1．抽樣調(diào)查的必要性
(1)相關(guān)概念
(2)抽樣的必要性
普查往往需要花費(fèi)大量的財(cái)力、物力，而抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、效率高的特點(diǎn).另外，在有些調(diào)查中，抽樣調(diào)查則具有不可替代的作用，比如：
①一些個(gè)體具有破壞性.如不可能對所有的炮彈都進(jìn)行試射檢驗(yàn)其是否合格.
②一些檢測具有毀損性.如不可能把地里所有的種子都挖出來檢驗(yàn)其是否發(fā)芽.
2．簡單隨機(jī)抽樣
(1)簡單隨機(jī)抽樣的概念
一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣.放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣.通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.
(2)（不放回）簡單隨機(jī)抽樣的特征
①有限性：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析.
②逐一性：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作.
③不放回性：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算.
④等可能性：簡單隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性(機(jī)會)都相等(與第幾次抽取無關(guān))，從而保證了抽樣的公平性.
3．兩種常見的簡單隨機(jī)抽樣方法
(1)抽簽法
一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也
可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些號簽放在一個(gè)不透明的盒，充分?jǐn)嚢瑁詈髲暮兄胁环呕?br>地逐個(gè)抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的數(shù)量.
(2)隨機(jī)數(shù)法
先把總體中的N個(gè)個(gè)體編號，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1~N范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中
的編號，使與編號對應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本.重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的數(shù)量.如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個(gè)數(shù)等于樣本所需要的數(shù)量.
(3)兩種抽樣方法的優(yōu)缺點(diǎn)
4．總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)
(1)概念
(2)求和符號的性質(zhì)
①；
②，其中k為常數(shù).
5．分層隨機(jī)抽樣
(1)分層隨機(jī)抽樣的必要性
簡單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能會出現(xiàn)比
較“極端”的樣本，從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差，這時(shí)候我們可以考慮采取一種新的抽樣方法——分層隨機(jī)抽樣.
(2)分層隨機(jī)抽樣的概念
一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)
子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.
(3)比例分配
在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.即
①=；
②=.
(4)分層隨機(jī)抽樣的步驟
(5)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)
①適用于由差異明顯的幾部分(即層)組成的總體；
②分成的各層互不重疊；
③各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即，其中n為樣本容量，N為總體容量;
④分層隨機(jī)抽樣使樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且在各層抽樣時(shí)，又可靈活地選用不同的隨機(jī)抽樣方法.
6．分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算
在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量
分別為m和n，第1層、第2層的總體平均數(shù)分別為，，第1層、第2層的樣本平均數(shù)分別為，，總體平均數(shù)為，樣本平均數(shù)為，則==+.
由于用第1層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)，用第2層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)，因此可以用=+估計(jì)總體平均數(shù).
又==，
所以+=+=.
因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).
7．獲取數(shù)據(jù)的途徑
(1)通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)
我們一般通過抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù).
(2)通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)
沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢時(shí)，就需要通過對比試驗(yàn)的方法去獲取樣本觀測數(shù)據(jù).
(3)通過觀察獲取數(shù)據(jù)
自然現(xiàn)象只能通過長久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù).
(4)通過查詢獲得數(shù)據(jù)
通過收集前人的勞動成果并加以利用，從而減少收集數(shù)據(jù)的成本.
【題型1 抽樣方法的選取】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)幾種抽樣方法的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)，結(jié)合具體的樣本，選取合適的抽樣方法.
【例1】（2023秋·四川綿陽·高二期末）現(xiàn)須完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（ ）
A．①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣B．①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣
C．①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法D．①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法
【解題思路】根據(jù)抽簽法以及分層抽樣的使用條件，可得答案.
【解答過程】對于①，由于抽取的總體個(gè)數(shù)與樣本個(gè)數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；
對于②，抽取的總體個(gè)數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個(gè)數(shù)較大，則采用分層隨機(jī)抽樣.
故選：A.
