1．（3分）實(shí)數(shù)﹣2的相反數(shù)是（ ）
A．﹣2B．2C．?12D．12
2．（3分）下列圖形能折疊成圓柱的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）隨著我國科技迅猛發(fā)展，電子制造技術(shù)不斷取得突破性成就，電子元件尺寸越來越小，在芯片上某種電子元件大約占0.0000007mm2，將0.0000007用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．0.7×10﹣7B．0.7×10﹣6C．7×10﹣7D．7×10﹣6
4．（3分）如圖，一副直角三角板如圖所示擺放，∠B＝30°，∠E＝45°，若DE∥AB，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠A=12，tan∠B=13，則BC的長為（ ）
A．25B．3C．2D．10
6．（3分）物理實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們分別測量電路中經(jīng)過甲、乙、丙、丁四個用電器的電流I（A）和它們兩端的電壓U（V），根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，在如圖的坐標(biāo)系中依次畫出相應(yīng)的圖象．根據(jù)圖象及物理學(xué)知識U＝IR，可判斷這四個用電器中電阻R（Ω）最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，y1），（0，3），且y1＜3，則m的值是（ ）
A．1或3B．﹣1或3C．3D．﹣1
二、填空題（共5小題）
9．（3分）比較大小：32 23．
10．（3分）在數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題活動課上，芳芳用半徑為15cm，圓心角為120°的扇形紙板，做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示，在不考慮接縫的情況下，這個圓錐形生日帽的底面圓的半徑是 cm．
11．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，將△ABC沿著BC的方向平移至△DEF，若四邊形ADFC的面積為24，則平移的距離為 ．
12．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB和菱形OCDE的邊OA、OE都在x軸上，點(diǎn)C在OB邊上，連接AD、BD，S△ABD=23，反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值為 ．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接AD，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD＝1，則AE的最大值為 ．
三、解答題（共13小題，解答應(yīng)寫出過程）
14．計(jì)算：2﹣2﹣（π﹣3）0+2cs60°．
15．解不等式組：x?3(x?2)＞42x?13≤x+12．
16．先化簡，再求值：(2x+1x+2?1)÷x2?2x+1x2?4，其中x＝3．
17．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，請用尺規(guī)作圖法在AC邊上求作一點(diǎn)P，使得 ∠CBP=12∠A．（保留作圖痕跡，不寫作法）
18．周末同學(xué)們和老師代表共20人組團(tuán)去科技館參加活動．已知科技館的門票銷售標(biāo)準(zhǔn)是：成人票150元/張，學(xué)生票價(jià)是成人票價(jià)的五折．該團(tuán)隊(duì)購門票共花費(fèi)1650元．問該團(tuán)隊(duì)老師代表和學(xué)生分別有多少人？
19．如圖所示，在四邊形ABCD中，CD∥AB，點(diǎn)E在AC上，且BE＝AD，∠ABE＝∠CAD．求證：AE＝CD．
20．近幾年國產(chǎn)電影不斷創(chuàng)新突破，越來越受到觀眾的喜愛.2025年春節(jié)期間熱映的電影有：《哪吒之魔童鬧海》，《戰(zhàn)火西岐》，《唐探1900》，《射雕英雄傳》，丁丁和小剛也準(zhǔn)備去電影院去看電影，他們計(jì)劃從4部熱映的電影中選擇一部觀看．
（1）隨機(jī)選擇一部電影，請問丁丁選到《唐探1900》的概率是 ；
（2）請用畫樹狀圖或者列表的方法，求丁丁和小剛選擇同一部電影的概率．
21．如圖，小知想測量自家小區(qū)居民樓下一棵大樹AB的高度，由于大樹旁邊還有其他灌木無法直接到達(dá)大樹下面測量，他先通過查詢建筑說明得到居民樓CD的高度為28m，接著在居民樓CD的頂端C處測得大樹的頂端A的俯角為22°，某一時刻在太陽光的照射下，大樹AB頂端A的影子落在地面上的點(diǎn)E處，居民樓CD頂端C的影子落在地面上的點(diǎn)F處，測得DE＝10m，DF＝30.8m，已知大樹和居民樓均垂直于地面，且點(diǎn)B，E，D，F(xiàn)在同一條直線上，求大樹的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
22．如圖，1個和4個疊在一起的杯子放在刻度尺的兩側(cè)，刻度尺的0刻度線與兩疊杯子底面平齊，左右兩疊杯子上邊緣對應(yīng)刻度尺上的讀數(shù)分別是4.5和6.3．
（1）當(dāng)x個杯子按如圖方式疊放在一起時，總高度為y cm，求y與x之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）若干個杯子疊放一起的總高度是12.9cm，求杯子的個數(shù)．
23．初中階段是學(xué)生身體素質(zhì)增強(qiáng)的關(guān)鍵時期．某校為了解本校七年級女生體育測試項(xiàng)目“仰臥起坐”的訓(xùn)練情況，隨機(jī)調(diào)查了50名七年級女生一分鐘仰臥起坐的個數(shù)，將她們的成績分為四組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表：
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的信息，解答下列問題：
（1）填空：n＝ ，本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐成績的中位數(shù)落在 組；
（2）求本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐的平均個數(shù)；
（3）若在該校體育考試中，一分鐘仰臥起坐個數(shù)超過20個（含20個）才算通過考試，請你估計(jì)該校七年級700名女生中，能通過體育考試的女生人數(shù)．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，連接OD，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，交AC于點(diǎn)E，延長CA交⊙O于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直徑為5，csC=45，求CF的長．
25．我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜時鍋的水位高度是1dm，求此時水面的直徑；
（3）如果將一個底面直徑為3dm，高度為3.2dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．
26．【問題探究】
（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD與BC的位置關(guān)系是 ；
（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，E是線段BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），連接AE，將線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AF，連接EF，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊BC、EF的中點(diǎn)．試探究BE和MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【問題解決】
