一、單選題
1．下列說法正確的是（ ）
A．“明天下雨的概率為”，意味著明天有的時間下雨
B．經過有信號燈的十字路口時，遇到紅燈是隨機事件
C．汽車累積行駛沒有出現故障，是必然事件
D．若拋擲圖釘釘尖向上的概率為，則拋擲100次圖釘，釘尖向上的次數為40次
2．一個選擇題有四個選項，其中只有一個是正確的，隨機選一個，選擇正確的概率是（ ）
A．0B．C．D．1
3．下列運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在下列給出的條件中，不能判定的是（ ）
A．B．C． D．
5．現定義運算“”，對于任意有理數，都有．例如：，由此可知等于（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后，將剩余部分通過割補拼成新的圖形．根據圖形能驗證的等式為（ ）
A．B．
C．D．
7．下列說法中，正確的個數有（ ）
①在同一平面內，不相交的兩條直線一定平行；
②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
③過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
④兩條平行線被第三條直線所截，一對內錯角的角平分線互相平行．
A．1個B．2個C．3個D．4個
8．如圖，已知，點B在上，點C在上，點A在上方，，點E在的反向延長線上，且，設，則的度數用含x的式子一定可以表示為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．未來三天必有降雨，則“明天下雨”是 事件．（填“必然”“不可能”或“隨機”）
10．若有意義，則a的取值范圍是 ．
11．計算 ．
12．某種綠豆在相同條件下發(fā)芽的試驗結果如下表，根據表中數據估計這種綠豆發(fā)芽的概率約是 ．（結果精確到）
13．水珠不斷滴在一塊石頭上，經過20年，石頭上形成了一個深為的小洞，平均每月小洞的深度增加 （結果用科學記數法表示）．
14．如圖，直線相交于點O，，，則 °．
15．某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，且，則 ．
16．將如圖①的長方形紙片沿折疊得到圖②，折疊后與相交于點P，如果，則的度數為 ．
三、解答題
17．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．1個袋子中裝有1個白球和1個黑球，它們除顏色外其他完全相同．甲、乙兩人去摸球，每人摸1次，1次摸出1個球．
(1)如果摸出球后放回搖勻，并規(guī)定摸出黑球的人獲勝，那么這個游戲對雙方公平嗎？
(2)若摸出球后不放回，同樣規(guī)定摸出黑球的人獲勝，則這個游戲的公平性是否和摸出球后放回搖勻時的一樣？
(3)若袋子中裝有除顏色外其他完全相同的5個白球和5個黑球，甲、乙兩人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1個球，摸出后放回搖勻，并規(guī)定摸出黑球的人獲勝．這個游戲對雙方公平嗎？為什么？
19．觀察下列各式：
；
；
；
……
不難發(fā)現規(guī)律：比任意一個偶數大3的數與此偶數的平方差能被3整除．
(1)的結果是3的______倍．
(2)設偶數為，試說明比大7的數與的平方差能被7整除．
20．如圖，直線與相交于點，平分，且，射線在內部．
(1)求的度數；
(2)若，求的度數．
21．數學實驗課上同學們分兩組進行相同的摸球實驗：在一個不透明的袋子里裝有大小質地完全相同的黑、白、紅、黃四種顏色的球若干個，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．第一小組進行了若干次試驗后，將他們的實驗結果整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
根據以上信息，解答下列問題：
(1)補全條形統(tǒng)計圖，并求第一小組摸出黃球的頻率；
(2)求第一小組摸出黑球所對應的扇形的圓心角的度數；
(3)若第二小組與第一小組的試驗次數相同，他們兩組的實驗結果一定會一樣嗎？為什么？
22．如圖，在四邊形中，，E為延長線上一點，交于點F，，，試說明．
證明：（____________________）
且（____________________）
在中，
在中，
，
__________（等式的性質）
（____________________）
______________________________（等量代換）
（____________________）
23．問題呈現
（1）分別計算圖1、2中陰影部分的面積．
知識應用
（2）某公園是長為米，寬為米的長方形，規(guī)劃部門計劃在其內部修建一座邊長為米的正方形雕像，左右兩邊修兩條寬為a米的長方形道路，剩余的陰影部分種植草坪進行綠化，尺寸如圖3所示．
①求綠化的面積；
②若，種植草坪的價格為30元/平方米，問綠化應投入的資金是多少元？
24．如圖①，過直線外一點C作，連接，．
(1)求的度數；
(2)如圖②，若的平分線交于點D，點E是線段上一動點（不與A，D重合），連接．若，試探究和之間的數量關系，并說明理由；
(3)過點B引一條射線交于點H，滿足，現將繞點B每秒的速度順時針轉動，繞點H每秒的速度順時針轉動，它們同時開始運動，設運動時間為．若轉動后的兩條射線交于點P，過P作交射線于點Q．若在轉動過程中，與的比值是定值，求此時的度數．
每批粒數
2
10
50
100
500
1000
2000
3000
發(fā)芽的粒數
2
9
44
92
463
928
1866
2794
發(fā)芽的頻率
1
《期中練習卷-2024-2025學年數學七年級下冊北師大版（2024）》參考答案
1．B
