1．二面角
(1) 二面角的定義
①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.
②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角
-l-，如圖(1).
②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P，Q，這個二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這
個二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).

(3)二面角的平面角
①自然語言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線 OA 和
OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②圖形語言
③符號語言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②當(dāng)二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是；當(dāng)二面角的兩個半平面合成一個平面時，
規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.
2．面面垂直的定義及判定定理
(1)平面與平面垂直的定義
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與垂
直，記作⊥.
(2)兩個平面互相垂直的畫法
如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.
(3)平面與平面垂直的判定定理
①自然語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.
3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理
(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理
①自然語言
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
(2)性質(zhì)定理的作用
①證明線面垂直、線線垂直；
②構(gòu)造面的垂線.
4．直線、平面位置關(guān)系中的相關(guān)結(jié)論及其轉(zhuǎn)化
(1)判定直線與直線垂直的方法
①定義法：兩條直線所成的角為，則這兩條直線互相垂直.
②利用直線與平面垂直的性質(zhì)來判定.
③若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條.
(2)判定直線與平面垂直的方法
①定義法：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與這個平面垂直.
②利用直線與平面垂直的判定定理來判定.
③利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理來判定.
④如果兩平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么該直線也垂直于另一個平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論
①如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).
②如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.
③如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).
④如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.
⑤三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.
(4)線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
(5)平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
【題型1 求二面角】
【方法點(diǎn)撥】
求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即
過二面角的一個半平面內(nèi)不在棱上的一點(diǎn)作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找
到二面角的平面角或其補(bǔ)角.
【例1】（2022秋·貴州遵義·高二期末）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)H為線段PB上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），平面AHC⊥平面PAB．
(1)證明：PB⊥AC；
(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的體積為13，求二面角P－BC－A的余弦值．
【變式1-1】（2023·高一課時練習(xí)）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為45°．
(1)二面角B-PC-D的大?。?br>(2)直線PB與平面PCD所成的角的大?。?br>【變式1-2】（2023春·江蘇常州·高三開學(xué)考試）如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，平行于BC的直線分別交線段AB,AC于點(diǎn)M,N.將△AMN沿著MN折起至△A1MN，使得二面角A1-MN-B是直二面角.
(1)若平面A1MN∩平面A1BC=l，求證：l//BC；
(2)若三棱錐A1-AMN的體積為1，求二面角N-A1M-B的正弦值.
【變式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二階段練習(xí)）已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，∠PCA=45°，點(diǎn)M為線段PC上一動點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)M為PC中點(diǎn)時，證明：BM⊥AC；
(2)當(dāng)平面ABC與平面ABM所成二面角為60°時，試確定點(diǎn)M的位置.
【題型2 面面垂直判定定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通
過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明.
【例2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面PBC⊥平面PCD；
(2)求四棱錐E-ABCD的體積；
【變式2-1】如圖，四棱錐P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E為PC中點(diǎn)．
(1)求證：直線BE //平面PAD；
(2)平面PBC⊥平面PDC．
【變式2-2】（2023春·河南·高三開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn).
(1)求證：平面BED⊥平面BCC1B1；
(2)求三棱錐E-BCD的體積.
【變式2-3】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分別為CD，PD的中點(diǎn)，AC與BM交于點(diǎn)E，AB=62，AD=6，K為PA上一點(diǎn)，PK=13PA．
(1)證明：K，E，M，N四點(diǎn)共面；
(2)求證：平面PAC⊥平面BMNK．
【題型3 面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平
面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直.
【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q,M分別為AD,PC的中點(diǎn).PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.
(1)求證：直線BC⊥平面PQB；
(2)求三棱錐A-BMQ的體積.
【變式3-1】（2023春·青海西寧·高三開學(xué)考試）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為邊長為2的正三角形，D為BC的中點(diǎn)，AA1=2，且∠C1CB=60°，平面BB1C1C⊥平面ABC.
(1)證明：C1D⊥AB；
(2)求三棱錐B1-AA1C1的體積.
【變式3-2】（2023·四川南充·四川模擬預(yù)測）如圖， 在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1中，N，E，F(xiàn)分別是AA1，AB，C1D1的中點(diǎn)， 側(cè)面DCC1D1⊥平面ABCD，∠ABB1=60°，AD=4，AB=DD1=8，∠DAB=120°．
(1)求證：NF//平面C1CE;
(2)試求三棱錐 N-C1EC體積．
【變式3-3】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，四邊形ABB1A1是邊長為2的菱形，△ABC為等邊三角形，∠A1AB=60°，E為BC的中點(diǎn)，D為CC1的中點(diǎn)，P為線段AC上的動點(diǎn)．
(1)若AB1//平面PDE，請確定點(diǎn)P在線段AC上的位置；
(2)若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，求三棱錐C-PDE的體積．
【題型4 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化】
【方法點(diǎn)撥】
在有關(guān)垂直問題的證明過程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.因此，判定定理與性質(zhì)定
理的合理應(yīng)用是證明垂直問題的關(guān)鍵.
【例4】（2023秋·四川內(nèi)江·高二期末）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，F(xiàn)A⊥AC，AB=2，EF=FA=1．
(1)求證：BE⊥平面DEF；
(2)求直線BD與平面BEF所成角的大小．
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A、B的動點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)．
(1)求證：OF//平面BCE；
(2)求證：平面ADE⊥平面BCE．
【變式4-2】（2022秋·河南·高三階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=2，∠BAC=90°．以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)．
(1)證明：AC⊥EF；
(2)設(shè)EF=3，求BD．
【變式4-3】（2022秋·江蘇南通·高二期中）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=1，A1A=2，E為棱CC1的中點(diǎn)．
(1)求證：A1E⊥BD；
(2)求A1E與平面A1BD所成角的余弦值．
【題型5 點(diǎn)、線、面的距離問題】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合具體條件，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離、線面距、面面距的定義，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例5】（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D為CC1上的中點(diǎn).
(1)證明：平面A1BD⊥平面ABB1A1;
(2)若∠ACB=90°,AB=2，求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.
【變式5-1】（2023秋·重慶巫山·高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=2，PD的中點(diǎn)為F.
(1)求證：PB//平面ACF；
(2)求直線PB到面ACF的距離.
【變式5-2】（2023·河南·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥BC ，PA=PB，∠APC=∠BPC．
(1)證明：PC⊥AD；
(2)若AB∥CD，PD⊥AD， PC=3，且點(diǎn)C到平面PAB的距離為62，求AD的長．
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA//BF，AB=AE=2BF=2.
(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；
(2)求點(diǎn)B到平面CEF的距離.
【題型6 平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)線、面平行的判定和性質(zhì)、線、面垂直的判定和性質(zhì)等知識，結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.
【例6】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，BD與AC相交于O點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).
(1)求證：MO//平面PAD；
(2)若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD.
【變式6-1】（2023秋·四川遂寧·高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，PD=DC=2，E,F,G分別是AB,PB,CD的中點(diǎn)．
(1)求證：EF⊥DC；
(2)求證：平面EFG//平面PAD.
【變式6-2】（2022·上?！つM預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影為A，且PA=AB=2，E為PD中點(diǎn).
(1)證明：PB//平面AEC
(2)證明：平面PCD⊥平面PAD.
【變式6-3】（2023秋·廣東汕尾·高二期末）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A1B,B1D1的中點(diǎn).
(1)求證：EF//平面ACD1；
(2)求證：平面ACD1⊥平面D1B1BD.

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