（3）如圖3，正方形ABCD是一塊蔬菜種植基地，邊長為3千米，對角線BD為該基地內(nèi)的一條小路，管理人員計(jì)劃在小路BD上確定一點(diǎn)E（不與點(diǎn)B、D重合）；連接AE，以線段AE為斜邊，在AE右側(cè)建等腰直角△AEF區(qū)域（∠EFA＝90°），用來種植新品有機(jī)蔬菜，并在F處設(shè)立蔬菜倉庫．G點(diǎn)和D點(diǎn)為基地的兩個蔬菜打包裝運(yùn)點(diǎn)，G在BD上且BG＝2DG．現(xiàn)要沿GF、DF修建蔬菜運(yùn)輸軌道，請確定運(yùn)輸軌道GF+DF的最小值．并求出當(dāng)GF+DF最小時，有機(jī)蔬菜種植區(qū)域的面積（即△AEF的面積）．
2025年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
一、選擇題（共8小題，每小題只有一個選項(xiàng)是符合題意的）
1．（3分）實(shí)數(shù)﹣2的相反數(shù)是（ ）
A．﹣2B．2C．?12D．12
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)；相反數(shù)．
【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感．
【答案】B
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．
【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)的性質(zhì)及相反數(shù)的定義，熟知只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）下列圖形能折疊成圓柱的是（ ）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)】展開圖折疊成幾何體．
【專題】展開與折疊；推理能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓柱的展開圖特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．
【解答】解：圓柱的展開圖是兩個圓和一個矩形，
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了展開圖折疊成幾何體．解題的關(guān)鍵是明確圓柱的展開圖的特點(diǎn)，以及明確常見幾何體的展開圖的特點(diǎn)．
3．（3分）隨著我國科技迅猛發(fā)展，電子制造技術(shù)不斷取得突破性成就，電子元件尺寸越來越小，在芯片上某種電子元件大約占0.0000007mm2，將0.0000007用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．0.7×10﹣7B．0.7×10﹣6C．7×10﹣7D．7×10﹣6
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．
【專題】實(shí)數(shù)；符號意識．
【答案】C
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（3分）如圖，一副直角三角板如圖所示擺放，∠B＝30°，∠E＝45°，若DE∥AB，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠2，進(jìn)而利用三角形外角性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠2＝∠B＝30°，
∴∠1＝∠2+∠E＝30°+45°＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠2解答．
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠A=12，tan∠B=13，則BC的長為（ ）
A．25B．3C．2D．10
【考點(diǎn)】解直角三角形．
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】D
【分析】如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．設(shè)CH＝m．根據(jù)正切函數(shù)的定義求出AH＝2m，BH＝3m，構(gòu)建方程求出m，再利用勾股定理求解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．設(shè)CH＝m．
∵tan∠A=CHAH=12，tan∠B=CHBH=13，
∴AH＝2m，BH＝3m，
∴AB＝5m＝5，
∴m＝1，
∴CH＝1，BH＝3，
∴BC=CH2+BH2=12+32=10．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
6．（3分）物理實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們分別測量電路中經(jīng)過甲、乙、丙、丁四個用電器的電流I（A）和它們兩端的電壓U（V），根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，在如圖的坐標(biāo)系中依次畫出相應(yīng)的圖象．根據(jù)圖象及物理學(xué)知識U＝IR，可判斷這四個用電器中電阻R（Ω）最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖示得出U2＞U1，I1＜I2，利用不等式的性質(zhì)得出U2I1＞U1I1，U2I1＞U2I2，U2I2＞U1I2，則可得出丙的電阻大于甲的電阻，丙的電阻大于丁的電阻，丁的電阻大于乙的電阻，即可求解．
【解答】解：由題意可得R=UI，
由圖象知：U2＞U1，I1＜I2，
∴U2I1＞U1I1，U2I1＞U2I2，
∴丙的電阻大于甲的電阻，丙的電阻大于丁的電阻，
同理丁的電阻大于乙的電阻，
∴這四個用電器中電阻R（Ω）最大的是丙，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．
【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】連接AC，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到答案．
【解答】解：如圖，連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝20°，
∴∠CAB＝∠BEC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，y1），（0，3），且y1＜3，則m的值是（ ）
A．1或3B．﹣1或3C．3D．﹣1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】C
【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1﹣m，再根據(jù)二次函數(shù)增減性得出結(jié)論．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m為常數(shù)），
∴二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線x=?2(m?1)2×1=1﹣m，
∵二次函數(shù)y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），
∴m2﹣2m＝3，
解得m＝﹣1或m＝3，
∵二次函數(shù)y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，y1），（0，3），且y1＜3，
∴1﹣m＜?1+02，
∴m＞1.5，
∴m＝3，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共5小題）
9．（3分）比較大?。?2 ＞ 23．
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較；算術(shù)平方根．
【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．
【答案】＞．
【分析】將兩數(shù)平方后比較大小，可得答案．
【解答】解：∵(32)2=18，(23)2=12，18＜12，
∴32＞23．
故答案為：＞．
【點(diǎn)評】本題考查了比較無理數(shù)的大小，掌握用平方法比較無理數(shù)的大小是關(guān)鍵．
10．（3分）在數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題活動課上，芳芳用半徑為15cm，圓心角為120°的扇形紙板，做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示，在不考慮接縫的情況下，這個圓錐形生日帽的底面圓的半徑是 5 cm．
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．
