1．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．(3x)2=3x2B．3x+3y=6xy
C．(x+y)2=x2+y2D．(x+2)(x-2)=x2-4
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上
B．隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這一頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)
C．打開(kāi)電視機(jī)，正在播放廣告
D．從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)
3．已知x2+kxy+64y2是一個(gè)完全平方式，則k的值是（ ）
A．8B．±8C．16D．±16
4．已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC=30°），其中A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
5．計(jì)算：(a2+b2)2-(a2-b2)2=（ ）
A．2abB．4abC．2a2b2D．4a2b2
6．如圖，AB//CD，∠1=65°，則∠2的度數(shù)是( )
A．105°B．115°C．125°D．135°
7．一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同.從袋中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為（ ）
A．14B．13C．12D．23
8．已知(x-2021)2+(x-2025)2=34，則(x-2023)2的值是（ ）
A．13B．11C．9D．8
9．如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
10．如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形a>2，把剩下部分拼成一個(gè)梯形，利用這兩幅圖形中陰影部分面積，可以驗(yàn)證的公式是（ ）
A．a(chǎn)2+22=a+2a-2B．a(chǎn)2-22=a+2a-2
C．a(chǎn)+22=a2+4a+4D．a(chǎn)-22=a2-4a+4
二、填空題（每題3分，共18分）
11． 已知 ∠1 與 ∠2 為對(duì)頂角， ∠1=35°， 則 ∠2= °
12．如圖，一副三角尺按如圖方式擺放．若直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為 ．
13．在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)白球，若干個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是23，則黃球的個(gè)數(shù)為 ．
14．已知a-b=3，ab=10，則a2+b2= ．
15．有一種新冠病毒直徑為0.000000012米，數(shù)0.000000012用科學(xué)記數(shù)法表示為 .
16．為了保護(hù)眼睛，小明將臺(tái)燈更換為護(hù)眼臺(tái)燈（圖①），其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)）如圖②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠DCB=140°時(shí)，臺(tái)燈光線最佳，此時(shí)∠EDC的大小為 ．
三、解答題（共9題，共72分）
17． 計(jì)算：(-1)2024+(5-π)0+(-13)-2-|-4|．
18． 計(jì)算：-12×(-2024)0+(13)-1-|-5|+(-4)2023×(-0.25)2022
19．先化簡(jiǎn)，再求值：已知x=5，y=-1，求3x+2y3x-2y-x+2y5x-2y÷8x的值
20．先化簡(jiǎn)，再求值：2x-y2+x+yx-y-5xx-y，其中x=1，y=-2．
21． 小明和小穎用一副去掉大王、小王的撲克牌做抽牌游戲：小明從中任意抽取一張牌(不放回)，小穎從剩余的牌中任意抽取一張，誰(shuí)抽到的牌面大誰(shuí)就獲勝(規(guī)定牌面從小到大的順序?yàn)椋?，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小與花色無(wú)關(guān))。然后兩人把抽到的牌都放回，重新開(kāi)始游戲。
（1）現(xiàn)小明已經(jīng)抽到的牌面為4，然后小顆抽牌，那么小明獲勝的概率是多少? 小穎獲勝的概率又是多少?
（2）若小明已經(jīng)抽到的牌面為2，情況又如何? 若小明已經(jīng)抽到的牌面為A呢?
