2025年3月
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解集合,再利用集合的包含關(guān)系得到參數(shù)滿足的條件求解即可.
【詳解】解集合，
解集合，
因?yàn)椋裕?br>故選：B.
2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，代入，利用模長公式整理得z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程．
【詳解】z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，
由，得，
化簡得.
故選：A.
3. 函數(shù)的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助正切函數(shù)的二倍角公式可得，結(jié)合函數(shù)定義域及正切型函數(shù)的周期性計(jì)算即可得.
【詳解】，，
又，可得，
即，且、，故.
故選：C.
4. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則=（ ）
A. 11B. 31C. 61D. 121
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再代入公式，即可求解.
【詳解】令，得，得，
由，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
，即，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
故選：D.
5. 甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，則取出的兩球都是紅球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全概率的計(jì)算公式即可求.
【詳解】分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球,用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，
由題意可知，，，
所以，
故選：B
6. 已知函數(shù)，，若恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
因?yàn)榍∮?個(gè)極值點(diǎn)，所以，
解得，即的取值范圍為.
故選：C
7. 已知雙曲線C：左、右頂點(diǎn)分別為，，圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線交C的右支于點(diǎn)P，若的角平分線與y軸平行，則C的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在直線上，結(jié)合求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程可得.
【詳解】由題知，，雙曲線過第一象限的漸近線方程為，
聯(lián)立，解得，則，
所以直線的方程為，
設(shè)，則①，
因?yàn)榈慕瞧椒志€與y軸平行，所以，
即，整理得②，
聯(lián)立①②解得，代入雙曲線方程得，即.
故選：A
8. 已知，記，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，先估算出的取值范圍，再用對(duì)數(shù)運(yùn)算來估算和，即可得到判斷.
【詳解】由換底公式等價(jià)變形得：，
因?yàn)椋瑑蛇吶∫?為底的對(duì)數(shù)可得：，
又因?yàn)椋瑑蛇吶∫?為底的對(duì)數(shù)可得：，
可知，
由，可得，
由，可得，
從而可得，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是借助已知數(shù)據(jù)和指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，可以估算出，從而可以讓與有理數(shù)進(jìn)行大小比較.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合賦值逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由，
所以的展開式中最高次項(xiàng)為次項(xiàng)，即，故A正確；
的展開式中，的系數(shù)為，的系數(shù)為，
則，故B錯(cuò)誤；
令，得，故C正確；
令，得，
所以，，故D 正確；
故選：ACD.
10. 設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，是定義在D上的函數(shù)，若的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則下列選項(xiàng)中的取值可能為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】BD
【解析】
【分析】先閱讀理解題意，則問題可轉(zhuǎn)化為圓上有6個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合，再結(jié)合函數(shù)的定義逐一檢驗(yàn)即可．
【詳解】由題意可得，問題相當(dāng)于圓上由6個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合；
設(shè)處的點(diǎn)為，
∵的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，
∴旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在的圖象上，
同理旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在圖象上，
以此類推，對(duì)應(yīng)的圖象可以為一個(gè)圓周上6等分的6個(gè)點(diǎn)；
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與正半軸夾角為，
所以，此時(shí)，，此時(shí)，不滿足函數(shù)定義，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，
當(dāng)時(shí)，與正半軸夾角的正切值為，此時(shí)每個(gè)只對(duì)應(yīng)一個(gè)，滿足函數(shù)定義，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，與正半軸夾角為，
即，此時(shí)，，此時(shí)，不滿足函數(shù)定義，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，
當(dāng)時(shí)，與正半軸夾角為，此時(shí)每個(gè)只對(duì)應(yīng)一個(gè)，滿足函數(shù)定義，故D正確；
故選：BD．
11. 已知，為拋物線C：上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，作交直線AB于點(diǎn)N，則（ ）
A. 直線恒過定點(diǎn)B.
C. 存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得為定值D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)直線的方程，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上及垂直關(guān)系，直線過定點(diǎn)可判定A；根據(jù)拋物線弦長公式可判定B；利用圓的性質(zhì)可判定C；聯(lián)立直線方程結(jié)合韋達(dá)定理可判定D.