【分析】本題考查概率的意義，事件的分類．根據概率的意義，事件分類逐個判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、“明天下雨的概率為”是說明天大約有可能下雨，原說法錯誤，不符合題意；
B、經過有信號燈的十字路口時，遇到紅燈是隨機事件，原說法正確，符合題意；
C、汽車累積行駛沒有出現故障，是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意；
D、拋擲圖釘釘尖向上的概率為，則拋擲100次圖釘，釘尖向上的次數可能為40次，原說法錯誤，不符合題意．
故選：B．
2．C
【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握概率計算公式．
根據一共有4個答案，那么就有4種等可能性的結果，其中只有1個正確答案，那么只有一種是正確的結果，由此利用概率公式計算即可．
【詳解】解：∵一共有4個答案，其中只有1個正確答案，
∴選擇正確的概率是．
故選C．
3．A
【分析】本題主要考查同底數冪的乘法，同底數冪的除法，單項式乘單項式，冪的乘方．利用同底數冪的除法的法則，同底數冪的乘法的法則，單項式乘單項式的法則，冪的乘方的法則對各項進行運算即可．
【詳解】解：A、，故本選項符合題意；
B、，故本選項不符合題意；
C、，故本選項不符合題意；
D、，故本選項不符合題意；
故選：A．
4．B
【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．根據平行線的判定解答即可．
【詳解】解：∵，
∴（內錯角相等，兩直線平行）
故A正確，不符合題意；
，
∴（同位角相等，兩直線平行）
故B不正確，符合題意；
∴（內錯角相等，兩直線平行）
故C正確，不符合題意；
，
（同旁內角互補，兩直線平行）
故D正確，不符合題意；
故選：B．
5．C
【分析】本題主要考查了整式的四則混合運算，根據新定義代入，然后根據完全平方公式以及平方差公式展開，最后合并同類項即可．
【詳解】解：根據題意可知：
，
故選：C
6．B
【分析】本題考查了利用幾何方法驗證平方差公式，解決問題的關鍵是根據拼接前后不同的幾何圖形的面積不變得到等量關系．邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后的面積為，新的圖形面積等于，由于兩圖中陰影部分面積相等，即可得到結論．
【詳解】解∶左邊陰影部分的面積為，右邊陰影部分的面積為，
∵前后兩個圖形中陰影部分的面積相等，
∴驗證的等式為，
故選∶B．
7．B
【分析】結合平行線的定義與性質，垂線的性質和平行公理進行判定即可．本題主要考查了平行線的定義與性質，垂線的性質和平行公理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：①在同一平面內，不相交的兩條直線一定平行，故該說法是正確的，
②經過一點有且只有一條直線與已知直線平行，應強調在經過直線外一點，故該說法是錯誤的．
③經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，應強調在同一個平面內，故該說法是是錯誤的．
④④兩條平行線被第三條直線所截，一對內錯角的角平分線互相平行，故該說法是正確的．
故選B．
8．A
【分析】本題考查平行線的性質與判定，過點作，利用平行線性質得到，過點作，利用平行線性質得到進行求解，即可解題．
【詳解】解：過點作，
，
，
，
，
，
，
，即
過點作，
，，
，
，
，
，
，
．
故選：A．
9．隨機
【分析】本題考查了事件的分類，正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念是解決本題的關鍵．
必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，據此判斷即可．
【詳解】解：未來三天必有降雨，但是明天可能下雨也可能不下雨，這一事件屬于隨機事件；
故答案為：隨機．
10．且
【分析】考查了零指數冪，根據零指數冪有意義的條件，可得，依此即可求解．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
解得且．
故答案為：且．
11．
【分析】本題主要考查了同底數冪相乘和積的乘方的逆用，掌握相關運算法則是解題關鍵．根據同底數冪相乘和積的乘方的逆用即可計算答案．
【詳解】解：
．
故答案為：．
12．
【分析】本題考查了用頻率估計概率．分析表格頻率特點是關鍵．
根據大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，對表格進行分析即可解答．
【詳解】觀察發(fā)現，隨著試驗次數的增多，綠豆發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定到左右，
綠豆發(fā)芽的概率約是（結果精確到）．
故答案為：．
13．
【分析】此題考查了科學記數法，冪的運算，關鍵是理解運用科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．
用除以即可求得平均每月的深度，改為科學記數法表示即可．
【詳解】解：．
∴平均每月小洞的深度增加．
故答案為：．
14．35
【分析】本題主要考查了角度的和差計算．根據題意，先由，，即可得到的度數，再由對頂角的關系即可求出．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
則．
故答案為：35．
15．/20度
【分析】本題考查平行公理的推理，平行線的性質．
過點C作，則，由平行公理的推論得到，從而，再根據即可求解．
【詳解】解：過點C作，

∴
∵，，
∴，
∴，
∵．
故答案為：
16．/65度
【分析】本題考查平行線的性質，與角平分線有關的計算，根據折痕為角平分線，以及平行線的性質，進行求解即可．