22．如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在AB上，DF交AC于點(diǎn)E，連接CF，若DF∥BC，∠B=∠F．
（1）求證：AB∥CF；
（2）若∠B=50°，CA平分∠BCF，求∠A的度數(shù)．
23．現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角尺AOB，∠AOB是直角，其頂點(diǎn)O在直線l上，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1、∠2的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為C、D，請(qǐng)寫(xiě)出圖中分別與∠1、∠2相等的角，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，AC平分∠OAB，將直角三角尺AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC∥l時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出OB與直線l所成銳角的度數(shù)．
24．天逸公園的某段路面如圖①所示，這段路面是由若干個(gè)圖②組成，圖②是由四個(gè)完全相同的白色長(zhǎng)方形和中間一塊黑色的正方形組成的大正方形圖案，
已知圖②中白色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m，寬為n．
（1）圖②中黑色的正方形邊長(zhǎng)等于________；
（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式，表示圖②的大正方形面積．
方法一：________________________；方法二：________________________；
（3）觀察圖②，請(qǐng)寫(xiě)出m+n2，m-n2，mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；
（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決問(wèn)題：已知：a+b=10，ab=18，求a-b2的值．
25．綜合與實(shí)踐
如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P=90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)所放位置如圖①所示時(shí)，∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系是 ___________；
（2）當(dāng)所放位置如圖②所示時(shí)，求證：∠PFD-∠AEM=90°；
（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且∠DON=15°，∠PEB=30°，求∠N的度數(shù)．
答案解析部分
2025年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)期中仿真模擬卷[范圍：1-3章]
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．(3x)2=3x2B．3x+3y=6xy
C．(x+y)2=x2+y2D．(x+2)(x-2)=x2-4
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；平方差公式及應(yīng)用；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；積的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A、(3x)2=9x2，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、3x與3y不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、(x+2)(x-2)=x2-4，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意.
故答案為：D.
【分析】由積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，所謂同類項(xiàng)就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序沒(méi)有關(guān)系，與系數(shù)也沒(méi)有關(guān)系，合并同類項(xiàng)的時(shí)候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，但不是同類項(xiàng)的一定就不能合并，從而即可判斷B選項(xiàng)；由完全平方公式的展開(kāi)式是一個(gè)三項(xiàng)式可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)平方差公式，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，可判斷D選項(xiàng).
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上
B．隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這一頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)
C．打開(kāi)電視機(jī)，正在播放廣告
D．從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】事件的分類
【解析】【解答】解：A、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上是隨機(jī)事件；
B、隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這一頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)，是隨機(jī)事件；
C、打開(kāi)電視機(jī)，正在播放廣告，是隨機(jī)事件；
D、從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)，是必然事件.
故答案為：D.
【分析】必然事件是指一定會(huì)發(fā)生或一定不會(huì)發(fā)生的事件。隨機(jī)事件是指可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.根據(jù)定義并結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷求解.
3．已知x2+kxy+64y2是一個(gè)完全平方式，則k的值是（ ）
A．8B．±8C．16D．±16
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用
【解析】【解答】根據(jù)題意，原式是一個(gè)完全平方式，
∵64y2=（±8y)2，
∴原式可化成=（x±8y)2，
展開(kāi)可得x2±16xy+64y2，
∴kxy=±16xy，
∴k=±16．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了完全平方公式求解，（a±b)2=a2±2ab+b2．注意k的值有兩個(gè)，并且互為相反數(shù)。
4．已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC=30°），其中A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵直線m∥n，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故答案為：D．
【分析】根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出答案。
5．計(jì)算：(a2+b2)2-(a2-b2)2=（ ）
A．2abB．4abC．2a2b2D．4a2b2
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：(a2+b2)2-(a2-b2)2
=[(a2+b2)+(a2-b2)][(a2+b2)-(a2-b2)]=[a2+b2+a2-b2][a2+b2-a2+b2]=2a2×2b2=4a2b2
故答案為：D.
【分析】本題考查平方差公式.觀察式子利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算可得：原式=[(a2+b2)+(a2-b2)][(a2+b2)-(a2-b2)]，再進(jìn)行去括號(hào)，合并同類項(xiàng)可得：原式=2a2×2b2，再進(jìn)行計(jì)算可求出答案.
6．如圖，AB//CD，∠1=65°，則∠2的度數(shù)是( )
A．105°B．115°C．125°D．135°
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】
解：如圖，∠1對(duì)頂角是∠3
∵ AB∥CD
∴ ∠2+∠3=180°
∵ ∠1=∠3=65°
∴ ∠2=115°
故答案為：B
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，理解平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，切勿忽略對(duì)頂角相等這個(gè)隱含條件。由 AB∥CD得 ∠2+∠3=180°，結(jié)合∠1=∠3=65°得 ∠2=115°.
7．一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同.從袋中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為（ ）
A．14B．13C．12D．23
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算
【解析】【解答】解： 從袋中任意摸出一個(gè)球有6種情況，其中摸出一個(gè)球是紅色的有4種情況，
∴P=46=23.
