，然后列出方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)如圖表所示：
根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：y+z?x=4，
又根據(jù)題意可得：x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：z?x=2，x+z?y=20，
聯(lián)立方程組得：
y+z?x=4z?x=2x+z?y=20
解得：x=10y=2z=12
∴x+y=12，
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查三元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程組并求解是解題關(guān)鍵．
3．（2024·河北邯鄲·二模）幻方的歷史悠久，傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”中，有一種特殊的三角形幻方，是由4個(gè)較小的三角形和3個(gè)較大的三角形構(gòu)成，且滿足每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和相等．如圖1是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和為7+3+5=15，該圖中每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)字之和都為15，圖2是這種特殊的三角形幻方．
（1）若圖2滿足三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和為15，n=7，則m= ；A處的數(shù)值為 ；
（2）x的值為 ．
【答案】 12 1 ?10
【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，整式的加減運(yùn)算．
（1）根據(jù)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和為15，得到m+n?4=15，A+2+m=15，將n=7代入計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和相等求出A、B，即可得到答案．
【詳解】解：（1）由題意，得：m+n?4=15，A+2+m=15，
∵n=7，
∴m=15+4?7=12，
∴A=15?2?12=1；
故答案為：12,1；
（2）∵2+m+A=?4+m+n，
∴A=n?6
∵?4+A+B=?4+m+n，
∴B=m+n?A=m+n?n+6=m+6，
∵n+B+x=m+n?4，
∴x=m?4?B=m?4?m?6=?10；
故答案為：?10．
4．（2024·四川德陽(yáng)·二模）幻方是一種中國(guó)傳統(tǒng)游戲，我國(guó)古代的《洛書》中記載了最早的幻方—九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，表1是一個(gè)已完成的幻方．表2是一個(gè)未完成的幻方，其中A?B的值為 ．
表1
表2
【答案】?6
【分析】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識(shí)，列出關(guān)于x，A，B（y可以消掉）的三元一次方程組，并解出可用含x的代數(shù)式表示出A，B的值是解題的關(guān)鍵．
設(shè)左下角的空格中的數(shù)字為，根據(jù)每一行、每一列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，可列出關(guān)于x，A，B（y可以消掉）的三元一次方程組，解出可用含x的代數(shù)式表示出A，B的值，再將其代入A?B中，即可求出結(jié)論．
【詳解】設(shè)左下角的空格中的數(shù)字為y，
根據(jù)題意得：x?7?2+y=?4+A+yx?7+x+5?4=?2+A+B，
解得：A=x?5B=x+1，
∴A?B=x?5?x+1=?6．
故答案為：?6．
5．（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國(guó)古代夏禹時(shí)期的“洛書”(如圖①)，是世界上最早的矩陣，又稱幻方．用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，洛書就是一個(gè)三階幻方(如圖②)．
（1）觀察圖②，根據(jù)九宮圖中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出幻方需要滿足的條件是 ；
（2）若圖③是一個(gè)幻方，求圖中a= ，b=
【答案】 每一橫行、每一豎列、每一對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相同 ?3 0
【分析】通過(guò)觀察和口算每橫行、每豎行、每條對(duì)角線上的三數(shù)和，便可確定出“幻方”需要的條件，再由此規(guī)律列出二元一次方程組，解方程組即可．
【詳解】解：通過(guò)觀察和口算可知，“幻方”需要滿足的條件是：每一橫行、每一豎列、每一對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相同．
由幻方的條件得：4+2+a=?1+1+34+a+2=4?1+b，
解得：a=?3b=0，
故答案為：①每一橫行、每一豎列、每一對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相同；②?3，③0．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵
1．（2024·浙江·中考真題）有編號(hào)分別為①~⑧的8個(gè)球，其中6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)都輕1克，為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，則兩個(gè)輕球的編號(hào)應(yīng)該是（ ）
A．④⑤B．③⑥C．③⑤D．③④
【答案】A
【分析】本題考查的是推理與論證，靈活應(yīng)用等式性質(zhì)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
由①+②比③+④重可知③與④中至少有一個(gè)輕球，由⑤+⑥比⑦+⑧輕可知⑤與⑥至少有一個(gè)輕球，①+③+⑤和②+④+⑧一樣重可知兩個(gè)輕球的編號(hào)是④⑤．
【詳解】解：∵①+②比③+④重，