【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某校為了了解高二學(xué)生的身高情況，打算在高二年級12個(gè)班中抽取3個(gè)班，再按每個(gè)班男女生比例抽取樣本，正確的抽樣方法是（ ）
A．簡單隨機(jī)抽樣B．先用分層抽樣，再用隨機(jī)數(shù)表法
C．分層抽樣D．先用抽簽法，再用分層抽樣
【解題思路】利用抽樣方法求解．
【解答過程】解：在高二年級12個(gè)班中抽取3個(gè)班，這屬于簡單隨機(jī)抽樣中的抽簽法，
按男女生比例抽取樣本屬于分層抽樣，所以是先用抽簽法，再用分層抽樣．
故選：D．
【變式1-2】（2022秋·上海浦東新·高二期末）現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：
①從盒餅干中抽取4盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；
②某中學(xué)共有360名教職工，其中一般教師280名，行政人員55名，后勤人員25名，為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為72的樣本，較為合理的抽樣方法是（ ）
A．①簡單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣
B．①簡單隨機(jī)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣
C．①分層抽樣，②分層抽樣
D．①分層抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣
【解題思路】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的特征判斷抽樣方法.
【解答過程】①總體中的個(gè)體數(shù)較少，宜用簡單隨機(jī)抽樣；
②總體是由差異明顯的幾部分組成，宜用分層抽樣．
故選：A.
【變式1-3】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習(xí)）某公司有160名員工，其中研發(fā)部120名，銷售部16名，客服部24名，為調(diào)查他們的收入情況，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，較為合適的抽樣方法是（ ）
A．簡單隨機(jī)抽樣B．系統(tǒng)抽樣
C．分層抽樣D．其他抽樣
【解題思路】根據(jù)員工明顯來自三個(gè)不同的部門可以選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǎ?br>【解答過程】由題意員工來自三個(gè)不同的部門，因此采取分層抽樣方法較合適．
故選：C．
【題型2 抽簽法的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
一個(gè)抽樣能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制作號簽是否方便，二是號簽是否容易被攪拌均勻.一般地，當(dāng)
總體容量和樣本容量都較少時(shí)可用抽簽法，然后按照抽簽法的步驟進(jìn)行抽樣即可.
【例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某校高一共有10個(gè)班，編號1至10，某項(xiàng)調(diào)查要從中抽取三個(gè)班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽取樣本，每次抽取一個(gè)號碼，共抽3次，設(shè)五班第一次抽到的可能性為a，第二次被抽到的可能性為b，則 ( )
A．a(chǎn)＝310，b＝29B．a(chǎn)＝110，b＝19
C．a(chǎn)＝310，b＝310D．a(chǎn)＝110，b＝110
【解題思路】由題意結(jié)合簡單隨機(jī)抽樣的特征即可確定實(shí)數(shù)a,b的值.
【解答過程】由簡單隨機(jī)抽樣的定義知，每個(gè)個(gè)體在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，
故五班在每次抽樣中被抽到的可能性都是110，
所以a=110,b=110，
故選：D.
【變式2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是（ ）
A．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
B．從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
D．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)
【解題思路】根據(jù)抽簽法的特征:個(gè)體數(shù)以及樣本容量較小，且易均勻混合，即可結(jié)合選項(xiàng)求解.
【解答過程】選項(xiàng)A中總體中的個(gè)體數(shù)較大，樣本容量也較大，不適合用抽簽法；
選項(xiàng)B中總體中的個(gè)體數(shù)較小，樣本容量也較小，且同廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品可視為攪拌均勻了，可用抽簽法；
選項(xiàng)C中甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，不能滿足攪拌均勻的條件，不能用抽簽法；
選項(xiàng)D中總體中的個(gè)體數(shù)較大，不適合用抽簽法.
故選：B.
【變式2-2】（2022·高一單元測試）甲、乙、丙三位同學(xué)爭著去參加一個(gè)公益活動．抽簽決定誰去．那你認(rèn)為抽到的概率大的是（ ）．
A．先抽的概率大些
B．三人的概率相等
C．無法確定誰的概率大
D．以上都不對
【解題思路】根據(jù)抽簽法，每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等判斷.