故答案為：D.
【分析】 首先確定從袋中任意摸出一個(gè)球共有幾種情況，再確定摸出一個(gè)球是紅色的有幾種情況，然后用概率公式求概率即可.
8．已知(x-2021)2+(x-2025)2=34，則(x-2023)2的值是（ ）
A．13B．11C．9D．8
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用
【解析】【解答】解：令 t=x-2023,則原式可化簡(jiǎn)為 t-22+t+22=34,
則 t2-4t+4+t2+4t+4=34,
解得： t2=13,即 x-20232=13.
故答案為：C.
【分析】觀察題干相關(guān)條件，采用整體代換的思想，即可求解.
9．如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】垂線的概念；對(duì)頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB于O，
∴∠AOE=90°，
∵∠1=35°，
∴∠AOC=90°-35°=55°，
∴∠2=∠AOC=55°.
故答案為：A.
【分析】由垂直的定義可得∠AOE=90°，由角的構(gòu)成∠AOE=∠1+∠AOC并結(jié)合已知可求得∠AOC的度數(shù)，然后根據(jù)對(duì)頂角相等可求解.
10．如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形a>2，把剩下部分拼成一個(gè)梯形，利用這兩幅圖形中陰影部分面積，可以驗(yàn)證的公式是（ ）
A．a(chǎn)2+22=a+2a-2B．a(chǎn)2-22=a+2a-2
C．a(chǎn)+22=a2+4a+4D．a(chǎn)-22=a2-4a+4
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式的幾何背景
【解析】【解答】解：第1幅圖中陰影部分面積為a2-22，
第2幅圖中陰影部分面積為2+2+a+aa-22=a+2a-2，
∵這兩幅圖形中陰影部分面積相等，
∴可以驗(yàn)證的公式是a2-22=a+2a-2，
故答案為：B．
【分析】第1幅圖中，陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，結(jié)合正方形面積公式表示出圖1中陰影面積；第2幅圖中，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算出陰影部分的面積，利用圖形剪拼可得這兩幅圖形中陰影部分面積相等，據(jù)此可得結(jié)論.
二、填空題（每題3分，共18分）
11． 已知 ∠1 與 ∠2 為對(duì)頂角， ∠1=35°， 則 ∠2= °
【答案】35
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵∠1 與 ∠2 為對(duì)頂角，
∴∠2=∠1=35°.
故答案為：35
【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
12．如圖，一副三角尺按如圖方式擺放．若直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為 ．
【答案】10°
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖：
∵∠1=50°，∠3=30°，
∴∠ABD=∠1+∠3=80°，
∵a∥b，
∴∠4=∠ABD=80°，
∵∠CAB=90°，
∴∠2=∠CAB-∠4=10°；
故答案為：10°．
【分析】根據(jù)已知得∠ABD=80°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠4=∠ABD=80°，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
13．在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)白球，若干個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是23，則黃球的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【解析】【解答】解：盒子中黃色小球的個(gè)數(shù)為x，
由題意得6x+6=23，
解得x=3，
經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的解，且符合題意.
故盒子中黃色小球的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故答案為：3.
【分析】盒子中黃色小球的個(gè)數(shù)為x，根據(jù)盒子中白色小球的個(gè)數(shù)比上盒子中小球的總個(gè)數(shù)等于從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率列出方程，求解即可.
14．已知a-b=3，ab=10，則a2+b2= ．
【答案】29
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用
【解析】【解答】解：∵a-b=3，ab=10，
∴（a-b）2=9，2ab=20，
∴a2-2ab+b2=9，
∴a2+b2=2ab+9=20+9=29
故答案為：29.
【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根據(jù)平方差公式變形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。
15．有一種新冠病毒直徑為0.000000012米，數(shù)0.000000012用科學(xué)記數(shù)法表示為 .
【答案】1.2×10-8
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于0且小于1的數(shù)
【解析】【解答】解：0.000000012=1.2×10-8.
故答案為：1.2×10-8
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法的表示，一般形式為a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原數(shù)左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)的相反數(shù).