∴③與④中至少有一個(gè)輕球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧輕，
∴⑤與⑥至少有一個(gè)輕球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，
∴從第三次稱量看，①、③、⑤三個(gè)球中有一個(gè)輕的，②、④、⑧三個(gè)球中有一個(gè)輕的．
∴兩個(gè)輕球的編號(hào)是④⑤．
故選：A．
2．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：a?b=a2?b,a≤0,?a+b,a>0,例如：?2?4=(?2)2?4=0，2?3=?2+3=1．若x?1=?34，則x的值為 ．
【答案】?12或74
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運(yùn)算的定義．根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程求解即可．
【詳解】解：∵a?b=a2?b,a≤0,?a+b,a>0,
而x?1=?34，
∴①當(dāng)x≤0時(shí)，則有x2?1=?34，
解得，x=?12；
②當(dāng)x>0時(shí)，?x+1=?34，
解得，x=74
綜上所述，x的值是?12或74，
故答案為：?12或74．
3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+y=bcx?y=d的解是x=3y=?2，則關(guān)于x、y的方程組ax+2y=2a+bcx?2y=2c+d的解是 ．
【答案】x=5y=?1
【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把x=3y=?2，代入ax+y=bcx?y=d，得到3a?2=b3c+2=d，整體代入ax+2y=2a+bcx?2y=2c+d中，得到方程組ax+2y=5a?2①cx?2y=5c+2②，加減消元法解方程組即可．
【詳解】解：把x=3y=?2代入ax+y=bcx?y=d，得：3a?2=b3c+2=d，
∵ax+2y=2a+bcx?2y=2c+d，
∴ax+2y=2a+3a?2cx?2y=2c+3c+2，即：ax+2y=5a?2①cx?2y=5c+2②，
①+②，得：a+cx=5a+c，
∵方程組ax+y=bcx?y=d有解，
∴a+c≠0，
∴x=5，
把x=5代入①，得：5a+2y=5a?2，解得：y=?1；
∴方程組的解集為：x=5y=?1；
故答案為：x=5y=?1．
4．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2?n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2?n的過(guò)程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?02=252?23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602=252?23的過(guò)程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 ．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A=m2?n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n=k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 ．
【答案】 82 4564
【分析】本題考查了新定義，設(shè)m=10a+b，則n=10a+8?b（1≤a≤9，0≤b≤8）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得m=10,n=18，代入，即可求解；根據(jù)B除以19余數(shù)為1，且2m+n=k2（k為整數(shù)），得出3a+4b+719為整數(shù)，30a+b+8是完全平方數(shù)，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解．
【詳解】①設(shè)m=10a+b，則n=10a+8?b（1≤a≤9，0≤b≤8）
由題意得：m2?n=10a+b2?10a+8?b，
∵1≤a≤9，“方減數(shù)”最小，
∴a=1，
則m=10+b，n=18?b，
∴m2?n=10+b2?18?b=100+20b+b2?18+b=82+b2+21b，
則當(dāng)b=0時(shí)，m2?n最小，為82，
故答案為：82；
②設(shè)m=10a+b，則n=10a+8?b（1≤a≤9，0≤b≤8）
∴B=1000a+100b+10a+8?b=1010a+99b+8
∵B除以19余數(shù)為1，
∴1010a+99b+7能被19整除
∴B?119=53a+5b+3a+4b+719為整數(shù)，
又2m+n=k2（k為整數(shù)）
∴210a+b+10a+8?b=30a+b+8是完全平方數(shù)，
∵1≤a≤9，0≤b≤8
∴30a+b+8最小為49，最大為256
即7≤k≤16
設(shè)3a+4b+7=19t，t為正整數(shù)，
則1≤t≤3
當(dāng)t=1時(shí)，3a+4b=12，則b=3?34a，則30a+b+8=30a+3?34a+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，無(wú)整數(shù)解，
當(dāng)t=2時(shí)，3a+4b=31，則b=31?3a4,則30a+b+8=30a+31?3a4+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，無(wú)整數(shù)解，
當(dāng)t=3時(shí)，3a+4b=50，則b=50?3a4，則30a+b+8=30a+50?3a4+8是完全平方數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=6,b=8時(shí)，3a+4b+7=3×6+4×8+7=57=19×3，30×6+8+8=196=142，t=3,k=14，
∴m=68,n=60，
∴A=682?60=4564
故答案為：82，4564．