【專題】推理能力．
【答案】5．
【分析】解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，列出方程求解即可．
【解答】解：半徑為15cm，圓心角為120°的扇形弧長是：120π×15180=10πcm，
設(shè)圓錐的底面半徑是r cm，則2πr＝10π，
解得：r＝5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，將△ABC沿著BC的方向平移至△DEF，若四邊形ADFC的面積為24，則平移的距離為 4 ．
【考點(diǎn)】平移的性質(zhì)．
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力．
【答案】4．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD∥CF，AD＝CF，從而可得四邊形ADFC是平行四邊形，然后利用平行四邊形的面積公式進(jìn)行計(jì)算求出CF的長，即可解答．
【解答】解：由平移得：AD∥CF，AD＝CF，
∴四邊形ADFC是平行四邊形，
∵四邊形ADFC的面積為24，∠B＝90°，
∴CF?AB＝24，
∵AB＝6，
∴CF＝4，
∴平移的距離為4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB和菱形OCDE的邊OA、OE都在x軸上，點(diǎn)C在OB邊上，連接AD、BD，S△ABD=23，反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值為 23 ．
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．
【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】23．
【分析】連接OD，由△OAB是等邊三角形，得到∠AOB＝60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等邊三角形，得到∠DOE＝∠BAO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△AOD，推出S△AOB＝S△ABD＝23，過B作BH⊥OA于H，由等邊三角形的性質(zhì)得到OH＝AH，求得S△OBH=3，于是得到結(jié)論．
【解答】解：連接OD，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵四邊形OCDE是菱形，
∴DE∥OB，
∴∠DEO＝∠AOB＝60°，
∴△DEO是等邊三角形，
∴∠DOE＝∠BAO＝60°，
∴OD∥AB，
∴S△BDO＝S△AOD，
∵S四邊形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB，
∴S△AOB＝S△ABD＝23，
過B作BH⊥OA于H，
∴OH＝AH，
∴S△OBH=3，
∵反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
∴k的值為23，
故答案為：23．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，同底等高的三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接AD，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD＝1，則AE的最大值為 22+1 ．
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形．
【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力．
【答案】22+1．
【分析】根據(jù)題意識別出點(diǎn)E是在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，點(diǎn)D是在以C為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動，所以當(dāng)∠BAE最小，AE最大．
【解答】解：∵BE⊥AE，
∴∠BEA＝90°，
∴點(diǎn)E是在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，
∵CD＝1，且CD是繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，
∴點(diǎn)D是在以C為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動，
∵AB＝AC＝3，=2AC＝32，
∴當(dāng)cs∠BAE最大時，AE最大，當(dāng)cs∠BAE最小時，AE最?。?br>如圖，當(dāng)AE與圓C相切于點(diǎn)D，且D在△ABC內(nèi)部時，∠BAE最小，AE最大，
∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴AD=AC2?CD2=22，
∵AC=AC，
∴∠CEA＝∠CBA＝45°，
∴DE＝CD＝1，
此時AE＝22+1，即AE的最大值為22+1，
【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是識別出隱圓模型，作出合適的輔助線．
三、解答題（共13小題，解答應(yīng)寫出過程）
14．計(jì)算：2﹣2﹣（π﹣3）0+2cs60°．
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】14．
【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，然后進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算．
【解答】解：原式=14?1+2×12
=14?1+1
=14．
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
15．解不等式組：x?3(x?2)＞42x?13≤x+12．
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．
【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．
【解答】解：x?3(x?2)＞4①2x?13≤x+12②，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式組解集為x＜1．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
16．先化簡，再求值：(2x+1x+2?1)÷x2?2x+1x2?4，其中x＝3．
【考點(diǎn)】分式的化簡求值．
【專題】分式；運(yùn)算能力．
【答案】x?2x?1，12．
【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：(2x+1x+2?1)÷x2?2x+1x2?4
=2x+1?(x+2)x+2÷(x?1)2(x+2)(x?2)
=x?1x+2?(x+2)(x?2)(x?1)2
=x?2x?1，
當(dāng)x＝3時，原式=3?23?1=12．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
17．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，請用尺規(guī)作圖法在AC邊上求作一點(diǎn)P，使得 ∠CBP=12∠A．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】作圖題；幾何直觀．
【答案】見解答．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，過B作AC邊上的高即可．
【解答】解：過B作BP⊥AC于點(diǎn)P，
點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．周末同學(xué)們和老師代表共20人組團(tuán)去科技館參加活動．已知科技館的門票銷售標(biāo)準(zhǔn)是：成人票150元/張，學(xué)生票價(jià)是成人票價(jià)的五折．該團(tuán)隊(duì)購門票共花費(fèi)1650元．問該團(tuán)隊(duì)老師代表和學(xué)生分別有多少人？
【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識．
【答案】該團(tuán)隊(duì)老師代表有2人，學(xué)生有18人．