【解答過程】∵甲、乙、丙三位選手抽到的概率是13，
故選：B．
【變式2-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在對101個(gè)人進(jìn)行一次抽樣時(shí)，先采用抽簽法從中剔除一個(gè)人，再在剩余的100中隨機(jī)抽取10人，那么下列說法正確的是（ ）
A．這種抽樣方法對于被剔除的個(gè)體是不公平的，因?yàn)樗麄兪チ吮怀榈降臋C(jī)會
B．每個(gè)人在整個(gè)抽樣過程中被抽到的機(jī)會均等，因?yàn)槊總€(gè)人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的機(jī)會也是均等的
C．由于采用了兩步進(jìn)行抽樣，所以無法判斷每個(gè)人被抽到的可能性是多少
D．每個(gè)人被抽到的可能性不相等
【解題思路】根據(jù)隨機(jī)抽樣的特征，即可判斷出結(jié)果.
【解答過程】由于第一次剔除時(shí)采用抽簽法，對每個(gè)人來說可能性相等，然后隨機(jī)抽取10人對每個(gè)人的機(jī)會也是均等的，所以總的來說每個(gè)人的機(jī)會都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.
故選：B.
【題型3 隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
隨機(jī)數(shù)法的步驟：(1)編號；(2)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；(3)選號；(4)確定樣本.
【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某工廠為了對40個(gè)零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號為00，01，…，38，39.現(xiàn)要從中選出5個(gè)，利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列開始，由左至右依次讀取，則選出來的第1個(gè)零件編號是（ ）
034743738636964736614698637162332616804560111410
A．36B．16C．11D．14
【解題思路】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表的規(guī)則讀取編號．
【解答過程】從題中給的隨機(jī)數(shù)表第一行第3列開始從左往右開始讀取，重復(fù)的數(shù)字只讀一次，讀到的小于40的編號分別為36，33，26，16，11．所以出來的第1個(gè)零件編號是36．
故選：A.
【變式3-1】（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）總體有編號為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取3個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第3個(gè)個(gè)體的編號為（ ）
A．08B．02C．63D．14
【解題思路】由隨機(jī)數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.
【解答過程】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個(gè)個(gè)體編號為14.
故選：D.
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）2019年9月14日，女排世界杯在日本拉開帷幕，某網(wǎng)絡(luò)直播平臺開通觀眾留言渠道，為中國女排加油.現(xiàn)該平臺欲利用隨機(jī)數(shù)表法從編號為01、02、…、25的號碼中選取5個(gè)幸運(yùn)號碼，選取方法是從下方隨機(jī)數(shù)表第1行第24列的數(shù)字開始，從左往右依次選取2個(gè)數(shù)字，則第5個(gè)被選中的號碼為（ ）
82 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A．09B．13C．23D．24
【解題思路】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表中的取數(shù)原則可得選項(xiàng).
【解答過程】根據(jù)題意及隨機(jī)數(shù)表可得5個(gè)被選中的號碼依次為16,06 ,09,13 ,23.所以第5個(gè)被選中的號碼為23.
故選：C.
【變式3-3】（2022春·陜西渭南·高一期末）要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行檢驗(yàn)，將它們編號為000、001、002、?、499，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的數(shù)開始，按3位數(shù)依次向右讀取，到行末后接著從下一行第一個(gè)數(shù)繼續(xù)．則第三袋牛奶的標(biāo)號是（ ）
（下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）
844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211
A．358B．169C．455D．206
【解題思路】利用隨機(jī)數(shù)表法可得結(jié)果.
【解答過程】由隨機(jī)數(shù)表法可知，前三袋牛奶的標(biāo)號依次為206、301、169，故第三袋牛奶的標(biāo)號是169.
故選：B.
【題型4 樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
在簡單隨機(jī)抽樣中，根據(jù)樣本平均數(shù)和總體平均數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可.
【例4】（2022·全國·高一專題練習(xí)）有4萬個(gè)不小于70的兩位數(shù)，從中隨機(jī)抽取了3000個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：
請根據(jù)表格中的信息，估計(jì)這4萬個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（ ）
A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【解題思路】首先求出這3000個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即可得解；
【解答過程】解：這3000個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為78.1×800+85×1300+91.9×9003000=85.23.
用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)，可知這4萬個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為85.23.
故選：B.
【變式4-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90，在對錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得的樣本平均數(shù)為x，則（ ）
A．x=70B．x>70C．xmC．a(chǎn)

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