高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題5.6 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（3分）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx=x-3ex，則fx的單調(diào)增區(qū)間是（）
A．-∞,2B．2,+∞C．-∞,3D．3,+∞
【解題思路】求出給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解導(dǎo)數(shù)大于0的不等式作答.
【解答過(guò)程】函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：f'x=x-2ex，由f'x>0，解得x>2，
所以fx的單調(diào)增區(qū)間是2,+∞.
故選：B.
2．（3分）（2022·山東高三階段練習(xí)）已知f(x)=x2-2x+1x，則f(x)在12,3上的最大值為（）
A．12B．43C．-1D．0
【解題思路】對(duì)fx求導(dǎo)得f'x=1-x-2，令其為0，得到其單調(diào)性，最后得到最大值.
【解答過(guò)程】f(x)=x2-2x+1x=x+1x-2，且x∈12,3，
f'x=1-x-2，令f'x=0，x=1（負(fù)舍），
∵x∈12,1，f'x0可得f'x=1x+2ax-2=2ax2-2x+1x，
令g(x)=2ax2-2x+1，則g(0)=1 ，
當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=-2x+1=0,x=12，當(dāng)00，
此時(shí)要使函數(shù)fx=lnx+ax2-2x在0,1上存在極大值點(diǎn)，需滿足g(1)x在0,1上恒成立，即a>xex恒成立，
令g(x)=xex，則g'(x)=1-xex>0，即g(x)在0,1上遞增，
故a≥g(1)=1e，
故a的取值范圍為1e,+∞.
故選：D.
8．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是10萬(wàn)千克，每種植1萬(wàn)千克蓮藕，成本增加1萬(wàn)元銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）與蓮藕種植量x（單位：萬(wàn)千克）滿足y=-16x3+ax2+x（a為常數(shù)），若種植3萬(wàn)千克，銷(xiāo)售利潤(rùn)是232萬(wàn)元，則要使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕（）
A．6萬(wàn)千克B．8萬(wàn)千克C．7萬(wàn)千克D．9萬(wàn)千克
【解題思路】由已知求參數(shù)a，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定銷(xiāo)售利潤(rùn)最大時(shí)每年需種植蓮藕量.
【解答過(guò)程】設(shè)當(dāng)蓮藕種植量為x萬(wàn)千克時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)為g(x)萬(wàn)元，則g(x)=-16x3+ax2+x-2-x=-16x3+ax2-2（00，當(dāng)x∈(8,10)時(shí)，g'(x)0；當(dāng)x∈-43,1時(shí)，f'x1時(shí)，g't>0恒成立，∴gt在1,+∞上單調(diào)遞增；
∵t=ex在0,+∞上單調(diào)遞增，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：gex在0,+∞上為增函數(shù)，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)x>1時(shí)，lnx2>ln1=0，又a為正實(shí)數(shù)，∴ax>a>0，
∵f'x=ex-1，∴當(dāng)x>0時(shí)，f'x>0恒成立，∴fx在0,+∞上單調(diào)遞增，
則由fax≥flnx2得：ax≥lnx2，即a≥2lnxx，
令hx=2lnxxx>1，則h'x=21-lnxx2，
∴當(dāng)x∈1,e時(shí)，h'x>0；當(dāng)x∈e,+∞時(shí)，h'x0恒成立，故hx=2lnx+x在(0,+∞)單調(diào)遞增，
得到2lnx+x=t∈R，
故2a=tet有兩個(gè)不同的根，
令gt=tet，則g't=1-tet，t∈R，
當(dāng)t>1時(shí)，g't0，
所以f(x)在R上單調(diào)遞增，
f(m?4x+1)+f(m-2x)≥5等價(jià)于f(m?4x+1)+f(m-2x)≥f(m-2x)+f(2x-m)，
即f(m?4x+1)≥f(2x-m)恒成立，
所以m?4x+1≥2x-m，即m≥2x-14x+1(x>0)恒成立，
令2x-1=t (t>0)，可得m≥t(t+1)2+1=tt2+2t+2，
而tt2+2t+2=1t+2t+2≤122+2=2-12，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào)，
所以m≥2-12，即實(shí)數(shù)m的最小值為2-12.
故答案為：2-12.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2022·山東·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xlnx-12mx2-xm∈R．
(1)若m=0，求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)fx在0,+∞上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解題思路】(1)先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)fx在0,+∞上是減函數(shù)，可知知f'x≤0恒成立，利用參數(shù)分離法,求lnxx的最大值即可求解.
【解答過(guò)程】（1）當(dāng)m=0時(shí)，fx=xlnx-x,x∈(0,+∞)，
f'x=lnx,∴f'(x)=0,x=1.
f'x0?x∈0,e，φ'xe知，
函數(shù)φx在0,e上遞增，在e,+∞上遞減，
∴φxmax=φe=1e，∴m≥1e．
18．（6分）（2022·上海市高二期末）求函數(shù)f(x)=13x3-x+2．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最值．
【解題思路】（1）求導(dǎo)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)大于0的解為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0為單調(diào)遞減區(qū)間，遞增遞減的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為極大值點(diǎn)，遞減遞增的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為極小值點(diǎn)；（2）由第一小問(wèn)的單調(diào)性，寫(xiě)出[-2,2]上的極值點(diǎn)和端點(diǎn)函數(shù)值，比較其大小可得最值.
【解答過(guò)程】（1）f(x)=13x3-x+2,∴ f'(x)=x2-1，
令f'(x)>0，得x1；令f'(x)0)，
則F'(x)=2x2+1x-3(x>0)，
令F'(x)=0，得x=1或x=-23（舍去）
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0，則F(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，F(xiàn)'(x)0，求證：2lnx1+3lnx2>8ln2-5
【解題思路】（1）由題知u'(x)=1x-a，進(jìn)而分a≤0和a>0兩種情況討論求解即可；
（2）由題知lnx1=ax1-1lnx2=ax2-1，a=lnx1-lnx2x1-x2，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證2x1x2+3?lnx1x2x1x2-1>8ln2，再令x1x2=t，則t∈0,12，進(jìn)而證明(2t+3)lntt-1>8ln2，再構(gòu)造函數(shù)g(t)=(2t+3)lntt-1，t∈0,12，求解最小值即可證明.
【解答過(guò)程】（1）解：由已知u'(x)=1x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，u'(x)≥0在(0,+∞)恒成立，u(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a>0時(shí)，由u'(x)=1x-a=0得x=1a，
若08ln2-5，
只需證明a2x1+3x2-5>8ln2-5，即證a2x1+3x2>8ln2，
只需證2x1+3x2lnx1-lnx2x1-x2>8ln2，即證2x1x2+3?lnx1x2x1x2-1>8ln2，
令x1x2=t，而x22-x1>0，則t∈0,12，只需證明(2t+3)lntt-1>8ln2，
令函數(shù)g(t)=(2t+3)lntt-1，t∈0,12，求導(dǎo)得：g'(t)=-5lnt+2t-3t+1(t-1)2
令函數(shù)h(t)=-5lnt+2t-3t+1，t∈0,12，
求導(dǎo)得h'(t)=2t2-5t+3t2=(t-1)(2t-3)t2>0，
則函數(shù)h(t)在0,12上單調(diào)遞增，于是有h(t)0，
若x0，
若x0，eax>1，所以f'x0，所以b?-xlnx對(duì)x∈1,+∞時(shí)恒成立，
令Gx=-xlnx(x>1)
G'x=1-lnx(lnx)2，令G'x>0，則1

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