【分析】設(shè)該團(tuán)隊(duì)老師代表有x人，學(xué)生有y人，根據(jù)周末同學(xué)們和老師代表共20人組團(tuán)去科技館參加活動，該團(tuán)隊(duì)購門票共花費(fèi)1650元，列出二元一次方程組，解方程組即可．
【解答】解：設(shè)該團(tuán)隊(duì)老師代表有x人，學(xué)生有y人，
根據(jù)題意得：x+y=20150x+150×0.5y=1650，
解得：x=2y=18，
答：該團(tuán)隊(duì)老師代表有2人，學(xué)生有18人．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
19．如圖所示，在四邊形ABCD中，CD∥AB，點(diǎn)E在AC上，且BE＝AD，∠ABE＝∠CAD．求證：AE＝CD．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】圖形的全等；推理能力．
【答案】證明見解析．
【分析】根據(jù)CD∥AB，可得∠ACD＝∠BAE，根據(jù)AAS可證△ABE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【解答】證明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAE，
在△ABE和△CAD中，
∠BAE=∠ACD∠ABE=∠CADBE=AD，
∴△ABE≌△CAD（AAS），
∴AE＝CD．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
20．近幾年國產(chǎn)電影不斷創(chuàng)新突破，越來越受到觀眾的喜愛.2025年春節(jié)期間熱映的電影有：《哪吒之魔童鬧?！罚稇?zhàn)火西岐》，《唐探1900》，《射雕英雄傳》，丁丁和小剛也準(zhǔn)備去電影院去看電影，他們計(jì)劃從4部熱映的電影中選擇一部觀看．
（1）隨機(jī)選擇一部電影，請問丁丁選到《唐探1900》的概率是 14 ；
（2）請用畫樹狀圖或者列表的方法，求丁丁和小剛選擇同一部電影的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【答案】（1）14．
（2）14．
【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中丁丁選到《唐探1900》的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及丁丁和小剛選擇同一部電影的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中丁丁選到《唐探1900》的結(jié)果有1種，
∴隨機(jī)選擇一部電影，丁丁選到《唐探1900》的概率是14．
故答案為：14．
（2）將《哪吒之魔童鬧?！?，《戰(zhàn)火西岐》，《唐探1900》，《射雕英雄傳》4部電影分別記為A，B，C，D，
列表如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中丁丁和小剛選擇同一部電影的結(jié)果有4種，
∴丁丁和小剛選擇同一部電影的概率為416=14．
【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
21．如圖，小知想測量自家小區(qū)居民樓下一棵大樹AB的高度，由于大樹旁邊還有其他灌木無法直接到達(dá)大樹下面測量，他先通過查詢建筑說明得到居民樓CD的高度為28m，接著在居民樓CD的頂端C處測得大樹的頂端A的俯角為22°，某一時刻在太陽光的照射下，大樹AB頂端A的影子落在地面上的點(diǎn)E處，居民樓CD頂端C的影子落在地面上的點(diǎn)F處，測得DE＝10m，DF＝30.8m，已知大樹和居民樓均垂直于地面，且點(diǎn)B，E，D，F(xiàn)在同一條直線上，求大樹的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；平行投影；相似三角形的應(yīng)用．
【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；投影與視圖；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】約16.7m．
【分析】過A作AH⊥CD于H，判定四邊形ABDH是矩形，得到AH＝BD，AB＝DH，判定△ABE∽△CDF，推出BE：AB＝DF：CD，得到BE＝1.1AB，由tan∠CAH=CHAH=28?AB1.1AB+10≈0.40，即可求出AB的長．
【解答】解：過A作AH⊥CD于H，
∵AB⊥BF，HD⊥BF，
∴四邊形ABDH是矩形，
∴AH＝BD，AB＝DH，
∵AE∥FC，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠ABE＝∠CDF＝90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴BE：AB＝DF：CD，
∵CD＝28m，DF＝30.8m，
∴BE＝1.1AB，
∴AH＝BE+ED＝1.1AB+10，
∵CH＝CD﹣DH＝28﹣AB，
∴tan∠CAH＝tan22°=CHAH=28?AB1.1AB+10≈0.40，
∴AB≈16.7m．
答：大樹的高度AB約為16.7m．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用，平行投影，關(guān)鍵是判定△ABE∽△CDF，推出BE：AB＝DF：CD，由銳角的正切定義得到28?AB1.1AB+10≈0.40．
22．如圖，1個和4個疊在一起的杯子放在刻度尺的兩側(cè)，刻度尺的0刻度線與兩疊杯子底面平齊，左右兩疊杯子上邊緣對應(yīng)刻度尺上的讀數(shù)分別是4.5和6.3．
（1）當(dāng)x個杯子按如圖方式疊放在一起時，總高度為y cm，求y與x之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）若干個杯子疊放一起的總高度是12.9cm，求杯子的個數(shù)．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識．
【答案】（1）y＝0.6x+3.9；
（2）15．
【分析】（1）每增加1個杯子，總高度增加0.6cm，故y與x之間是一次函數(shù)的關(guān)系，再由待定系數(shù)法求出y與x之間的數(shù)量關(guān)系即可；
（2）將y＝12.9代入（1）中得到的關(guān)系式，求出對應(yīng)x的值即可．
【解答】解：（1）由圖可知，每增加1個杯子，總高度增加0.6cm，
∴y與x之間是一次函數(shù)的關(guān)系．
設(shè)y與x之間的數(shù)量關(guān)系為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0），
將x＝1，y＝4.5和x＝4，y＝6.3分別代入y＝kx+b，
得k+b=4.54k+b=6.3，
解得k=0.6b=3.9，
∴y與x之間的數(shù)量關(guān)系為y＝0.6x+3.9．
（2）當(dāng)y＝12.9時，得0.6x+3.9＝12.9，
解得x＝15．
答：有15個杯子．
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
23．初中階段是學(xué)生身體素質(zhì)增強(qiáng)的關(guān)鍵時期．某校為了解本校七年級女生體育測試項(xiàng)目“仰臥起坐”的訓(xùn)練情況，隨機(jī)調(diào)查了50名七年級女生一分鐘仰臥起坐的個數(shù)，將她們的成績分為四組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表：
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的信息，解答下列問題：
（1）填空：n＝ 16 ，本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐成績的中位數(shù)落在 B 組；
（2）求本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐的平均個數(shù)；
（3）若在該校體育考試中，一分鐘仰臥起坐個數(shù)超過20個（含20個）才算通過考試，請你估計(jì)該校七年級700名女生中，能通過體育考試的女生人數(shù)．
【考點(diǎn)】中位數(shù)；用樣本估計(jì)總體；頻數(shù)（率）分布表；算術(shù)平均數(shù)．
【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】（1）16；B；
（2）30個；
（3）588人．