【詳解】解：的長方形紙片沿折疊得到圖②，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查零指數冪，負整數指數冪，整式的運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）根據零指數冪，負整數指數冪進行計算即可；
（2）根據積的乘方以及同底數冪的乘法進行計算即可；
（3）根據整式的運算法則進行計算即可；
（4）根據完全平方公式的運算法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．(1)這個游戲對雙方公平
(2)這個游戲的公平性和摸出球后放回時的一樣
(3)這個游戲對雙方是公平的，理由見解析
【分析】此題目是關于游戲公平性的問題，解題的關鍵是熟練掌握每種情況下的概率．
（1）因為口袋里有1個白球和1個黑球，它們除顏色外其他完全相同，每次摸出一個球后放回，每個人摸出黑球的概率都是，所以對雙方公平；
（2）由于是摸出后不放回，則總的結果為甲黑乙白，或甲白乙黑，每人摸出黑球的可能性都是，所以這個游戲對雙方是公平的；
（3）因為口袋里有5個白球和5個黑球，它們除顏色外其他完全相同，每人摸出黑球的可能性都是，所以這個游戲對雙方是公平的．
【詳解】（1）解：由于是摸出后放回，每個人摸出黑球的概率都是，所以對雙方公平；
（2）解：由于是摸出后不放回，則總的結果為甲黑乙白，或甲白乙黑，則他們獲勝的概率和放回時一樣都是，對雙方公平；
（3）解：游戲對雙方公平，因為袋子中白球和黑球各有5個，每人摸出黑球的可能性都是，所以這個游戲對雙方是公平的．
19．(1)27
(2)見解析
【分析】本題主要考查了運用平方差公式分解因式，分解因式的應用；
（1）計算出的結果，即可；
（2）根據“比大7的數與的平方差”列式，再利用平方差公式計算即可．
【詳解】（1）解：，
即的結果是3的27倍，
故答案為：27；
（2）解：偶數為，比大7的數為，
∴，
∵為整數，
∴能被7整除，
∴比大7的數與的平方差能被7整除．
20．(1)；
(2)．
【分析】本題考查了余角的定義，鄰補角的定義，角的倍數的運算，掌握鄰補角的定義是解題的關鍵．
（1）根據角平分線的定義可知的度數，再利用鄰補角的定義即可得到的度數；
（2）根據角的倍數即可得到的度數，再利用余角的定義即可求得的度數．
【詳解】（1）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴
即的度數為；
（2）解：∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)條形統(tǒng)計圖見解析；
(2)
(3)不一定；理由見解析
【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關聯(lián)，熟練掌握統(tǒng)計圖的特點，是解題的關鍵．
（1）先根據條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖求出摸球的總數，然后求出摸出白球的頻數，補全條形統(tǒng)計圖即可；根據摸出黃球的頻數和摸球總數求出摸出黃球的頻率即可；
（2）根據第一小組摸出黑球所占的百分比求出所對應的扇形的圓心角的度數即可；
（3）根據實驗的隨機性進行回答即可．
【詳解】（1）解：實驗總次數為：（次），
摸出白球的頻數為：，
摸出黃球的頻率為：，
補全條形統(tǒng)計圖，如圖所示：
（2）解：第一小組摸出黑球所對應的扇形的圓心角的度數為：
；
（3）解：因為進行實驗時具有隨機性，所以當第二小組與第一小組的試驗次數相同時，他們摸出的各種球的頻率很接近，但不會完全相同，因此他們兩組的實驗結果不一定會完全一樣．
22．見解析
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，對頂角相等，先根據已知條件和對頂角相等證明，再由三角形內角和定理和等式的性質推出，進而由平行線的性質推出，據此根據內錯角相等，兩直線平行可證明結論．
【詳解】證明：（已知），
且（對頂角相等），
，
在中，，
在中，，
，，
（等式的性質）
（兩直線平行，同位角相等）
（等量代換）
（內錯角相等，兩直線平行）
23．（1）圖1：；圖2：；（2）①綠化的面積為平方米；②180000元
【分析】本題考查的是多項式的乘法與圖形面積，完全平方公式的應用，熟練的利用圖形面積差列出正確的運算式是解本題的關鍵．
（1）根據長方形面積公式列式計算即可；
（2）①根據圖形的面積之差列式：，再計算即可；
②代入數據計算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，
陰影部分的面積為
；
如圖2，
陰影部分的面積為
；
（2）①由題意可得：
平方米；
答：綠化的面積為平方米；
②若，種植草坪的價格為30元/平方米，
∴綠化應投入的資金是：
元．
24．(1)
(2)，理由見解析
(3)
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質是解題的關鍵．
（1）根據平行線的性質得到，則，再由平角的定義可得答案；
（2）由角平分線的定義得到，再由三角形內角和定理和角的和差關系結合已知條件證明，即可得到；
（3）根據平行線的性質和已知條件求出；則可表示出，，過點P作，則，可得，設（k為常數），則，進而得到，再由的度數與時間t無關，推出，則．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴；
由題意得，，
∴，，
如圖所示，過點P作，則，
∴，
∴，
設（k為常數），則，
∴，
∵的度數與時間t無關，
∴，
∴，
∴．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
C
A
B
C
B
B
A


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