【詳解】由題意可設(shè)，
聯(lián)立拋物線方程可得，
則，
對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
整理得，即直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，由弦長公式，
當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)直線交橫軸D，即
當(dāng)時(shí)，顯然為直角三角形，則N在以為直徑的圓上，
不妨設(shè)的中點(diǎn)為Q，則是定值，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)重合，也有是定值，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，不妨設(shè)，由上知，
則
，故D正確.
故選：BCD
第Ⅱ卷（選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，，且，則=______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)坐標(biāo)線性運(yùn)算得出坐標(biāo)，再應(yīng)用垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算求參，最后應(yīng)用坐標(biāo)求模長即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，?br>則，
因?yàn)?，則，所以，
所以．
故答案為：
13. 在三棱錐中，點(diǎn)P在平面的射影為的中點(diǎn)，且，，設(shè)該三棱錐的體積為V，該三棱錐外接球的表面積為S，若，則S的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件先判定三棱錐的特征，結(jié)合體積公式求出高的范圍，再判定外接球的球心位置，利用勾股定理結(jié)合飄帶函數(shù)的性質(zhì)判定外接球半徑的范圍，計(jì)算表面積即可.
【詳解】因?yàn)椋?，故?br>取的中點(diǎn)D，連接，由題意可知平面，，

則，易得，
由題意知該三棱錐外接球的球心O在直線上，
設(shè)（為負(fù)，則球心在平面的下方），外接球半徑為R，
故，
易知在上單調(diào)遞增，即
則，所以.
故答案為：.
14. 若a，，自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為e，則的最小值為______．
【答案】2
【解析】
【分析】將原式變形，再設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)求得最小值，即可求得結(jié)果.
【詳解】由，
設(shè)，求導(dǎo)，，令，解得：，
令，解得，令，解得，
故區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：2
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
（1）式子變形：將變形為，
（2）構(gòu)造函數(shù)：設(shè)，求導(dǎo)求得最小值；
（3）得出結(jié)論：利用即可求得結(jié)果.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求證：；
（2）已知，當(dāng)角取最大值時(shí)，求的面積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式結(jié)合正弦定理、余弦定理，即可證明結(jié)論.
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面積.
【小問1詳解】
∵，∴，
∴，即，
∴，
由得，，
由正弦定理及余弦定理得，，
∴.
【小問2詳解】
由余弦定理得，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取最大值，為等邊三角形.
由得，.
∴的面積為.
16. 如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，在四邊形中，，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，再從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知條件，求二面角的余弦值．
條件①：異面直線CD與BE所成角的余弦值為；
條件②：直線BF與平面ACEF所成角的正弦值為．
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的的條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及勾股定理逆定理得出，再由矩形性質(zhì)得出，根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定即可證明；
（2）若選①，連接，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，由異面直線CD與BE所成角的余弦值求得，再根據(jù)面面夾角的余弦公式求解即可；若選②，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線BF與平面所成角的正弦值求得，再根據(jù)面面夾角的余弦公式求解即可．
【小問1詳解】
證明：因?yàn)椋?br>所以，
在中，由余弦定理得，，
解得，
所以，
所以，即，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br>因?yàn)椋?，，平面?br>所以平面，
又平面，所以平面平面．
【小問2詳解】
若選條件①：連接，設(shè)，
因?yàn)椋矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
又平面，所以，
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
所以，
因?yàn)楫惷嬷本€CD與BE所成角的余弦值為，
所以，解得，
則，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，
由，取得，
由，取得，
所以，
所以二面角余弦值為．
若選②：連接，設(shè)，
因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面?br>所以平面，
又平面，所以，同理可得，所以，
因?yàn)?，，平面，?br>所以平面，所以直線BF與平面ACEF所成角即為，
又平面，所以，
所以，解得，
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，
所以，，
設(shè)平面一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，
由，取得，
由，取得，
所以，
所以二面角的余弦值為．
17. 已知橢圓E：，其左頂點(diǎn)為P，上頂點(diǎn)為Q，直線PQ交直線于R，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)N在x軸上，過點(diǎn)N作直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn)N，使得為定值，若存在，求出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)并且求出定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）結(jié)合已知條件根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到關(guān)于、的方程組，求解方程組即可求解；
（2）分斜率存在和不存在兩種情況設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，將條件轉(zhuǎn)化為、的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理再將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的關(guān)系式即可求解.