【分析】（1）用50分別減去其它三組的頻數(shù)即可求出n的值，根據(jù)中位數(shù)的定義知道中位數(shù)是第25和26個數(shù)的平均數(shù)，由此即可得出答案；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義知道中位數(shù)是第25和26個數(shù)的平均數(shù)，由此即可得出答案；
（3）根據(jù)算出抽取的50人中通過考試率 再乘總?cè)藬?shù)即可得出該校九年級通過考試的女生人數(shù)．
【解答】解：（1）n＝50﹣8﹣18﹣8＝16．∵調(diào)查人數(shù)為50，
∴中位數(shù)是第25和26個數(shù)的平均數(shù)．
n+18＝8+18＝26，
∴中位數(shù)在B組．
故答案為：16；B；
（2）15×8+26×18+34×16+46×850=30（個），
答：本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐的平均個數(shù)為30個；
（3）18+16+850×700＝588（人），
答：估計(jì)該校九年級700名女生中，能通過體育考試的女生人數(shù)為588人．
【點(diǎn)評】本題以文字應(yīng)用題為背景考查了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析，考核了學(xué)生對數(shù)據(jù)的理解以及對用樣本估計(jì)總數(shù)的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是明確中位數(shù)的求法和用樣本估計(jì)總數(shù)．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，連接OD，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，交AC于點(diǎn)E，延長CA交⊙O于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直徑為5，csC=45，求CF的長．
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．
【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）325．
【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE⊥AC；
（2）連接AD，根據(jù)余弦的定義求出CD，進(jìn)而求出CE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到FE＝CE，得到答案．
【解答】（1）證明：∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
在Rt△ADC中，csC=CDAC=45，
∴CD＝4，
在Rt△CED中，csC=CECD=45，
∴CE=165，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BFA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴EF＝CE=165，
∴CF=325．
【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論、銳角三角函數(shù)的定義，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
25．我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜時鍋的水位高度是1dm，求此時水面的直徑；
（3）如果將一個底面直徑為3dm，高度為3.2dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式；
（2）炒菜鍋里的水位高度為1dm即y＝﹣2，列方程求得x的值，即可得答案；
（3）底面直徑為3dm、高度為3dm圓柱形器皿能否放入鍋內(nèi)，需判斷當(dāng)x=32時，C1和C2中的y值的差與3比較大小，從而可得答案．
【解答】解：（1）由于拋物線C1、C2都過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（3，0），可設(shè)它們的解析式為：y＝a（x﹣3）（x+3）；
拋物線C1還經(jīng)過D（0，﹣3），
則有：﹣3＝a（0﹣3）（0+3），解得：a=13，
即：拋物線C1：y=13x2﹣3（﹣3≤x≤3）；
拋物線C2還經(jīng)過C（0，1），
則有：1＝a（0﹣3）（0+3），解得：a=?19，
即：拋物線C2：y=?19x2+1（﹣3≤x≤3）．
（2）當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為1dm時，y＝﹣2，即13x2﹣3＝﹣2，
解得：x＝±3，
∴此時水面的直徑為23dm．
（3）鍋蓋不能正常蓋上，理由如下：
當(dāng)x=32時，拋物線C1：y=13×（32）2﹣3=?94，拋物線C2：y=?19×（32）2+1=34，
而34?（?94）＝3，
∴鍋蓋不能正常蓋上．
【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．
26．【問題探究】
（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD與BC的位置關(guān)系是 AD⊥BC ；
（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，E是線段BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），連接AE，將線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AF，連接EF，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊BC、EF的中點(diǎn)．試探究BE和MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【問題解決】
（3）如圖3，正方形ABCD是一塊蔬菜種植基地，邊長為3千米，對角線BD為該基地內(nèi)的一條小路，管理人員計(jì)劃在小路BD上確定一點(diǎn)E（不與點(diǎn)B、D重合）；連接AE，以線段AE為斜邊，在AE右側(cè)建等腰直角△AEF區(qū)域（∠EFA＝90°），用來種植新品有機(jī)蔬菜，并在F處設(shè)立蔬菜倉庫．G點(diǎn)和D點(diǎn)為基地的兩個蔬菜打包裝運(yùn)點(diǎn)，G在BD上且BG＝2DG．現(xiàn)要沿GF、DF修建蔬菜運(yùn)輸軌道，請確定運(yùn)輸軌道GF+DF的最小值．并求出當(dāng)GF+DF最小時，有機(jī)蔬菜種植區(qū)域的面積（即△AEF的面積）．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）AD⊥BC；
（2）BE＝2MN；
（3）4532（平方千米）．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC；
（2）連接AM，AN，可得AMAB=ANAE，∠BAE＝∠MAN，從而得出△BAE∽△MAN，進(jìn)而得出MNBE=AMAB=12，從而BE＝2MN；
（3）作AH⊥BD于H，作射線HF，可證得△BAE∽△HAF，從而∠AHF＝∠ABD＝45°，從而得出點(diǎn)F在過H點(diǎn)且與BD成45° 的直線L上運(yùn)動，直線l交AD于V，連接AG，交FH交于F′，當(dāng)點(diǎn)F在F′處時，GF+DF最小，可求得BH＝AH=322（千米），BG＝22（千米），DG=2（千米），GH＝BG﹣BH=22（千米），AG=(322)2+(22)2=5（千米），從而得出（GF+DF）最小=5（千米），作GW⊥AD于W，可得出△AF′V∽△AGW，從而得出F′VGW=AVAW，可求得F′V，進(jìn)而得出AF′，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊），
故答案為：AD⊥BC；
（2）如圖1，
BE＝2MN，理由如下：
連接AM，AN，
∵AB＝AC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM=12∠BAC=60°，
∴AMAB=cs∠BAM=cs60°=12，
∵線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
同理可得，
∠EAN＝60°，ANAE=12，
∴∠BAM＝∠EAN，AMAB=ANAE，
∴∠BAM﹣∠EAM＝∠EAN﹣∠EAM，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴△BAE∽△MAN，
∴MNBE=AMAB=12，