16．為了保護(hù)眼睛，小明將臺(tái)燈更換為護(hù)眼臺(tái)燈（圖①），其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)）如圖②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠DCB=140°時(shí)，臺(tái)燈光線最佳，此時(shí)∠EDC的大小為 ．
【答案】130°
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CK∥AB，
∵DE∥AB，∴CK∥DE，
∵BC⊥AB，∴BC⊥CK，∴∠BCK=90°，
∵∠DCB=140°，∴∠DCK=∠DCB-∠BCK=50°，
∵CK∥DE，∴∠EDC+∠DCK=180°，
∴∠EDC=130°．
故答案為：130°．
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)與判定及其應(yīng)用，過(guò)C作CK∥AB，得到CK∥DE，由BC⊥AB，得到BC⊥CK，結(jié)合∠BCK=90°，求出∠DCK=∠DCB-∠BCK=50°，在由平行線的性質(zhì)，得到∠EDC+∠DCK=180°，即可求的∠EDC的度數(shù)，得到答案．
三、解答題（共9題，共72分）
17． 計(jì)算：(-1)2024+(5-π)0+(-13)-2-|-4|．
【答案】解：(-1)2024+(5-π)0+(-13)-2-|-4|
=1+1+9-4
=7．
【知識(shí)點(diǎn)】零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；有理數(shù)的乘方法則；求有理數(shù)的絕對(duì)值的方法
【解析】【分析】先計(jì)算出乘方，零次方，負(fù)整數(shù)次方，絕對(duì)值，再作加減運(yùn)算.
18． 計(jì)算：-12×(-2024)0+(13)-1-|-5|+(-4)2023×(-0.25)2022
【答案】解：-12×(-2024)0+(13)-1-|-5|+(-4)2023×(-0.25)2022
=-1×1+3-5+(-4)×12022
=-1-2-4
=-7．
【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)混合運(yùn)算法則（含乘方）
【解析】【分析】根據(jù)乘方、非零數(shù)的零次方為1和合并同類項(xiàng)的法則將原式化簡(jiǎn)為：-1×1+3-5+(-4)×12022，進(jìn)而根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解.
19．先化簡(jiǎn)，再求值：已知x=5，y=-1，求3x+2y3x-2y-x+2y5x-2y÷8x的值
【答案】解：原式=9x2-4y2-5x2+10xy-2xy-4y2÷8x
=9x2-4y2-5x2-10xy+2xy+4y2÷8x
=4x2-8xy÷8x
=12x-y，
當(dāng)x=5，y=-1時(shí)，原式=12×5--1=72
【知識(shí)點(diǎn)】整式的加減運(yùn)算；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；平方差公式及應(yīng)用；多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
【解析】【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算（3x+2y)(3x-2y)去及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)（x+2y)(5x-2y)得=9x2-4y2-5x2+10xy-2xy-4y2÷8x再去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則化簡(jiǎn)得12x-y，最后代值計(jì)算結(jié)果即可．
20．先化簡(jiǎn)，再求值：2x-y2+x+yx-y-5xx-y，其中x=1，y=-2．
【答案】解：原式=4x2-4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy
=xy，
當(dāng)x=1，y=-2時(shí)，
原式=1×-2
=-2．
故答案為：-2．
【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式及運(yùn)用；平方差公式及應(yīng)用
【解析】【分析】本題主要考查了整式化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)完全平方公式、平方差公式，以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，進(jìn)行化簡(jiǎn)得到xy，然后將x=1，y=-2代入代數(shù)式xy，計(jì)算求值，即可得到答案.
21． 小明和小穎用一副去掉大王、小王的撲克牌做抽牌游戲：小明從中任意抽取一張牌(不放回)，小穎從剩余的牌中任意抽取一張，誰(shuí)抽到的牌面大誰(shuí)就獲勝(規(guī)定牌面從小到大的順序?yàn)椋?，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小與花色無(wú)關(guān))。然后兩人把抽到的牌都放回，重新開(kāi)始游戲。
（1）現(xiàn)小明已經(jīng)抽到的牌面為4，然后小顆抽牌，那么小明獲勝的概率是多少? 小穎獲勝的概率又是多少?