【小問1詳解】
由題意可知，，，
所以，，
整理聯(lián)立有：，
又因?yàn)椋?，解得，?br>所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
根據(jù)已知條件設(shè)，設(shè)，，
當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線，
聯(lián)立，整理得，
需，
即，
由韋達(dá)定理有：，，
故
因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?br>整理得，解得，此時(shí)；
當(dāng)直線斜率為時(shí)，不妨設(shè)，，，
此時(shí)符合題設(shè)，
同理可證當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)也符合題設(shè)，
又恒成立，
所以存在點(diǎn)或使得的值為（定值）.
18. 已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，．
（1）求的取值范圍：
（2）（?。┳C明：對(duì)一切的且，都有；
（ⅱ）證明：．
【答案】（1）
（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】（1）討論的范圍，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可得，即可求出的取值范圍.
（2）（?。┌巡坏仁降葍r(jià)變形，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的恒成立，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性可證結(jié)論.
（ⅱ）分析的范圍，由（ⅰ）得，結(jié)合基本不等式可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由得.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意.
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，故.
∵，時(shí)，，
∴在和內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，
∴m的取值范圍為.
【小問2詳解】
（ⅰ）不妨設(shè)，則等價(jià)于，即證.
令，即證對(duì)任意的恒成立.
令，則，
∴上單調(diào)遞增，故，
∴.
（ⅱ）由（1）得，在和內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)，
由得，設(shè)，則，
∵等價(jià)于，
∴，即，
由（?。┑茫?，即，
∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第（2）問（?。┑年P(guān)鍵是不等式等價(jià)變形為，令，通過構(gòu)造函數(shù)可證明結(jié)論成立.解決第（2）問（ⅱ）的關(guān)鍵是利用零點(diǎn)的概念得到，由（?。┑茫Y(jié)合基本不等式可證明結(jié)論.
19. 十進(jìn)制與二進(jìn)制是常見的數(shù)制，其中十進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)十”；二進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”；例如：十進(jìn)制的數(shù)20對(duì)應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)為，二進(jìn)制的數(shù)對(duì)應(yīng)十進(jìn)制表示的數(shù)為15．用表示非空的整數(shù)集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一個(gè)數(shù)，不特別說明，默認(rèn)為十進(jìn)制）.
（1）寫出“37”對(duì)應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)及“”對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)；
（2）若集合，，，，求與的所有可能值組成的集合；
（3）若，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)，都存在A的子集S，使得，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制定義進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題中與定義，利用列舉法得結(jié)果；
（3）先根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示找到滿足條件一個(gè)值，再證明其為最小值.
【小問1詳解】
，
；
【小問2詳解】
根據(jù)題意為非空集合，
，
所以集合為中一種，
可能值為，
，
所以集合為中一種，
可能值為，
因此與的所有可能值組成的集合分別為；
【小問3詳解】
根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示可知：1到中正整數(shù)可以表示為，
可知，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，都存在的子集S，使得，
從而對(duì)每個(gè)正整數(shù)，都存在的子集S，使得，
進(jìn)而對(duì)每個(gè)正整數(shù)，都存在的子集S，使得，即滿足題意，此時(shí)，
下證：，
一方面，因?yàn)榍?0個(gè)數(shù)之和不能小于1012，否則設(shè)，則，
對(duì)于 ，顯然不存在A的子集S，使得，
另一方面，因?yàn)椋?br>所以根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示知，其前9個(gè)數(shù)之和最大為511，故，
綜上：.

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