∴BE＝2MN；
（3）如圖2，
作AH⊥BD于H，作射線HF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ABD=12∠ABC=45°，
∴∠BAH=12∠BAD=45°，
∴AHAB=22，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AFAE=22，∠EAF=45°，
∴AFAE=AHAB，∠BAH=∠EAF，
∴∠BAE＝∠FAH，
∴△BAE∽△HAF，
∴∠AHF＝∠ABD＝45°，
∴點(diǎn)F在過H點(diǎn)且與BD成45° 的直線L上運(yùn)動，直線l交AD于V，
∵AH＝DH=12BD，
∴HF⊥AD，
連接AG，交FH交于F′，
當(dāng)點(diǎn)F在F′處時，GF+DF最小，
∵BD=2AB＝32（千米），BG＝2DG，
∴BH＝AH=322（千米），BG＝22（千米），DG=2（千米），
∴GH＝BG﹣BH=22（千米），
∴AG=(322)2+(22)2=5（千米），
∴（GF+DF）最小=5（千米），
作GW⊥AD于W，
∴DW＝GW=22DG＝1（千米），
∴AW＝AD﹣DW＝2（千米），
∵FV∥GW，
∴△AF′V∽△AGW，
∴F′VGW=AVAW，
∴F′V1=322，
∴F′V=34（千米）
∴AF′=AV2+F′V2=(32)2+(34)2=354（千米），
∴S△AEF=12×(354)2=4532（平方千米）．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵作輔助線，構(gòu)造相似三角形．
考點(diǎn)卡片
1．相反數(shù)
（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．
（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．
（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“﹣”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個“﹣”號，結(jié)果為正．
（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負(fù)號時，要用小括號．
2．科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)
用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【規(guī)律方法】用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律
3．算術(shù)平方根
（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為a．
（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負(fù)數(shù)．
（3）求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運(yùn)算來尋找．
4．實(shí)數(shù)的性質(zhì)
（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．
（2）實(shí)數(shù)的絕對值：正實(shí)數(shù)a的絕對值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．
（3）實(shí)數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實(shí)數(shù)a的絕對值一定是一個非負(fù)數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．
實(shí)數(shù)的倒數(shù)
乘積為1的兩個實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)．
5．實(shí)數(shù)大小比較
實(shí)數(shù)大小比較
（1）任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大?。龑?shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)比大小，絕對值大的反而?。?br>（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而小．
6．實(shí)數(shù)的運(yùn)算
（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．
（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．
【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個關(guān)鍵”
1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等．
2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．
3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．
7．分式的化簡求值
先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．
在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題
1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式＝…”．
2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
8．零指數(shù)冪
零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p=1ap（a≠0，p為正整數(shù)）
注意：①a≠0；
②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．
③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．
④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序．
10．二元一次方程組的應(yīng)用
（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．
（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．
（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．
（4）求解．
（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．
（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．
當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．
11．解一元一次不等式組
（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．
（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．
（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．
方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．
解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．
12．一次函數(shù)的應(yīng)用
1、分段函數(shù)問題
分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．
2、函數(shù)的多變量問題
解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)．
3、概括整合
（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．
（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．
13．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義
比例系數(shù)k的幾何意義
