1．直線與直線平行
(1)基本事實(shí)4
①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.
②符號(hào)語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.
③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.
(2)空間等角定理
①自然語言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
②符號(hào)語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'=.

2．直線與平面平行
(1)判定定理
①自然語言
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
②圖形語言
③符號(hào)語言
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線線平行，則線面平行”.
(2)性質(zhì)定理
①自然語言
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
②圖形語言
③符號(hào)語言
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則線線平行”.
(3)性質(zhì)定理的作用
①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時(shí)，可以證明其中一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.
②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.
3．平面與平面平行
(1)判定定理
①自然語言
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.
②圖形語言
③符號(hào)語售
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則面面平行”.
(2)判定定理的推論
①自然語言
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行.
②圖形語言
③符號(hào)語言
.
(3)性質(zhì)定理
①自然語言
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.
②圖形語言
③符號(hào)語言
.
該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線線平行”.
(4)兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)
①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面.
②平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長(zhǎng)度相等.
③經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.
④兩條直線同時(shí)被三個(gè)平行平面所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例.
⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.
4．平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用
(1)證明線線平行的常用方法
①利用線線平行的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線.
②利用基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.
③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.
④利用平行線分線段成比例定理.
⑤利用線面平行的性質(zhì)定理.
⑥利用面面平行的性質(zhì)定理.
⑦利用反證法：假設(shè)兩條直線不平行，然后推出矛盾，進(jìn)而得出兩條直線是平行的.
(2)證明線面平行的常用方法
①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點(diǎn).
②利用直線與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.使用定理時(shí)，一定要說明“平面外
一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥，則必須在平面內(nèi)找一條直線b，使得a∥b，從而達(dá)到證明的目的，這三個(gè)條件缺一不可.
③利用面面平行的性質(zhì)：若平面∥平面，直線a，則a∥.
④利用反證法.這時(shí)“平行”的否定有“在平面內(nèi)”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內(nèi)”和“直線與平面相交”這兩種位置關(guān)系后才能得到“直線與平面平行”的結(jié)論，在這一點(diǎn)上往往容易出錯(cuò)，應(yīng)引起重視.
(3)平面與平面平行的判定方法
①根據(jù)定義：證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，但有時(shí)直接證明非常困難.
②根據(jù)判定定理：要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行
于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.
③根據(jù)判定定理的推論：在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線平行，
則這兩個(gè)平面平行.
④根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.
⑤利用反證法.
(4)平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)
化的，如圖所示.
【題型1 證明線線平行】
【方法點(diǎn)撥】
掌握線線平行的判定方法，結(jié)合題目條件，進(jìn)行求解，即可證明線線平行.
【例1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l?平面A1B1C1D1，且直線l與直線B1C1不平行，則下列一定不可能的是（ ）
A．l與AD平行B．l與AD不平行C．l與AC平行D．l與BD平行
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（ ）
A．3條B．4條
C．5條D．6條
【變式1-3】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，E,F,G,H,I,J分別為線段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中點(diǎn)，則下列說法正確的是
A．PH||BGB．IE||CPC．FH||GJD．GI||JH
【題型2 直線與平面平行的判定】
【方法點(diǎn)撥】
使用直線與平面平行的判定定理時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，具體操作中，我們
可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行.
【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知A、B、C、D是不共面四點(diǎn)，M、N分別是△ACD、△BCD的重心．以下平面中與直線MN平行的是（ ）
①平面ABC； ②平面ABD； ③平面ACD； ④平面BCD．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【變式2-1】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二期中）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-2】（2022秋·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中點(diǎn)，則（ ）
A．B1C//平面A1BMB．A1B1//平面BDM
C．BM//平面ACD1D．BC1//平面A1MC
【變式2-3】（2022秋·四川·高二階段練習(xí)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則下列直線中與平面AEC平行的是（ ）
A．AD1B．AA1C．BD1D．EO
【題型3 平面與平面平行的判定】
【方法點(diǎn)撥】
第一步：在一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線；
第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；
第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論.
【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)正方體中，A、B、C為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面ABC//平面DEF的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3-1】（2022秋·北京海淀·高二期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點(diǎn)，則必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【變式3-2】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別為棱AB，BC，DD1，D1C1上的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（ ）
A．直線AD//平面MNEB．直線FC1//面MNE
C．平面A1BC//平面MNED．平面AB1D1//平面MNE
【變式3-3】（2022春·湖北·高二階段練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【題型4 線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，關(guān)鍵是過已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行.還
可以利用交線判斷已知平面內(nèi)任意一條直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)，所有與交線平行的
直線都與已知直線平行，所有與交線相交的直線都與已知直線異面.