5．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一個(gè)圓柱體容器，其底部有三個(gè)完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個(gè)小球，每個(gè)小球標(biāo)有從1至9中選取的一個(gè)數(shù)字，且每個(gè)小球所標(biāo)數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個(gè)小球放入容器中，搖動(dòng)容器使這三個(gè)小球全部落入不同的小孔槽（每個(gè)小孔槽只能容下一個(gè)小球），取出小球記錄下各小孔槽的計(jì)分（分?jǐn)?shù)為落入該小孔槽小球上所標(biāo)的數(shù)字），完成第一次操作．再重復(fù)以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計(jì)分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計(jì)分最高的是乙槽，則第二次操作計(jì)分最低的是 （從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．
【答案】乙槽
【分析】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得x+y+z=10，當(dāng)y=z=1時(shí)，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作最小的是乙槽．
本題考查了方程的應(yīng)用，特殊解，熟練掌握整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得x+y+z=10，當(dāng)y=z=1時(shí)，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作計(jì)分最低的是乙槽．
故答案為：乙槽．
6．（2024·山西·中考真題）健康中國(guó)，營(yíng)養(yǎng)先行．今年5月12日-18日是第十屆全民營(yíng)養(yǎng)周，社區(qū)食堂在全民營(yíng)養(yǎng)周到來(lái)之際，推出系列營(yíng)養(yǎng)套餐，其中營(yíng)養(yǎng)套餐A的菜品如下圖所示．
(1)該套餐中的蛋白質(zhì)和脂肪這兩類營(yíng)養(yǎng)素主要來(lái)自清蒸魚塊和滑炒雞丁，每100克清蒸魚塊和滑炒雞丁中的蛋白質(zhì)和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品提供的蛋白質(zhì)、脂肪量應(yīng)分別為34克、24.8克、求每份該種套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品各有多少克；
(2)按配餐要求，每份素炒時(shí)蔬中芹菜與西蘭花共260克，已知每100克芹菜與每100克西蘭花分別含有1.5克、2.5克的膳食纖維，若要使每份素炒時(shí)蔬中所含的膳食纖維不少于5克，則每份素炒時(shí)蔬中西蘭花至少有多少克？
【答案】(1)每份該種套筤中清蒸魚塊有100克，滑炒雞丁有120克
(2)110克
【分析】題目主要考查二元一次方程組及不等式的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)的方程及不等式是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)每份該種套餐中清蒸魚塊有x克，滑炒雞丁有y克，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)每份素炒時(shí)蔬中西蘭花有m克，根據(jù)題意列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)每份該種套餐中清蒸魚塊有x克，滑炒雞丁有y克，
根據(jù)題意，得16100x+15100y=34,8100x+14100y=24.8.
解，得x=100,y=120.
答：每份該種套筤中清蒸魚塊有100克，滑炒雞丁有120克．
（2）設(shè)每份素炒時(shí)蔬中西蘭花有m克，
根據(jù)題意，得2.5100m+1.5100260?m≥5．
解，得m≥110．
所以，m的最小值為110．
答：每份素炒時(shí)荒中西蘭花最少有110克．
1．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問(wèn)題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，則下列方程正確的是（ ）
A．17x+19x=1B．17x?19x=1C．9x+7x=1D．9x?7x=1
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為17，大雁的速度為19，設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，則相遇時(shí)野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程．
【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，
可列方程為：17x+19x=1，
故選：A．
2（2024·四川宜賓·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問(wèn)快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程，解出即可．
【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，
據(jù)題題意：240x=150x+12×150，
解得：x=20．
答：快馬20天可以追上慢馬．
故選：D．
3．（2024·山東日照·中考真題）我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子來(lái)量竿，卻比竿子短一托，問(wèn)索、竿各長(zhǎng)幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長(zhǎng)5尺；若將繩對(duì)折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問(wèn)繩和竿各有多長(zhǎng)？”設(shè)繩長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意得（ ）（注：“托”和“尺”為古代的長(zhǎng)度單位，1托=5尺）
A．x?y=5y?12x=5B．y?x=512x?y=5C．x?y=52x=y+5D．x?y=5y?2x=5
【答案】A
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)若用繩去量竿，則繩比竿長(zhǎng)5尺；若將繩對(duì)折后再去量竿，則繩比竿短5尺列方程組即可．
【詳解】解：由題意得x?y=5,y?12x=5.