在反比例函數(shù)y=kx圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．
在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是12|k|，且保持不變．
14．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，
①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k；
②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，兩個分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對稱；
③在y＝k/x圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．
15．反比例函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題
①能把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型．②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義．③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明．
（2）跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題
要熟練掌握物理或化學(xué)學(xué)科中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式．同時體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．
（3）反比例函數(shù)中的圖表信息題
正確的認(rèn)識圖象，找到關(guān)鍵的點(diǎn)，運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合的思想．
16．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（?b2a，4ac?b24a）．
①拋物線是關(guān)于對稱軸x=?b2a成軸對稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x1+x22．
17．二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題
在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
18．展開圖折疊成幾何體
通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實(shí)物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形．
19．平行線的性質(zhì)
1、平行線性質(zhì)定理
定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．
定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
2、兩條平行線之間的距離處處相等．
20．三角形的外角性質(zhì)
（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六個外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個相等，因此共有三對．
（2）三角形的外角性質(zhì)：
①三角形的外角和為360°．
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．
（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．
（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．
21．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
22．等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質(zhì)
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．
23．等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
24．等腰直角三角形
（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；
（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
25．菱形的性質(zhì)
（1）菱形的性質(zhì)
①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
②菱形的四條邊都相等；
③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；
④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．
（2）菱形的面積計(jì)算
①利用平行四邊形的面積公式．
②菱形面積=12ab．（a、b是兩條對角線的長度）
26．四邊形綜合題
涉及到的知識點(diǎn)比較多，主要考查平行四邊形、菱形、矩形、正方形，經(jīng)常與二次函數(shù)和圓一起出現(xiàn)，綜合性比較強(qiáng)．
27．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
28．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：
①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．
②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．
（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．
29．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用
運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題．
30．圓錐的計(jì)算
（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高．
（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝πrl．
（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl
（5）圓錐的體積=13×底面積×高
注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．
31．作圖—復(fù)雜作圖
復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．
解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
32．平移的性質(zhì)
（1）平移的條件
平移的方向、平移的距離
（2）平移的性質(zhì)
①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同． ②新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．
33．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：
①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等． ②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． ③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等． （2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心； ②旋轉(zhuǎn)方向； ③旋轉(zhuǎn)角度． 注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣．
34．相似三角形的應(yīng)用
（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計(jì)算出被測量物的長度．