【例4】（2022春·浙江·高一期中）下列命題中正確的是（ ）
A．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行
B．平面α內(nèi)有不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面β的距離相等，則α∥β
C．b∥α，α∥β，則b∥β
D．a(chǎn)∥α，a∥b，b?α，則b∥α
【變式4-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為 1，M，N 分別是棱 BC，A1B1 上的點(diǎn)， 且 CM=2B1N=λ， 當(dāng) MN// 平面 AA1C1C 時(shí)， λ 的值為（ ）
A．34B．23C．12D．13
【變式4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線a//平面α，A?α，且直線a與點(diǎn)A位于α的兩側(cè)，B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC=4，CF=5，AF=3，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．32C．34D．23
【變式4-3】（2022春·江西南昌·高二階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D，E分別為棱PB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD、PE的交點(diǎn)，若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD//平面PEF，則AFFC的值為（ ）
A．1B．2C．12D．23
【題型5 面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理時(shí)，找出一個(gè)平面中的一條直線，則該直線與另一個(gè)平面平行，據(jù)此可解題.
【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1//平面CDD1C1，且AF//EC1，則四邊形AEC1F的形狀是（ ）
A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形
【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面α//平面β，點(diǎn)P為α，β外一點(diǎn)，直線PB，PD分別與α，β相交于A，B和C，D，則AC與BD的位置關(guān)系為（ ）
A．平行B．相交C．異面D．平行或異面
【變式5-2】（2022春·四川成都·高二期末）若平面α//平面β，直線m?α，則直線m與平面β的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．平行C．m在β內(nèi)D．無法判定
【變式5-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，平面α/平面β，A，C是α內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，則下列所有正確判斷的編號(hào)是（ ）
①當(dāng)AB，CD共面時(shí)，直線AC//BD
②當(dāng)AB=2CD時(shí)，E，F(xiàn)兩點(diǎn)不可能重合
③當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，直線EF一定與α平行
④可能存在直線EF與α垂直
A．①③B．②④C．①②D．③④
【題型6 平行問題的綜合應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
在立體幾何中常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互
聯(lián)系，并且可以相互轉(zhuǎn)化的.所以要解決平行關(guān)系的綜合問題，必須要靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.
【例6】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E,F分別為BC,AC,A1C1的中點(diǎn)，AB=BC．求證：
(1)A1B1//平面DEC1；
(2)平面ABF//平面DEC1．
【變式6-1】（2022秋·河北唐山·高二階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E,F,G分別是BC,DC,SC的中點(diǎn)，求證：
(1)EG//平面BDD1B1；
(2)平面EFG//平面BDD1B1.
【變式6-2】（2022春·山東聊城·高一期中）如圖：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn).
(1)求證：BD1 ∥平面AMC；
(2)若N為CC1的中點(diǎn)，求證：平面AMC ∥平面BND1.
【變式6-3】（2022春·山東聊城·高一期中）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，O為AC與BD的交點(diǎn)．
(1)求證：A1O∥平面B1CD1；
(2)求證：平面A1BD∥平面B1CD1；
(3)設(shè)平面B1CD1與底面ABCD的交線為l，求證：BD∥l．

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí) 專題7.1 復(fù)數(shù)的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí) 專題7.1 復(fù)數(shù)的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版），共7頁。試卷主要包含了數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，復(fù)數(shù)相等，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模的幾何意義等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí) 專題6.5 向量的數(shù)量積（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí) 專題6.5 向量的數(shù)量積（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版），共8頁。試卷主要包含了向量的數(shù)量積，向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，向量數(shù)量積的常用結(jié)論等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題7.9 正態(tài)分布（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題7.9 正態(tài)分布（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版），共8頁。試卷主要包含了連續(xù)型隨機(jī)變量，正態(tài)分布，正態(tài)曲線的特點(diǎn)，3原則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題6.3 排列與組合（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題6.3 排列與組合（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題5.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題5.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題4.11 數(shù)學(xué)歸納法（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題4.11 數(shù)學(xué)歸納法（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題4.1 數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題4.1 數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部