（2）若小明已經(jīng)抽到的牌面為2，情況又如何? 若小明已經(jīng)抽到的牌面為A呢?
【答案】（1）解：一副撲克牌54張，去掉大、小王后共有52張， 小明已經(jīng)摸到的牌面為4，還剩51張，
要小明獲勝的話，那小穎只能摸2、3，共有8種情況，
所以小明獲勝的概率是851；
小穎獲勝的話，那小穎必須摸5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，共有40種情況，
所以小穎獲勝的概率是4051；
（2）解：若小明已經(jīng)摸到的牌面為2，小明獲勝的概率是0，小穎獲勝的概率是4851；
小明已經(jīng)摸到的牌面為A，小明獲勝的概率是4851，小穎獲勝的概率是0.
【知識(shí)點(diǎn)】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根據(jù)等可能事件的概率結(jié)合撲克牌得到要小明獲勝的話，那小穎只能摸2、3，共有8種情況，小穎獲勝的話，那小穎必須摸5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，共有40種情況，進(jìn)而分別求出其概率即可求解；
（2）根據(jù)題意分情況討論，進(jìn)而結(jié)合等可能事件的概率即可求解。
22．如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在AB上，DF交AC于點(diǎn)E，連接CF，若DF∥BC，∠B=∠F．
（1）求證：AB∥CF；
（2）若∠B=50°，CA平分∠BCF，求∠A的度數(shù)．
【答案】（1）證明：∵DF∥BC，∴∠ADF=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠ADF=∠F，
∴AB∥CF；
（2）解：∵∠B=50°，∠B=∠F，∴∠F=50°，
∵DF∥BC，
∴∠∠BCF=180°-∠F=130°，
∵CA平分∠BCF，
∴∠ACF=12∠BCF=65°，
∵AB∥CF，
∴∠A=∠ACF=65°．
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；角平分線的概念
【解析】【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADF=∠B，結(jié)合已知可得出∠ADF=∠F，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；
（2）結(jié)合已知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出∠BCF的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．
（1）證明：∵DF∥BC，
∴∠ADF=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠ADF=∠F，
∴AB∥CF；
（2）解：∵∠B=50°，∠B=∠F，
∴∠F=50°，
∵DF∥BC，
∴∠∠BCF=180°-∠F=130°，
∵CA平分∠BCF，
∴∠ACF=12∠BCF=65°，
∵AB∥CF，
∴∠A=∠ACF=65°．
23．現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角尺AOB，∠AOB是直角，其頂點(diǎn)O在直線l上，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1、∠2的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為C、D，請(qǐng)寫(xiě)出圖中分別與∠1、∠2相等的角，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，AC平分∠OAB，將直角三角尺AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC∥l時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出OB與直線l所成銳角的度數(shù)．
【答案】（1）解：由題意得：∠AOB=90°，
∵∠1+∠AOB+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°.
（2）解：∠1=∠OBD，∠2=∠OAC，理由如下：
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO=∠BDO=90°.
∴∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°.
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠OBD，∠2=∠OAC.
（3）60°
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；垂線的概念；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
【解析】【解答】解：（3）解：由題意得：∠B=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°－30°－90°=60°.
∵AC平分∠OAB，
∴∠OAC=∠CAB=30°.
當(dāng)AC//l 時(shí)，如圖：
則∠OAC=∠AOD=30°，
∴∠BOE=90°－30°=60°.
即OB與直線l所成銳角的度數(shù)為60°.
故答案為：60°.
【分析】（1）由題意得：∠AOB=90°，再根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；
（2）由AC⊥l，BD⊥l，可得∠ACO=∠BDO=90°.再由直角三角形的兩銳角互余可得∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案.
（3）根據(jù)題意和角平分的性質(zhì)求得∠OAC的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案.