（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．
（3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．
35．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
36．解直角三角形
（1）解直角三角形的定義
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的關(guān)系
①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；
②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；
③邊角之間的關(guān)系：
sinA=∠A的對邊斜邊=ac，csA=∠A的鄰邊斜邊=bc，tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=ab．
（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）
37．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實(shí)際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．
38．平行投影
（1）物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象．一般地，用光線照射物體，在某個平面（底面，墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．
（4）判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的．如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．
39．用樣本估計(jì)總體
用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想．
1、用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布：
從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本，我們很難從一個個數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息．這時，我們用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，從而去估計(jì)總體的分布情況．
2、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（主要數(shù)據(jù)有眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與方差 ）．
一般來說，用樣本去估計(jì)總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計(jì)也就越精確．
40．頻數(shù)（率）分布表
1、在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時，經(jīng)常把數(shù)據(jù)按照不同的范圍分成幾個組，分成的組的個數(shù)稱為組數(shù)，每一組兩個端點(diǎn)的差稱為組距，稱這樣畫出的統(tǒng)計(jì)圖表為頻數(shù)分布表．
2、列頻率分布表的步驟：
（1）計(jì)算極差，即計(jì)算最大值與最小值的差．
（2）決定組距與組數(shù)（組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般來說樣本容量越大，分組就越多，樣本容量不超過100時，按數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組）．
（3）將數(shù)據(jù)分組．
（4）列頻率分布表．
41．算術(shù)平均數(shù)
（1）平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo)．
（2）算術(shù)平均數(shù)：對于n個數(shù)x1，x2，…，xn，則x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．
（3）算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，就是算術(shù)平均數(shù)．
42．中位數(shù)
（1）中位數(shù)：
將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（2）中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息．
（3）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其趨勢．
43．概率公式
（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
44．列表法與樹狀圖法
（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．
（5）當(dāng)有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/4/3 17:03:51；用戶：實(shí)事求是；郵箱：18347280726；學(xué)號：37790395
分組
個數(shù)x
頻數(shù)（人數(shù)）
每組仰臥起坐的平均個數(shù)/個
A
10≤x＜20
8
15
B
20≤x＜30
18
26
C
30≤x＜40
n
34
D
40≤x≤50
8
46
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
D
C
B
C
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
分組
個數(shù)x
頻數(shù)（人數(shù)）
每組仰臥起坐的平均個數(shù)/個
A
10≤x＜20
8
15
B
20≤x＜30
18
26
C
30≤x＜40
n
34
D
40≤x≤50
8
46
x的取值范圍
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整數(shù)的位數(shù)﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的0）

相關(guān)試卷

2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)四模試卷：

這是一份2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)四模試卷，共7頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷（含解析）：

這是一份2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷（含解析），共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷：

這是一份2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷，共31頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)八模試卷（含解析）

2023年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)八模試卷（含解析）
1_2023年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷

1_2023年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷
2022年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)六模試卷

2022年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)六模試卷
2021年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)五模試卷

2021年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)中考數(shù)學(xué)五模試卷
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部