故選A．
4．（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從A地勻速出發(fā)，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，駐足交流10 min后，繼續(xù)以原速步行前進(jìn)；乙因故比甲晚出發(fā)30 min，跑步到達(dá)B地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離ym與甲出發(fā)的時(shí)間xmin之間的函數(shù)關(guān)系．( )
那么以下結(jié)論：
①甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，乙的鍛煉用時(shí)為20min；
②甲出發(fā)86 min時(shí)，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值3600 m；
③甲、乙兩人第二次相遇的時(shí)間是在甲出發(fā)后100 min；
④A，B兩地之間的距離是11200 m．
其中正確的結(jié)論有：
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】本題考查了函數(shù)圖象以及二元一次方程組的應(yīng)用；①由乙比甲晚出發(fā)30min及當(dāng)x=50時(shí)y第一次為0，可得出乙出發(fā)20min時(shí)兩人第一次相遇，進(jìn)而可得出結(jié)論①正確；②觀察函數(shù)圖象，可得出當(dāng)x=86時(shí)，y取得最大值，最大值為3600，進(jìn)而可得出結(jié)論②正確；③設(shè)甲的速度為x m/min，乙的速度為ym/min，利用路程=速度×?xí)r間，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之可得出x，y的之，將其代入86+3600x+y中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時(shí)間是在甲出發(fā)后98min，進(jìn)而可得出結(jié)論③錯(cuò)誤；④利用路程=速度×?xí)r間，即可求出A，B兩地之間的距離是11200m．
【詳解】解：①∵乙比甲晚出發(fā)30min，且當(dāng)x=50時(shí)，y=0，
∴乙出發(fā)50?30=20(min)時(shí)，兩人第一次相遇，
既甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，乙的鍛煉用時(shí)為20min，結(jié)論①正確；
②觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x=86時(shí)，y取得最大值，最大值為3600，
∴甲出發(fā)86min時(shí)，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值3600m，結(jié)論②正確；
③設(shè)甲的速度為xm/min，乙的速度為ym/min，
根據(jù)題意得：(50?10)x=(50?30)y(86?30)y?(86?10)x=3600，
解得：x=100y=200，
∴86+3600x+y=86+3600100+200=98，
∴甲、乙兩人第二次相遇的時(shí)間是在甲出發(fā)后98min，結(jié)論③錯(cuò)誤；
④∵200×(86?30)=11200(m)，
∴A，B兩地之間的距離是11200m，結(jié)論④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．
故選：B．
5．（2024·吉林·中考真題）鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個(gè)，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個(gè)．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個(gè)數(shù)．
【答案】白色琴鍵52個(gè)，黑色琴鍵36個(gè)
【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
設(shè)黑色琴鍵x個(gè)，則白色琴鍵x+16個(gè)，可得方程x+x+16=88，再解方程即可．
【詳解】解：設(shè)黑色琴鍵x個(gè)，則白色琴鍵x+16個(gè)，
由題意得：x+x+16=88，
解得：x=36，
∴白色琴鍵：36+16=52（個(gè)），
答：白色琴鍵52個(gè)，黑色琴鍵36個(gè)．
6．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
(2)求小麗兩次休息時(shí)間的總和（單位：分）；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分
(2)5分
(3)42.5
【分析】此題考查函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的應(yīng)用，讀懂圖象中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
（1）由小明的跑步里程及時(shí)間可得A檔速度，再根據(jù)C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分可得B，C檔速度；
（2）結(jié)合圖象求出小麗每段跑步所用時(shí)間，再根據(jù)總時(shí)間即可求解；
（3）由題意可得，此時(shí)小麗在跑第三段，所跑時(shí)間為a?10?15?10?5=a?40（分），可得方程80a=3000+160a?40，求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，A檔速度為4000÷50=80米/分，
則B檔速度為80+40=120米/分，C檔速度為120+40=160米/分；
（2）小麗第一段跑步時(shí)間為1800÷120=15分，
小麗第二段跑步時(shí)間為3000?1800÷120=10分，
小麗第三段跑步時(shí)間為4600?3000÷160=10分，
則小麗兩次休息時(shí)間的總和=50?10?15?10?10=5分；
（3）由題意可得：小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，
此時(shí)小麗在跑第三段，所跑時(shí)間為：a?10?15?10?5=a?40（分）
可得：80a=3000+160a?40，
解得：a=42.5．
7．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：
(1)x?y=03x+y=4
(2)3x?6

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