24．天逸公園的某段路面如圖①所示，這段路面是由若干個(gè)圖②組成，圖②是由四個(gè)完全相同的白色長(zhǎng)方形和中間一塊黑色的正方形組成的大正方形圖案，
已知圖②中白色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m，寬為n．
（1）圖②中黑色的正方形邊長(zhǎng)等于________；
（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式，表示圖②的大正方形面積．
方法一：________________________；方法二：________________________；
（3）觀察圖②，請(qǐng)寫(xiě)出m+n2，m-n2，mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；
（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決問(wèn)題：已知：a+b=10，ab=18，求a-b2的值．
【答案】（1）m-n；
（2）m+n2，m-n2+4mn；
（3）解：由（2）得，m+n2=m-n2+4mn；
（4）解：a-b2
=a+b2-4ab
=102-4×18
=28．
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；完全平方公式的幾何背景
【解析】【解答】（1）解：由圖可得，黑色的正方形邊長(zhǎng)等于m-n，
故答案為：m-n；
（2）解：由圖可得，圖②大正方形面積可表示為：
方法一：m+n2；
方法二：m-n2+4mn；
故答案為：m+n2，m-n2+4mn.
【分析】（1）結(jié)合圖形并利用線段的和差求出黑色正方形的邊長(zhǎng)即可；
（2）利用不同的表達(dá)式表示出大正方形的面積即可；
（3）利用不同的表達(dá)式表示出大正方形的面積即可；
（4）利用完全平方公式的變式將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.
（1）解：由圖可得，黑色的正方形邊長(zhǎng)等于m-n，
故答案為：m-n；
（2）解：由圖可得，圖②大正方形面積可表示為：
方法一：m+n2；
方法二：m-n2+4mn；
故答案為：m+n2，m-n2+4mn；
（3）解：由（2）得，m+n2=m-n2+4mn；
（4）解：a-b2
=a+b2-4ab
=102-4×18
=28．
25．綜合與實(shí)踐
如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P=90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)所放位置如圖①所示時(shí)，∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系是 ___________；
（2）當(dāng)所放位置如圖②所示時(shí)，求證：∠PFD-∠AEM=90°；
（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且∠DON=15°，∠PEB=30°，求∠N的度數(shù)．
【答案】（1）∠PFD+∠AEM=90°
（2）猜想：∠PFD-∠AEM=90°；理由如下：如圖②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHN=180°，
∵∠BHN=∠PHE，
∴∠PFD+∠PHE=180°，
∵∠P=90°，
∴∠PHE+∠PEB=90°，
∵∠PEB=∠AEM，
∴∠PHE+∠AEM=90°，
∴∠PFD-∠AEM=90°；
（3）解：如圖②，∵∠P=90°，∠PEB=30°，∴∠PHE=∠P-∠PEB=90°-30°=60°，
∴∠BHF=∠PHE=60°，
∵AB∥CD，
∴∠DFH+∠BHF=180°，
∴∠DFH=180°-∠BHF=120°，
∴∠OFN=DFH=120°，
∵∠DON=15°，
∴∠N=180°-∠DON-∠OFN=45°．
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；對(duì)頂角及其性質(zhì)；平行公理的推論
【解析】【解答】解：（1）如圖①，作AB∥PH，
則∠AEM=∠HPM，
∵AB∥CD，AB∥PH，
∴PH∥CD，
∴∠PFD=∠HPM，
∵∠MPN=90°，
∴∠PFD+∠AEM=90°，
故答案為：∠PFD+∠AEM=90°；
【分析】（1）作AB∥PH，根據(jù)AB∥CD，AB∥PH， 得到PH∥CD ，利用平行線的性質(zhì)，得到∠AEM=∠HPM，∠PFD=∠HPN，結(jié)合∠MPN=90°，得到∠PFD+∠AEM=90°，即可求解；
（2）由AB∥CD，得到∠PFD+∠BHN=180°，因?yàn)椤螧HN=∠PHE，求得∠P=90°，得到∠PHE+∠PEB=90°，再由∠PEB=∠AEM，即可求得∠PHE+∠AEM=90°即可求解；
（3）由對(duì)頂角的性質(zhì)，得到∠BHF=∠PHE，由AB∥CD，得到∠DFH+∠BHF=180°，求得∠DFH=120°，得到∠OFN=DFH=120°，結(jié)合∠DON=15°，列出算式，即可求解.

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